Nombre y Apellidos: si x 0 f(x) = e x 1 1 si x = 0

Transcripción

1 Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria de Diciembre 2 de Diciembre de 25 Nombre y Apellidos: DNI: (2.5 p.) ) Se considera la función f : R R definida por si f() = e si = (.25 p.) (a) Probar que f es continua y derivable en R. Calcular el valor de f () para todo R. (.25 p.) (b) Probar que f() > para todo R. Calcular los límites de f en y + y determinar el conjunto Im(f) = {f() / R}. (2 p.) 2) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de la función g() = cos() en torno a =. Utilizar este polinomio para aproimar el valor de cos(/2) y probar que el error cometido es menor que /4. ( p.) 3) Probar que la ecuación sen (π/2) = ln() tiene una única solución en el intervalo [, 2]. (2.5 p.) 4) Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias. En caso de que alguna sea convergente, calcular su valor. (.25 p.) (a) π/2 tg () d. (.25 p.) (b) ln() 2 d. Indicación: En el apartado (b) usar el método de integración por partes. (2 p.) 5) Estudiar para qué valores de R converge la serie de potencias n ( + )n.

2 SOLUCIONES PROBLEMA. (a) Como cociente de funciones continuas, f es continua en todos los puntos donde no se anula el denominador, es decir, para todo R,. Veamos que f es continua también en = ; efectivamente, aplicando la regla de L Hôpital, tenemos: f() e ( + )e e + = = f(). Por otra parte, f es derivable en R \ {} y f () = e (e ) (e ) 2,. Veamos que f es derivable en = ; aplicando de nuevo la regla de L Hôpital: f e (e ) e (2e 2) () (e ) 2 2e (e ) 2e 2 2(e ) Por tanto, f es derivable en = y f () = /2. 2e 2e = 2. (b) Veamos en primer lugar que f() > para todo R. En efecto, si > entonces > y e >. Por tanto, f() = /(e ) >. Del mismo modo, si < entonces < y e <, con lo que f() = /(e ) >. Finalmente, f() = >. Calculamos ahora los límites en y. Aplicando la regla de L Hôpital, tenemos: f() e ( + )e e f() = e = Como f es continua y positiva, Im(f) = (, ). PROBLEMA 2. + =. e =. e El polinomio de Taylor de grado 3 de g en torno a = viene dado por p 3 () = g() + g () + g () 2! Las derivadas de g() = cos() hasta el orden 3 son g () = cos() sen (), g () = 2 sen () cos(), 2 + g () 3. 3! 2

3 g () = 3 cos() + sen (). Así pues, g() =, g () =, g () =, g () = 3, y en consecuencia p 3 () = 3 2. Para aproimar el valor de cos(/2), observemos que g(/2) = (/2) cos(/2), y por tanto ( cos(/2) = 2g(/2) 2p 3 (/2) = 2 2 ) = =.875. Finalmente, para dar una estimación del error, recordemos que g(/2) p 3 (/2) = giv) (ξ) 4! Como g iv) () = 4 sen () + cos(), se deduce que ( ) 4, ξ (, /2). 2 g iv) () 4 sen () + cos() = 9 2, (, /2). Entonces: cos(/2) 2p 3 (/2) = 2 g(/2) p 3 (/2) ! ( ) 4 = < 4. PROBLEMA 3. Consideremos la función F () = sen (π/2) ln() y aplicamos el teorema de Bolzano en el intervalo [, 2], donde F es continua. Tenemos: F () = sen (π/2) ln() = = > F (2) = sen (π) ln(2) = ln(2) <. Por tanto, eiste al menos un punto (, 2) tal que F ( ) =, que claramente es una solución de la ecuación. Veamos que es única; para ello calculamos la derivada de F : F () = π 2 cos ( π 2 ). Ahora bien, (, 2) = π ( π ) ( π ) 2 2, π = cos 2 < = F () <. El Teorema de Rolle permite concluir que F no puede tener más de una raíz en el intervalo (, 2), y por tanto la ecuación sen (π/2) = ln() tiene solución única. 3

4 PROBLEMA 4. (a) Como π/2 tg () = +, la integral es impropia. Una primitiva de la función f () = tg () = F () = ln(cos()). Por tanto, sen () cos() en el intervalo [, π/2) es π/2 tg () d b π/2 b tg () d = Como cos(b) = cos(π/2) =, se tiene que b π/2 la integral es divergente. b π/2 [F (b) F ()] ln(cos(b)) + ln() ln(cos(b)). b π/2 b π/2 ln(cos(b)) =, y por tanto b π/2 (b) En primer lugar, calculamos una primitiva de la función f 2 () = ln()/ 2 usando el método de integración por partes. Haciendo u = ln(), dv = / 2 d, se tiene que du = / d y v = /. Por tanto, una primitiva de f 2 es Entonces, F 2 () = ln() + ln() d =. 2 ln() ln(b) d (F 2 2 (b) F 2 ()) = F 2 () + b b b = + b b =, donde en la penúltima igualdad hemos aplicado la regla de L Hôpital. Por tanto, la integral es convergente y su valor es. PROBLEMA 5. Se trata de una serie de potencias centrada en = y con término general a n = /n. El radio de convergencia es a n (n + ) r n a n+ n n ln(n + ) =, ya que, usando tres veces la regla de L Hôpital, se tiene: ( + ) ln() ln( + ) ln() + ( + )/ ln( + ) + /( + ) ln() + + ( + ) ln( + ) + + ln() + + ( + ) ln( + ) + + ln() + 2 ln( + ) + 2 / /( + ) 4 + =.

5 En consecuencia, la serie converge absolutamente si + <, es decir en el intervalo ( 2, ). Para =, la serie es n. Como > para todo n 3, se tiene que n > n, n 3, y en consecuencia la serie es divergente por serlo Para = 2, la serie es ( ) n n. Veamos que esta serie converge utilizando el criterio de Leibniz. Para ello tenemos que probar que la sucesión {/n} n 3 es estrictamente decreciente y converge a cero. En primer lugar, observemos que de L Hôpital: n. /n =. Para ello, basta usar la regla n ln() =. Para probar que la sucesión {/n} n 3 es estrictamente decreciente, consideramos la función G : (, ) R definida por G() = ln()/. ln() >, 3 = G () = ln() 2 <, 3. Por tanto, G es estrictamente decreciente en [3, ), y en consecuencia también lo es la sucesión {/n} n 3. En resumen, la serie de potencias es convergente para [ 2, ). 5