Examen de Matemáticas II-Coincidente (Junio 2017) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

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1 Examen de Matemáticas II-Coincidente (Junio 017) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Dadas las funciones f(x) = 1 x + y g(x) = 1 x 4, definidas para x (, 4), se pide: a) (0,5 puntos) Hallar el valor o valores de x para los que f (x) = g (x). b) (1 punto) Hallar el punto x del intervalo (, 4) en el que la diferencia f(x) g(x) es mínima y determinar el valor de esta diferencia mínima. c) (0,5 puntos) Hallar g(x)) y +(f(x) x x 4 (f(x) g(x)). d) (1 punto) Hallar F (x), primitiva de la función f(x) g(x), que cumple la condición F () = + ln. a) f 1 (x) = (x + ) y 1 g (x) = (x 4) = 1 (x + ) = 1 (x 4) = (x 4) = (x + ) = 1x 1 = 0 = x = 1 b) h(x) = f(x) g(x) = 1 x + 1 x 4 = h 1 (x) = (x + ) + 1 = 1x 1 = 0 = x = 1 (x 4) (, 1) (1, 4) h (t) + h(t) decreciente creciente Como la función decrece en el intervalo (, 1) y crece en el (1, 4), en x = 1 habrá un mínimo. [ ] c) g(x)) = x +(f(x) 6 6 x + (x + )(x 4) = 0 = + [ ] g(x)) = x 4 (f(x) 6 6 x 4 (x + )(x 4) = 0 = + ( 1 d) F (x) = x + 1 ) dx = ln x + ln x 4 + C x 4 F () = ln 4 ln +C = ln ln +C = ln +C = +ln = C = Luego F (x) = ln x + x 4 + 1

2 Problema (3 puntos) Dada la recta r x 1 = y = z, se pide: a) (1 punto) Calcular la ecuación de una recta r, con dirección perpendicular a r, que esté contenida en el plano OXY y pase por el punto (1,, 0). b) (1 punto) Hallar un plano perpendicular a OXY, que contenga a la recta r. c) (1 punto) Calcular la distancia del origen de coordenadas O(0, 0, 0) a la recta r. r : x 1 = y 1 1 = z { ur 1 = r : = (1, 1, 1) P r (1, 0, 0) a) El plano π(oxy ) : z = 0 = u π = (0, 0, 1). Si r π = u r = (a, b, 0) y como u r u r = u r u r = 0 = a + b = 0 = b = a = u r = (a, a, 0) = a(1, 1, 0), luego podemos coger u r = { ur x = 1 + λ (1, 1, 0) = r = (1, 1, 0) : = r P r (1,, 0) : y = λ z = 0 b) π u π = (0, 0, 1) : ur = (1, 1, 1) P r (1, 0, 0) = π x 1 y z : = 0 = π : x y 1 = 0 c) OP r i j k u r = = (0, 1, 1) = u d(o, r) = OP r u r 6 = = u r 3 3 u Problema 3 ( puntos) En un supermercado tienen tres artículos con ofertas por la compra de una segunda unidad. La segunda unidad del artículo A tiene un descuento del 60 %, la segunda unidad del artículo B tiene un descuento del 75 %, mientras que la segunda unidad del artículo C se oferta con un descuento del 50 %. Si un cliente compra un artículo de cada clase y, por lo tanto, no se beneficia de descuento alguno, debe pagar 6 euros. Si compra dos artículos de cada clase pagará 35,0 euros. Finalmente, si no adquiere el artículo A, pagará lo mismo comprando dos unidades de B y una de C que si compra dos unidades de C y una de B. Determínese el precio

3 de cada artículo. x + y + z = 6 x + y + z = 6 1, 4x + 1, 5y + 1, 5z = 35, 0 = 8x + 5y + 30z = 704 = 1, 5y + z = 1, 5z + y y z = Problema 4 ( puntos) Dada la matriz 1 0 3, se pide: a) (1 punto) Calcular su inversa. 4 b) (1 punto) Calcular la matriz B para que X = 0 sea solución 1 del sistema A X = B / 7 3/ a) A = = A 1 = / 1/ b) B = A X = = x = 8 y = 1 z = 6 Examen de Matemáticas II-Coincidente (Junio 017) Selectividad-Opción B Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales x+ my+ 3z = 4 x+ y z =, 3x + (m + 1)z = m +, se pide: a) ( puntos) Discutirlo según los valores del parámetro real m. b) (0,5 puntos) Resolverlo para m = 3. c) (0,5 puntos) Para cierto valor de m, que hace que el sistema sea compatible, se ha obtenido una solución con y = 0. Determinar x y z para esa solución. Cuál es el valor de m? 3

4 a) 1 m 3 4 A = 1 1 A = (m +6m+8) = 0 = m =, m = m + 1 m + Si m y m 4 = Rango(A) = 3 =Rango(A) = n o de incógnitas y sería un sistema compatible determinado. Si m = : A = 1 1 ; F 3 = F 1 +F = Sistema Compatible Indeterminado Si m = 4: F A = 1 1 = F F 1 = = F 3 3F F F = = Sistema Incompatible 5F 3 1F b) Si m = 3: x 3y + 3z = 4 x + y z = 3x z = 1 c) Si y = 0: x + 3z = 4 x z = 3x + (m + 1)z = m + x = 1 = y = 1 z = x = /5 = y = 0 z = 6/5 = m = Problema (3 puntos) Dado el punto P (5, 7, 10) y el plano de ecuación π x + y + 3z = 7; se pide: a) (1 punto) Calcular el punto P, simétrico de P respecto de π. b) (1 punto) Hallar la posición relativa del plano π y la recta que pasa por el punto Q(1, 1, 1) y tiene dirección v = ( 10,, ). c) (1 punto) Calcular el área del triángulo que tiene por vértices a los puntos P, Q y al origen de coordenadas O(0, 0, 0). 4

5 a) Seguimos el siguiente procedimiento: { ur = Calcular r π/p r = r : u π = (1,, 3) P r = P (5, 7, 10) x = 5 + λ y = 7 + λ z = λ Calcular P punto de corte de r con π: = r : (5 + λ) + (7 + λ) + 3(10 + 3λ) = 7 = λ = 3 = P (, 1, 1) P + P = P = P = P P = (, 1, 1) (5, 7, 10) = ( 1, 5 8) { us = b) s : x = 1 5λ v = ( 10,, ) = ( 5, 1, 1) = s : y = 1 + λ. P s = Q(1, 1, 1) z = 1 + λ Cañculamos el posible punto de corte entre s y π: (1 5λ)+(1+λ)+3(1+λ) = 7 =! 6 = 7! = s y π son paralelos. c) S T = 1 1 OP OQ = i j k = 1 38 ( 3, 5, ) = Problema 3 ( puntos) a) (1 punto) Calcule los siguientes ites: 4 sin x 5 sin x cos x 3 sin x cos x + sin x ; ( x x + 7). b) (1 punto) Calcule las siguientes integrales: a) (3u + 1) cos(u) du; 5 4 sin [ ] x 5 sin x cos x 0 3 sin x cos x + sin x = = x + 1 dx. u sin x(4 sin x 5 cos x) sin x(3 sin x cos x + ) =

6 b) ( x x + 7) = [ ] = 4 sin x 5 cos x 3 sin x cos x + = 5 x 7 [ ] ( x + x + 7) = = [ (3u + 1) cos(u) du = (3u + 1) sin u 3 ( x x + 7)( x + x + 7) ( x + = x + 7) x ( x + x) = ] w = 3u + 1 = dw = 3du dv = cos u du = v = 1 sin u = sin u du = (3u + 1) sin u 3 cos u (3u + 1) sin u + 3 cos u + + C = + C ] 5 7 4x + 1 dx. = 7 ln 4x + 1 = ln 7 3 Problema 4 ( puntos) En una empresa el 0 % de los empleados son matemáticos, el 50 % ingenieros y el resto no tienen carrera universitaria. Entre los matemáticos el 40 % ocupa un cargo directivo, entre los ingenieros ese porcentaje se reduce a la mitad y entre el resto de empleados el porcentaje es del 5 %. Elegido un empleado al azar, se pide: a) (1 punto) Determinar la probabilidad de que ocupe un cargo directivo. b) (1 punto) Si no ocupa un cargo directivo, cuál es la probabilidad de que sea matemático? 6 x 1 + =

7 a) P (D) = P (M)P (D M) + P (I)P (D I) + P (R)P (D R) = 0, 4 0, + 0, 0, 5 + 0, 05 0, 3 = 0, 195 P (D M)P (M) 0, 6 0, b) P (M D) = = = 0, 149 P (D) 1 0, 195 7