{( ) ( ) ( ) ( )} 4. FUNCIONES. B y f es una función de A en B definida por y = x 2 1, = x + 3, encuentra 5 pares que pertenezcan a la

Transcripción

1 4 FUNCIONES 4 Conceptos básicos Sean A y B dos conjuntos dados, una unción de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A uno y solamente uno de B En una unción: A es el dominio de la unción B es el contradominio de la unción El conjunto de elementos de B a los que corresponde alguno de A es el rango o imagen de la unción Deinición: Una unción de A en B es un conjunto de pares ordenados (, y), donde A, y y es el elemento que le corresponde de B Además si (, y) está en la unción y (, y ) también está en la unción, entonces y y EJERCICIOS Cuál de las siguientes son unciones? A {,,3, 4 } B { 5 6, 7,,8, 9, 0 }, 5,, 5, 3, 5, 4, 5 a) a {( ) ( ) ( ) ( )} b) b {(, 3 ), (, 4 ), ( 3, 5 ), ( 4, 6 )} c) {( 0, ), (, 3 ), (, 5 ), ( 3, 7 ),( 4, 9 ), ( 5, ) } c Si es la unción {(, 4 ), ( 0, ), (, 4 ), ( 3/, / 3 ),(, )} ( ), ( ), (3/ ), encuéntrese 3 Sea ) + (, encuentre ( / ), (c), ( + y), ( ) + ( y), ( ( )) B y es una unción de A en B deinida por y, cuáles son las parejas que integran a? 4 Si A {,,3 } y { 0,,, K, 9 } 5 Sea la unción t : R R deinida por t ( ) + 3, encuentra 5 pares que pertenezcan a la unción y 5 pares que no pertenezcan a ella 6 Escribe la epresión algebraica que deine cada una de las siguientes unciones y determínese el rango de dichas unciones a) A {,0,8 6,,4,,0 }, b Z {(, 7 ), ( 0, 5 ), ( 8, 3 ), ( 6, ),( 4, ), (, 3 ), ( 0, 5 ) } b) g : Z Z g K, 4,, 3, 9,, 6,, 3, 0, 0,, 3,, 6, 3, 9, 4, { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), K } 7 Sea h : N R deinida por y, es h una unción de N en R?

2 8 Es la siguiente una unción de Z en Z?, y / y {( ) } 9 Sea : {(, y) / + y }, es una unción de [, ] en R? 0 Determina cuales de las siguientes relaciones son unciones a) b) c) y y y d) e) y y Las unciones podemos clasiicarlas en inyectivas, suprayectivas y biyectivas Deinición: Una unción : X Y se dice que es uno a uno (-) ó inyectiva si X y Y, ( ) ( y), cuando y Es decir, si ( ) ( y) y Deinición: Una unción : X Y se dice que es sobre o suprayectiva si y solo si y Y X ( ) y Deinición: Una unción : X Y se dice que es biyectiva si y solo si es uno a uno y sobre

3 Formas de determinar si una unción es inyectiva Forma gráica: La prueba de la línea horizontal Si al trazar cualquier línea horizontal paralela al eje, ésta corta a la gráica de la unción en un solo punto entonces la unción es inyectiva Veamos los siguientes ejemplos: Figura Figura En la igura al trazar la línea punteada vemos que corta a la gráica de la unción en puntos, por lo tanto la unción no es inyectiva En la igura la línea punteada corta a la gráica de la unción en un solo punto, por lo tanto la unción es inyectiva Forma algebraica: Considere : R R ( ) Es () inyectiva? Solución: Sean, tales que ( ) ( ) Por lo tanto () es inyectiva También podemos hacernos la pregunta, Es () sobre? y + Sea y R y y + y + y + Por lo tanto R, y + y, es decir, R, ( ) y Por lo tanto () es sobre Conclusión: Como () es inyectiva y sobre () es biyectiva

4 EJERCICIOS Cuáles de las siguientes unciones son inyectivas? Cuáles son sobre? Cuáles son biyectivas? a) ( ) + b) ( ) 4 c) ( ) d) ( ) 5 3 e) ( ) / + ) ( ) 4 Gráica de una unción Deinición: Si es una unción, entonces la gráica de es el conjunto de todos los puntos (, y) del plano cartesiano ( R ) para los cuales (, y) es un par ordenado de De esta deinición se deduce que la gráica de una unción es la misma que la gráica de la ecuación y () Recuerda que en una unción eiste un solo valor de la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente () del dominio de la unción En términos geométricos esto signiica que: Una recta vertical intersecta la gráica de una unción a lo más en un punto EJERCICIOS Determina si las siguientes gráicas representan a una unción 43Funciones especiales y sus gráicas I FUNCIONES ALGEBRAICAS ( Aquellas que pueden construirse usando operaciones algebraicas a partir de polinomios ) FUNCIÓN DOMINIO RANGO GRÁFICA Constante : A B ( a) b a A

5 ( ) y R (, ) { } y Polinomial n : A B ( ) a + a + + a n, a, a,, a R 0 n 0 K n Función lineal Función polinomial de grado Ejemplo: ( ) + y + R (, R (, y + y Función identidad ( ) y R (, R (, Función cuadrática Función polinomial de grado Ejemplo: ( ) y ( R, [ 0, ) y

6 3 y Función cúbica Función polinomial de grado 3 3 Ejemplo: ( ) 3 y R (, R (, Radical : A B, ( ) n ( ) Raíz cuadrada ( ) ( ) Ejemplo: ( ) [, ] 0 [ 0, ) y y Racional ( ) : A B ( ), h( ) 0 ( ),( h ) son unciones polinomiales h( )

7 Ejemplo: ( ) y R { 0 } R { 0 } y Valor Absoluto : R R, ( ) y ( ) y ( R, [ 0, ) II Función eponencial ( ) e y e FUNCIONES TRASCENDENTES (Funciones que no son algebraicas) y e R (, ( 0,

8 Función logaritmo ( ) ln y ln ( 0, R (, y ln Funciones trigonométricas Función seno ( ) sen( ) y sen() Dominio R, Rango, [ ] ( ) π 3π / π π / π / π 3π / π Función coseno ( ) cos( ) y cos() Dominio R, Rango, [ ] ( ) π 3π / π π / π / π 3π / π

9 Función tangente ( ) tan( ) y tan() Dominio R ( n + )( π / ) Rango R, ( ) 3π / π π / π / π 3π / EJERCICIOS Determina el dominio de la unción ( ) + 9 La unción h está deinida por h ( ) Determine el dominio y el rango de h 3 3 Determina el dominio y rango de ( ) + y graica la unción 44 Eecto de los parámetros de una unción Pero Cómo graicar unciones? Una orma sería situar en el plano cartesiano varios puntos de la orma (, ( )) y luego unirlos La gráica que se orme será la gráica de la unción Sin embargo este procedimiento requiere de tiempo y suele ser impreciso Algunas unciones (no todas, claro) se podrán graicar de una manera más rápida La unción del ejemplo anterior es parecida a la unción y, solo que aumentada unidad Nota que la gráica y + es muy parecida a la gráica de y vista anteriormente, solo que desplazada unidad sobre el eje y Cuál será la gráica de y? En general, al aplicar ciertas transormaciones a la gráica de una unción dada podemos obtener las gráicas de ciertas unciones relacionadas Supóngase que c > 0 Para obtener la gráica de: y ( ) + c, se desplaza la gráica de y () una distancia de c unidades hacia arriba y ( ) c, se desplaza la gráica de y () una distancia de c unidades hacia abajo y ( c), se desplaza la gráica de y () una distancia de c unidades hacia la derecha y ( + c), se desplaza la gráica de y () una distancia de c unidades hacia la izquierda Supóngase que c > Para obtener la gráica de: y c (), alárguese la gráica de y () verticalmente un actor de c

10 y ( / c) ( ), comprímase la gráica de y () verticalmente un actor de c y (c), comprímase la gráica de y () horizontalmente un actor de c y ( / c), alárguese la gráica de y () horizontalmente un actor de c y (), reléjese la gráica de y () respecto al eje y ( ), reléjese la gráica de y () respecto al eje y EJERCICIOS Dada la gráica y, use las transormadas para graicar y, y, y, y Trace la gráica de y ln( ) 3 Clasiica las siguientes unciones 5 a) ( ) b) g ( ) tan() 9 4 c) h ( ) + + d) i( ) 3 + e) j ( ) + ) k ( ) 0 4 Relaciona las ecuaciones que a continuación se presentan con su gráica correspondiente a) y 3 + b) y 3 c) ( ) y 5 Suponga que se tiene la gráica y Escriba las ecuaciones para las gráicas que se obtienen a partir de, como se indica: a) Desplácela 3 unidades hacia arriba b) Desplácela 3 unidades hacia abajo c) Desplácela 3 unidades hacia la derecha d) Desplácela 3 unidades hacia la izquierda e) Reléjela respecto al eje ) Reléjela respecto al eje y g) Alárguela verticalmente un actor 3 h) Contráigala verticalmente un actor de 3

11 6 Dibuja la siguiente unción: ( ) + 4 < Graique sen y Cómo se relaciona la gráica de ( ) 8 Graica la unción g ( ) 9 Para las siguientes unciones determine su dominio y rango a) y 3 b) y y con la gráica de? 4 c) y + d) y 3 e) y ) y sen 4 g) y sen h) y i) y e + j) y + k) y + 3 l) y ln( +) m) y + n) y cos() o) y / p) y + q) y r) y sen( ) Operaciones con unciones Deinición: Para dos unciones y g, la composición por ( g )( ) g ( ()) g o se deine como la unción cuyo valor en está dada o donde es un elemento que está en D y tal que EJERCICIOS Si ( ), ( ) D g ( ) 4 -, encuentra las unciones +g, -g, g y /g, g deine sus dominios correspondientes Encuentra o g o h para cada inciso 3 a) ( ), g ( ), h( ) + b) ( ), g ( ), h ( ) 3 - g o y

12 F 3 Epresa las unciones de la orma o g y posteriormente halla g o a) 5 ( ) ( - 9), g( ) + 4 b) ( ), g( ) c) ( ) sen( ), g ( ) Encuentra o g, el dominio y rango de las siguientes unciones a) ( ), g ( ) b) ( ), g ( ) 3 + c) ( ) 6, g ( ) d) ( ), g ( ) e) ( ), + ( ) ln, g) ( ) i) ( ), 46 Inversa de una unción + 5 g ( ) ) ( ), g ( ) g ( ) e h) ( ) + +, g ( ) g( ) Función inversa: Si es una unción uno a uno con dominio en X y rango en Y, y g es una unción con dominio en Y y rango en X, entonces g es la unción inversa de si y solo si ( o g)( ) para toda en el dominio de g y ( g o )( ) para toda en el dominio de EJERCICIOS Veriica si las unciones siguientes son inversas entre si a) ()- y g() + b) () 3 y g() 3 c) () y g () d) ()4-8 y g() (/4) + ) () y g() 3 (-4) g) () 3- y g() - (-3) h) () + 6 y g() - 3 e) () 3-8 y g() Determina las inversas de las siguientes unciones, obtén su domino y rango y traza su gráica a) () + 3 ) ( ) b) () 4, para + c) () -3 d) () + e) ( ) 3 g) () -4 h) ()4 + i) () j) () 4, para 0