Opción A ( ) ( x) ( ) ( ) Examen. 1ª evaluación 4/12/ en su punto de A 1 A 2. 1 x. x El área total será una función en x : A( x) = A1 + A2

Transcripción

1 Eamen 1ª evaluación /1/7 Opción A Ejercicio 1 (Puntuación máima: puntos Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica infleión ; ( 1 1, ( 1, ( 1 ( 1, y 6( 1 y Calculamos el punto de infleión de f f f f f f en f tiene su punto de infleión f 6 + en su punto de Punto de tangencia f La pendiente de la recta tangente a f en ese punto será m f 1 m 6 La ecuación de la recta pedida es Ejercicio (Puntuación máima: puntos Se divide una cuerda de longitud 1 en dos partes, no necesariamente iguales, para construir un cuadrado y una circunferencia Probar que de todas las posibilidades, la que encierra un área total mínima surge cuando el radio del círculo es la mitad que el lado del cuadrado 1- A 1 A 1 1 A1 A1 ; en el círculo se cumple π r 1 r A π A 16 π π π El área total será una función en : A A1 + A A + 16 π 1 1 buscamos el mínimo de esta función, A ; A 8 π 8 π π comprobamos que es un mínimo, A + A + > 8 π π + 8 π 1 entonces el área total es mínima cuando y el lado del cuadrado es l l π + π por otra parte el radio del círculo es r r π + l r y se cumple que r π π π + jlmates Matemáticas II [1]

2 Eamen 1ª evaluación /1/7 Ejercicio (Puntuación máima: puntos Prueba que la función f alcanza el valor en un único punto de su dominio cos f es una función continua en el intervalo [, π ] por ser cociente de funciones continuas y cos cos 1 π como f ( < y f ( π >, aplicando la propiedad de Darbou tenemos que f toma todos los valores 1 π comprendidos entre y al menos una vez en el intervalo (, π f en (, π Veamos que ocurre en un único punto, entonces la ecuación cos + 5 sólo tiene una solución cos Supongamos que tiene dos soluciones y definimos la función g cos + 5 cos + 5, 1 ( 1 < ; [ 1, ], ( 1, ( 1 ( (, g es continua en derivable en y g g ya que en ambos puntos g estamos en las condiciones del teorema de Rolle c tal que g c 1 pero g sen + y g sen + sen con lo que llegamos a una contradicción Por todo lo anterior la ecuación sólo tiene una solución y queda demostrado cos Ejercicio (Puntuación máima: puntos Sea f ( una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f ( 1, f ( 1, f (, f ( 1 Se pide: - Calcular g (, siendo g f ( f ( ( f f ( - Calcular e 1 + (1 punto ( puntos f 1, f 1, f, f 1 ( + ( ( ( ( ( ( 1 g g f f g f g f g f f ( f f ( + f f f ( 1 1 indet y aplicamos L Hopital ˆ 8 e 1 e e jlmates Matemáticas II []

3 Eamen 1ª evaluación /1/7 Opción B Ejercicio 1 (Puntuación máima: puntos Sea la función f sen( 7 Demuestra que la función derivada f menos una raíz real en el intervalo (, posee al ( 7 [, ] (, ( ( 17 (, f posee al menos una raíz real en f sen es una función continua en el intervalo y derivable en por ser producto y suma de funciones continuas y derivables y además f f con lo que estamos en las condiciones del teorema de Rolle tal que f, Ejercicio (Puntuación máima: puntos Calcula los límites siguientes: sen cos sen sen sen sen cos sen sen cos cos 1 1 indet, L Hopital ˆ cos cos sen cos sen sen π π π π π tg tg tg tg ln ( indet A ln A ln ln tg ln indet, L Hop ˆ cotg 1 1 sen ind 1 1 sen sen sen cos et, L Hop A e 1 ˆ tg 1 ( + ( indet jlmates Matemáticas II []

4 Eamen 1ª evaluación /1/7 Ejercicio (Puntuación máima: puntos Sea f a + b + c + d una función que cumple f f relativos para 1 y - Determinar a, b, c y d - Son máimos o mínimos los etremos relativos? f a b c d f a b c ,, y tiene dos etremos 1 f ( 1 a b c d a a b a + b + d f ( c 1a b b a b + + f ( 1 a + b + c 6a 1a b + c f 1a b c d 6 Veamos si los etremos relativos que están en 1 y son máimos o mínimos 6 + ; f a b f f 1 1< en 1 máimo / f 1> en mínimo Ejercicio (Puntuación máima: puntos Sea la función definida del modo siguiente: f + + si + a + b si > - Halla los valores de a y b para que la función cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [, ] - Con los valores obtenidos, halla los puntos de la curva y f en los que la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A (, f ( y B (, f [ ] ( Para que f cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange debe ser continua en, y derivable en, f es continua en todor, salvo quizás en Vamos a imponer que sea continua en ese punto f f ; f + + f f f + + f + a + b b + + b jlmates Matemáticas II []

5 Eamen 1ª evaluación /1/7 f es derivable en todor, salvo quizás en Vamos a imponer que sea derivable en ese punto ( f ( f + ( + ( ( + + ( + + h + h ( + f h f h h h h f ( ( h + h h h h h h h h h ( + ( ( + f h f h f + ( + + h h h ( h + ah + a + h + h h + a ( h + a a h h h h h h entonces a f f ( (, / ( ( (, f ( y (, f Como f cumple las hipótesis del teorema de Lagrange f en esos puntos la recta tangente es paralela a la recta que une los puntos f + + si + + si > + si f + si > 7 1 f f ( f ( f ( ( jlmates Matemáticas II [5]