DERIVADAS PARCIALES. Derivadas parciales de una función de dos variables. Definición. Dada una función de dos variables f: D R 2 R definida en

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1 DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales de una unción de dos variables Deinición. Dada una unción de dos variables : D R 2 R deinida en el conjunto abierto D R 2, se deine la derivada parcial de con respecto a x en el punto p=(x 0,y 0 ) de D, como el valor del siguiente límite, si existe y es inito. ( 0, 0) ( 0, 0) ( 0, 0) lim x + y x y = x y x 0 Análogamente, se deine la derivada parcial de con respecto a y en el punto p=(x 0,y 0 ) de D, como el valor del siguiente límite, si existe y es inito. ( 0, 0 ) ( 0, 0) ( 0, 0) lim x y + x y = x y y 0 Otras notaciones: z ( x0, y0) = = x( x0, y0) x x ( x, y ) 0 0 z ( x, y ) = = ( x, y ) y y ( x, y ) ; 0 0 y

2 La unción derivada parcial Si allamos las derivadas parciales de una unción de dos variables z = (x, en un punto genérico (x, de su dominio, obtenemos dos unciones de dos variables, denominadas unciones derivadas parciales. Así, ( x+, ( x, ( x, y+ ) ( x, ( xy, ) = lim ; ( xy, ) = lim x 0 y 0 z Otras notaciones: ( x, = z x = ( x, = D x (x, = x x x z ( x, = z y = ( x, = D y (x, = y y y Ejemplo 15 16

3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Ejemplo 1. Determinar la pendiente a la supericie (x, = x 3 +2y+8 en el punto P(1,2) en la dirección del eje X Ejemplo2 La temperatura de una lámina de metal en el punto (x, esta dada por: T(x, =10(7 x + y 2 ) 2, donde T se mide en ºC y x e y en centímetros. Determine la rapidez de cambio de la temperatura el punto (1,2) en la dirección del eje X, y en el eje Y. Desde el punto geométrico, la unción g(x) = (x,y 0 ) representa a la curva que se obtiene mediante la intersección de la supericie z = (x, con el plano y = y 0. ( Vea a igura adjunta) La derivada parcial de la unción, respecto de la variable x, en el punto p representa a la tangente a la curva g(x)=(x,y 0 ) en el punto P de la gráica, es decir, la inclinación de la supericie en la dirección del eje x. Desde el punto geométrico, la unción g(x) = (x 0, representa a la curva que se obtiene mediante la intersección de la supericie z = (x, con el plano x = x 0. ( Vea a igura adjunta) La derivada parcial de la unción, respecto de la variable y, en el punto p representa a la tangente a la curva g(x)=(x 0, en el punto P de la gráica, es decir, la inclinación de la supericie en la dirección del eje y

4 Derivadas parciales de unciones de tres o más variables Las derivadas parciales también se puede deinir para unciones de tres o más variables. Por ejemplo, si es una unción de tres variables x, y, z, entonces su derivada parcial respecto a x, se deine como: x y z x y z x y z lim ( +,, ) (,, ) x (,, ) =, siempre que exista el 0 límite. En general, si u = (x 1, x 2,...,x n ), entonces su derivada parcial con respecto a la k-ésima variable x k es: u (x, = xk lim 0 exista. Otras notaciones:,x k- 1,x k +,xk+ 1,,x n) (x 1,x,,x k,,x n), siempre que 1 2 x k (p), D k (p), x ( p), k k ( p) DIFERENCIABILIDAD Sea : D n, deinida en un conjunto abierto D de n. Se dice que es dierenciable en el punto p 0 D si: (p 0 + ) = (p 0 )+ 1 ( p 0 ) + 2 ( p 0 ) + + n ( p 0 ) + r(), x 1 x 2 x n r() donde: = ( 1, 2,, n ) ; lim =0 0 Para n=2: es dierenciable en p =(x 0, y 0 ) D si: (x 0 + 1, y ) = (x 0, y 0 )+ 1 (x 0, y 0 ) + 2 ( x 0, y 0 ) + r( 1, 2 ) x 1 x 2 r( 1, 2) r( 1, 2) tal que: lim = lim ( 1, 2) (0,0) ( ( 1, 2) (0,0) 2 2 1, 2) = Ejemplo Analizar la dierenciabilidad de la unción (x, = 2 2 y x + en el punto (0,0) 19 20

5 Sea : D n, deinida en un conjunto abierto D de n. Se dice que es dierenciable en D, si es dierenciable en cada uno de los puntos x o D. PROPIEDAD 1 Si la unción : D n, deinida en un conjunto abierto D de n, es dierenciable en el punto p 0 D, entonces, es continua en p 0 PROPIEDAD 2 Si la unción : D n, deinida en un conjunto abierto D de n. Si no es continua en p 0, entonces, no es dierenciable en el punto p 0 7 x+ y si ( x, y, z) (1,2,3) Ejemplo: Si (x,y,z) =, determine si es 8.99 si ( x, y, z) = (1, 2,3) dierenciable en (1,2,3) PROPIEDAD 3 Sea : D n, una unción deinida en un conjunto abierto D de n Si las unciones (derivadas parciales): x : D n, i =1,2,...,n; i D D, son continuas en el punto p 0 D, entonces, es dierenciable en p 0 Ejemplo: Analizar la dierenciabilidad de la unción (x, = cos(x-y 2 ) 21