Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es la siguiente:

Transcripción

1 FUNCIÓN UNIDAD II Las magnitudes que caracterizan un enómeno dado pueden quedar completamente determinadas por los valores de otras. Estas interdependencias ueron las que dieron origen al concepto de unción porque gran parte de los enómenos que se observan en la naturaleza se pueden relacionar unos con otros a través de correspondencias. II. CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES Una unción se reiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su deinición ormal es la siguiente: Una unción es una terna constituida por:. Un conjunto A llamado dominio de la unción. Un conjunto B llamado codominio de la unción. Una regla de correspondencia que posee tres características a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio. Se denota como: : A B Rango A B Dominio Codominio El dominio de una unción es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, es decir, son todos aquellos números para los cuales la unción tiene sentido (también se conoce como campo de variación). Al elemento que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del dominio recibe el nombre de imagen. Al conjunto de todas las imágenes se le conoce como rango. Ejemplo. Sea un conjunto de siete muchachos otro conjunto sus edades respectivas en años: Al rango también se le conoce como recorrido.

2 NOMBRE EDAD Alberto 7 Clarissa 6 Diana 9 Ernesto 7 Fabiola 6 Karen 9 Manuel 5 La tabla muestra que a cada muchacho le corresponde una edad cumple con las condiciones de unción, por lo que su dominio es: { Alberto, Clarissa, Diana, Ernesto, Fabiola, Karen, Manuel } el rango es { 5,6,7,9 }. Si se denota a como un elemento en el dominio de la unción, entonces el elemento en el recorrido que asocia con, es la imagen de bajo la unción. Esto es: (Manuel) 5, (Clarissa) (Fabiola) 6, (Alberto) (Ernesto) 7 (Diana) (Karen) 9. En términos de variables, una unción también se puede deinir de la siguiente orma: Se dice que una variable es unción de otra, cuando ambas están relacionadas de orma que para cada valor de perteneciente a su campo de variación, le corresponde sólo uno de. La variable recibe el nombre de variable dependiente, mientras que es la variable independiente. Lo anterior puede epresarse simbólicamente de la siguiente orma: ( ) Esta manera de representar una unción es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita la construcción de una tabla de valores de la misma su respectiva gráica, debido a que cada pareja de, de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano. valores ( ) Por tanto, una unción puede ser presentada de múltiples maneras: una epresión matemática del tipo ( ), una tabla de valores, una gráica o incluso una rase que eprese la relación entre ambas variables. Para encontrar el dominio el rango de una unción es necesario eectuar una inspección particular que analice su comportamiento, para lo cual se recomienda: para el dominio, que esté despejada la variable dependiente para el rango que lo esté la variable independiente. A partir de esas epresiones, se eectúa un análisis que consiste básicamente en determinar los valores reales de la variable no despejada que hacen reales los valores de la variable despejada, obteniendo así el dominio el rango respectivamente. Ejemplos. Determinar el dominio el rango de las siguientes unciones: ) + 5 La unción está deinida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales: Dominio (-, ) El valor más pequeño que puede tener es cinco: Rango [5, ) No todas las unciones son de una sola variable independiente. En realidad, el concepto de unción es más general. La deinición más completa de unción es la siguiente: Una unción es una le que relaciona una o más variables independientes con otra variable dependiente de orma unívoca, es decir, que a cada conjunto de valores ormado por un valor de cada una de las variables independientes le corresponde sólo un valor de la variable dependiente. Una unción de varias variables tendría este aspecto: (,,., n ). A lo largo de este libro, sólo se analizarán unciones de una variable.

3 ) ( ) La unción está deinida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales: Dominio (-, ) El valor más pequeño que puede tener es cero: Rango [0, ) ) 9 La unción está deinida para todo valor de, eceptuando, a que la división por cero no eiste: Dominio (-, -) U (-, ) U (, ) La variable toma cualquier valor eceptuando al cero: Rango (-, 0) U (0, ) ) ( ) 5 0 La unción está deinida para todo valor de, siempre que sea maor o igual a cuatro: Dominio [, ) Para que la raíz conduzca a valores reales de ( ), debe ser positiva: Rango [0, ) 5) ( ) sen La unción seno está deinida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales: Dominio (-, ) El rango de la unción seno está deinida está deinida para dos, este rango se duplica: Rango [-, ], pero como tiene una amplitud de II. FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una unción es inectiva cuando a dierentes elementos del dominio le corresponden distintos elementos del codominio, recíprocamente, a distintos elementos del codominio se le asocian dierentes elementos del dominio. También se le conoce como unción uno a uno. A B Dominio Codominio

4 Ejemplo. La unción tiene como dominio al conjunto de los números reales su rango son los números reales positivos (por tanto, eclue a todos los reales negativos al cero). Una unción es supraectiva si cualquier elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio de la unción. También se le conoce como sobreectiva. Rango B A B Dominio Codominio Ejemplo. La unción tiene como dominio al conjunto de los números reales su rango también son los números reales. Pero la unción presenta un crecimiento hasta llegar a, después un decrecimiento hasta vuelve a crecer. Por lo tanto, eiste un intervalo cuos valores del dominio tienen la misma imagen, por lo tanto no es una unción uno a uno. Una unción es biectiva si cumple con ser inectiva supraectiva. La regla de correspondencia es biunívoca. A B Dominio Codominio Ejemplo. La unción 6 tiene como dominio rango al conjunto de los números reales. Cumple con ser inectiva supraectiva. Pueden eistir unciones que no sean ni inectivas ni supraectivas, es decir, en donde la asociación no sea uno a uno además que no cumplan que el rango el codominio sean iguales, como por ejemplo:

5 A B Dominio Codominio En general, se pueden eectuar innumerables correspondencias entre dos conjuntos, sin embargo, sólo serán unciones aquellas que cumplan con las condiciones deinidas. Las que no las cumplan sólo serán relaciones. II. TIPOS DE FUNCIONES Función constante Es una unción en que siempre toma el valor k, que es una constante: Su dominio son todos los números reales. Función identidad ( ) k Es una unción donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente: Su dominio son todos los números reales. ( ) Funciones algebraicas Son las unciones que se obtienen cuando se eectúan un número inito de sumas, restas productos con las unciones constante e identidad. Su dominio son todos los números reales. Funciones polinómicas Son unciones de la orma: donde a a, a,, a 0, n n ( ) a + a + a + a + a n + 0 son números reales los eponentes son números naturales. El dominio de todas las unciones polinómicas son todos los números reales. Funciones lineales Son unciones polinómicas de la orma: 5

6 ( ) m b + La representación gráica de una unción lineal es una recta donde m representa la pendiente (grado de inclinación) b representa la ordenada al origen (cruce de la recta en el eje ). Por ser también una unción polinómica, su dominio son todos los números reales. Funciones cuadráticas Son unciones polinómicas de la orma: ( ) a + b c + donde a, b c son constantes a es dierente de cero. La representación gráica de una unción cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 o que se abre hacia abajo si a < 0. Al ser unción polinómica, su dominio son todos los números reales. Funciones racionales Una unción racional es el cociente de dos unciones polinómicas. Esto es, q es una unción racional si para todo en el dominio, dados los polinomios ( ) g ( ) q ( ) g ( ) ( ), se tiene: El dominio de una unción racional consiste de todos los números reales ecepto los ceros (o raíces) del polinomio en el denominador, a que la división por cero no está deinida. Funciones de proporcionalidad inversa Este tipo de unciones relaciona las variables a través de epresiones del tipo: k siendo k un número real cualquiera distinto de cero. La gráica de este tipo de unciones es una curva denominada hipérbola equilátera. El dominio de este tipo de unciones son todos los números reales eceptuando el cero. Funciones irracionales Son aquellas unciones algebraicas /o racionales en que interviene la operación de radicación. A in de que este tipo de unciones eistan, el dominio depende de la naturaleza de las raíces, en su caso, de los ceros del denominador. Funciones trascendentes Son aquellas unciones que no son algebraicas. Incluen las unciones trigonométricas directas, las trigonométricas inversas, las eponenciales las logarítmicas. Funciones periódicas Una unción es periódica si cumple que: 6

7 ( ) ( p) + donde p es un número real dierente de cero, llamado periodo. Funciones par e impar Una unción par es aquella que cumple con: ( ) ( ) Una unción impar es aquella que cumple con: ( ) ( ) II. ÁLGEBRA DE FUNCIONES Sean g dos unciones de con dominios A B respectivos. La suma de unciones se deine como ( g)( ) ( ) + g( ) Ejemplo. ( ) ; g ( ) + 5 ( + g)( ) ( ) + g( ) + 5 Dominio A (-, ) Dominio B (-, ) Dominio de ( ) + g( ) AI B (-, ) La resta de unciones se deine como ( g)( ) ( ) g( ) Ejemplo. ( ) ; g( ) 9 ( g)( ) ( ) g( ) 9 Dominio A [0, ) Dominio B [-, ] Dominio de ( ) g( ) AI B [0, ] El producto de unciones se deine como ( g)( ) ( ) g( ) Ejemplo. ( ) ; g( ) ( g)( ) ( ) ( ) g Dominio A (-, ) Dominio B (-, 6)U (6, ) Dominio de ( ) g( ) AI B (-, 6)U (6, ) + su dominio es AI B. su dominio es AI B. su dominio es AI B. 7

8 g El cociente de unciones se deine como ( ) ( ) 0 g. Ejemplo. ( ) ; g ( ) 9 g ( ) g ( ) ( ) ( ) 9 Dominio A (-, )U (, ) Dominio B (-, ) Dominio de g ( ) ( ) 8 9 AI B (-, 0) U (0, ) U (, ) g ( ) ( ) La composición de unciones se deine como ( g)( ) ( g( ) ) todos los valores de en el dominio de g tales que ( ) Ejemplos. ) ( ) 8 ; g ( ) Se sustitue por g ( ) en : ( o g)( ) g( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 Dominio A [8, ) Dominio B (-, ) Dominio de ( ) o g( ) [0, ) 5 ) ( ) ; g ( ) Se sustitue por ( ) ( o g)( ) g( ) g en : ( ) ( ) ( ) 5 5 Dominio A (-, 5) U (5, ) Dominio B (-, ) Dominio de ( ) o g( ) (-, -5) U (-5, 5) U (5, ) su dominio es AI B, siempre que o su dominio es el conjunto de g esté en el dominio de. Es importante señalar que o g g o. En el primer caso, primero se aplica la unción g después. En el segundo caso, primero se aplica la unción después g. Ejemplo. Dadas ( ) g ( ) +, obtener o g g o. Se sustitue por ( ) a) ( o g)( ) g( ) g en : ( ) ( + ) + 8

9 Dominio A (-, ] Dominio B [-, ) g [-, -] Dominio de ( ( )) b) ( g o )( ) g ( ) Se sustitue por ( ) ( ) ( ) + en g : Dominio A (-, ] Dominio B [-, ) g (-, ] Dominio de ( ( )) o g g o Ejemplos. Obtener o g, D o, g g o, D o si: g ) g + Solución. D, U, ( ) ( ) (, ) U ( ) D g, o g + + +, en esta unción el dominio es: ( ) pero como D o g { Dg g( ) D }, entonces: { (, ) I [(, ) U (, ) ] } (, ) U (, ) D o g go + + +, 0 U 0, en esta unción el dominio es: ( ) ( ) pero como Dgo { D ( ) Dg }, entonces: D { [(, 0) U ( 0, ) ] I [(, ) U (, ) ] } (, 0) U ( 0, ) U (, ) g o 5 ) g + Solución., D D g ( ) ( ), 5 o g + 9

10 para esta epresión el dominio es: (, ) pero como D o g Dg g( ) D { (, ) I (, ) } (, ) D o g go 5 { } +, entonces: el término cuadrático hace que la raíz siempre eista, por lo que en esta epresión el dominio es: (, ) pero como Dgo { D ( ) Dg }, entonces: D { (, ) I (, ) } (, ) g o II.5 MODELADO DE FUNCIONES Un modelo matemático se deine como una descripción desde el punto de vista de las Matemáticas de un hecho o enómeno del mundo real, cuo objetivo es entenderlo ampliamente. La maoría de las unciones describen comportamientos de enómenos o características de problemas que involucran a múltiples variables. Sin embargo, muchas veces eisten ormas de epresar todas las variables en términos de una sola a in de simpliicar su análisis. El proceso de modelado de unciones es el siguiente:. Leer claramente el problema e identiicar la unción buscada.. Hacer un dibujo que muestre las características por modelar. Anotar los datos del problema establecer las órmulas que son conocidas.. Epresar todas las variables en términos de la variable pedida a través de un manejo algebraico. 5. Epresar el comportamiento de la unción en términos de la variable pedida. Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente eacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización. Ha una gran cantidad de unciones que representan relaciones observadas en el mundo real. Los siguientes ejemplos muestran algunos casos típicos de modelaciones a través de unciones. Ejemplos. ) Epresar el volumen V de un cilindro como unción del radio r si su altura es del doble de su radio. Solución. Dibujando el cilindro: V h r 0

11 El volumen de un cilindro es: V πr h _( ) La altura es el doble del radio, así que: h r _( ) π r r πr Sustituendo en () se obtiene la epresión pedida: ( ) ( ) V ) Epresar el área A de un rectángulo como unción de la base b, si se sabe que su perímetro es de 00 cm. r Solución. El perímetro de un rectángulo está dado por: P a + b _( ) Sustituendo P 00 en (): a + b 00 Como se quiere epresar en términos de b, se despeja la altura a : 00 b a + b 00 a 50 b _ A ab _ El área de un rectángulo es: ( ) Sustituendo () en () se tiene: A ( 50 b)b Por lo que la epresión buscada es: ( ) ( ) A b 50 b Perímetro 00 cm Área b a ) Se dispone de una cartulina cuadrada 0 cm de lado se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas doblando sus lados. Epresar el volumen de la caja en unción del lado del cuadrado recortado. Solución. Haciendo una igura, se tiene: 0 0 V 0 0 cm La longitud de cada lado de la caja es: El volumen de la caja es: A ( ) ( ) 0 Por lo que la epresión buscada es: A( ) ) Epresar el volumen V de agua como unción de la altura h en un instante cualquiera de un cono circular recto invertido de cm de radio de 6 cm de altura. Solución. Haciendo una igura, se tiene:

12 r cm B C V 6 cm D E h El volumen del cono es: V πr h _( ) Por la semejanza de los triángulos ODE OBC se tiene: h _( ) Despejando de (): h El volumen del cono es: V π h _( ) Sustituendo en () se obtiene: V 6 h h π h π h 6 V h π h 8 Por lo que la epresión pedida es: ( ) 5) Epresar la hipotenusa h de un triángulo con área de Solución. Dibujando el triángulo rectángulo: O h 5 cm como unción de su perímetro P. Perímetro a + b + h h Área 5 cm b El Teorema de Pitágoras establece que: h a + b _( ) El área de un triángulo está dada por: A _( ) a ab P a + b + h El perímetro P del triángulo está dado por: _( ) a + b a + ab + b a + b ab a + b Se sabe que: ( ) ( ) Comparando con () se tiene: h ( a + b) ab _( )

13 ab De (): 5 ab 50 ab 00 h a + b 00 _ 5 Sustituendo en (): ( ) ( ) De (): P h a + b ( P h) ( a + b) ( 6) h P h h P Ph h Sustituendo en (5): ( ) h P Ph P Ph + h P Ph 00 despejando h se obtiene la epresión pedida: h( P) P 00 P II.6 FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA Una unción está epresada en orma eplícita si una de las variables está despejada. Por ejemplo: Cuando una unción, deinida en el dominio de sus variables, se escribe de la orma (, ) 0, se dice que es una unción implícita de, o que es una unción implícita de. En otras palabras, una unción está epresada en orma implícita si ninguna de las variables está despejada. Por ejemplo: No eiste una regla deinida para transormar una unción epresada en orma implícita en eplícita, por ello, de orma particular es necesario aplicar recursos matemáticos conducentes a despejar la variable dependiente. Ejemplos. Transormar las siguientes unciones epresadas en orma implícita a eplícita: ) dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : ( 9 ) + 6 despejando : ) dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : 7 5

14 ( + 6) despejando : ) dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : ( 5 0 ) 8 + se despeja : etraendo la raíz cuadrada positiva se obtiene : ) multiplicando por el denominador: ( ) 0( ) eliminando los paréntesis: dejando los términos con en el primer miembro: actorizando : ( ) + 6 despejando : ) + 0 multiplicando por : + 0 ordenando con respecto a : + 0 esto representa una ecuación de segundo grado donde: a, b, c

15 aplicando la órmula general para resolver ecuaciones de segundo grado tomando la raíz positiva: reduciendo: + ( ) + ( ) ( )( ) + 6 ( ) 6 6 inalmente: cos 6) rescribiendo la igualdad: + 7cos 9 5 multiplicando por 5: + 7cos 5 dejando los términos con en el primer miembro: 7cos 5 5 cos 7 aplicando la unción inversa del coseno: 5 cos ( cos ) cos 7 5 cos 7 etraendo la raíz cúbica se obtiene : cos 5 7 7) ln + 0 ordenando: ln ln 6 aplicando la propiedad del producto de logaritmos: ln + ln 6 dejando los términos con en el primer miembro: ln 6 ln aplicando la unción eponencial: ln ( 6 ln e e ) ( 6 ln e ) 5

16 II.7 FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTRICA Sea una variable t denominada parámetro. Si ( t) ( t) son dos unciones con el mismo dominio, entonces se dice que las dos ecuaciones orman un conjunto de ecuaciones paramétricas. Las coordenadas (, ) de un punto de una curva pueden ser unciones del parámetro, a que para cada valor que tome t se tendrá un punto P. Por ejemplo, si se tabula a las ecuaciones paramétricas t se tiene: t t ( ) P, (-9,9) (-6,) (-,) (0,0) (,) (6,) (9,9) Esto signiica que las ecuaciones representan a la unción. 9 Es importante señalar que no todas las ecuaciones paramétricas representan unciones. Para transormar una unción epresada por ecuaciones paramétricas en una unción eplícita de la orma ( ) se despeja de ambas el parámetro, se igualan las ecuaciones se procede a despejar la variable dependiente. Ejemplos. Transormar las siguientes unciones epresadas en orma paramétrica en orma eplícita: ) t t despejando t de la primera ecuación: _ A despejando t de la segunda ecuación: _ B t [ ] t [ ] igualando las ecuaciones [ A ] [ ] elevando al cuadrado: 9 B : Nótese como se obtiene el mismo resultado si se sustitue [ ] A en la segunda ecuación. ) t + t t 6

17 de la primera ecuación, se suma resta uno para completar el trinomio cuadrado perecto: t + t + ( t + ) _ [ A] despejando t : t + despejando t de la segunda ecuación: t + _ [ B] B : igualando las ecuaciones [ A ] [ ] ) t t 6 despejando t de la primera ecuación: t _ [ A] despejando t de la segunda ecuación: t + 6 _ [ B] igualando las ecuaciones [ A ] [ B ]: + 6 etraendo la raíz cuadrada positiva: 6 t + ) 8t despejando t de la primera ecuación: t _ [ A] despejando t de la segunda ecuación: t + _ [ B] 8 igualando las ecuaciones [ A ] [ B ]: + 8 eliminando los denominadores: 8 ( ) ( + )

18 ) 5t ( t + 7) despejando t de la primera ecuación: 5t t _ [ A] 5 despejando t de la segunda ecuación: 7 t _ [ B] igualando las ecuaciones [ A ] [ B ]: 7 5 multiplicando ambos miembros por 0 : 5( 7) ( 7t ) 5 6) t 6t + despejando t de la primera ecuación: + t _ [ A] 7 en la segunda ecuación, se resta se suma dos para completar el trinomio cuadrado perecto: t 6t + + t 6t ( t ) + despejando t : + _ B t [ ] igualando las ecuaciones [ A ] [ ] B : 8

19 II.8 FUNCIÓN INVERSA Sea una unción biectiva con dominio A rango B. Entonces su unción inversa B rango A la deine: tiene domino ( ) ( ) para cualquier en B. Esto signiica que: Dominio de Rango de Rango de Dominio de Nótese como no todas las unciones tienen inversa, sólo aquellas que sean biectivas. En los siguientes diagramas se aprecia que si tiene inversa g no tiene inversa, a que no cumple con la condición de ser unción biectiva A B g A B Nota: En la notación ( ) ( ) ( ). el índice - no tiene el signiicado en álgebra como eponente. Esto es: 9

20 Ejemplo. Si ( ), ( ) 8 (5), encontrar ( ), ( 8) ( ) Solución. A partir de la deinición de unción inversa, se tiene que: ( ) porque ( ) ( 8) porque ( ) 8 ( ) 5 porque ( 5) El siguiente diagrama muestra las correspondencias: A B A - B En la unción inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituen a la unción,, original: si ( ) ( ) ( ) ( ) Para obtener la unción inversa de una unción biectiva: ) Se escribe ( ) ) Se intercambia por ) Se despeja para encontrar ( ) Ejemplos. Encontrar la unción inversa de las siguientes unciones: ) ( )

21 ( ) 0 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 8 8 ) ( ) 8 ( ) ( ) 6 7 5) ( ) ( ) 5 ( 6 7) 5 ( 6 7) 5

22 ( ) ) ( ) se suma se resta para completar el trinomio cuadrado perecto: se actoriza : ( 0 + 5) se actoriza el trinomio cuadrado perecto: + 5 ( ) ( 5) + + ( 5) ( ) 5 II.9 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES La gráica de una unción contiene todos los puntos que representan parejas ordenadas de la orma ( ), en el plano cartesiano tales que satisacen la ecuación. Como en una unción, cada número en el dominio tiene una solo una imagen, no todo grupo de puntos en el plano cartesiano representa la gráica de una unción. Por tanto, la gráica de una unción no puede contener dos puntos con la misma abscisa dierentes ordenadas. Para ines prácticos, para saber si una gráica representa a una unción basta con trazar líneas verticales, si las intersecta en un solo punto, es unción.

23 Para trazar la gráica de una unción, normalmente se despeja la variable dependiente posteriormente se determina su dominio. Después, se eligen convenientemente los valores de para tabular obtener así suicientes valores de. Una vez obtenido esto, se ubican los puntos en el plano se unen. Es recomendable utilizar las escalas apropiadas en los ejes coordenados para mostrar mejor su comportamiento. Ejemplos. Graicar las siguientes unciones estableciendo su dominio. ) 8 Si el símbolo signiica eiste el símbolo signiica para toda, entonces: Dominio D (-,)U (, ) ecepto en no deinido ) ecepto en Dominio D (-, -)U (-, )U (, ) no deinido no deinido

24 ) ecepto en 0 Dominio D (-, 0)U (0, ) no deinido ) 8

25 Dominio D (-, ) ) 5 0 Resolviendo la desigualdad: 5 0 0, se tiene que: con Dominio D [, ) no deinido

26 6) Resolviendo la desigualdad: 0, se tiene que: < 6 < 9 con Dominio D [-, ] II.0 FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS puede estar deinida por intervalos de orma tal que tiene un comportamiento distinto en cada sección, por lo que se pueden presentar cambios bruscos en su desarrollo. Su dominio está dado por la unión de sus intervalos. Una unción ( ) Ejemplos. Eplicar el comportamiento de las siguientes unciones establecer su dominio. 5 ) ( ) 5 > Solución. La unción es lineal hasta es constante en 5 desde un valor maor de. Dominio (-, ) 6

27 ) ( ) > 5 Solución. La unción es cuadrática desde cero hasta 5 se convierte en una recta de pendiente negativa a partir de un valor maor a 5. Dominio [0, ) < 0 ) ( ) 0 Solución. Si vale cero, la unción es cero. Si es positiva, la unción toma su valor idéntico. Si es negativa, la unción toma su inverso aditivo. Por lo tanto, representa a la unción ( ). Dominio (-, ). 7

28 ) ( ) 6 < 6 7 < 9 5 Solución. La unción es constante en desde hasta antes de 6, a partir de 7 hasta antes de nueve es igual a la unción identidad. Finalmente, la unción es constante en a partir de hasta 5. Dominio [, 6) U [7, 9) U [, 5] ) ( ) Solución. sen π + 0 < < π π π < 7 La unción es de proporcionalidad inversa si es maor de cero menor de, es igual al seno desde π hasta π. Finalmente, la unción es lineal después de π hasta 7. π Dominio ( 0,) U,7 8

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