Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

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1 Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad UCR ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Pro. M.Sc. Krscia Daviana Ramírez Benavides

2 Variable Aleatoria Una variable aleatoria es una unción que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral. Se utiliza una letra maúscula, por ejemplo X, para denotar una variable aleatoria, su correspondiente minúscula, en este caso, para denotar a cada uno de sus valores. Cada valor de X representa un evento que es un subconjunto del espacio muestral para el eperimento dado. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

3 Variable Aleatoria (cont.) Ejemplo: Se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una urna que contiene cuatro bolas rojas tres negras. Los posibles resultados los valores de la variable aleatoria X, donde X es el número de bolas rojas, son: Espacio Muestral RR RN NR NN UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

4 Variable Aleatoria (cont.) Si un espacio muestral contiene un número inito de posibilidades, o una serie interminable con tantos elementos como números enteros eisten, se llama espacio muestral discreto. Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Si un espacio muestral contiene un número ininito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de línea, se llama espacio muestral continuo. Una variable aleatoria se llama variable aleatoria continua si puede tomar valores en una escala continua. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4

5 Variable Aleatoria (cont.) En la maor parte de los problemas prácticos, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, como todos los posibles pesos, alturas, temperaturas, distancias o periodos de vida. Mientras que las variables aleatorias discretas representan datos contados, como el número de artículos deectuosos en una muestra de k artículos o el número de accidentes de carretera por año en un país. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

6 Distribuciones Discretas de Probabilidad El conjunto de pares ordenados (, ()) es una distribución de probabilidad o unción de masa de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado posible,... P ( ) ( ) ( X ) ( ) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6

7 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 7 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) Ejemplo #: Ha tres computadoras deectuosas de un conjunto de ocho similares en una tienda. Si una escuela hace una compra al azar de dos de estas computadoras, cuál es la distribución de probabilidad para el número de deectuosas? Sea X una variable aleatoria cuos valores de son la cantidad posible de computadoras deectuosas que compra la escuela. Entonces puede ser cualquiera de los números,. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X P X P X P

8 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) Ejemplo #: Si una agencia de autos vende 5% de su inventario de cierto vehículo etranjero equipado con bolsas de aire, encontrar una órmula para la distribución de probabilidad del número de autos con bolsas de aire entre los siguientes cuatro vehículos que venda la agencia. Sea X una variable aleatoria cuos valores de son la cantidad posible de los cuatro autos vendidos que tienen bolsa de aire. Entonces puede ser cualquiera de los números,,, ( ) P( X ) para,,,, UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística ( ) Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 8

9 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) Ha muchos problemas en donde se desea calcular la probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria X sea menor o igual que algún número real. La distribución acumulada o unción de distribución F() de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad () es F Como consecuencia ( ) P( X ) ( t) < < t ( ) F( ) F( ) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 9

10 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) Ejemplo: Para el ejemplo # anterior, se calcula las distribuciones acumuladas. F F F F F ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad F ( ) < < < < < 4 4

11 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) Es útil ver de orma gráica una distribución de probabilidad. Los puntos (, ()) se pueden graicar mediante un gráico de barras. El gráico permite observar de orma ácil qué valores de X tienen más probabilidad de ocurrencia. () 5/6 4/6 /6 /6 /6 /6 9/6 8/6 7/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 4 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

12 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) Los puntos (, ()) se pueden graicar mediante un gráico llamado histograma de probabilidad. Este se utiliza para las distribuciones de probabilidad de v.a. continuas, a que el ancho de los rectángulos representan intervalos esto áreas. () 5/6 4/6 /6 /6 /6 /6 9/6 8/6 7/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 4 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

13 Distribuciones Discretas de Probabilidad (cont.) También es útil ver de orma gráica una distribución acumulada. Los puntos (, F()) se pueden graicar mediante un diagrama de recuencias acumuladas. 5/6 4/6 /6 /6 /6 /6 9/6 8/6 7/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 F() 4 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

14 Distribuciones Continuas de Probabilidad Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad cero de tomar eactamente cualquiera de sus valores. Por lo cual, su distribución de probabilidad no se puede dar en orma tabular, pero se puede establecer como una órmula. En este tipo de variables se trata con un intervalo en lugar de un valor puntual de nuestra variable aleatoria. Se trata el cálculo de probabilidades para varios intervalos de variables aleatorias continuas como P(a < X < b), P(X > a), etc. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4

15 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) Cuando X es continua, se puede notar que P ( a < X b) P( a < X < b) P( X b) P( a < X < b) No importa si incluimos o no un etremo del intervalo. Esto no es cierto cuando X es discreta. La órmula que se utiliza para una variable aleatoria continua, será unción de los valores numéricos de la variable X, como tal, se representará mediante la notación () se le llama unción de densidad de probabilidad, o simplemente unción de densidad de X. Se utilizan áreas para representar probabilidades son valores numéricos positivos, la unción de densidad debe estar completamente por arriba del eje. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

16 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) () a ( a < X b) P < b UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6

17 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) La unción () es una unción de densidad de probabilidad (dp) para la variable aleatoria continua X, deinida en el conjunto de números reales R, si... P ( ) ( ) R d b ( a < X < b) ( ) a d UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 7

18 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) Ejemplo: El error en la temperatura de reacción, en ºC, para un eperimento de laboratorio controlado es una variable aleatoria continua X que tiene dp ( ) < Veriicar la condición de la deinición encontrar P( < X ). < otro caso UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 8

19 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 9 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) Ejemplo: Eperimento de laboratorio controlado es una variable aleatoria continua X. Veriicar la condición de la deinición encontrar P( < X ). ( ) ( ) < d X P d d

20 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) La distribución acumulada de probabilidad F() de una variable aleatoria continua X con dp () es F ( ) P( X ) ( t) dt < < Como consecuencia si eiste la derivada P ( a < X < b) F( b) F( a) df ( ) ( ) d UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

21 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) Ejemplo: Para la dp del ejemplo anterior, encontrar F(), utilizarla para evaluar P( < X ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < < < F F X P F t dt t dt t F

22 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) Los puntos (, ()) se pueden graicar mediante un gráico llamado histograma de probabilidad. El ancho de los rectángulos representan intervalos esto áreas. () / / / 9/ 8/ 7/ 6/ 5/ 4/ / / - UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

23 Distribuciones Continuas de Probabilidad (cont.) También es útil ver de orma gráica una distribución acumulada. Los puntos (, F()) se pueden graicar mediante un diagrama de recuencias acumuladas. F() 8/9 7/9 6/9 5/9 4/9 /9 /9 /9 - UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

24 Distribuciones de Probabilidad Otro cálculos de probabilidad: P P ( X ) P( X < ) ( X > ) P( X ) En el caso continuo no importa si incluimos o no un etremo del intervalo. En el caso discreto sí importa si incluimos o no un etremo del intervalo. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4

25 Distribuciones de Probabilidad Conjunta Hasta el momento se ha visto el estudio de variables aleatorias sus distribuciones de probabilidad que se restringe a espacios muestrales unidimensionales, en los que se registra los resultados de un eperimento como valores que toma una sola variable aleatoria. Habrá situaciones, sin embargo, donde se puede encontrar que es deseable registrar los resultados simultáneos de diversas variables aleatorias. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

26 La unción (,) es una distribución de probabilidad conjunta o unción de masa de probabilidad de las variables aleatorias discretas X Y si... P (, ) (, ) (, ) ( X, Y ) (, ) Para cualquier región A en el plano, P[(X,Y) (,)]. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6

27 Ejemplo: Se seleccionan al azar dos repuestos para un bolígrao de una caja que contiene tres repuestos azules, dos rojos tres verdes. Si X es el número de repuestos azules Y es el número de repuestos rojos que se seleccionan, encontrar la unción de probabilidad conjunta (,) P[(X,Y) A], donde A es la región {(,) }. El número total de ormas posibles de seleccionar dos repuestos de ocho es C(8,) 8. Los posibles pares de valores (,) son: (,), (,), (,), (,), (,) (,). El valor (,) corresponde a seleccionar al azar azules, rojos verdes; o sea, C(,)C(,)C(,). Entonces, (,) representa la probabilidad de seleccionar cero azules rojos, dos verdes; o sea, (,) /8. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 7

28 (,) Totales por Fila /8 9/8 /8 5/8 6/8 6/8 - /8 /8 - - /8 Totales por Columna /8 5/8 /8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 8

29 Ejemplo: Se seleccionan al azar dos repuestos para un bolígrao de una caja que contiene tres repuestos azules, dos rojos tres verdes. Si X es el número de repuestos azules Y es el número de repuestos rojos que se seleccionan, encontrar la unción de probabilidad conjunta (,) P[(X,Y) A], donde A es la región {(,) }. La probabilidad conjunta, entonces, se puede representar mediante la órmula:,, (, ),, 8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 9

30 Ejemplo: Se seleccionan al azar dos repuestos para un bolígrao de una caja que contiene tres repuestos azules, dos rojos tres verdes. Si X es el número de repuestos azules Y es el número de repuestos rojos que se seleccionan, encontrar la unción de probabilidad conjunta (,) P[(X,Y) A], donde A es la región {(,) }. El cálculo de P[(X,Y) A] se realiza de la siguiente manera: P P [( X, Y ) A] [( X, Y ) A] P( X Y (,) (,) (,) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad ) 9 8

31 La unción (,) es una unción de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas X Y si.,,.. P ( ) ( ) (, ) dd [( X, Y ) A] (, ) dd para cualquier región A en el plano. A UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

32 Ejemplo: Una ábrica de dulces distribue cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos nueces, cubiertas de con chocolate claro oscuro. Para una caja seleccionada al azar, sean X Y, respectivamente, las proporciones de chocolates claro oscuro que son cremas, suponga que la unción de densidad conjunta es ( ), (, ) 5 otro caso Veriicar la condición de la deinición encontrar P[(X,Y) A], donde A está la región {(,) < < ½, ¼ < < ½}. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

33 (, ) dd ( ) (, ) dd d 5 dd d UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

34 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4 Distribuciones de Probabilidad Conjunta (cont.) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] , ,, < < < < A Y X P d d dd Y X P A Y X P

35 Las distribuciones marginales de X sola Y sola son: Para el caso discreto, g() h() son las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias X Y. ( ) g( ) (, ) ( ) h( ) (, ) Para el caso continuo, g() h() son las unciones de densidad de las variables aleatorias X Y ( ) g( ) (, ) d ( ) h( ) (, ) d UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

36 Ejemplo #: Obtener las distribuciones marginales de X sola Y sola del ejemplo de la distribución conjunta de las variables discretas. P( X ) ( ) g( ) (, ) (,) (,) (,) P P P P ( X ) ( ) g( ) ( X ) ( ) g( ) (, ) (,) (, ) (, ) ( X ) ( ) g( ) ( X ) ( ) g( ) (, ) (,) (,) (,) P( X ) ( ) g( ) 8 8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

37 Ejemplo #: Obtener las distribuciones marginales de X sola Y sola del ejemplo de la distribución conjunta de las variables discretas. P( Y ) ( ) h( ) (,) (,) (,) (,) ( ) ( ) h( ) P Y ( ) ( ) h( ) (,) (,) (, ) (,) P Y ( ) ( ) h( ) P Y ( ) ( ) h( ) (,) (,) (, ) (,) P Y P( Y ) ( ) h( ) 8 8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

38 (,) Totales por Fila /8 9/8 /8 5/8 6/8 6/8 - /8 /8 - - /8 Totales por Columna /8 5/8 /8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 8

39 Se puede observar que los resultados de las distribuciones marginales corresponden a los totales de las columnas ilas respectivos de los valores (,). Y la suma individual de los valores de g() h() dan, cumpliendo la deinición de distribución de probabilidad. g() 5/4 5/8 /8 h() 5/8 /7 /8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 9

40 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4 Distribuciones de Probabilidad Conjunta (cont.) Ejemplo #: Obtener las distribuciones marginales de X sola Y sola del ejemplo de la distribución conjunta de las variables continuas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , g d d g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , h d d h

41 Ejemplo #: Obtener las distribuciones marginales de X sola Y sola del ejemplo de la distribución conjunta de las variables continuas. 4 g( ) 5 otro caso h ( ) 6 5 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4 otro caso

42 Se puede observar que las distribuciones marginales g() h() son distribuciones de probabilidades de las variables individuales X Y, cumpliendo la deinición de distribución de probabilidad (dp). P P g ( ) d (, ) dd ( a < X < b) P( a < X < b, < Y < ) b b ( a < X < b) (, ) dd g( )d a a UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4

43 Se puede observar que las distribuciones marginales g() h() son distribuciones de probabilidades de las variables individuales X Y, cumpliendo la deinición de distribución de probabilidad (dp). P P h ( ) d (, ) dd ( a < Y < b) P( < X <, a < Y < b) b b ( a < Y < b) (, ) dd h( )d a a UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 4

44 Sean X Y dos variables aleatorias, discretas o continuas. La distribución de probabilidad condicional de la variable aleatoria Y, dado que X, es: ( ) (, ) ( ), g g ( ) > La distribución de probabilidad condicional de la variable aleatoria X, dado que Y, es: ( ) (, ) ( ), h h ( ) > UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 44

45 Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X caiga entre a b cuando se sabe que la variable aleatoria discreta Y, se evalúa: P ( a < X < by ) ( ) Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria discreta Y caiga entre a b cuando se sabe que la variable aleatoria discreta X, se evalúa: P ( a < Y < b X ) ( ) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 45

46 Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria continua X caiga entre a b cuando se sabe que la variable aleatoria continua Y, se evalúa: P ( a < X < by ) ( )d Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria continua Y caiga entre a b cuando se sabe que la variable aleatoria continua X, se evalúa: P b a ( a < Y < b X ) ( )d b a UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 46

47 Ejemplo #: Obtener la distribución condicional de X, dado que Y, utilizarla para determinar P(X Y ), del ejemplo de la distribución conjunta de las variables discretas. Se debe encontrar ( ), donde, por lo tanto se debe encontrar primero h(): h ( ) ( ) (,) (,) ( ) 6 8 (,) h 7 7 (,),, UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 47

48 (,) Totales por Fila /8 9/8 /8 5/8 6/8 6/8 - /8 /8 - - /8 Totales por Columna /8 5/8 /8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 48

49 g() 5/4 5/8 /8 h() 5/8 /7 /8 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 49

50 ( ) h (,) ( ) ( ) (,) ( ) (, ) (,) 7 ( ) (,) 7 (,) ,, UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

51 Ejemplo #: La distribución condicional de X, dado que Y es: ( ) / / UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

52 Ejemplo #: La P(X Y ), utilizando la distribución condicional de X, dado que Y, es: ( ) ( ) P X Y Por lo tanto, si sabe que uno de los repuestos seleccionados es rojo, se tiene una probabilidad de ½ de que el otro repuesto no sea azul. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

53 Ejemplo #: La densidad conjunta para las variables aleatorias (X,Y), donde X es el cambio de temperatura unitario Y es la proporción de desplazamiento espectral que produce cierta partícula atómica es: < < < (, ) otro caso Encontrar las densidades marginales g() h(), la densidad condicional ( ). Encontrar la probabilidad de que el espectro se desplace más de la mitad de las observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a.5 de unidad. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 5

54 g h Ejemplo #: Las densidades marginales g() h(), la densidad condicional ( ) son: ( ) (, ) ( d d ) 4 ( ) (, ) d d 5 5, < <, < < ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) < < g < UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 54

55 Ejemplo #: La probabilidad de que el espectro se desplace más de la mitad de las observaciones totales, dado que la temperatura aumenta a.5 de unidad es: P Y P Y > X.5 (.5) d > X.5 ( 6 64) (.5 ) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad d

56 Sean X Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con distribución de probabilidad conjunta (,) distribuciones marginales g() h(), respectivamente. Se dice que las variables aleatorias X Y son estadísticamente independientes si sólo si (, ) g( ) h( ) para toda (,) dentro de sus rangos. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 56

57 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 57 Distribuciones de Probabilidad Conjunta (cont.) Prueba: Si ( ) no depende de, entonces ( ) g() (,) g()h(). Demostración: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h g g h h g h g h,,,

58 Prueba: Si ( ) no depende de, entonces ( ) g() (,) g()h(). Demostración: g g (, ) ( ) h( ) ( ) (, ) d ( ) h( ) ( ) ( ) h( ) h ( ) d d g( ) ( ) (, ) g( ) h( ) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 58 d

59 Ejemplo #: Mostrar que las variables aleatorias del ejemplo de la distribución conjunta de las variables discretas no son estadísticamente independientes. Se considera el punto (,). De los cálculos la tabla anteriores se encuentra que las tres probabilidades (,), g() h() son (,) g ( ) (, ) h ( ) (,) (,) g( ) h( ) UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad

60 Ejemplo #: La densidad conjunta para las variables aleatorias (X,Y) es: ( ) < <, < < (, ) 4 otro caso Encontrar las densidades marginales g() h(), la densidad condicional ( ). Demostrar que son estadísticamente independientes. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6

61 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6 Distribuciones de Probabilidad Conjunta (cont.) Ejemplo #: Las densidades marginales g() h(), la densidad condicional ( ) son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 8 8 4,, 4 4 4, < < < < d d h d d g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4, < < h

62 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6 Distribuciones de Probabilidad Conjunta (cont.) Ejemplo #: Las variables aleatorias X Y son estadísticamente independientes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4, h g

63 Todas las deiniciones anteriores respecto a dos variables aleatorias se pueden generalizar al caso de n variables aleatorias. Sea (,,, n ) la unción de probabilidad conjunta de las variables aleatorias,,, n. La distribución marginal de X, por ejemplo, es g g ( )... (,,..., ), caso discreto ( )... (,,..., ) d d... d, caso continuo n n n n UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 6

64 Y se puede obtener distribuciones marginales conjuntas como ø(, ), donde φ (, )... n... (,,..., ) (,,..., ) n n d d 4... d n caso discreto caso continuo UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 64

65 Se pueden considerar numerosas distribuciones condicionales. Por ejemplo, la distribución condicional conjunta de X, X X, dado que X 4 4, X 5 5,, X n n, se escribe como (,,,,..., ) 4 5 n (,,..., n ) (,,..., ) Donde g( 4, 5,, n ) es la distribución marginal conjunta de las variables aleatorias X 4, X 5,, X n. g 4 5 n UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 65

66 Sean X, X,, X n n variables aleatorias, discretas o continuas, con distribución de probabilidad conjunta (,,, n ) distribuciones marginales ( ), ( ),, n ( n ), respectivamente. Se dice que las variables aleatorias X, X,, X n son estadísticamente independientes mutuamente si sólo si (,..., ) ( ) ( ) ( )..., n para toda (,,, n ) dentro de sus rangos. n n UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 66

67 Ejemplo: El tiempo de vida, en años, de cierto producto alimenticio perecedero empacado en cajas de cartón es una variable aleatoria cua unción de densidad de probabilidad está dada por e > ( ) otro caso Sean X, X X los tiempos de vida para tres de estas cajas que se seleccionaron de orma independiente. Encontrar P(X <, < X <, X > ). UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 67

68 UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 68 Distribuciones de Probabilidad Conjunta (cont.) Solución: Como las cajas se seleccionan de orma independiente, se puede suponer que las variables aleatorias X, X X son estadísticamente independientes que tienen la densidad de probabilidad conjunta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > > > otro caso,,,,,, e e e e ( ) ( )( ) ( ) 76.,,,, > < < < > < < < X X X P e e e e d d d e X X X P

69 Reerencias Bibliográicas Walpole, R.E.; Mers, R.H.; Mers, S.L. & Ye, K. Probabilidad estadística para ingeniería ciencias. Octava Edición. Pearson Prentice-Hall. Méico, 7. UCR-ECCI CI-5 Probabilidad Estadística Variables Aleatorias Distribuciones de Probabilidad 69

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