Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S. Análisis Matemático II. Derivada y algunas aplicaciones. D Agostini Viviana

Transcripción

1 Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S Análisis Matemático II Derivada y algunas aplicaciones. Pro. D Agostini Viviana

2 Derivada Recta tangente Si es una unción deinida en un intervalo abierto I, y queremos allar la recta tangente a la curva en el punto P, donde I, entonces consideremos otro punto de I, Q,, donde, podemos calcular la pendiente de la recta secante PQ: incremental. Considerando puntos aciendo que m pq cociente Q i más cercanos a P a lo largo de la curva y tienda a, deinimos la recta tangente a P como la recta que contiene a P y tiene pendiente m, siempre que eista este límite. Una ecuación correspondiente a la recta tangente resulta: y

3 Dada la unción busquemos una ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa. y m y,5 recta 5 8 y t Ejercicios Hallar a si 8 b g si g c t si t Hallar una ecuación de la recta tangente a cada unción en el valor indicado. Graicar dica recta y la unción. a, b g, c s, 9

4 Dada una unción si en algún valor de su dominio no eiste el límite del cociente incremental, se dice que la unción no es derivable en ese valor. Ejemplo : La recta de ecuación es tangente vertical a la curva. Ejemplo : El punto, es llamado punto cuspidal del gráico.

5 5 Función derivada es la unción derivada de si dico límite eiste. El dominio de está ormado por los del dominio de para los cuales, D D. Como es una unción, llamada unción derivada de, o unción derivada primera de, si se aplica el mismo razonamiento anterior, puede buscarse su unción derivada, que se llamará unción derivada segunda de y se notará. En general, si eiste n, se llama derivada enésima n de la unción a la unción derivada de n. Ejemplo : Sea 9 8 encuentre, y

6 6 Sobre este ejemplo podemos concluir que:... V IV Ejemplo : Sea g encuentre. g g g Nota: de orma similar puede obtenerse Si sen su unción derivada es cos Si cos su unción derivada es sen g Ejercicio. Hallar: a y si 5 b g si g c si Teorema Si es una unción constante c entonces es derivable en todo su dominio y su unción derivada es c c Teorema Si es la unción identidad entonces es derivable en todo su dominio y su unción derivada es

7 Teorema Si una unción es derivable en entonces es continua en. Nota: Si una unción es continua en no implica que sea derivable en. No eiste el límite del cociente incremental en, por lo tanto no es una unción derivable en ese valor, a pesar de ser una unción continua en. El punto, es anguloso. No eiste recta tangente en,. Álgebra de las derivadas Teorema Si y g son unciones derivables entonces vale que: g g g g. g. g. g k k k constante g. g [ g ]. g siendo g 7

8 Teorema Si n con n R entonces es derivable y n n Ejemplo : 5 entonces 5 Ejemplo : g entonces g Ejemplo : 6 entonces 7 6 Teorema Si el recorrido de la unción g está contenido en el dominio de la unción, puede considerarse la unción compuesta o g g. Si la unción g es derivable en del dominio de g y la unción es derivable en g del recorrido de g entonces la unción o g es derivable y o g g. g Ejemplo : sen entonces cos. cos. Ejemplo : g entonces g. Tabla de derivadas: k cte n n n g g g g g. g. g. g g. g. [ ] k k e e ln sen cos cos sen tg sec 8

9 Ejercicios. Utilizando la tabla de derivadas, resuelva: Para las siguientes unciones allar la unción derivada: a 5 sen b c 5 sen d e sen 5 cos 5 g j sen5 m sen i cos6 ln k l cos ln5 5 n sen cos p ln sen senln q Hallar la unción derivada primera y segunda: a b c g sen Hallar una ecuación de la recta tangente para cada una de las unciones dadas en el punto de abscisa indicada: a 5, b l 9, Indicar para cada unción, los puntos de la gráica donde la tangente es orizontal: a b g Indicar los puntos de la gráica de la unción 9 6 donde la recta tangente tiene pendiente 9. 9

10 Aplicaciones de la derivada Valores Máimos y Mínimos - Una unción tiene un máimo absoluto o global en c si c D. El número c es llamado valor máimo de en su dominio. tiene un mínimo absoluto en c si c D. c es llamado el valor mínimo de en su dominio. - Una unción tiene un máimo local o relativo en c si c para todo en algún intervalo abierto que contiene a c. tiene un mínimo local en c si c para todo en algún intervalo abierto que contiene a c. - Se llaman valores etremos de una unción a los valores máimos y mínimos locales o absolutos de la misma. Ejemplo : Sea deinida en [a,b]: a es mínimo absoluto de en [ a, b] no es mínimo local [ a b] c es máimo absoluto y máimo local de en, en c es un mínimo local, [ a, b] c es un máimo local, c es un mínimo local de

11 Ejemplo : D R es un mínimo local y absoluto de no tiene máimo absoluto, ni relativo. Ejemplo : D R, es par, continua y derivable en R, no tiene intersección con el eje,,, AH : y ±, < < es máimo absoluto y relativo. no tiene mínimo absoluto, ni relativo. Teorema del valor etremo Si es continua en [a,b] entonces alcanza un valor máimo absoluto c y un valor mínimo absoluto d con c y d en [a,b].

12 Ejemplos: Las siguientes gráicas corresponden a unciones deinidas en [a,b] En los ejemplos y aciendo un breve estudio de la unción y graicándola pudimos encontrar los valores etremos, pero para algunas unciones no resulta tan sencillo allarlos. Teorema de Fermat Si es derivable en c y alcanza un máimo o mínimo local en c interior al dominio de entonces c. Nota: este teorema sugiere que se puede empezar a buscar los valores etremos de en los valores de c, donde c o donde c no eiste. En el ejemplo :, derivable en R, tiene un máimo en, se veriica el teorema. Nota: El recíproco del teorema de Fermat no es cierto para cualquier unción. Es decir que c no implica necesariamente que tiene un máimo o mínimo en c. Ejemplo : D R,. En el punto, la gráica tiene tangente orizontal y no ay etremo.

13 Por lo tanto la condición de tener derivada nula en un punto no asegura la eistencia de etremo para una unción. Veamos más ejemplos de unciones y sus valores etremos: Ejemplo 5: D R es mínimo local y absoluto de, pero no eiste. Ejemplo 6: D R es un mínimo local y absoluto de. La unción alcanza un etremo en un punto del dominio donde no es derivable.

14 Ejemplo 7:, D [,] es el valor máimo absoluto y el mínimo absoluto y relativo de. Nota. Hemos visto ejemplos de unciones con valores etremos en: - un punto interior al dominio de donde la derivada se anula, ejemplos y - un punto interior al dominio de donde no está deinida, ejemplos 5 y 6 - un etremo de un intervalo del dominio de, ejemplo 7 Puntos críticos. Un valor crítico de una unción es un número c en el dominio de si c o c no eiste. c, c es llamado punto crítico. Método del Intervalo cerrado Para allar los valores máimo y mínimo absolutos de una unción continua en un intervalo cerrado [ a, b] : - Encuentre los valores de en los valores críticos de en a, b. - Halle los valores de en los etremos del intervalo. - El mayor es el máimo absoluto y el menor es el mínimo absoluto de. Ejemplo 8: Encontrar los etremos absolutos de en,. es continua en,, 7 8 6

15 no eiste en cero y se anula en Por lo tanto los valores críticos son:,,. 7 6,, 7 9 y. 7, 7 9, Luego: es máimo absoluto y absoluto. 9 es mínimo / D Ejemplo 9:, D [,] continua en. /, en no eiste, nunca se anula,, máimo absoluto de. 9. Luego es el mínimo absoluto y 9 es el Ejercicio. Hallar los etremos relativos si eisten y absolutos de las siguientes unciones en los intervalos indicados. a [,8 ] b [,] c 6 [,] Teorema de Rolle. Si es continua en [ a, b], derivable en b entonces eiste c en a, b / c. a, y a b 5

16 Al dibujar la curva correspondiente de una unción que cumpla con las ipótesis del teorema: si se traza la recta que pasa por los etremos de la curva, es posible allar un punto interior al intervalo donde la tangente a la gráica es paralela a dica recta. Ejemplo : en [,] es continua en [,], derivable en,, entonces c, / c 6 pero, luego es decir en c resulta c Teorema del valor medio de Lagrange Si es continua en [ a, b], derivable en a, b entonces eiste c en a, b / c b a. b a 6

17 El teorema epresa que eiste por lo menos un punto c, c sobre la gráica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la de la recta secante que contiene los puntos a, a y b, b. Ejemplo : en [,] es continua en [,], derivable en, entonces eiste c en, c 6,, / c c 6 c c Por lo tanto, la recta tangente en el punto, es paralela a la recta que pasa por los puntos, y,6. Corolario : Si c a, b entonces es constante en b a,. Corolario : Si g a, b entonces g g c donde c es constante. es constante en b a, ; es decir Ejercicios: Hallar si es posible el valor c, correspondiente al teorema de Rolle, para: en [,] en [,] g en [,] 7

18 Hallar si es posible el valor de c, correspondiente al teorema del valor medio, para: g en [,] Funciones monótonas y criterio de la derivada primera Si una unción derivable es creciente en un intervalo I, la derivada en cualquier punto del mismo es positiva o nula. En cualquier punto del gráico, la recta tangente al mismo orma con el eje positivo de abscisas, un ángulo agudo o nulo. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente, es un número positivo. Si la unción es decreciente, la recta tangente en cada punto del gráico orma con el eje positivo de abscisas un ángulo obtuso o llano. Por lo tanto la pendiente de la recta tangente será negativa. Teorema. Si es continua en [ a, b] y derivable en b - si > a, b es creciente en a, b - si < a, b es decreciente en a, b a, entonces: Ejemplo :, D R, es continua y derivable en R R, luego es creciente en todo su dominio. 8

19 Ejemplo :, D R, 6 es continua y derivable en R. < en, Por lo tanto: es decreciente en, y creciente en y, Ejercicio. Indicar en qué subconjuntos del dominio las siguientes unciones son crecientes o decrecientes, de acuerdo con el signo de su primera derivada: 5 g 9 Criterios para determinar etremos locales Criterio de la derivada primera: Si c es un valor crítico de una unción continua que es derivable en todo punto de algún intervalo que contiene a c, ecepto posiblemente en c : - si - si - si cambia de positiva a negativa en c entonces tiene un máimo local en c, cambia de negativa a positiva en c entonces tiene un mínimo local en c, no cambia de signo en c entonces no tiene un etremo local en c. 9

20 Retomando el ejemplo : cambia de positiva a negativa en - entonces tiene un máimo local en -, cambia de negativa a positiva en entonces tiene un mínimo local en. Criterio de la derivada segunda. Sea una unción tal es continua en un intervalo abierto que contiene a c interior a su dominio y c : - si c < entonces tiene un máimo local en c, - si c > entonces tiene un mínimo local en c. - si c, no se puede concluir nada, puede tener un máimo local, un mínimo local o ninguno de ellos. Ejemplo : D R, derivable en R 6, <, > Por lo tanto es un máimo local de y 9 es un mínimo local. 7

21 Ejercicios: Hallar si eisten etremos locales utilizando el criterio de la derivada primera para las siguientes unciones: 5 g Hallar si eisten etremos locales utilizando el criterio de la derivada segunda: 6 r 6 Regla de L opital. Sean y g derivables y g en un intervalo abierto que contiene a a ecepto quizás en a. Si a y a g o a ± y g a ± y eiste a g entonces a g. a g En la primera gráica se muestran dos unciones derivables, cada una de las cuales tiende a cero cuando tiende a a. Con una ampliicación en el punto a, la gráicas se verían casi lineales. Pero si las unciones ueran en realidad lineales, como en la segunda gráica, entonces su razón sería: m a m m a m, la razón entre sus derivadas.

22 Ejemplos: i 6 6 e e e ii e e e 6 e e e 6 e 6 iii En este caso aplicar la regla de L Hopital izo etensa la resolución del mismo. Ejercicios Evaluar los siguientes límites: sen cos e sen 6 cos 5 e 6 ln 7 8 sen

23 BIBLIOGRAFÍA - Steward J. Cálculo. 8. Seta Edición. Cengage Learning. - Tomas. Cálculo Una variable. 5. Undécima edición. Pearson Addison Wesley - Rabuetti Hebe T. 995 Introducción al Análisis Matemático. - Miguel de Guzmán. Análisis Matemático I. Editorial Anaya. - Spivack Micael Cálculo Ininitesimal. Editorial Reverté.