Derivada. lim 5x. Derivada por definición. Sea y = f (x) una función que depende de x. Se define la derivada de dicha función como otra función: lim h

Transcripción

1 S_A._LECV Derivada Derivada por deinición. Sea y = una unción que depende de. Se deine la derivada de dica unción como otra unción: La simbología de la derivada es y y Analíticamente la derivada es un límite, que eistirá si el límite eiste. Ejemplos: Determine la derivada de

2 S_A._LECV Determine la derivada de. n Determine la derivada de. ln

3 S_A._LECV Derivada en un punto dado. Así, como eiste la derivada de una unción podemos calcular, la derivada de una unción en un punto dado. Por ejemplo, en a, está deinida por: a a a Luego si eiste el límite en a entonces es derivable en. Ejemplos: Determine si es derivable en

4 S_A._LECV 4 Hallar la derivada de e en. e e e e Hallar las derivadas laterales de ; ; Derivada lateral por la izquierda:

5 S_A._LECV Derivada lateral por la dereca: Luego eisten las derivadas laterales en y además eiste la derivada en, y es.

6 S_A._LECV Derivada de las unciones elementales. a ; a cte a e ln log m a m ln a ln ln a ; sen cos cos sen tg sec cot g cos ec sec sectg cos ec cos eccot g a m e

7 S_A._LECV Algebra de derivadas. A Derivada de una suma y dierencia: Sean entonces y g unciones deinidas en, derivables a,b, g es derivable en a,b y se cumple que: g g g g Ejemplos: Sea, entonces Sea ln sen ln cos, entonces Sea log, entonces 4 ln B Derivada del producto de una constante por una unción: Si : a,b, es derivable a,b y C, entonces C es también derivable en a,b. C C 7

8 S_A._LECV Ejemplos: 4 ; entonces ln ; entonces C Derivada de un producto de unciones: Si, g : a, b son unciones derivables a, b g es derivable en a, b y se tiene: entonces g g g Ejemplos: Sea Sea e e e e e Sea ln ln ln ln 8

9 S_A._LECV D Derivada de un cuociente de unciones: Si, g : a, b son unciones derivables a, b g, entonces eiste g y es derivable en a, b y se tiene:,con g g g g Ejemplos: Sea tal que, entonces: Sea, con entonces: 9

10 S_A._LECV Regla de la cadena. Sean : a, b y g : c, d, derivables en a, b y c, d respectivamente, entonces se tiene og a, b derivable en a, b. Se deine la derivada por: go g : por lo que es Ejemplos: luego es una composición de unciones, Sea go g. Luego se tiene que y g. Sea, entonces: g y Sea sen, entonces: g y sen 4 sen cos 4 Sea ln sen, entonces: g ; ln ; k sen lnsen cos sen

11 S_A._LECV Sea e, entonces: e y g e e e e e Sea ln, entonces: ; ln g Interpretación geométrica de la derivada. La noción de derivada permite allar soluciones a problemas, como determinar la ecuación de las rectas tangentes a una curva dada, determinar valores etremos máimos ó mínimos de la unción, encontrar utilidades marginales, etc. La derivada epresa la variación de las unciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones como las que recién mencionamos. La pendiente es la epresión de la deinición de derivada, por lo tanto: y m

12 S_A._LECV Ejemplos: Sí y y Sí y y y EN X= y EN X=- Ecuación de la recta tangente a una curva. La recta tangente a una curva, es aquella recta que pasa por un punto de una curva y tiene por pendiente la derivada de la curva en este punto. Ejemplos: Dada la unción 8, determine la recta tangente en Si,entonces Su pendiente en dico punto es y luego el punto es, 4 m 8 Y la ecuación punto pendiente está dada por: y y 8 y 8 y 8 y 8 es la ecuación de la recta tangente a y en.

13 S_A._LECV Sea y determine la recta tangente a. Si, entonces y por lo tanto el punto es, La pendiente en dico punto y y m. Finalmente la ecuación de la recta tangente es: y y m y y Ecuación de la recta normal a una curva. La recta normal a una curva es aquella recta, que pasa por un punto de la curva y es perpendicular a la recta tangente. Ejemplos: Determine la ecuación de la recta normal a la unción 8, en. Sí y, Luego teníamos que y 8, pero como tiene que ser perpendicular a la recta tangente, la nueva pendiente será Finalmente la ecuación de la recta normal será: y y m y 8 m. 8

14 S_A._LECV y 8 4 recta normal a y en es la ecuación de la Determinemos la ecuación de la recta normal a y en. Sí, entonces y, Como y, la pendiente de la reta normal es m Por lo tanto la ecuación de la recta normal está dada por: y y m y y 4 Finalmente podemos generalizar que la recta tangente y normal a la unción en, está dada por: y Recta tangente: y y Recta normal: y y donde Aplicación a la economía. Las derivadas son un ecelente elemento en economía, para la toma de decisiones, optimización de resultados. A Función oerta y demanda. Sea F una unción que depende de n de unidades de un bien e y precio de cada unidad, entonces: y F tal que Sí entonces, F :unción oerta 4

15 S_A._LECV Sí entonces, F :unción demanda Al punto de intersección de ambas unciones se llamará punto de equilibrio. Ejemplo: Sean F 4 y F determine cuál es la oerta y demanda; además determine su punto de equilibrio. F 4 F 4 unción demanda. F F unción oerta. Igualando las unciones 4 luego y 8 el punto de equilibrio es,8 B Función costo Sea el número de unidades de un bien. Se deinirá como costo total a C. A partir de este concepto podemos deinir: Costo promedio: Costo marginal: C p C m C C y dy d C Costo promedio marginal: C pm Ejemplo: Dada la unción costo promedio, marginal y promedio marginal C C 4 determine los costos

16 S_A._LECV Costo promedio: 4 C p 4 Costo marginal: 4 4 C m Costo promedio marginal: C pm 4 4 C pm 4 4 Entonces podríamos deinir la variación de una cantidad con respecto a la otra, mediante los conceptos promedio y marginal. C Función de ingreso Deinamos una unción demanda por y ; donde y es el precio por unidad ; entonces deiniremos la unción ingreso por: R y a partir de ésta, podemos deinir: R Ingreso promedio: R p Ingreso marginal: R m R Ejemplo: Dada la unción demanda y determine las unciones ingreso promedio y marginal. R Ingreso: Ingreso promedio: R R p Ingreso marginal: R m

17 S_A._LECV D Función utilidad La unción utilidad está deinida por: ingreso menos costo; es decir: U R C U Utilidad promedio: U p Utilidad marginal: U m U Ejemplo: Dada la unción costo de producir artículos C 4 y la demanda está dada por y determinar: - Utilidad de producir artículos - Utilidad marginal Determinar la unción utilidad U R C U y C U U 4 4 U 7 4 Utilidad de producir artículos: U 7 4 U 4 U 8 Por lo tanto la utilidad de producir artículos es de 8 unidades monetarias. Utilidad marginal: U 7 7

18 S_A._LECV Ejercicios Propuestos I. Dadas las siguientes unciones oerta y demanda. Identiíquelas y II. a b determine el punto de equilibrio. F F 4 F F c d 7 8 F 8 7 F 9 F 7 F Las utilidades de una empresa están modeladas por: U 9, con epresado en años. Determine cuantos años deberán transcurrir para que la utilidad marginal sea nula. Producir p unidades de un artículo en una empresa, tiene un costo en miles de pesos Cp = p p + 4p +. Si el ingreso total está dado por: Ip = 4p p, determine: a Costo promedio b Ingreso marginal c Cuándo el ingreso promedio es nulo? En una ábrica se determinó que el costo semanal de producir artículos está dado por C = Si cada artículo producido se vende en $8, Qué producción semanal rendirá utilidad marginal? 4 Suponga que el costo total, en dólares, de abricación de q unidades de determinado artículo es Cq = q + q + 48 En qué nivel de producción el costo medio por unidad es igual al costo marginal? Determine el ingreso marginal en =, para la unción ingreso. I ln 8

19 S_A._LECV La unción de costo de producción de cierto artículo está eplicada por: C 4.Determine el costo marginal cuando se producen 4 artículos. 7 En una industria de rubro metalúrgico se a establecido que la relación entre el precio y la demanda de un artículo es p = + en miles de dólares y, la demanda en miles de unidades del artículo. Si el costo de producir por artículos es C = + + miles de dólares. Determine la demanda para que la utilidad sea mayor que mil dólares. 8 Los costo de producir y vender q cantidades de lámparas está dado por: q C q q 4 determine: 4 a costo marginal b costo promedio c Cuándo el costo marginal es igual al costo promedio? Derivadas de Orden Superior. La derivada de una unción es también una unción, por lo tanto puede a su vez derivarse, obteniéndose así la llamada segunda derivada, está al derivarse generará la tercera y así sucesivamente. A partir de la segunda derivada se le llama derivada de orden superior. Sea unción original primera derivada Ejemplo: segunda derivada tercera derivada. Sea primera derivada 8 segunda derivada tercera derivada. 9

20 S_A._LECV Ejercicios: I.- Hallar las terceras derivadas de las siguientes unciones: ln 4.. e 7 e. 7. II.- a Demuestre que la unción y y y ln y ln satisace la igualdad b Demuestre que la unción y e sen satisace la ecuación y 4y 9y c Veriique que si e satisace la ecuación 4 d Si y e demuestre que: y 4y 4y Aplicaciones de la Derivada Puntos Críticos Si está en el dominio de ; si cumple ; o si no eiste; entonces se tiene que ay un punto crítico en,.

21 S_A._LECV Si entonces, es un máimo relativo. Si entonces, es un mínimo relativo. Ejemplo: Sea primera derivada o, y, Determinando la segunda derivada: Si evaluamos en la segunda derivada tenemos:, es un mínimo relativo, Funciones Crecientes es un máimo relativo Si se trata de encontrar el intervalo de crecimiento se debe cumplir : / y para el intervalo donde la unción es decreciente está dado por: / Ejemplo: Sea primera derivada Los puntos críticos ya calculados son: -,. Luego si evaluamos cualquier valor menor que en la primera derivada nos da como resultado: 9, por lo tanto, es creciente.

22 S_A._LECV Para cualquier valor entre y, se tiene:, por lo tanto, es decreciente. Y por último, par cualquier valor mayor que : 9, es creciente., por lo tanto Concavidad y Conveidad El teorema relacionado con las concavidades dice: Si: es un Intervalo, entonces la curva es convea Si: es un Intervalo, entonces la curva es cóncava El punto al cuál la gráica pasa de cóncava a convea es llamado punto de inleión. Ejemplo: Bosqueje la gráica de la siguiente unción 9 Desarrollo: Derivadas 9 primera derivada segunda derivada Puntos Críticos: 9,,7 y y, y, puntos críti cos Clasiicación de puntos Críticos: Máimo Mínimo 4 Puntos de Inleión, punto de in leión

23 S_A._LECV Intervalos de : crecimiento : decrecimiento Conveidad : Concavidad :,, :,,, Gráico: y = 7 Ejercicios: I.- Determine los puntos máimos, y mínimos locales intervalos donde es creciente y decreciente y concavidades de cada una de las siguientes unciones. Graique. =. = = = -+

24 S_A._LECV. = - 4. y 9 7. y 4 8. y 4 9. y 4 4. y. y. y Aplicación a la Economía:.- Un abricante puede producir radios a un costo de US$ la unidad y estima que si se venden a dólares cada uno, los consumidores comprarán - radios por día. A qué precio debe vender los radios el abricante para maimizar la utilidad?. Sol: US$, por radio,.- Un abricante estima que si se produce mensualmente q unidades de un determinado artículo, el costo total será Cq=.4q +q+ dólares y todas las unidades pueden venderse a un precio de pq=.4-.q dólares / unidad. Cuál es el precio óptimo correspondiente? Sol: 8.4 dólares..- Supóngase que el costo total, en dólares, de abricar q unidades de cierto artículo es Cq=q +q+48. a En qué nivel de producción es mínimo el costo medio por unidad? b En qué nivel de producción el costo medio por unidad es igual al costo marginal? c En el mismo conjunto de ejes, elaborar las gráicas de las unciones de costo medio y costo marginal Sol: a 4; b 4. 4

25 S_A._LECV q 4.- La unción Costo Total de un abricante es: C q q 4 4 donde C es el costo total de producir q unidades. Para qué nivel de producción será el Costo Promedio por unidad un mínimo? Cuál es éste mínimo?..- Hallar las Máimas Ganancias; si las demandas y los Costos Totales están dados respectivamente por: a y = ; C = + 4 Rta: b y = 4 ; C = 8 + Rta. c y = 8 ; C = + Rta.