Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es la siguiente:

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1 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS TEORÍA DE FUNCIONES Las magnitudes que caracterizan un fenómeno dado pueden quedar completamente determinadas por los valores de otras. Estas interdependencias fueron las que dieron origen al concepto de función porque gran parte de los fenómenos que se observan en la naturaleza se pueden relacionar unos con otros a través de correspondencias. CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES Una función se refiere a una asignación o correspondencia de un conjunto a otro. Su definición formal es la siguiente: Una función es una terna constituida por:. Un conjunto A llamado dominio de la función. Un conjunto B llamado codominio de la función. Una regla de correspondencia que posee tres características a) A todo elemento del dominio se le puede asociar un elemento del codominio b) Ningún elemento del dominio puede quedarse sin un asociado en el codominio c) Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el codominio. Se denota como: f: A B Rango * * * * * * A * * B Dominio Codominio El dominio, denotado por D f, de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, es decir, son todos aquellos números para los cuales la función tiene sentido (también se conoce como campo de variación). Al elemento que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del dominio recibe el nombre de imagen. Al conjunto de todas las imágenes se le conoce como rango, denotado por R. f Al rango también se le conoce como recorrido.

2 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Sea un conjunto de siete muchachos y otro conjunto sus edades respectivas en años: NOMBRE EDAD Alberto 7 Clarissa 6 Diana 9 Ernesto 7 Fabiola 6 Karen 9 Manuel 5 La tabla muestra que a cada muchacho le corresponde una edad y cumple con las condiciones de función, por lo que su dominio es: { Alberto, Clarissa, Diana, Ernesto, Fabiola, Karen, Manuel } y el rango es { 5,6,7,9 }. Si se denota a como un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia con, es la imagen de bajo la función f. Esto es: f (Manuel) = 5, f (Clarissa) = f (Fabiola) = 6, f (Alberto) = f (Ernesto) = 7 y f (Diana) = f (Karen) = 9. En términos de variables, una función también se puede definir de la siguiente forma: Se dice que una variable y es función de otra, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de perteneciente a su campo de variación, le corresponde sólo uno de y. La variable y recibe el nombre de variable dependiente, mientras que es la variable independiente. Lo anterior puede epresarse simbólicamente de la siguiente forma: y = f ( ) Esta manera de representar una función es especialmente útil, pues se puede saber con certeza el valor que toma la variable dependiente para cualquier valor que tome la variable independiente. Esto posibilita la construcción de una tabla de valores de la misma y su respectiva gráfica, debido a que cada pareja de, y de la tabla que se calcule representa un punto del plano cartesiano. valores ( ) Por tanto, una función puede ser presentada de múltiples maneras: una epresión matemática del tipo ( ) y = f, una tabla de valores, una gráfica o incluso una frase que eprese la relación entre ambas variables. Para encontrar el dominio y el rango de una función es necesario efectuar una inspección particular que analice su comportamiento, para lo cual se recomienda: para el dominio, que esté despejada la variable dependiente y para el rango que lo esté la variable independiente. A partir de esas epresiones, se efectúa un análisis que consiste básicamente en determinar los valores reales de la variable no despejada que hacen reales los valores de la variable despejada, obteniendo así el dominio y el rango respectivamente. Ejemplos. Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones: ) f ( ) = + 5 Solución: La función está definida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales: D =, f ( ) No todas las funciones son de una sola variable independiente. En realidad, el concepto de función es más general. La definición más completa de función es la siguiente: Una función es una ley que relaciona una o más variables independientes con otra variable dependiente de forma unívoca, es decir, que a cada conjunto de valores formado por un valor de cada una de las variables independientes le corresponde sólo un valor de la variable dependiente. Una función de varias variables tendría este aspecto: y = f (,,., n ). A lo largo de este libro, sólo se analizarán funciones de una variable.

3 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Despejando para obtener el rango: y = + 5 y 5 = y 5 = y 5 0 y R = 0, Resolviendo la desigualdad: 5 ) f ( ) = f [ ) Solución: La función está definida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales: D =, f ( ) Por definición de valor absoluto, el valor más pequeño que puede tener y es cero: [ 0 ) R =, ) f ( ) f = 9 Solución: La función está definida para todo valor de, eceptuando = D =,,, f ( ) ( ) ( ) Despejando para obtener el rango: y =, ya que la división por cero no eiste: ( 9) y = 9 = = + 9 = 9 + y = 9 y Resolviendo la desigualdad: y y Si y > 0 : y, entonces su intersección es: y > 0. 9 Si y < 0 : y, entonces su intersección es: y. 9 9 R f =, [ 0, ) 9 4) f ( ) = 5 0 Solución: El radicando no puede ser negativo, así que: D f [ 4 ) =, Para obtener el rango, se observa que el valor mínimo que se puede obtener de una raíz cuadrada es cero, así que: y 0. R = 0, f [ ) 5) f ( ) = sen Solución: La función seno está definida para todo valor de, es decir, su dominio son todos los números reales: D =, f ( ) y y 0 5

4 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa El rango de la función seno está definida está definida para, pero como tiene una amplitud de dos, este rango se duplica: R =, f [ ] FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una función es inyectiva cuando a diferentes elementos del dominio le corresponden distintos elementos del codominio, y recíprocamente, a distintos elementos del codominio se le asocian diferentes elementos del dominio. También se le conoce como función uno a uno. A * * * * * * * * * B Dominio Codominio Ejemplo. La funcióny = tiene como dominio al conjunto de los números reales y su rango son los números reales positivos (por tanto, ecluye a todos los reales negativos y al cero). Una función es suprayectiva si cualquier elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio de la función. También se le conoce como sobreyectiva. Rango = B A * * * * * * * * B Dominio Codominio Ejemplo. La funcióny = tiene como dominio al conjunto de los números reales y su rango también son los números reales. Pero la función presenta un crecimiento hasta llegar a y =, después un decrecimiento hasta y = y vuelve a crecer. Por lo tanto, eiste un intervalo cuyos valores del dominio tienen la misma imagen, por lo tanto no es una función uno a uno. 4

5 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Una función es biyectiva si cumple con ser inyectiva y suprayectiva. La regla de correspondencia es biunívoca. A * * * * * * * * * * B Dominio Codominio Ejemplo. La funcióny = 6 tiene como dominio y rango al conjunto de los números reales. Cumple con ser inyectiva y suprayectiva. Pueden eistir funciones que no sean ni inyectivas ni suprayectivas, es decir, en donde la asociación no sea uno a uno y además que no cumplan que el rango y el codominio sean iguales, como por ejemplo: A * * * * * * * * * * B Dominio Codominio En general, se pueden efectuar innumerables correspondencias entre dos conjuntos, sin embargo, sólo serán funciones aquellas que cumplan con las condiciones definidas. Las que no las cumplan sólo serán relaciones. TIPOS DE FUNCIONES Función constante Es una función en que siempre toma el valor k, que es una constante: Su dominio son todos los números reales. f ( ) = k 5

6 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Función identidad Es una función donde la variable dependiente toma el mismo valor que tiene la variable independiente: Su dominio son todos los números reales. f ( ) = Funciones algebraicas Son las funciones que se obtienen cuando se efectúan un número finito de sumas, restas y productos con las funciones constante e identidad. Su dominio son todos los números reales. Funciones polinómicas Son funciones de la forma: donde n ( n ) = a + a + a + a + a n f + 0 a a, a,, a son números reales y los eponentes son números naturales. 0, El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números reales. Funciones lineales Son funciones polinómicas de la forma: ( ) = m b f + La representación gráfica de una función lineal es una recta donde m representa la pendiente (grado de inclinación) y b representa la ordenada al origen (cruce de la recta en el eje y ). Por ser también una función polinómica, su dominio son todos los números reales. Funciones cuadráticas Son funciones polinómicas de la forma: ( ) = a + b c f + donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba si a > 0 o que se abre hacia abajo si a < 0. Al ser función polinómica, su dominio son todos los números reales. Funciones racionales Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Esto es, q es una función racional si para todo en el dominio, dados los polinomios f ( ) y ( ) f q ( ) = g ( ) ( ) g, se tiene: El dominio de una función racional consiste de todos los números reales ecepto los ceros (o raíces) del polinomio en el denominador, ya que la división por cero no está definida. 6

7 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Funciones de proporcionalidad inversa Este tipo de funciones relaciona las variables y y a través de epresiones del tipo: k y = siendo k un número real cualquiera distinto de cero. La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera. El dominio de este tipo de funciones son todos los números reales eceptuando el cero. Funciones irracionales Son aquellas funciones algebraicas y/o racionales en que interviene la operación de radicación. A fin de que este tipo de funciones eistan, el dominio depende de la naturaleza de las raíces y, en su caso, de los ceros del denominador. Funciones trascendentes Son aquellas funciones que no son algebraicas. Incluyen las funciones trigonométricas directas, las trigonométricas inversas, las eponenciales y las logarítmicas. Funciones periódicas Una función es periódica si cumple que: ( ) = f ( p) f + donde p es un número real diferente de cero, llamado periodo. Funciones par e impar Una función par es aquella que cumple con: f ( ) = f ( ) Una función impar es aquella que cumple con: f ( ) = f ( ) ÁLGEBRA DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones de con dominios D f y D g respectivos. La suma de funciones se define como ( f g)( ) = f ( ) + g( ) Ejemplo. f ( ) = ; g ( ) = + 5 ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) = + 5 D f = (, ) = (, ) D g + y su dominio es Df Dg. 7

8 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa D f ( ) + g( ) = Df Dg = (, ) La resta de funciones se define como ( f g)( ) = f ( ) g( ) Ejemplo. f ( ) = ; g( ) = 9 ( f g)( ) = f ( ) g( ) = 9 D f D g f [ 0 ) [, ] =, = D ( ) g ( ) = Df Dg = [ 0, ] El producto de funciones se define como ( f g)( ) = f ( ) g( ) Ejemplo. ( ) = ; g( ) f ( f g)( ) = f ( ) g( ) D f D g D f = = = (, ) = (, 6) ( 6, ) ( ) g ( ) = D f D g = (, 6) ( 6, ) y su dominio es Df Dg. y su dominio es Df D. g f g El cociente de funciones se define como ( ) ( ) 0 g. Ejemplo. f D ( ) = ; g ( ) = 9 f g f D g D f g f ( ) ( ) ( ) = = = g( ) = (, ) (, ) = (, ) = D D = (, 0) ( 0, ) (, ) ( ) ( ) f g f = g ( ) ( ) y su dominio es D D, siempre que f g La composición de funciones se define como ( f g)( ) = f ( g( ) ) todos los valores de en el dominio de g tales que ( ) que: D = { D g( ) D } f g g Ejemplos. Dadas las siguientes funciones, obtener la composición ) f ( ) = 8 ; g( ) = f 8 y su dominio es el conjunto de g esté en el dominio de f. Esto significa f g y determinar su dominio.

9 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Solución. D = 8, f D g [ ) ( ) =, Para obtener la composición f g se sustituye por g ( ) en f : ( f g )( ) = f ( g( ) ) = f ( ) = ( ) 8 = 0 en esta función el dominio es: D f = [ 0, ) Df g = { Dg g( ) Df } = {(, ) [ 0, ) } = [ 0, ) D f g = 5 Solución. D =, 5 5, ) f ( ) ; g ( ) = f D g ( ) ( ) ( ) =, Para obtener la composición ( f g)( ) = f g( ) ( ) = f ( ) f g se sustituye por g ( ) en f : = = ( ) 5 5, 5 5, 5 5, en esta función el dominio es: ( ) ( ) ( ) Df g = { Dg g( ) Df } = {(, ) (, 5) ( 5, 5) ( 5, ) } = (, 5) ( 5, 5) ( 5, ) D f g Es importante señalar que f g g f. En el primer caso, primero se aplica la función g y después f. En el segundo caso, primero se aplica la función f y después g. Ejemplo. f Dadas ( ) = y g ( ) + = 4, obtener f g y g f. Solución. D =, a) f ( ] = [ 4, ) D g Para obtener la composición ( g)( ) f g( ) = f 4 + = en esta función el dominio es: [ 4, ] Df g = { Dg g( ) Df } = {[ 4, ) [ 4, ] } = [ 4, ] ( ) ( ) f = 4 + D f g b) D f = (, ] = [ 4, ) D g Para obtener la composición ( g f )( ) g f ( ) f g se sustituye por g ( ) en f : g f se sustituye por ( ) ( ) = f ( ) = 4 + = f en g: 9

10 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa en esta función el dominio es: (,] D = D f ( ) D g f D g f { } f {(, ] (,] } = (,] = f g g f Ejemplos. Obtener f g, D, = ) f ( ) y g ( ) Solución. D f =,, ( ) ( ) (, ) ( ) D g =, ( f g)( ) f g = = + g g f, y = + D si: + = +, en esta función el dominio es: ( ) pero como Df g = { Dg g( ) Df }, entonces: = { (, ) [(, ) (, ) ] } = (, ) (, ) D f g ( g f )( ) + = = = + +, 0 0, g f en esta función el dominio es: ( ) ( ) pero como Dg f = { Df f ( ) Dg }, entonces: = { [(, 0) ( 0, ) ] [(,) (, ) ] } = (, 0) ( 0,) (, ) D g f ) f ( ) = y g ( ) = + Solución. D =,, f D g ( ) ( ) (, ) ( ) =, ( f g)( ) = = = para esta epresión el dominio es:,, D = D g D, entonces: { } pero como ( ) D f g = f g g 5 f 5 [(, ) (, ) ],, =,, (, ) 5 5 0

11 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa + ( g f )( ) = = = para esta epresión el dominio es: 5 5,, D = D f D, entonces: { } pero como ( ) D g f = g f f g 5 [(, ) (, ) ],, = (, ),, MODELADO DE FUNCIONES Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las Matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, cuyo objetivo es entenderlo ampliamente. La mayoría de las funciones describen comportamientos de fenómenos o características de problemas que involucran a múltiples variables. Sin embargo, muchas veces eisten formas de epresar todas las variables en términos de una sola a fin de simplificar su análisis. El proceso de modelado de funciones es el siguiente:. Leer claramente el problema e identificar la función buscada.. Hacer un dibujo que muestre las características por modelar. Anotar los datos del problema y establecer las fórmulas que son conocidas. 4. Epresar todas las variables en términos de la variable pedida a través de un manejo algebraico. 5. Epresar el comportamiento de la función en términos de la variable pedida. Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente eacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización. Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real. Los siguientes ejemplos muestran algunos casos típicos de modelaciones a través de funciones. Ejemplos. ) Epresar el volumen V de un cilindro como función del radio r si su altura es del doble de su radio. Solución. Dibujando el cilindro: V h El volumen de un cilindro es: V = πr h _( ) La altura es el doble del radio, así que: h = r _( ) Sustituyendo en () se obtiene la epresión pedida: ( ) ( ) r V r = π r r = πr

12 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ) Epresar el área A de un rectángulo como función de la base b, si se sabe que su perímetro es de 00 cm. Solución. El perímetro de un rectángulo está dado por: P = a + b _( ) Sustituyendo P = 00 en (): a + b = 00 Como se quiere epresar en términos de b, se despeja la altura a : 00 b a + b = 00 a = = 50 b _ El área de un rectángulo es: A = ab _( ) Sustituyendo () en () se tiene: A = ( 50 b)b Por lo que la epresión buscada es: ( ) ( ) Ab = 50 b Perímetro =00cm Área b a ) Se dispone de una cartulina cuadrada 40 cm de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Epresar el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado. Solución. Haciendo una figura, se tiene: V 40 40cm La longitud de cada lado de la caja es: El volumen de la caja es: V = A A = 40 = ( ) ( ) 40 Por lo que la epresión buscada es: A( ) = ) Epresar el volumen V de agua como función de la altura h en un instante cualquiera de un cono circular recto invertido de 4 cm de radio y de 6 cm de altura. Solución. Haciendo una figura, se tiene: El volumen del cono es: V = πr h _( )

13 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa r = 4cm B 4 C V 6cm D E h O Por la semejanza de los triángulos ODE y OBC se tiene: = h = 4 _( ) Despejando de (): h = 4 El volumen del cono es: V = π h _( ) Sustituyendo r por el valor de en () se obtiene: V Por lo que la epresión pedida es: ( ) V h = π h 48 5) Epresar la hipotenusa h de un triángulo con área de Solución. Dibujando el triángulo rectángulo: 6 4 h h h = π h = π h 4 6 5cm como función de su perímetro P. Perímetro = a + b + h h Área =5cm b El Teorema de Pitágoras establece que: h = a + b _( ) El área de un triángulo está dada por: A = _( ) a ab P = a + b + h El perímetro P del triángulo está dado por: _( ) a + b = a + ab + b a + b ab = a + b Se sabe que: ( ) ( ) Comparando con () se tiene: h = ( a + b) ab _( 4)

14 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ab De (): = 5 ab = 50 ab = 00 h = a + b 00 _ 5 Sustituyendo en (4): ( ) ( ) De (): P h = a + b ( P h) = ( a + b) ( 6) Sustituyendo en (5): h = ( P h) 00 h = P Ph = P Ph + h = P despejando h se obtiene la epresión pedida: h( P) Ph 00 P 00 = P FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA Una función está epresada en forma eplícita si una de las variables está despejada. Por ejemplo: 4 y = Cuando una función, definida en el dominio de sus variables, se escribe de la forma f (, y) = 0, se dice que y es una función implícita de, o que es una función implícita de y. En otras palabras, una función está epresada en forma implícita si ninguna de las variables está despejada. Por ejemplo: y 5 8y + 0 = 0. No eiste una regla definida para transformar una función epresada en forma implícita en eplícita, por ello, de forma particular es necesario aplicar recursos matemáticos conducentes a despejar la variable dependiente. Ejemplos. Transformar las siguientes funciones epresadas en forma implícita a eplícita: ) 9 y y 6 = 0 Solución: dejando los términos con y en el primer miembro: 9 y y = + 6 factorizando y: y ( 9 ) = + 6 despejando y: + 6 y = 9 ) 4 y 7 y y + 5 = 0 Solución: dejando los términos con y en el primer miembro: 4 y y + 6y = 7 factorizando y: 7 5 4

15 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( 4 + 6) = y despejando y: y = ) 5y y = 0 Solución: dejando los términos con y en el primer miembro: 5y 0 y = 8 + factorizando y: y ( 5 0 ) = 8 + se despeja y : 8 + y = 5 0 etrayendo la raíz cuadrada positiva se obtieney: y = y 6 4y = 4) + 0 Solución: multiplicando por el denominador: 5y 6 + ( 4y ) = 0( 4y ) eliminando los paréntesis: 5y y = 0 dejando los términos con y en el primer miembro: 5y + 48 y = + 6 factorizando y: ( ) = + y 6 despejando y: + 6 y = y 5) + y 4 = 0 Solución: multiplicando por y: + y 4y = 0 ordenando con respecto a y: y 4y + = 0 esto representa una ecuación de segundo grado donde: a =, b = 4, c = 5

16 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa aplicando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado y tomando la raíz positiva: y = reduciendo: y = + ( 4) + ( 4) 4( )( ) = ( ) finalmente: y = cosy 5 6) 9 = 0 Solución: rescribiendo la igualdad: 4 + 7cosy 5 = 9 4 multiplicando por 5: 4 + 7cosy = 45 dejando los términos con y en el primer miembro: 7cosy = cos y = 7 aplicando la función inversa del coseno: 45 4 cos ( cosy ) = cos y = cos 7 etrayendo la raíz cúbica se obtieney: y = cos ) lny 4 + = 0 Solución: ordenando: lny = 4 4 lny = = 6 aplicando la propiedad del producto de logaritmos: ln + lny = 6 dejando los términos con y en el primer miembro: lny = 6 ln aplicando la función eponencial: lny ( 6 ln e = e ) ( 6 ln y e = ) 6

17 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA PARAMÉTRICA Sea una variable t denominada parámetro. Si = f ( t) y f ( t) y = son dos funciones con el mismo dominio, entonces se dice que las dos ecuaciones forman un conjunto de ecuaciones paramétricas. Las coordenadas (, y) de un punto de una curva pueden ser funciones del parámetro, ya que para cada valor que tome t se tendrá un punto P. Por ejemplo, si se tabula a las ecuaciones paramétricas = t se tiene: y = t t y ( y) P, (-9,9) (-6,4) (-,) (0,0) (,) (6,4) (9,9) Esto significa que las ecuaciones representan a la función y =. 9 Es importante señalar que no todas las ecuaciones paramétricas representan funciones. Para transformar una función epresada por ecuaciones paramétricas en una función eplícita de la forma f ( ) y = se despeja de ambas el parámetro, se igualan las ecuaciones y se procede a despejar la variable dependiente. Ejemplos. Transformar las siguientes funciones epresadas en forma paramétrica en forma eplícita: ) = t y = t Solución: despejando t de la primera ecuación: _ A despejando t de la segunda ecuación: t = y _ [ B] t = [ ] igualando las ecuaciones [ A ] y [ ] = y elevando al cuadrado: y = = 9 B : Nótese como se obtiene el mismo resultado si se sustituye [ ] A en la segunda ecuación. ) = t + t y = t 7

18 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Solución: de la primera ecuación, se suma y resta uno para completar el trinomio cuadrado perfecto: = t + t + = ( t + ) _ [ A] despejando t : t = + despejando t de la segunda ecuación: t =y + _ [ B] B : igualando las ecuaciones [ A ] y [ ] + = y + y = + ) = t y = t 6 Solución: despejando t de la primera ecuación: t _ A despejando t de la segunda ecuación: t =y +6 _ [ B] igualando las ecuaciones [ A ] y [ B ]: =y +6 etrayendo la raíz cuadrada positiva: = [ ] y = 6 4) = t + 4 y = 8t Solución: despejando t de la primera ecuación: t = 4 _ [ A] despejando t de la segunda ecuación: t _ [ B] = y + 8 igualando las ecuaciones [ A ] y [ ] 4 y + = 8 eliminando los denominadores: 8 ( 4) = ( y + ) 8 = y + 6 B : 8

19 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 8 8 y = = 4 9 5) = 5t y = ( 4t + 7) Solución: despejando t de la primera ecuación: 5t = t = _ [ A] 5 despejando t de la segunda ecuación: 7 t = y _ [ B] 4 igualando las ecuaciones [ A ] y [ B ]: y 7 = 5 4 multiplicando ambos miembros por 0 : 4 = 5( y 7) 4 8 = 5 y y = 5 ( 7t ) 4 4 = 5 = 6) y = t 6t + Solución: despejando t de la primera ecuación: + t = _ [ A] 7 en la segunda ecuación, se resta y se suma dos para completar el trinomio cuadrado perfecto: y = t 6t + + = t 6t = ( t ) + despejando t : t = y + _ [ B] igualando las ecuaciones [ A ] y [ ] B : 9

20 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa + = y = y 7 9 y = + 7 FUNCIÓN INVERSA Sea f una función biyectiva con dominio A y rango B. Entonces su función inversa B y rango A y la define: f tiene domino ( y) = f ( ) y f = para cualquier y en B. Esto significa que: Dominio de f = Rango de f Rango de f = Dominio de f Nótese como no todas las funciones tienen inversa, sólo aquellas que sean biyectivas. En los siguientes diagramas se aprecia que fsi tiene inversa y g no tiene inversa, ya que no cumple con la condición de ser función biyectiva. 4 * * 5 * * 0 * * 5 * * A f B 0 4 * * 0 * * 0 * * * 5 g A B Nota: En la notación f ( ) f ( ) f ( ). el índice - no tiene el significado en álgebra como eponente. Esto es: 0

21 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Si f ( ) = 4, f ( ) = 8 y f(5) =, encontrar f ( 4), f ( 8) y f ( ) Solución. A partir de la definición de función inversa, se tiene que: f 4 = porque f ( ) = 4 ( ) f ( 8) = porque f ( ) = 8 f ( ) = 5 porque f ( 5) = El siguiente diagrama muestra las correspondencias: * * 4 * * * * A f B * * 4 * * 8 5 * * - A f - B En la función inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituyen a la función, y f y, f original: si ( ) ( ) ( ) ( ) Para obtener la función inversa de una función biyectiva: ) Se escribe y = f ( ) ) Se intercambia por y ) Se despeja y para encontrar f ( ) Ejemplos. Encontrar la función inversa de las siguientes funciones: = +4 0 Solución: y = +4 0 ) f ( ) = y =y +4 y = 0 4 f ( ) = 0 4.

22 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ) f ( ) = 5 Solución: y = 5 =y = y y = + 5 f = ( ) +5 ) f ( ) = + 9 Solución: y = +9 = y +9 = y y = 9 f ( ) = 8 4) f ( ) = Solución: 8 y = 8 = y ( y ) = 8 y =8 8 = y 8 y = 8 f ( ) = f = 6 7 5) ( ) ( ) 5 Solución: y = ( 6 7) 5 = ( 6 y 7) 5 5 = 6 y 7

23 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa = y 5 +7 y = 6 y = f 5 + ( ) 6 = ) f ( ) = Solución: y = = y 0y + 48 se suma y se resta para completar el trinomio cuadrado perfecto: = y 0y = y 0y + 50 se factoriza : = ( y 0y + 5) se factoriza el trinomio cuadrado perfecto: = y + 5 ( ) = ( 5) + y + ( 5) + y + = + y + 5 = y = + 5 f + ( ) = 5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES La gráfica de una función contiene todos los puntos que representan parejas ordenadas de la forma ( y), en el plano cartesiano tales que satisfacen la ecuación. Para trazar la gráfica de una función, normalmente se despeja la variable dependiente y posteriormente se determina su dominio. Después, se eligen convenientemente los valores de para tabular y obtener Como en una función f, cada número en el dominio tiene una y solo una imagen, no todo grupo de puntos en el plano cartesiano representa la gráfica de una función. Por tanto, la gráfica de una función f no puede contener dos puntos con la misma abscisa y diferentes ordenadas y. Para fines prácticos, para saber si una gráfica representa a una función basta con trazar líneas verticales, y si las intersecta en un solo punto, es función.

24 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa así suficientes valores de y. Una vez obtenido esto, se ubican los puntos en el plano y se unen. Es recomendable utilizar las escalas apropiadas en los ejes coordenados para mostrar mejor su comportamiento. Ejemplos. Graficar las siguientes funciones estableciendo su dominio. ) y = 8 Solución: Si el símbolo significa eiste y el símbolo significa para toda, entonces: D f (, 4) ( 4 ) =, y ecepto en = y y no definido y = ) y = 4 Solución: y ecepto en = y = =,,, D f ( ) ( ) ( ) y no definido y no definido

25 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y = 5 4 = ) y = Solución: y ecepto en = 0 =, 0 0, D f ( ) ( ) y no definido y y ) y = 8 Solución: 5

26 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y =, D f ( ) y y ) y = 5 0 Solución: Resolviendo la desigualdad: 5 0 0, se tiene que: y con =, D f [ ) y no definido y

27 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 6) y = Solución: 6 4 Resolviendo la desigualdad: 0, se tiene que: < 6 < 9 y con = D f [, ] y y FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS Una función ( ) f puede estar definida por intervalos de forma tal que tiene un comportamiento distinto en cada sección, por lo que se pueden presentar cambios bruscos en su desarrollo. Su dominio está dado por la unión de sus intervalos. Ejemplos. Eplicar el comportamiento de las siguientes funciones y establecer su dominio. ) f ( ) 5 = 5 > Solución. La función es lineal hasta y es constante en 5 desde un valor mayor de. D =, f ( ) 7

28 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y ) f ( ) = > 5 Solución. La función es cuadrática desde cero hasta 5 y se convierte en una recta de pendiente negativa a partir de un valor mayor a 5. D = 0, f [ ) y < 0 ) f ( ) = 0 Solución. Si vale cero, la función es cero. Si es positiva, la función toma su valor idéntico. Si es negativa, la función toma su inverso aditivo. Por lo tanto, representa a la función f ( ) =. D f ( ) =, 8

29 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y ) f ( ) 4 = 6 4 < 6 7 < 9 5 Solución. La función es constante en 4 desde hasta antes de 6, a partir de 7 y hasta antes de nueve es igual a la función identidad. Finalmente, la función es constante en 4 a partir de y hasta 5. D =, 6 7, 9,5 f [ ) [ ) [ ] y ) f ( ) Solución. = sen π + 0 < < π π π < 7 La función es de proporcionalidad inversa si es mayor de cero y menor de, es igual al seno desde π y hasta π. Finalmente, la función es lineal después de π y hasta 7. π D f = ( 0,), 7 9

30 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teoría de funciones Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y

31 FUNCIONES Muchas cantidades dependen de otras por ejemplo:.- Los costos totales de producción, c, dependen de la cantidad de artículos a producir, q..- El nivel de contaminación en una determinada región puede depender del número de vehículos circulando en la vía..- El área de un círculo depende del radio. 4.- La presión depende de la temperatura. Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de función. Una función tiene tres partes: Dos conjuntos A y B, no vacios, y una regla que relaciona dichos conjuntos. Más precisamente: Definición.- Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada elemento de A eactamente un elemento de B. El conjunto A se denomina dominio de la función y el rango de la función es un subconjunto de B formado por todos los valores asignados. Aun cuando el dominio puede ser cualquier colección de objetos: personas, ciudades, etc., aquí sólo consideraremos subconjuntos de R. Una variable que represente los valores del dominio se llama variable independiente y la variable dependiente y es la que representa los valores del conjunto B, ya que su valor depende del valor de la variable independiente. Una forma de dar la relación entre A y B es través de ecuaciones o fórmulas, las más usuales son donde eplícitamente se indique como obtener y a partir de. Por ejemplo y = +. A las funciones se les suele colocar nombres, es frecuente usar las letras f, g, h, F, G. Podemos, por ejemplo, llamar f a la función que relaciona R con R mediante la ecuación y =. Esta relación también la podemos escribir como f ( ) =. Para desarrollos teóricos usamos la representación de diagramas como él que se ilustra la figura. Para indicar que f es una función con un dominio A y codominio B se escribe: f : A B Si está en el dominio de f entonces decimos que f está definida en.

32 En una función, un elemento del dominio se le asocia un solo elemento en el rango. Sin embargo pudiera ocurrir que dos elementos del dominio se le asocien el mismo elemento del rango. f () se lee f de ó f en ó f evaluada en. f () representa un valor del rango, éste es el valor de la función en el punto. Por ejemplo si f ( ) =, entonces f ( ) = f () = f () = = = 4 9 Tenemos que, 4 y 9 son valores del rango de esta función. Si el dominio está dado por todos los números reales entonces el rango son los reales no negativos. Usted podrá observar que para evaluar una función en un valor simplemente hay que sustituir la variable independiente por el valor. Ejemplo.- Sea f una función cuyo dominio es R dada por f ( ) =. Encontrar los siguientes valores de f. Simplifique su respuesta. a) f ( ), b) f (b) y c) f ( b +) Solución : a) Cuando tenemos que evaluar epresiones más complicadas recomendamos que el estudiante en un principio piense la función como: f ( ) = ( ) ( ) Es decir escriba paréntesis donde iba la. Luego colocar dentro de cada paréntesis el valor a evaluar, así por ejemplo f(-) es f ( ) = ( ) ( ). Realizando y simplificando queda f ( ) = +. De aquí que f ( ) = 4 b) f ( b) = b b

33 c)para evaluar la función en b+, colocamos dentro de los paréntesis de epresión b+: ( b + ) ( + ) f ( b + ) = b. f ( ) = la Desarrollando tenemos: Simplificando f ( b + ) = b + b + b f ( b + ) = b b. Ejercicio de desarrollo: Sea g una función cuyo dominio es R dada por g ( ) = +. Complete los espacios vacíos en los siguientes desarrollos a fin de encontrar los siguientes valores de g: a) g(-), b) g(t) y c) g(+h) Desarrollo: a) g ( ) = ( ) + = + = 9. Observe donde se ha colocado los paréntesis. b) g ( ) = ( ) + = + = 8t +. (Complete los espacios en blanco) c) De nuevo dejamos en blanco el espacio donde iba, el estudiante deberá colocar +h en el desarrollo: g ( ) = ( ) + = + = + 4h + h + Cuidado g ( + h) g( ) + h g ( + h) g( ) + g( h) Ejercicio de desarrollo: Sea f una función cuyo dominio es R dada por f ( ) = +. Encontrar los siguientes valores de f: a) f b) f ( ) c) f ( + h). Recuerde: En un principio escriba la función sin la variable y donde iba la variable abrir y cerrar paréntesis, luego colocar dentro de cada par de paréntesis el valor a evaluar.

34 4 En muchas ocasiones hay que evaluar epresiones que implique distintos valores de la función. El siguiente ejemplo es importante en cálculo. Ejemplo.- Sea f una función cuyo dominio es R dada por f ( ) =. Calcule f ( + h) f ( ) con h 0. Simplifique su respuesta h Solución: Al sustituir obtenemos f ( + h) f ( ) f ( + h) f ( ) ( + h) ( ) = h h Desarrollando y simplificando + h + h + h + h = = h h = ( + h ) h h = + h. Ejercicio de desarrollo: Sea f una función cuyo dominio es R dada por f ( + h) f ( ) simplifique: con h 0 h f ( ) =. Calcule y DOMINIO IMPLICITO Si la función se define mediante una fórmula, sin especificar el dominio, entonces se entenderá que el dominio es el subconjunto más grande de R donde tiene sentido aplicar la fórmula y el resultado es un número real. Ejemplo.- Encontrar el dominio de cada función 4 + a) f ( ) = ; b) g ( ) = Solución: a) Para que la raíz sea un número real, el radicando tiene que ser mayor o igual a 0. Esto es 0 Tenemos que buscar las soluciones de esta desigualdad lineal. Así, el dominio de f es el intervalo (, ]. 4 + b) En el caso de la función g ( ) =, el dominio es el conjunto de todos los reales ecepto aquellos números donde el denominador se hace 0 (pues la división entre 0 no está definida). Entonces tenemos que quitar a R los `s que satisfacen = 0 Estos son: = ±. 4

35 5 Podemos epresar el dominio como Dom g=r-{-,}. Esto se lee como el conjunto de números reales ecepto el y el. Recuerde: ) Cuando queremos calcular el dominio de una función que tiene una epresión con radical con índice par se debe plantear la desigualdad: radicando mayor o igual a cero, pues el dominio está contenido en este conjunto para que la fórmula tenga valores reales. En este caso la solución suele ser un intervalo o uniones de intervalos. ) Por otro lado si se tiene una fracción donde la variable está en el denominador, se debe plantear la ecuación denominador igual a 0, entonces deberemos quitar las soluciones de esta ecuación del conjunto de números reales que estamos considerando. Ejemplo 4.- Encontrar el dominio de cada función: a) h ( ) =, b) F( ) = Solución: a) Como en la función h ( ) = eiste un radical, el dominio es el conjunto solución de la desigualdad: 0. (Recuerde que el radicando debe ser mayor o igual a cero). Esta desigualdad es cuadrática, para resolverla empleamos el método de de los signos: Factorizamos, colocamos las raíces de los factores en la recta real, tomamos valores de prueba en los intervalos definidos por las raíces y evaluamos en los factores, para finalmente ver el resultado del producto. A continuación se da el desarrollo lo anterior: = ( )( + ) Por lo tanto Dom h= (, ] [, ). De la figura vemos que la solución de la desigualdad: 0 es el conjunto (, ] [, ) b) La función F( ) = puede ser evaluada en cualquier parte. Cualquier número real puede ser elevado al cubo, restarle tres veces ese número, para luego el resultado dividirlo entre. En conclusión Dom F=R En este ejemplo el denominador nunca es cero. Comentario: Para los estudiantes que saben codificar epresiones en la calculadora pueden pensar el dominio como los valores donde al usar su calculadora no arroja E (error). Si usted evalúa la función f ( ) = en -0.5 va obtener un valor real, sin embargo si evalúa en ( que no está en el conjunto (, ]=Dom f) obtendrá error, porque el radicando es un número negativo. Ejercicio de desarrollo:.- Encontrar el dominio de cada función a) f ( ) = 4 ; b) g ( ) = ; c) f ( ) = 5

36 6 APLICACIONES GENERALES. Ejemplo.- Se quiere tender dos tuberías que salgan desde un mismo punto de la orilla un lago y lleguen 0 km. arriba a dos puntos diferentes A y B de una ciudad, los cuales están 5 km. distantes uno del otro. Suponga que la línea que une estos puntos corre paralela al lago. Determine los kilómetros totales de tubería a emplear en términos de la distancia que hay entre la proyección de punto A al otro etremo del lago y el punto desde el cual sale la tubería. Solución: Por Pitágoras podemos ver que la distancia en kilómetros desde el punto a A es: + 0 y la distancia desde a B es ( 5 ) + 0 La función buscada es la suma de estas dos distancias. En conclusión donde [0,5]. f ( ) = (5 ) + 0, Ejemplo.- Se quiere cercar un terreno rectangular con 00 metros de malla. Si y y son las dimensiones de los lados. a) Eprese el área como función de.b) Diga cuál es el dominio natural de esta función, tomando en consideración las restricciones físicas Solución: a) El área esta dada por A = y En este caso la función área viene epresada en términos de las dos variable y y. Sin embargo podemos sustituir y por una epresión que depende de, debido a la relación entre, y y el perímetro. El perímetro del rectángulo está dado por + + y + y y debe ser igual a y + y = 00 Esto es + y = 00 De aquí podemos epresar y en función de, despejando Sustituyendo y en el área, tenemos finalmente 00 y = y = 00 A( ) = (00 ) b) Es claro que tiene que ser mayor que 0. Pero también deberá ser menor que 00. Así Dom A=(0,00) 6

37 7 APLICACIONES EN ECONOMÍA Ejemplo.- La ecuación de demanda de un producto es p + q = 00. El costo de producir cada artículo es de UM y los gastos fijos mensuales de la empresa son 0UM. Eprese la utilidad mensual a) en términos de la demanda q, b) en términos del precio p. Solución: En ambos casos tenemos que considerar: ) Costos totales= Costos fijos+costos variables ) Ingreso= pq y = 0 + q ) Utilidad= Ingreso-Costo a) En esta parte tenemos que epresar la utilidad en términos de la demanda, para ello despejamos p de la ecuación de demanda: 00 q p = a fin de sustituirla en la ecuación de utilidad a plantear. De obtenemos Utilidad= Ingreso-Costo Utilidad= pq ( 0 + q) Tenemos la utilidad en términos de p y q. Si sustituimos q en función de p, la utilidad queda epresada en términos de q como: 00 q Utilidad= q 0 q 00q q 40 6q U ( q) = Como ahora quedó epresada la utilidad en función de q usamos la notación de función: U(q) q U ( q) = + 94q 40 b) En esta parte tenemos que epresar la utilidad en términos del precio, para ello despejamos q de la ecuación de demanda: a fin de sustituirla en la ecuación de utilidad. En 00 p q = Utilidad= pq ( 0 + q) sustituimos q en función de p, la utilidad queda entonces epresada en términos de p como: Utilidad= pq 0 q 00 p 00 p Utilidad= p 0 ( p )(00 p) U ( p) = 0 Operamos en el lado derecho y usamos la notación de función en el lado izquierdo p U ( p) = + 06 p 660 7

38 8 Ejemplo.- Un museo tiene como política admitir grupos grandes de 0 hasta 80 personas con la siguiente política de rebajas. Para grupos menores o iguales a 0 personas la tarifa es de 60UM, pero por cada persona adicional la tarifa por persona se reduce en UM. Eprese el ingreso del museo cuando recibe grupos de descuentos como función del número de persona por encima de 0. Solución: En este caso la variable independiente es = números de personas por encima de 0 Así, Número de personas del grupo=+0 y El precio de entrada por persona =60- El ingreso viene dado por Ingreso=(número de personas en el grupo)(tarifa por persona) De aquí I( ) = ( + 0)(60 ) Tal como se define la función el dominio I=(0,80) Ejemplo.- Se quiere construir un tanque de agua rectangular de.000m de capacidad, sin tapa, donde el largo sea el triple del ancho. Se estima que la construcción del fondo es de.5um por metro cuadrado y la de los lados el doble. Epresar el costo de construcción en función del ancho de la base. Solución: Lo primero es obtener un dibujo como se muestra en la figura, mostrando las variables: ancho y altura, observe que el largo puede ser epresado en términos del ancho. Observe que: Costo total= Costo de la base+costo de los laterales El costo de la base=(,5)(área de la base). Es claro que área de la base es ( ) = m, así Costo de la base =.5 = 4.5 El área de los laterales= El costo de los laterales= 8h = 4 h. Costo total= h h + h + h + h = 8h. De esta manera Esta epresión depende de y h. Observe que nos piden el costo sólo en función de, para conseguirlo usamos la condición Volumen=. 000 Epresamos el volumen en términos de las variables. ( ) h =.000 h =.000 Despejamos la variable h para luego sustituirla en la función de costo total.000 h = Al sustituir, obtenemos el costo total sólo en función de..000 Costo total= C ( ) = Simplificando obtenemos C( ) =

39 9 Comentario: La condición Volumen=. 000 Epresada en términos de las variables puede ser escrita como: h =.000 es llamada la ecuación de restricción, por ser una ecuación que debe cumplirse. Otros autores la llaman la ecuación de ligadura porque establece la relación que deben cumplir las variables. En muchos problemas encontramos la ecuación de restricción. En el ejercicio del rectángulo, ecuación de restricción o ligadura era : El perímetro=00. Escrita en términos de las variables quedaba + + y + y = 00 Estas ecuaciones nos permiten epresar una variable en término de la otra. En ocasiones eisten una relación lineal entre las variables, esto no permite encontrar rápidamente una variable como función de la otra. Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo 4.- Un comerciante vende 00 unidades de un artículo a la semana si el precio es 55UM. El planea aumentar los precios y estima que por cada 5 UM de aumento en el precio la demanda bajará en 4 unidades. a) Eprese la demanda en función de p. b) Eprese el ingreso en función de p Solución: a) Eiste una relación lineal entre el precio y la cantidad, pues la razón de cambio es constante, esto es la demanda baja la misma cantidad frente a una variación de precio de 5UM, independientemente del nivel en que este el precio. Para determinar q como función de p usamos la ecuación punto-pendiente: q q0 = m( p p 0 ). La pendiente es variación en q sobre variación en p. Como la demanda disminuye encontramos que la pendiente es -4/5. El lector también puede encontrar la pendiente usando los puntos ( p, q ) = ( 55,00) y ( p, q ) = ( 60,96). Observe que en este caso la variable dependiente la consideramos q y mantenemos esta consideración en el resto del cálculo. Sustituyendo en q q0 = m( p p 0 ), tenemos q 00 = 4 / 5( p 55). Despejando q obtenemos q ( p) = 4 / 5 p + 44 Observe que hemos remarcado que q es función de p. b) El ingreso I = pq, para epresar I en función de p, sustituimos q por la epresión del lado derecho que se acaba de obtener. De esta manera ( 4 / 5 44) I ( p) = p p + Podemos realizar la multiplicación para obtener: + I( p) = 4 / 5p 44 p EJERCICIOS ) Sea f ( ) =. Calcular f ( ) ; f ( + ) y f (5) ) Sea f()= +. Calcular f(-) ; f ( ) y f() ) Sea. f ( ) = + 5 Calcular f ( ) ; f (0) y f (5) 4) Determine a) f ( + h) f () f ( + h) y b), para las siguientes funciones h 4.) f ( ) = ; 4..) f ( ) = ; 4.) f ( ) = + f ( + h) f ( ) 5) Para las siguientes funciones determine a) f ( + h) y b) h 5.) ( ) = f ; 5.) f ( ) = ; 5.) f ( ) = 5.4) f ( ) = 5 9

40 0 6) Determine el dominio de las siguientes funciones: 6.) g ( ) = ; 6.) f ( ) = + 5 ; 6.) f ( ) = ; 6.4) f ( ) = ; + 6.5) f ( u) = ; 6.6) f ( ) = + 5 ; 6.7) y = ; 6.8) g( ) = ; u + + / 6.9) f ( ) = ; 6.0) f ( ) = ; 6.) h ( ) = ( 4 ) ; 6.) f ( ) = ; 4 6.) g ( t) = t Respuestas: ) ; + ;. ) 0; 6 / ; 0 ) ; 5; 0 ;4.a)-4-h 4.b)-; 4.b) h+5; 4.a) ; b) 5.a)(+h) 5 + h 5 ( 5 + h ) - ; 5.b) 4+h; 5.b) h ; 5.) f ( ) = ( + h) ; 5.4) 6.) R-{/}; 6.) [ 5, ) ;6.) (,]; 6.4) R; (5 h)(5 ) 6.5) R-{ /, / }; 6.6) (, 5] [0, ) 6.7) [, ]; 6.8) R-{0,-,-}; 6.9) [ /, ) ; 6.0) R-{ 0, }; 6.) (,) ; 6.) R; 6.) R; PROBLEMAS DE ECONOMIA ) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 00 matas de aguacates por hectárea, se obtendrá una producción promedio de 400 aguacates por árbol en su edad adulta. Se estima que por cada árbol que se siembre de más hará que la producción promedio por árbol disminuya en unidades. Eprese la producción total de una hectárea en función del número de árboles adicionales sembrados. ) Un puesto de hamburguesas calcula que el costo de cada hamburguesa es 40UM cada una. Se estima que si las hamburguesas se venden a p UM cada una, los consumidores comprarán q=0-p de éstas al día. Eprese la utilidad diaria del puesto como una función del precio. )Una papelería puede obtener una resma de papel a un costo de 5UM por resma y estima que si vende la resma a p UM el ejemplar, se venderán aproimadamente q=0(5-p) al mes. Eprese la utilidad mensual de la papelería por la venta de resmas como una función de precio. 4) Un distribuidor de chaquetas de cuero adquiere las chaquetas a un costo promedio de 40UM la unidad. El detallista vende las chaquetas a 80UM cada una; a este precio, los consumidores compran 0 chaquetas al mes. El detallista planea reducir el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción de 5UM en el precio, se venderán 0 chaquetas más cada mes. Eprese la utilidad mensual del comerciante proveniente de la venta de chaquetas como una función del precio de venta. 5) Si una máquina se deprecia en un % de su valor original cada año, determine una función V que eprese el valor de la máquina V después que han transcurrido t años. Respuesta: 6) Suponga que el costo para producir 0 unidades de un producto es de 0UM y el de 0 unidades es 50UM. Suponga que el costo C está relacionado linealmente con la cantidad q a producir. a) Eprese el costo total como una función de q. b) Encuentre el costo de producir 5 unidades. 7) Una persona alquilo un vehiculo por un día y pagó 60UM por 0km de recorrido. Ese misma día otra persona alquiló el mismo tipo de vehiculo, su factura fue de 0UM por 60km. Suponiendo que la tarifa es una función lineal del número de km. recorridos, determine la tarifa de alquiler en función de los número de kilómetros recorridos. 8) En una tienda de fotocopias tiene una demanda de 0 mil copias al mes si el precio es de 50UM, pero si se fija un precio de 60UM se estima que la demanda será de 5mil copias. Determine la cantidad de copias que se demanda al mes, C, en función del precio suponiendo que eiste una relación lineal entre la cantidad demandada y p. 0

41 Respuestas: ) P ( y) = y + 00y ; ) U ( p) = p + 60 p ; ) U ( p) = 0( p 40 p + 75) ; 4) U ( p) = ( p 5p +.800) ; 5) V ( t) = V0 0. 0V 0t ; 6) a) C=q+0; 7) T ( ) = + 80 ; 8) C( p) = p + 45 miles GENERALES ) Se corta un alambre de 0cm. de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo. Si representa el lado más corto. Epresar el área del rectángulo en función de. Respuesta: A()=(0- ). )Desde un poste de 0metros de altura sale un trozo de cuerda que llega a nivel de piso metros más allá. Si l representan la longitud de la cuerda. a) Eprese l como función de. b) Eprese como función de l. Respuesta: a) l()= ) ) Desde un poste de 0 metros de altura sale un trozo de cuerda que llega a otro poste de altura metros, 4 metros más allá. Si l representan la longitud de la cuerda. a) Eprese l como función de. b) Eprese como función de l. Respuesta: a) l()= ( 0 ) + 4 4) Eprese el área de un sector circular de una circunferencia, de radio fijo r, en función de a, el ángulo del sector dado en grados. Ayuda: el área de un aπ r circulo = π r. Respuesta: A(a)= 60 5) En un descampado se quiere cercar un terreno rectangular de.000m. Escriba la función perímetro en términos del ancho del rectángulo. Respuesta: P ( ) = / 6) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 600 naranjos por hectárea, se obtendrá una producción promedio de 00 naranjas por mata y que por cada árbol que se siembre de más hará que la producción promedio por árbol disminuya en unidades. Eprese la producción promedio por árbol en función del número de árboles adicionales sembrados. Respuesta: P( ) = (600 + )(00 ) 7) Con 0 metros se quiere cercar corrales idénticos como muestra la figura. a) Eprese el área total como función de b) Diga cuál es el dominio natural de esta función, tomando en consideración las restricciones físicas. Respuesta: A( ) = 60 / CIENCIAS NATURALES ) El aire seco al subir se enfría. Suponga que a 00m. sobre el nivel del mar se tiene una temperatura de ºC y a Km es de 5ºC. Epresar la temperatura en función de la altura, suponiendo que eiste una relación lineal entre ellas. Cuál es la temperatura a 000m sobre el nivel del mar? ) A nivel del mar el agua hierve a 00ºC. A una altitud de 600m. sobre el nivel del mar el agua hierve aproimadamente 9ºC. Suponiendo que eiste una relación lineal entre punto de ebullición y la altitud, calcule el punto de ebullición en función de la altitud. (Nota: realmente el punto de ebullición depende de la presión atmósferica, pero ésta se puede inferir por la altitud).

42 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES FUNCIONES POLINOMICAS Una función f se llama función polinómica si puede ser escrita en la forma n n n + cn + K + c +, donde n es un entero no negativo y los coeficientes c 0 n, c n-,... c 0 f ( ) = c c son números reales. Si c n 0, entonces n es el grado de la función polinómica y c n es el coeficiente principal. El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Hay funciones polinómicas especiales, algunas de ellas son a.- Función constante es una función de la forma f()=k, con k una constante. El grado es 0. Por ejemplo f ( ) =. Es una función que siempre asume el valor. Por ejemplo f ( ) = ; f ( 00 ) = b.- Función lineal: es de la forma f()=a+b, donde a y b son constantes, con a 0. El grado es. Por ejemplo f ( ) = 4 es una función lineal, donde a = c.- Función cuadrática: es un polinomio de grado. Esto es f()=a +b+c, con a 0 Ejemplo.- Diga si las siguientes funciones son polinómicas o no. En caso afirmativo clasifíquelas de acuerdo al grado y señale el coeficiente principal. a) f ( ) = es un polinomio de grado o función lineal, con coeficiente principal b) g ( ) = + no es un polinomio porque el eponente de la del primer término es negativo. Funciones que involucren epresiones de la forma n tampoco son funciones polinómicas. / c) F()= no es polinómica porque el eponente de la es fraccionario. Funciones que involucren epresiones n tampoco son polinómicas. d) H ( ) = es una función polinómica de grado. El coeficiente del grado principal es. FUNCIONES RACIONALES Una función se llama función racional si puede ser escrita como un cociente de polinomios. Ejemplo.- Determine si las siguientes funciones son funciones racionales a) f ( ) =. Es el cociente de polinomios y por tanto es una función racional. + b) f ( ) = es una función racional. Observe que puede ser reescrita como f ( ) = c) ( ) = 4 4 f. Como esta función puede ser reescrita como f ( ) = y es un polinomio entonces es una función racional. Más generalmente: Una función polinómica es una función racional

43 FUNCION DEFINIDA POR PARTES En algunas ocasiones hace falta más de una fórmula para poder definir una función. El siguiente ejemplo ilustra una función definida por partes., f ( ) = 0, +, si si si 5 < 0 0 < 5 Claramente si f no está en ninguno de estos conjuntos de s la función no está definida. En este ejemplo, el dominio de f es el intervalo [-5,5]. Si queremos evaluar la función, tenemos que determinar en que región está el valor a evaluar para usar la fórmula correspondiente. Este tipo de función, efectivamente, define una regla. La regla en este ejemplo es: Si está en el intervalo [-5,0) usamos la fórmula para evaluar la función. Si está en el intervalo [0,) la función está definida por f ( ) = 0 y por último Si está en el intervalo [,5] usamos la fórmula para evaluar la función Ejemplo.- Para la función f definida arriba encontrar: a) f ( ); b) f ( ) ; c) f (). Solución: a) f ( ). Observe que está en el intervalo [-5,0), por tanto se usa la primera fórmula: f ( ) = ( ) =. b) f ( ). Como está en el intervalo [0,) se tiene que usar la segunda epresión. Por tanto f ( ) = 0. c) f (). Como 5 se tiene que usar la tercera epresión. Por tanto f ( ) = + =. Las funciones definidas por partes tienen muchas aplicaciones y usos en matemáticas. Ejemplo.- El pago mensual para estar suscrito a un plan de llamadas de celulares es 0UM y contempla los primeros 50 minutos a una tarifa de.5um y UM los minutos adicionales durante el mes. Sea el número de minutos en llamadas de un celular con este plan. Escriba la función C () costo total del plan dependiendo de, número de minutos de llamadas al mes. Solución: Observe que esta función la tenemos que definir en dos partes, dependiendo si 50 o > 50. En ambos casos tenemos que considerar que el plan sale a 0 más el costo de las llamadas. Es claro que si 50, el costo total de estas llamadas será de,5. Sin embargo si > 50, tenemos que considerar que los primeros 50 minutos se les aplicó la tarifa de.5um y los siguientes 50 minutos se les aplico la tarifa de UM. Así el costo total de las llamadas en este caso es: (50 ). De estas observaciones tenemos que: Simplificando queda 0 +,5 C ( ) = ( 50) 0 +,5 C ( ) = > > 50 Comentario.- Para determinar cada parte también se pudo usar los conceptos de rectas y función lineal, ya que la tarifa aumenta de manera constante por cada aumento de una unidad de. Por ejemplo en la segunda parte tenemos un punto de donde parte (50,95) y la pendiente.

44 4 FUNCION VALOR ABSOLUTO La función f()= es llamada función valor absoluto. Esta función también la podemos escribir por partes:, f ( ) =, si si < 0 0 EJERCICIOS. ) Clasifique las siguientes funciones como polinómicas FP o no NFP, Racionales FR o no NFR. Justifique. En caso que sea polinómica diga el grado del polinomio y el coeficiente principal. 5.) f ( ) = ;.) g ( ) = ;.) g ( ) = + ;.4) f ( ) = ;.4) f ( ) = ;.5) f ( ) = + ; +.6) f ( ) = ;.7) g ( ) = ;.8) h( ) = + ) Para la siguiente función determine su dominio y evalúe f(-) y f() si 0 f ( ) = si 0 < < 4 si 4 ) Para la siguiente función determine su dominio y evalúe g() y g(-/) si 0 g ( ) = + 7 si 0 < Respuestas ) FP sólo.;. y.6 ; NFR: sólo.4 y.8; ) Dom=R ; ; ) Dom =[-,]; ; -; PROBLEMAS ) Una compañía de buses adoptó la siguiente política de precios para grupos que desean contratar sus vehículos. A los grupos de no más de 40 personas se les cobrará una cantidad fija de 400UM (4060). Los grupos que tienen entre 40 y 80 personas pagarán 60UM y las personas adicionales a 40 tendrán un descuento de menos 5UM. La tarifa más baja de la compañía es de 50UM por persona, se ofrecerá a grupos de más de 80 personas. Eprese el ingreso de la compañía de buses como función del tamaño del grupo Respuesta: I ( ) = < > 80 ) Un museo cobra la admisión a grupos de acuerdo a la siguiente política. Los grupos con menos de 50 personas pagan.5um por persona, mientras que los grupos de 50 personas o más pagan una tarifa reducida de UM por persona. a) Eprese la cantidad que pagará un grupo por su admisión como una función del tamaño del grupo. b) Cuánto dinero ahorrará un grupo de 49 personas en el costo de admisión si puede incluir un miembro adicional? Respuesta: a) P ( ) = ; > 50 b).5um 4

45 5 ) Un camionero está ofreciendo las patillas a 0UM cada kilo si compran menos de 0 kilos, a 8UM el kilo si compran entre 0 y 50 kilos y las deja a 6UM si compran más de 50 kilos. Determine el precio total de adquisición de las patillas en función del número de kilos que comprará el cliente. 0 0 < 0 Respuesta: I ( ) = > 50 4) A fin de regular el consumo de electricidad la alcaldía de una ciudad fijo las siguientes tarifas. Los primeros 00HWh se pagará UM el KWh, para los siguientes 400 KW h pagará 5UM el KW y 8 de allí en adelante. Eprese el valor de la factura como una función de la cantidad de KWh consumidos al mes Respuesta: V ( ) = < > 600 5) La contaminación atmosférica en una ciudad varía de acuerdo a la hora del día. Sea t el número de horas después de las 6:00A.M. La función C (t) da el índice de contaminación atmosférica en función de t. + t si 0 t C ( t) = + t si 4 < t 6 t < t 6 Cuáles son los niveles de contaminación a las 7:00a.m.; m y a las 7p.m.? Respuesta: 6; 4; 0 6) Una piscina mide 6 metros de largo por 5 de ancho. En las figuras tenemos un corte longitudinal de la piscina. Como se podrá observe los primeros metros es totalmente horizontal. Luego empieza una declinación como lo muestra la figura. Sea h el nivel del agua medido en el lado derecho desde el fondo de la piscina. Eprese el volumen del agua como una función de h. (Observe que tiene que definir una función por partes, para h menor que 4 y para h entre 4 y 0. Respuesta: 45h v ( h) = ( h 6) si h 4 si 4 < h 0 5

46 6 GRAFICAS DE FUNCIONES La representación gráfica entre y f () puede ayudar a interpretar mejor las relaciones entre y f (). La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos (, f ( )) donde está en el dominio de f. Observe que la gráfica de una función es la gráfica de la ecuación y = f (). Las técnicas de esta sección no son las más apropiadas para graficar, sin embargo nos permitirá establecer la gráfica de las funciones elementales,, y f ( ) =. La técnica consiste en darle valores a y calcular el valor y = f (). Es claro que los valores a escoger deben estar en el dominio de la función, luego estos puntos son representados en el plano y finalmente se hace un trazo suave que una estos puntos. La escogencia de los valores se hace a conveniencia: que sea fácil calcular el valor de y y que nos de una idea de la forma de la gráfica. Ejemplo.- Considere f ( ) =. a) Calcular el dominio de f. b) Trazar la gráfica de f. Solución: a) El dominio de f en este caso son los tales que 0. b) Como se esta interesado en el trazo de la función y resulta imposible conseguir todos los puntos de la gráfica, sólo se determinarán algunos puntos de ella, los necesarios para hacerse una idea de la forma de la gráfica. Damos valores a para obtener el valor de y a través de la formula y = 0 9/4 4 y 0 / De nuevo insistimos en que éste no es el mejor método para graficar funciones. A lo largo de este capítulo daremos algunas técnicas que facilitará determinar más rápidamente la forma y las características más importantes de la función. Posteriormente se estudiarán otras técnicas para graficar. SIMETRÍAS Para graficar funciones es útil tomar en cuenta las posibles simetrías. Esto se determina estudiando si la función es par, impar o ninguna de las anteriores. Definición.- Una función es par si f ( ) = f ( ) para todo perteneciente al Dominio de f e impar si f ( ) = f ( ). Observe que si una gráfica es par y (,y) es un punto de la gráfica entonces (-,y) también está en la gráfica. Esto significa que la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Es decir, si doblamos el papel a lo largo del eje y entonces el trozo de la gráfica de la derecha coincide con el de la izquierda. 6

47 7 Similarmente vemos que si f es impar y (,y) es un punto de la gráfica de f entonces (-,-y) es también un punto de la gráfica de f. La gráfica de una función impar permanece igual tras la rotación de 80º en torno al origen. Ejemplo.- Para cada una de las siguientes funciones determine si es par o impar o ninguna de las anteriores. a) f ( ) = + ; b) f ( ) = c) f ( ) = + Solución: En todos los casos debemos evaluar la función en. ( a) f ) = ( ) + = + = f ( ), por tanto la función es par ( b) f ) = ( ) ( ) = + = ( ) = f ( ), por tanto la función es impar. c) f ( ) = ( ) + = +, lo cual es distinto de f ( ) y de f ( ), por tanto la función no es ni par ni impar. Recuerde: Para determinar la paridad de la función se evalúa f en. De ahí uno pasa a determinar cual relación se cumple: f ( ) = f ( ) o f ( ) = f ( ) o ninguna de las anteriores. Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones determine si es par o impar o + ninguna de las anteriores. a) f ( ) = ; b) f ( = ) 4 La simetría es una característica importante en una gráfica, y esto hay que resaltarlo, pero también nos puede ahorrar trabajo, pues con la mitad de la gráfica podemos obtener por simetría el resto. Ejemplo.- Bosquejar la gráfica de f ( ) =. Solución: El dominio de la función son todos los reales. La función es par f ( ) = ( ) = = f ( ). Así evaluaremos la función sólo en algunos números no negativos. El resto de la gráfica se obtiene por simetría. 0 y

48 8 Ejemplo.- Bosquejar la gráfica de f ( ) = Solución: El dominio de la función son todos los reales En este caso la función es impar: f ( ) = ( ) = = f ( ). Así evaluaremos la función sólo en algunos números no negativos 0 4 y Se lleva estos puntos al plano cartesiano y se hace un trazo suave que una estos puntos, luego se usa la simetría al origen. Observe que los valores de y son bastante altos comparados con los de. Podemos usar una escala menor en el eje y para poder graficar la función. INTERSECCIONES CON LOS EJES Las intersecciones con los ejes es una característica que se toma en cuenta en muchas aplicaciones. La intersección con el eje y es el punto donde la gráfica de la función corta el eje y. Para obtenerla colocamos =0 en y = f () dando un valor de y=b. El valor b es conocido como ordenada en el origen y el punto (0,b) es el punto en el cual la gráfica corta el eje y. Las intersecciones con el eje son los puntos donde la gráfica de f corta el eje. Estos puntos son donde la coordenada y es 0, entonces para obtener estos punto planteamos f ( ) = 0 y despejamos. Ceros de una función.- Los ceros de una función son los valores de que satisfacen la ecuación f ( ) = 0 8

49 9 Ejemplo.- Calcular las intersecciones con los ejes de las siguientes gráficas a) f ( ) = b) f ( ) = + Solución: a) Intersección con el eje y: Tenemos que evaluar la función en =0 para obtener la ordenada en el origen y = 0 = Así la ordenada en el origen es - y la gráfica corta el eje y en el punto (0,-). Intersección con el eje : origen: Tenemos que plantear la ecuación y=0 para conseguir las abscisas en el (,0). = 0 = = ± Así las abscisas en el origen son = ± y la gráfica corta el eje en los puntos (,0) y b) Intersección con el eje y: Tenemos que evaluar la función en =0 para obtener la ordenada en el origen f ( 0) = 0 + = Concluimos que la ordenada en el origen es y la gráfica corta el eje y en el punto (0, ). Intersección con el eje : Tenemos que plantear la ecuación y=0 para obtener las abscisas en el origen + = 0 ( + ) = 0 + = 0 = De esta manera la abscisa en el origen es = y la gráfica corta el eje en el punto (,0). También decimos que = es un cero de la función. Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones determine las intersecciones con los ejes a) f ( ) = + b) f ( ) = + 4 Ejemplo 4.- Determine simetrías, intersecciones con los ejes y bosqueje la gráfica de f ( ) =. Solución: El dominio de esta función son todos los reales menos el cero. Analicemos ahora las simetrías. Para ello evaluamos f ( ) f ( ) = = = f ( ). Concluimos que la función es impar y por tanto simétrica con respecto al origen. Veamos ahora intersecciones: 9

50 0 Para obtener el corte con el eje y deberíamos evaluar f en 0, pero la función no está definida en 0, (0 no esta en el Dominio de la función), pues la división entre 0 no está definida. Así no hay corte con el eje y. Para conseguir el corte con el eje deberíamos plantear f ( ) = 0, esto es = 0, pero esta ecuación no tiene solución. Entonces la gráfica de f tampoco tiene intersección con eje. Evaluemos la función en algunos valores claves. Aquí es importante conocer el comportamiento de la función para valores muy altos y valores cercanos a cero ½ 5 00 y ½ /5 0.0 Como la gráfica es simétrica con respecto al origen entonces obtenemos finalmente: Ejercicio de desarrollo.- Grafique las siguientes funciones. Recuerde simetrías, cortes y tabla de valores. a) f ( ) = b) f ( ) = + 4 Ejercicio de desarrollo.- La figura de al lado contiene la grafica de una función h. Utilice la grafica para a) Estimar los ceros de la función b) Estimar h ( ) y h (0) 0

51 PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Recordemos que en ocasiones a una función se la puede definir a través de una ecuación en dos variables. Esto es válido siempre y cuando para cada en la ecuación corresponda un solo valor de y. Por ejemplo la ecuación + y = no define una función pues al despejar y, obtenemos para una misma dos valores de y: y = ±. Una manera alternativa para determinar si una ecuación define una función o no es a través del gráfico de la ecuación mediante la prueba de la recta vertical. Una ecuación en dos variables y y define a y como función de si cada recta vertical corta la gráfica de la ecuación en a lo sumo un punto. Si una recta vertical corta en dos puntos o más la gráfica de la ecuación entonces la ecuación no define a y como una función de. Si una ecuación define a y como función de y y no está dada eplícitamente (no está despejada), diremos que y es una función implícita de. DOMINIO Y RANGO A TRAVES DE LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN La figura muestra la gráfica de una función y = f (). Se puede observar que f ( ) =. El es un elemento del dominio de f. El dominio de la función es el conjunto (-,5], pues allí la función está definida, ya que todos estos elementos tienen asignados un valor y y cualquier otro valor de fuera de este intervalo no tiene asignado ninguna imagen. También decimos que es la imagen de, el es un elemento del rango del f. En la gráfica podemos ver que el rango de f es el conjunto [-,4], pues estos puntos y sólo estos son imagen de alguna.

52 . Geométricamente podemos determinar el dominio y el rango de una función Observe que el dominio de f es la proyección del gráfico sobre el eje. Se deja al lector deducir como obtener el Ejercicio rango de la de función desarrollo.- a partir La de figura la gráfica. de al lado contiene la grafica de la función h ( ) = + + obtenida gracias a un software de computación. Utilice la gráfica para a) Estimar el dominio y el rango de la función b) Estimar los ceros de la función c) Estimar h () y h (0) d) Estimar el conjunto solución de la desigualdad en + + > 0 Ayuda para d: Estime el conjunto de las s de la curva tales que sus coordenadas y son positivas: y > 0. Respuesta: ( 0,.5) GRAFICA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR PARTES Ejemplo.- Grafique la siguiente función definida por partes. Diga el dominio y el rango de la función si < 0 f ( ) = si 0 < < si 4 Solución.- El dominio es el conjunto donde está definida la función, en este caso (,0) (0, 4]. Para trazar la gráfica de la función haremos tres tablas de valores correspondientes a las tres partes de la función. Se tomarán los valores etremos de los intervalos de las partes así no estén contenidos en las partes. Valores dentro de paréntesis indicará que la función no toma este valor pero podemos conseguir valores de esa parte de la función que se aproiman al punto tanto como se quiera. PRIMERA PARTE: en (,0) Si < 0, entonces f ( ) =, esto resulta un trozo de parábola. Recordemos que normalmente se toman como valores de los etremos del intervalo a graficar y si hace falta, algún punto etra. En este caso no hay etremo izquierdo, se tomaron dos valores en el interior de la región: - y -. En este parte 0 es el etremo derecho, evaluamos 0: f (0) = 0 = 0. De nuevo remarcamos que el punto (, y) = (0,0) no está en la gráfica pero la gráfica se aproima a este punto, en el momento de graficar este punto se señalará con un círculo agujereado y se llevará la gráfica hasta este punto. Para recordar que este punto no está en la gráfica en la tabla de valores lo colocamos entre paréntesis.

53 M y M TABLA DE LA PRIMERA PARTE: en (,0) - -4 Dibujamos estos puntos en el plano cartesiano donde se realizará la gráfica de la función, - - recordando que el punto (0,0) deberá colocarse con un circulo agujereado y se unirán estos (0) (0) puntos con un trazo suave, terminando en el lado derecho y en el lado izquierdo se colocará una flecha para indicar que la grafica continua. SEGUNDA PARTE: en ( 0,) Si está entre 0 y los valores de la función son siempre. De nuevo se insiste que el punto (0,) no está en la gráfica, para indicar esto colocamos un círculo agujereado en este punto, es necesario calcular el valor del etremo para indicar que la función arranca desde allí en esta parte (o bien termina). El punto (,) no pertenece a está parte de la gráfica, pero luego verificaremos que pertenece a la gráfica por ser un punto de la tercera parte. y (0) () () () TABLA DE LA SEGUNDA PARTE: en ( 0,) Dibujamos estos puntos en el plano donde se está realizando la grafica de la función y se unen estos puntos mediante un segmento de recta que termina justo en los puntos (0,) y (,). Recuerde que en esta parte la grafica corresponde a un trozo de recta. TERCERA PARTE: en [,4] Por último, si está entre y 4 entonces f ( ) =. La representación gráfica es un trozo de recta, es suficiente evaluar la función en los etremos de los intervalos para conseguir esta parte de la gráfica. y 4 TABLA DE LA TERCERA PARTE: en [,4] De nuevo se grafican los puntos y se unen, en este caso como la representación es una recta, los unimos mediante un segmento de recta que va de (,) hasta (4,). Comentarios: El punto (,) está incluido en la gráfica porque está en la tabla de valores de la tercera fórmula. La flecha en la parte izquierda de la curva indica que la gráfica continúa. El punto relleno en la derecha indica que la gráfica termina allí y ese punto pertenece a la gráfica

54 4 Por medio de la gráfica podemos determinar el rango de la función f, recuerde que es el conjunto de valores y que son imagen de algún en el dominio. En este caso Rango f= (,0) [, ] Ejercicio de desarrollo. Grafique la siguiente función definida por partes. Diga el dominio y el rango de la función si < f ( ) = + si < < 6 si 4 (Recuerde: Realizar una tabla de valores por cada parte, deberá incluir, de ser posible, los valores de los etremos. Si un etremo de un intervalo no está en la parte colocar un círculo agujereado. Las tres partes se representan en una misma gráfica pues el todo es la gráfica de la función. Use flecha para indicar que la gráfica continua indefinidamente y el punto relleno o agujereado para indicar que la gráfica termina allí, alcanzándose ese valor o no.) EJERCICIOS ) Clasifique las siguientes funciones como par, impar o ninguna de las anteriores..) f ( ) = ;.) g ( ) = ;.) f ( ) = + 5 ; 4 4.4) g( ) = ;.5) f ( ) = ;.6) g ( ) = ; 4.7) f ( ) = ;.8) f ( ) = ;.9) f ( ) = ( )( 5) ; + 5.0) f ( ) = ( )( ) ) Calcule las intersecciones con los ejes de la gráfica de las siguientes funciones.) f ( ) = ;.) g ( ) = ;.) f ( ) = + 5 ;.4) 4 g( ) = ;.5) f ( ) = + ;.6) f ( ) = ( )( 4)( 7) ;.7) f ( ) = 4 ;.8).0) h ( ) = g ( ) = ;.9) g ( ) = + ; ) Consiga simetrías, intersecciones con los ejes y bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.) f ( ) = + ;.) f ( ) = ;.) f ( ) = + 5 ; + 4.4) g( ) = ;.5) f ( ) = 4) Grafique las siguientes funciones definidas por partes. Diga el dominio y el rango de la función si < 0 si < 4.) f ( ) = si 0 < < 4.) f ( ) = si si si > si < 0 9 si 0 < 4.) f ( ) = si 0 < < 4.4) f ( ) = + si si 4

55 5 5) Diga si las siguientes ecuaciones definen o no una función a través de la prueba de la recta vertical. 5.) 4 = y ) + y = 0 5.) y + = 5.4) y = 0 6)a) Demuestre que si f es un polinomio tal que los coeficientes de grados pares son 0 entonces la función es impar y si g es un polinomio tal que los coeficientes de grados impares son 0 entonces la f función es par. b) Demuestre que si f y g son pares entonces: f + g, f g y f g, son pares y g es par donde este definida. Asuma que los dominios de f y g coinciden. c) Demuestre que si f y g son f impares entonces: f + g, f g son impares y f g y son pares en su dominio. d) Sea f una g función no negativa. Demuestre que si f es par entonces f es par. Realice de nuevo el ejercicio con estos resultados. 7) La figura de al lado contiene la grafica de la función g( ) = 4 / 4 + obtenida gracias a un software de computación. Utilice la grafica para a) Estimar el dominio y el rango de la función b) Estimar los ceros de la función c) Estimar g () y g (0) d) Resolver la desigualdad en : 4 / 4 + < Ayuda para d: Determine el conjunto de las s de la curva tales que sus coordenadas y son menores que : y <. 8) La figura de al lado contiene la gráfica de la utilidad en función de q, la cantidad de artículos producidos y vendidos en una fábrica. La variable q está medida en miles de unidades y la Utilidad en millones de UM Utilice la grafica para estimar a) Los niveles de producción en que la utilidad es igual 8 millones UM. b) Los niveles de producción en que la utilidad es mayor a 0 millones UM. Ayuda para b: Determine el conjunto de las q s de la curva tales que sus coordenadas U son mayores que 0. Respuestas.) I;.)P;.) P;.4) P;.5) ni par ni impar;.6) P;.7) ni par ni impar;.8)impar.9) P;.0)P;.)(0,0) ;.) (0,/), (,0) y(-,0).) (0, 5 ) ;.4)(0,0), (,0) y (-,0) ;.5) (0,-) ( 5,0), ( 5,0) ;.6) (0,0)(,0),(4,0) y(7,0).7)(0,0),(4,0),(-,0);.8) (0,0);.9) (0,), (,0) y (-4,0);.0) (0,6), (,0), (-,0) y (,0) 5

56 6 7) a) Domf= (,] [, ) ; Rango g= (,];b) -4.4; -; y 4.4 ; c) g ( ) = y g(0) no está definida, 0 Dom g d) (,.8) (.8, ) ; 8a).5 y 4.5 miles de artículos; b) (,4): entre y 4 mil artículos. 6

57 7 OPERACIONES CON FUNCIONES A menudo se definen nuevas funciones a partir de otras. Por ejemplo suponga que las funciones f (t) y g(t) representan el número de mujeres y hombres respectivamente trabajando en un país en el momento t. La suma f ( t) + g( t) representa la cantidad total de personas trabajando en el momento t. Podemos considerar la suma como una nueva función que la representaremos como f+g o (f+g), definida por ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) f Igualmente podemos definir f-g, fg y como siguen: g ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) f f ( ) ( ) = g g( ) Los dominios de f+g, f-g y fg son la parte común del dominio de f y g, esto es la intersección de ambos dominios, pues debe estar definida para f y g simultáneamente. El dominio de g f es igualmente la parte común de los dominios menos los s tales que g ( ) = 0, esto es con el fin de evitar la división entre 0. En notación conjuntista el dominio de la función cociente esta dado por: Dom f g = Dom( f g) { / g( ) = 0} Ejemplo.- Sean ( ) = f y g ( ) =. Encuentre (f+g)(), (f-g)(), (fg)() y f () g y establezca su dominio. Solución: El dominio de f es el conjunto (, ] [, ) ]. El Dom g=r-{/} Los dominios de de f+g, f-g y fg son la intersección o parte común de los dominios de f y g. Esto es: Dom ( f + g) = Dom ( f g) = Dom ( f g) =Dom f Dom g = (, ] [, ) (, ) Por otro lado ( )( ) f + g = + ( )( ) f g = - ( )( ) = fg.. 7

58 8 Para el cociente tenemos que considerar aquellos puntos tales que g ( ) = 0, esto es = 0, la solución de esta ecuación es = (cuando el numerador es cero). Así que este punto lo tenemos que quitar de la parte común de los dominios de f y g. De aquí concluimos que: f Dom = (, ] (, ) (, ) g y ( f / g)( ) = = ( ) Recuerde f Dom = Dom ( f + g ) { / g( ) = 0} = g = (, ] [, ) (, ) -{} = (, ] (, ) (, ) Observación. Si usamos esta última fórmula para obtener el dominio nos daría que / estaría en el dominio de f / g, pero recuerde que para definir f / g tiene que tener sentido evaluar la función tanto en f como en g y en este caso g no está definida en /. Recuerde: ) Dom ( f + g )= Dom ( f g )= Dom f g =Dom f Dom g f ) Dom = Dom ( f + g ) { / g( ) = 0} g Ejercicio de desarrollo.- Dadas las funciones f ( ) = y g( ) = +, determinar f (f+g)(), (f-g)(), (fg)() y () g y establezca el dominio de cada una. Si una función la podemos interpretar como suma, diferencia o multiplicación de dos funciones, podemos usar lo dado arriba para calcular el dominio de ella. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento. Ejemplo.- Calcular el dominio de las siguientes funciones: a) f ( ) = 4 b) g( ) =. 4 7 Solución: a) La función f la podemos interpretar como la diferencia de f ( ) = y f ( ) =. 4 8

59 9 Observe que la función se ha descompuesto en dos partes donde la función presenta problemas diferentes. El dominio de f debe ser la parte común del dominio de f y el dominio de f a fin de que no eistan problemas a la hora de evaluar f. El dominio de f es el intervalo (,]. El dominio de f es el conjunto R-{-,} La intersección entre estos dos subconjuntos es: Dom f Dom f (, ) (,]. De aquí que Dom f= (, ) (,]. b) La función g la podemos interpretar como la multiplicación de g ( ) = 4 y g ( ) =. 7 El dominio de g es el conjunto (, ] [, ). El dominio de g es el conjunto R-{7/} La intersección o parte común entre estos dos subconjuntos es: Dom g Dom g (, ] [,7 / ) (7 /, ). Remarcamos que: El dominio de g es la intersección de los dominios de g y de g, pues para estos valores y sólo en estos no eiste problemas a la hora de evaluar g. Concluyendo: Dom g= (, ] [,7 / ) (7 /, ) Observación: El ejercicio anterior se pudo resolver interpretando la función g como un cociente. Ejercicio de desarrollo Calcular el dominio de la siguiente función: h ( ) = + 4 9

60 0 EJERCICIOS f ) Para cada uno de los siguientes pares de funciones encuentre (f+g)(), (f-g)() (fg)() y () g. Determine para cada una de ellas su dominio. Simplifique tanto como sea posible.) f ( ) = y g ( ) = ;.) f ( ) = + 5 y g ( ) =..) f ( ) = y g ( ) = ;.4) f ( ) = y g ( ) =. +.5) f ( ) = y g ( ) = ;.6) f ( ) = y g ( ) = ) f ( ) = y g ( ) = ;.8) f ( ) = 4 y g ( ) =. 4 + ) Sean f ( ) = y g ( ) =. Encuentre f.) (f+g)().) (f-g)(4).)(fg)(0).4) () g ) Calcule el dominio de las siguientes funciones..) f ( ) = + ; +.) f ( ) = ;.) g( ) =.4) h( ) = + ;.5) f ( ) = ;.6) g( ) = + Respuestas:.) 4 5 ( f + g)( ) = ; ( ) ( f g)( ) = ; ( f g)( ) = ; ( Dom ( f ± g) = R-{/}, Dom ( f / g) = R-{,/},.) Dom ( g + f ) = [ 5, ) ; Dom ( f / g) = [ 5,0) (0, ) ;.) ( ± g)( ) = ± ( f )( ) = g f g ( ) )( ) = ; f ; ( g)( ) = ( )( ) ; Dom ( f ± g) = [,]; Dom ( f / g) = (,].4) f ; + ( f + g)( ) = ; ( f g)( ) = ; Dom ( f ± g) = R-{-/},Dom ( f / g) = R-{-,,-/}, +.5) + ( f + g)( ) = ; + ( f g)( ) = ; f ( ) ( )( ) = ; ( + )( + ) ( + )( + ) g ( + ) Dom ( f ± g) = R-{-,-}, Dom ( f / g) = R-{-,-,0},.6) Dom ( f ± g) = R-{/},Dom ( f / g) = R-{-,/},.7) Dom ( f ± g) = Dom ( f / g) = R-{-,},.8) ) Dom ( g + f ) = (,0] [4, ) ; Dom ( f / g) = (,0) [4, )..) 0;.) 0.)0;.4),.) [, ) ;.) [, ) (, ).) [,0) (0,].4) [ 0,] ; 8.5) R-{,,0, };.6) (,) 0

61 FUNCION COMPUESTA Imaginemos que se tiene una cantidad en función de una variable y y está variable también puede ser epresada en términos de una segunda variable, entonces podríamos estar interesados en epresar la cantidad directamente en función de. Por ejemplo la utilidad depende de la demanda q del mercado y a su vez la demanda depende del precio p que se coloca al consumidor. En definitiva podemos epresar la utilidad también en términos del precio p. La situación descrita tiene que ver con la operación entre funciones conocida como la composición, la cual da como resultado la función compuesta. Veamos más precisamente su definición. Definición.- Dadas dos funciones f y g, se define la función compuesta f con g, denotada por f g, como ( f o g) ( ) = f ( g( )) El dominio de ( f o g) es el conjunto de todos los del dominio de g tales que g () pertenece al dominio de f. También f o g se llama la función f compuesta con g, o sencillamente la composición entre f y g quedando claro el orden de la composición por la sola notación. f o primero se puede sustituir g (), y luego se evalúa f en la fórmula de g (), esto es f ( g( )). En este caso decimos que f es la función eterna y g es la función interna. Para calcular ( g) g o, en esta última se evalúa g en f, esto es g ( f ( )). En los ejemplos se remarcará esta observación. El dominio puede ser epresado a través de operaciones conjuntistas como: La función ( f o g) en general es distinta a la función ( f ) Dom ( f o g) = { / Dom( g) y g( ) Dom( f )} El siguiente esquema nos puede ayudar a recordar las contenciones. El dominio de la composición es el conjunto de los en el dominio de la interna tal que el rango de valores de la interna está en el dominio de la eterna. Ejemplo.- Sean f ( ) = + y g ( ) =. Encuentre las siguientes funciones y determine su dominio. a) f o g b) g o f Solución: Se puede verificar que Dom f=[-, ) y Dom g=r.

62 a) Calculemos primero ( f o g) ( f g) ( ) = f ( g( )) o Se sustituye primero g() = f ( ) Se evalúa f en - = + ( ) Se simplifica = Para calcular el dominio tomamos en consideración el dominio de g, en este caso todos los reales y nos restringimos a aquellas s tales g() está en [-, ) =dom f. Esto es: g() - Observe como la epresión: g() está en [-, ) Se paso en términos de desigualdad La solución de está desigualdad es 0. De aquí Dom f g=[0, ). b) Calculemos primero ( g o f ) ( g f )( ) = g( f ( )) o Se sustituye primero f() =g( + ) Se evalúa g en + = + - Para calcular el dominio tomamos en consideración el dominio de f, en este caso [-, ) y nos restringimos a aquellas s tales f () están en el dominio de g. Pero como dominio de g son todos los reales queda Dom g f=[-, ). El esquema para calcular el dominio en este caso queda En fórmulas tenemos Dom ( g o f ) = { / Dom( f ) y f ( ) Dom( g)} = { / [, ) y g( ) R} = [, ) Comentario.- Observe con estos ejemplos que efectivamente ( f o g) () ( g o f )() Ejemplo.- Sean f ( ) = + y dominio: a) f o h ; b) h o f h ( ) =. Encuentre las siguientes funciones y determine su

63 Solución.- Se puede verificar que Dom f=[-, ) y Dom h=r. a) Calculemos primero f o h ( f o h)( ) = f ( h( )) = f ( ) = + Calculemos el dominio de esta composición: En fórmulas tenemos Dom f o h = { / Dom( h) y h( ) Dom( f = ( ) )} = { / R y = { / } =R [, )} Note que la desigualdad cuadrática es trivial, su solución es R. El dominio de ( f o h)( ) = +, en este caso coincide con el dominio de su fórmula, pero no siempre es así como ilustra la otra parte del ejemplo. b) Calculemos la función h o f ( h o f )( ) = h( f ( )) = h( + ) = ( + ) = + Calculemos el dominio de esta composición: En fórmulas tenemos Dom h o f = { / Dom( f ) y f ( ) Dom( h = ( ) )} = { / [, ) y + R}. Recuerde que + R siempre se cumple = { / [, )} = [, ) Observación.- El dominio de la función definida por la fórmula +, la cual es la misma fórmula que ( h o f )(), es R diferente al dominio de ( h o f )() el cual es [, ). No podemos calcular el dominio de una composición a través de la fórmula con que se define la función. Veamos otro caso, donde el dominio de la fórmula no coincide con el dominio de la función. Ejemplo.- Sea f ( ) =. Encuentre f o f y determine su dominio Solución.- Se puede verificar que Dom f=r {0}. Calculemos primero f o f ( f o f )( ) = f ( f ( )) = f ( ) = = Ejercicio de desarrollo.- Sean f ( ) = h ( ) = 4 + y g( ) =. Encuentre las siguientes funciones y determine su dominio: a) f o g ; b) g o f ; c) h o g ; c) g o h

64 4 En ocasiones es conveniente ver una función h como la composición de dos funciones. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.- Eprese las siguientes funciones como la composición de dos funciones. a) h( ) = + ; b) H ( ) = ( ) Solución.- Este tipo de ejercicio trata de proponer f y g tal que h puede ser epresada como la composición de estas dos funciones. Esto es : ( f o g) ( ) = h( ). Para resolver este tipo de ejercicio debemos considerar el orden de las operaciones que se hacen. a) En este caso podemos interpretar + lo primero que se hace y luego se etrae la raíz. Así que una posibilidad para epresarlo como composición de dos funciones es definir f ( ) = y g( ) = +. Verifiquemos: ( f o g) ( ) = f ( g( )) = f ( + ) = + = h( ) Comentario: Normalmente la función función eterna. g( ) = + es llamada la función interna y f ( ) = la b) De nuevo este ejercicio, dependiendo como interpretemos la función, puede tener varias respuestas. A fin que el estudiante verifique su respuesta deberá realizar la composición. Una forma conveniente y muy frecuente de ver esta función como composición de dos funciones es reescribiendo primero la función como: H ( ) = ( ) Ahora interpretamos que como la parte más interna y que luego se eleva a la -. Así que una posibilidad para epresarlo como composición de dos funciones es definir f ( ) = y g ( ) =. Verifiquemos: Recuerde verificar a fin de chequear ( f o g) ( ) = f ( g( )) su respuesta = f ( ) = ( ) = H ( ) 4

65 5 APLICACIONES Ejemplo.- Se ha estimado que la demanda, q, de gasolina en una región en función del precio es q( p) = + p miles de litros por mes. Se prevé que el precio de la gasolina aumente en función del tiempo a un valor por litro de p ( t) = 0.0t + 0.t + 0 UM en el mes t. a) Epresar la demanda mensual en función del tiempo t. b) Cuál será el consumo de gasolina dentro de un año? Solución: a) Como la demanda es función del precio a través de la relación q( p) = + p y el precio del tiempo por la relación p ( t) = 0.0t + 0.t + 0 Entonces la función compuesta está dada: ( q o p)( t) = q( p( t)) = = + p( t) + (0.0t + 0.t + 0) q ( p( t)) = 0.04t + 0.t + epresa la demanda mensual en función del tiempo. b) Como t está dado en términos de meses, debemos evaluar la fórmula anterior en t= q( p()) = = = 85.8 miles de litros de gasolina 0.04() ,6 Ejemplo.- Un incendio en una sabana se propaga en forma de círculo. Si el radio de este círculo aumenta a una velocidad de 0 m/h, eprese el área total en función del tiempo t en horas. Solución: El área en función del radio es: A( r) = π r Por otro lado el radio en el momento t=0 es 0, y al cabo de t horas lo podemos deducir a través de la relación: donde v = 0 y r (t) r v =, t, así el radio en función del tiempo es: r = 0t. Para obtener el área de la región incendiada tenemos que realizar la composición entre la A (r). De esta manera obtenemos ( r( t) ) = (0 ) A( r( t)) = π π t A( t) = 900π t EJERCICIOS ) Sean f ( ) = y g ( ) =. a) Encuentre ( f o g)( ) ; b) Encuentre ( g o f )() ; c) Verifique que ( g o f )( ) = ; d) Puede evaluar ( g o f )( )? 5

66 6 ) Sean f ( ) = y g ( ) =. a) Calcule el dominio de ( f o g)( ) = ; c) - pertenece al dominio de ( f o g)? + + h ( ) = ; b) Verifique que + ) Para cada uno de los siguientes pares de funciones encuentre f o g, g o f y f o f Determine para cada una de ellas su dominio. Simplifique tanto como sea posible..) f ( ) = y g ( ) = ;.) f ( ) = + 5 y g ( ) = ;.*) f ( ) = y g ( ) = ;.4) f ( ) = y g ( ) = ; +.5) f ( ) = y g ( ) = + ;.6) f ( ) = y g ( ) = ; +.7) f ( ) = y g ( ) = ;.8*) f ( ) = 4 y g ( ) = ) Eprese las siguientes funciones como la composición de dos funciones, no triviales. 5 4.) f ( ) = ; 4.) g ( ) = ( + ) ; 4.) g ( ) = ; ( + ) + 4.4) f ( ) = ; 4.5) h ( ) = PROBLEMAS DE ECONOMÍA 5) El ingreso mensual de un comerciante por vender cortinas de baño está dado en función de p por I = 00 p 5p Si la demanda en función del precio es q = 00 5 p. Eprese el ingreso en términos de q. 6) El ingreso mensual de un comerciante por vender resmas de papel está dado en función de la demanda por : I = 50q q. Si la demanda del artículo está dada por la relación q + p = 50. Eprese el ingreso en términos de p. PROBLEMAS DE CIENCIAS NATURALES 7) Un barco deja una mancha circular de aceite que se va epandiendo en forma circular. El radio de la mancha sigue el modelo r ( t) = 0.5( t + t ) cm. donde t es medido en minutos a partir que comenzó el derrame. Encontrar el área en función del tiempo. 8) Se ha estimado que la contaminación por monóido de carbono depende en ciertas zonas del planeta del tamaño de la población modelada por la la relación: p C( p) = partes por millón 0 donde p está dado en miles de habitantes. Estudios demográficos han estimado que dentro de t años la población de una ciudad será de p ( t) = t Eprese el nivel de contaminación en función del tiempo. Cuándo llegará el nivel de monóido a 6 ppm? 6

67 7 Respuestas: ) a) ; b) ; d) No, porque - no está en el domino de f. ) a) R { }; c) No porque g no puede ser evaluada en -. (- no está en el dominio de g y por consiguiente no está en el dominio de ( f o g).) ( ) ( ) f o g () = ; ( g o f )( ) = ; ( f o f )( ) = 4 ; Dom ( f o g) = R-{/}; 4 Dom ( f o f )= R; Dom ( g o f )= R-{/4};.) ( f o g) () = + 5 ; ( g o f )( ) = + 5 ; ( f o f )( ) = ; Dom ( f o g)= R; Dom ( g o f ) = [ 5, ) ]; Dom ( f o f ) = [ 5, ) ;.) ( g) () = f o f ( ) = g o (, ]; Dom ( f o f )= [-6,]; Dom ( f )=.4) ) ( f o g) () = ; ( g o ) ; ( f f )( ) = Dom ( g o f )= R-{-/}; Dom ( f )= ( + ) ; ( g o f )( ) = ; ( f f ) f o R-{-/,/}.5) ( f o g) () = = = + ( g o f )= R-{/};.6) Dom ( g)= +.7) ( f o g) () = ; ( f f )( ) = g f + Dom ( f o f )= R-{,/}; Dom ( g o f )= R-{,}; o ; Dom ( f o g)= [,0]; + o ( ) = ; Dom ( f o g)= R-{ ± }; + ; ( g o f )( ) ; ( f o f )( ) ; Dom ( f o g) = R-{-/}; Dom ( f o f ) = 5) I( q) = 40q 0.q 6) I( p) = 75p 0.5 p. f o R-{-}; Dom ( f o f ) = R; Dom ( g o f ) = o ; ( o )( ) ; Dom ( f o g) = = R-{-/}; Dom R-{0} R-{-,-}; 7

68 8 OPERACIONES GEOMETRICAS DE GRAFICAS En esta sección estudiaremos como graficar funciones a partir de las gráficas de funciones conocidas mediante operaciones geométricas de traslación, refleión, contracción y alargamiento. Anteriormente se ha obtenido el trazo de una serie de gráficas muy usadas en el cálculo. Estas gráficas conviene siempre tenerlas en mente. Ellas serán la base para graficar una familia de funciones. Suponga que la gráfica de y = f () es conocida y c una constante. A continuación veremos como obtener las gráficas de y = f ( ) + c ; y = f ( + c) ; y = f () y y = cf () a partir de la gráfica de f..- Función y = f ( ) + c, con c > 0. Si un punto (, y) está en la gráfica de y = f (), entonces (, y + c) está en la gráfica de y = f ( ) + c. De aquí que la gráfica de y = f ( ) + c es la gráfica de y = f () trasladada verticalmente c unidades hacia arriba..- y = f ( ) c, c > 0. Por un razonamiento análogo, la nueva gráfica se consigue trasladando verticalmente la original c unidades hacia abajo. 8

69 9 Ejemplo.- Bosquejar y = + Solución: Las ordenadas de esta gráfica son unidades más que las ordenadas de la gráfica de y =, para cada. Esto hace que la gráfica de y = + este unidades por arriba de la gráfica de y =.- y = f ( + c), c > 0. Observe que esta nueva función asume los mismos valores y de y = f () pero en la abscisas c. Esto significa que la gráfica está desplazada c unidades a la izquierda de la gráfica y = f (). 4.- y = f ( c), c > 0. Similarmente la nueva función tiene las mismas y que y = f () pero asumiendo estos valores en + c. Esto significa que la gráfica de y = f ( c) está c unidades a la derecha de la gráfica de y = f (). Ejemplo.- Trazar la gráfica de las siguientes funciones. Determine geométricamente el dominio y rango de la función a) y = ; b) y = + Solución: a) La gráfica y = es la gráfica de y = trasladada unidades a la derecha. Se recomienda al trabajar con la gráfica de y = trasladar el eje que corresponda como una recta punteada. En este caso se traslada la recta vertical =0 tres unidades a la derecha De la gráfica de y =, vemos claramente que = es el único punto de la gráfica que no tiene imagen (al proyectar la gráfica sobre el eje el único valor que no está en esta proyección es =). Por tanto el dominio de f es el conjunto R-{}. 9

70 40 b) b) La gráfica y = + se obtiene trasladando la gráfica de y = unidades a la izquierda. Es claro que el dominio de y = + es R. 5.- y = cf (), c > 0. Pensemos por ejemplo que c=. Entonces las nuevas coordenadas y serán el doble que las de y = f (). Si c=/ entonces las nuevas ordenadas serán la mitad de las de y = f (). En general si c >, la gráfica se alarga y si 0 < c < la gráfica se comprime. Ejemplo.- Graficar y=.5. Solución: La gráfica de y =.5 se obtiene por un estiramiento vertical de la gráfica de y =. Si para cada abscisa, la ordenada era y, ahora la nueva ordenada es una vez y media la y. Ejercicio de desarrollo: Trazar la gráfica de las siguientes funciones. Determine geométricamente el dominio y rango de la función a) y = / b) y = c) y = y = f (). Observe que las ordenadas de la gráfica de está función tienen las mismas magnitudes pero de signo contrario que las de y = f (), para cada. Así por ejemplo si un punto sobre la gráfica de f tiene coordenadas (a,b), (considere b positivo y luego considérelo negativo) entonces el punto a, b está en la gráfica de y = f (). Geométricamente esto es una refleión en torno al eje. ( ) Ejemplo 5.- Graficar y =. Solución: La gráfica de y = es una refleión en torno al eje de la gráfica de y = 40

71 4 El siguiente ejemplo ilustra cómo puede ser obtenida la gráfica de algunas funciones a través de varias operaciones geométricas. Ejemplo 6.- Graficar y =. Determine el dominio y el rango de la función por medio de la gráfica. Solución.-Para obtener esta gráfica primero obtendremos la de y= y a partir de ésta haremos una traslación vertical unidades hacia abajo para obtener la gráfica y=. Recordemos que el dominio de una función lo podemos determinar a partir de la gráfica de la función proyectando la gráfica sobre el eje. El rango similarmente es la proyección sobre el eje y. De la figura vemos claramente que: Dom f = [, ) Rango f = [, ) 4

72 4 La siguiente es una tabla resumen con las operaciones geométrica más importantes. Nueva función Efecto geométrico y = f ( ) + k, k > 0 La gráfica de y = f () se desplaza k unidades hacia arriba. y = f ( ) k, k > 0 La gráfica de y = f () se desplaza k unidades hacia abajo. y = f ( + k), k > 0 La gráfica de y = f () se desplaza k unidades hacia la izquierda. y = f ( k), k > 0 La gráfica de y = f () se desplaza k unidades hacia la derecha.. Se contrae la gráfica de y = f ( ), k > k y = f () verticalmente. y = kf ( ), k > Se epande la gráfica de y = f () verticalmente. La nueva coordenadas y son k veces la anterior. y = f (), Se refleja la gráfica de y = f () en torno al eje. Ejemplo sobre Ejemplo sobre f ( ) = f ( ) = y = + = + y = + y = y = y = + y = y = + y = y = = = 0. 5 y = = = 0. 5 y = y = y = = y = f ( ), Ejercicio Ejercicio Ejercicio y = Ejemplo 7.- Graficar y = ( ) Solución: Esta función la reescribimos como y = ( ) + En la siguiente secuencia de planos mostramos los pasos para obtener la gráfica de la función. A continuación mostramos unos gráficos resumiendo las transformaciones dadas en esta sección 4

73 4 Comentario: Cuando tenemos varias operaciones se recomienda primero considerar la operación más interna de la : sumar o restar una constante a la variable (si la hay) luego las multiplicaciones por constantes, incluye el cambio de signo y por último la suma de constantes. Ejercicio de desarrollo: Trazar la gráfica de las siguientes funciones. Determine geométricamente el dominio y rango de la función a) y = + b) y = + ( + ) (Sugerencia: Reescriba la función. Considere =. Cuando la gráfica de la función tiene asíntotas se recomienda hacer una traslación punteada de las asíntotas si la gráfica se traslada). EJERCICIOS: ) Diga cómo es la gráfica de y = f ( ) con respecto a la gráfica de y = f (). Justifique ) Diga cómo es la gráfica de y = f () con respecto a la gráfica de y = f (). Justifique ) Utilice las gráficas de las funciones elementales y la técnica de transformación para graficar las funciones dadas. Determine es el dominio y el rango de cada función a partir de la gráfica..) f ( ) = + ;.) f ( ) = ( ) ;.) f ( ) = + ;.4) f ( ) = + ;.5) f ( ) = ; +.6) f ( ) = ;.7) f ( ) = ( + ) + ;.8) f ( ) = 4 ;.9) f ( ) = ;.0) f ( ) = ( ) ;.) f ( ) = ;.) f ( ) = 4 4 4) Trazar la gráfica de las siguientes funciones definidas por partes usando el bosquejo de las gráficas elementales en las partes. si < si < 0 + si 0 < 4.) f ( ) = si ; 4.) f ( ) = si 0 < < ; 4.) f ( ) = si > + si ( ) si 4

74 44 5) Establezca geométricamente las soluciones de la desigualdad ( + ) + 0 Ayuda: Grafique la función f ( ) = ( + ) + mediante operaciones geométricas. Precise la grafica determinando el punto de corte con el eje, (esto es resolviendo la ecuación ( + ) + = 0 ) y haciendo pasar la grafica por este punto. Luego la soluciones de la desigualdad ( + ) + 0 es el conjunto de las s donde la y es positiva, donde y = ( + ) +. Respuestas: ) Una refleión con respecto al eje y. ) Sólo se refleja en torno al eje las imágenes negativas. 44

75 45 RESOLUCION GEOMÉTRICA Y ANALÍTICA DE SISTEMAS NO LINEALES Eiste una gran variedad de sistemas de ecuaciones no lineales. En esta sección mostraremos como obtener una solución aproimada mediante la graficación de las ecuaciones del sistema. También daremos recomendaciones analíticas para resolver de manera eacta algunos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, y + = 0 Ejemplo.- Resolver el siguiente sistema a) analíticamente; b) geométricamente y + = 6 Solución: a) Para resolver este sistema la recomendación es despejar una de las variables y sustituirla en la otra ecuación. Si hay una ecuación lineal, siempre podemos despejar cualquiera de las variables y sustituirla en la otra. Despejamos y en la segunda ecuación: y = 6 y la sustituimos en la primera: ( 6 ) + = 0 Quedo una ecuación de segundo grado, la cual resolvemos por factorización + 8 = 0 ( )( + 4) = 0 = y = 4. Ahora cada solución de encontrada la sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos así para cada su y correspondiente. Para = : Sustituimos en la segundad ecuación y = 6 =. Así que una solución es (,). Para = 4 : Sustituimos en la segunda ecuación y = 6 ( 4) = 4. Así que la otra solución es ( 4,4) b) Se grafica las dos ecuaciones lo más preciso posible. En el eje y se ha escalado de en unidades. En el eje se ha mantenido la escala unitaria por considerarlas las mejores escalas La recta se ha graficado determinando cortes con los ejes. La parábola y = se ha graficado a partir de la gráfica de y =. Siempre es conveniente obtener algún punto más sobre la grafica. En este caso al dar el valor = obtenemos que y=, así el punto (,) está sobre la grafica de y =. En la gráfica se puede estimar las intersecciones de las dos curvas, ellas coinciden con las soluciones analíticas ( 4,4) y (,). En conclusión: El sistema tiene dos soluciones dadas por, y ) (,) y, y ) = ( 4,4) ( = ( Ejemplo.- La ecuación de oferta de un determinado artículo está dado por p = q + + y la de demanda por p + q = 0. Encontrar el punto de equilibrio de este artículo: a) resolviendo el sistema de ecuaciones; b) graficando la curva de oferta y demanda y estimando el punto de intersección. p = q + + Solución: a) Debemos resolver el siguiente sistema no lineal: p + q = 0 Para resolver este sistema se sigue la recomendación: despejar una de las variables en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. Así despejamos p en la segunda ecuación: p = 0 q y la sustituimos en la primera 0 q = q + + Quedo una ecuación con radicales. Para este tipo de ecuación se recomienda dejar solo el término con radical en cualquier lado de la ecuación y elevar al cuadrado ambos lados, tomando en previsión que al elevar al cuadrado podemos estar agregando solución. 45

76 46 8 q = q + ( 8 q ) = ( q +) 8 q 6q + q 7q + = 0 7 ± q = q = 4 y q = = q + Para la primera q tenemos un precio de p = 0 4 = 4. Esta solución se elimina. Para q=, obtenemos un precio de p = 0 = 7. Así que el punto de equilibrio está dado por (,7). b) En la gráfica está dibujada las curvas de demanda y oferta, Se graficó las dos ecuaciones lo más preciso posible. En los dos ejes se ha escalado de 5 en 5 unidades. La recta se ha graficado determinando cortes con los ejes. La ecuación p = q + + se ha graficado a partir de la gráfica de p = q por operaciones geométricas. Recordemos que siempre es conveniente obtener algún punto más sobre la grafica. En este caso al dar el valor =0 obtenemos que y=7.65, así el punto ( 0,7.65) está sobre la grafica. En la grafica se puede estimar las intersecciones de las dos curvas, ellas coinciden con las soluciones analíticas EJERCICIOS ) Resolver los siguientes sistemas analíticamente y geométricamente 8 y 4 = 0 = y + 6 = 0.).) y ;.) y = 0 y + = 6 y = ) Encuentre el punto de equilibrio para las siguientes: 000 D : p = q.) q + 00 D : p + =.) 00 q O : p = + O :0 p = 00 + q 00 4 Respuestas:.) ( 0,0);(, );(, ) ;.) ( 4,);( 6, ) ;.) ( 9, ).) (00,4).) (00,) 46

77 47 FUNCION INVERSA En esta sección estamos interesados en definir la función inversa de una función, es decir aquella función que hace regresarnos al de partida. Muchas veces tenemos el precio p en función de la demanda eistente. Al epresar la demanda q en función del precio p estamos obteniendo la función inversa de la anterior No todas las funciones se les pueden definir una función inversa. Por ejemplo si hay un y que es imagen de dos puntos a y b, no vamos a poder definir una función que diga plenamente cómo es el regreso al conjunto de salida, sin dejar de ser función. La eistencia de la función inversa de f la podemos establecer mediante la gráfica de la función. Si eiste una recta horizontal que corta la gráfica en dos puntos entonces no eiste la función inversa. Una función f tiene inversa si toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo sumo en un punto. Una función con esta característica la llamaremos biunívoca. Definición.- Sea f una función biunívoca y g una función cuyo dominio es el rango de f. Diremos que g es la inversa de f si a) g ( f ( )) = para todo en el dominio de g. b) f ( g( )) = para todo en el rango de f. 47

78 48 La función inversa se suele representar por f ( f no debe confundirse con y = f ( ), f es un símbolo para nombrar la función inversa y que recuerda el origen de la función recién definida). Para conseguir la función inversa es aconsejable en un principio seguir los siguientes pasos: Paso.- Realizar la prueba de la recta horizontal para ver si tiene inversa. Paso.- Despejar en función de y en la ecuación y=f(), para obtener una función = f (y) Paso.- Intercambiar e y para escribir y= f ( ) Paso 4.- Verificar: a) f ( f ( )) = para todo en el dominio de f. b) f ( f ( )) = para todo en el dominio de f. Ejemplo.- Determinar la función inversa de f ( ) = +, si eiste. Solución: Paso.- Observamos que en la gráfica de f cualquier recta horizontal corta a la gráfica en a lo sumo un punto. Por tanto podemos proseguir para conseguir la inversa. Paso.- Despejar de la ecuación y=f(). y = + y = = y Paso.- Intercambiar e y. y = f ( ) = Paso 4.- Verificamos.- f ( ( f ( )) = f ) + ( + ) = =.- f ( f ( )) = f ( ) = + = + = Conclusión: f ( ) = es la función inversa de f ( ) = +. Ejemplo - Determinar la inversa si eiste de f ( ) = + 48

79 49 Solución: Como eiste una recta horizontal que corta a la gráfica de y = + en puntos entonces concluimos que la función no tiene inversa Ejercicio de desarrollo: Determinar, si eiste, la inversa de las siguientes funciones a) y = + ; b) f ( ) = Ejemplo - Determinar, si eiste, la inversa de h ( ) =, para 0 Solución: Paso.- Graficamos la función. Tome en cuenta en este caso que la función está definida para los mayores o iguales a cero. Por este motivo la gráfica resulta ser la mitad de la parábola Observamos que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en a lo sumo un punto. Por tanto la función tiene inversa. Paso.- Despejar de la ecuación y = h(). y = y + = = ± y + Como la es positiva, desechamos la raíz negativa. Así = y + Paso.- Intercambiar e y. y = + h ( ) = + h Paso 4.- Verificamos ( h( )) h ( h( )) = h ( ) + = ( + ) = Realizamos la otra verificación h h h = ( ( )) = ( ( )) + = ( + ) = Conclusión: h ( ) = + es la función inversa de h ( ) =, para 0 49

80 50 Comentarios: ) Observe que si la función no tuviese el dominio restringido, entonces la función no hubiese tenido inversa. Esto se hubiese podido concluir graficando la función, pero sin necesidad de graficar, al despejar, tendríamos dos valores de para una sola y. Es decir, del despeje podemos concluir si hay inversa o no, dependiendo si conseguimos una sola para cada y del rango o no. ) Una función que no tiene inversa, podemos eventualmente redefinirla restringiendo el dominio de tal forma que la nueva función con dominio restringido si tiene inversa. Por ejemplo, la función f ( ) = ( ) +, no tiene inversa. Sin embargo podemos restringir el dominio de la función. Si redefinimos la función ahora con dominio [, ), está nueva función con la misma fórmula pero con diferente dominio a la primera si tiene inversa. El lector puede chequear que es: f ( ) = + + El signo + se toma por ser el ala derecha de la parábola. Ejercicio de desarrollo.- Determine la función inversa. En caso que no eiste, redefina la función haciendo una restricción del dominio de f a fin de poder definir la función inversa y calcúlela. a) f ( ) = ( 5) ; b) f ( ) = + ; 50

81 5 GRAFICA DE LA FUNCION INVERSA Observe que si (a,b) está en la gráfica de f entonces (b,a) está en la gráfica de f. Estos dos puntos son simétricos con respecto a la recta y=. En general, las gráficas de f y f son simétricas con respecto a la recta y=. Al lado hemos graficado y =, 0 y su inversa y = + en el mismo sistema de coordenadas. Vemos que efectivamente las gráficas son simétricas con respecto a la recta y=. Entonces si tenemos la gráfica de f podemos obtener la gráfica de con respecto a la recta y=. f a través de la refleión Ejemplo 4.- Determinar, si eiste, la inversa de f ( ) =. En caso que eista, graficar la función y la inversa en un mismo sistema de coordenadas. Solución: Paso.- La función tiene inversa, pues cada recta horizontal corta la gráfica en a lo sumo un punto. Paso.- Despejar de la ecuación y= f () y = y + = = y + Observe de nuevo que el paso no era necesario, pues sin duda para cada y eiste un solo. Paso.- Intercambiar e y. y = + f ( ) = + 5

82 5 El paso 4 no es un paso necesario, es sólo la verificación del despeje. A continuación presentamos las gráficas de f y su inversa f. Ejercicio de desarrollo: Determinar, si eiste, la inversa de y = ( ). En caso que no eista redefinir la función restringiendo el dominio a fin que tenga inversa, conseguir la inversa de la nueva función restringida, graficar la función y la inversa en un mismo sistema de coordenadas. (Seguramente a usted no le cuesta hacer una refleión sobre un eje horizontal, así que para graficar también recomendamos rotar su hoja de papel de tal manera que la recta y= quede horizontal en su visual y luego proceda hacer la refleión) + EJERCICIOS ) Diga si las siguientes funciones tienen función inversa. En caso afirmativo encuéntrela. Verifique que efectivamente es la inversa..) y = ( +) ;.) y = ;.) y = ;.4) y =, 0 ) A partir de de las siguientes gráficas de funciones, determine cuál de ellas es biunívoca, en caso afirmativo trace la gráfica de la función inversa. 5

83 5 ) Para cada una de las funciones dadas abajo determine la función inversa si eiste. Grafique la función y su inversa en el mismo sistema de coordenadas. Verifique que efectivamente f es la inversa de f..) y = ( + ) ;.) y = ;.) y = + ; 5 +.4) y = ( ), ;.5) y = ;.6) f ( ) = + + 4) Determine la función inversa. En caso que no eiste, redefina la función haciendo una restricción del dominio de f a fin de poder definir la función inversa y calcúlela. Dibuje f y f en el mismo sistema de coordenadas. 4.) f ( ) = ( + ) ; 4.) f ( ) = ( ) ; 4.) f ( ) = ; 4.4) f ( ) = ; 4.5) f ( ) = ; 4.6) f ( ) = + ( 4) 5) Diga cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. Justifique 5.) ( ) f o g = g o f 5.) ( ) El dominio de f + g es igual al dominio de f + g 5.) ( ) Si el rango de f son todos los reales entonces el rango de ( ) f son los reales no negativos. 5.4) ( ) La suma de dos funciones pares es par 5.5) ( ) El producto de dos funciones impares es impar 5.6) ( ) La función F ( ) = ( ) es impar 5.7) ( ) La función F ( ) = ( ) es un polinomio 5.8) ( ) Hay funciones cuyas gráficas no cortan el eje y 5.9) ( ) Una ecuación define una función si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de la ecuación en a lo más un punto. 5.0) ( ) El dominio de f + g es igual al dominio de f / g. 5.) ( ) El dominio de la función ( ) = + f son todos los que satisfacen la desigualdad ) ( ) Suponga que el punto (a,a) es un punto sobre la grafica de f una función que tiene inversa, entonces ese punto también está sobre la grafica de la inversa de f. Respuestas:.) y =.) y = + ;.) y = + ;.4) y = ; 5

84 54 54

85 55 5.) ( F ) En general es falso, para justificar se puede tomar dos funciones tal que no cumple la igualdad, por ejemplo f ( ) = y g ( ) =. Tenemos entonces que ( f o g)( ) = y ( g o f )( ) = 4 5.) ( V ) Dom g =Dom g. Por consiguiente Dom f Dom g = Dom f Dom g 5.) ( V ) Pues al elevar al cuadrado todos los valores se transforman en positivos. 5.4) ( V ) Sean f y g pares, veamos que la función suma es par ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) = f ( ) + g( ) = ( f + g)( ) 5.5) ( F ) Es par. Sean f y g impares, veamos que la función multiplicación es par ( f g)( ) = f ( ) g( ) = f ( ) g( ) = ( f g)( ). 4 Tambien se puede justificar dando un ejemplo f ( ) = y g ( ) = entonces ( f g)( ) = es par 5.6) ( F ) Al evaluar la función en = y en = : F ( ) = ( ) = 8 y () = ( ) = F por tanto F( ) F() 5.7) ( V ) Al desarrollar el cubo la función la función no es impar. F ( ) = ( ) puede ser reescrita como F ( ) = + 5.8) ( V ) La gráfica de F ( ) = / no corta el eje y. 5.9) ( F ) La proposición fuese cierta si se refiriera a cualquier recta vertical. 5.0) ( F ) En el dominio de f / g hay que quitar { / g( ) = 0}. 5.) ( F ) El dominio de la función f ( ) = + son todos los que satisfacen la desigualdad 0. 5.) (V) Al intercambiar por y queda el mismo punto. 55

86 56 FUNCIONES CUADRÁTICAS Una función f se llama cuadrática si puede ser escrita de la forma f ( ) = a + b + c donde a,b y c son números reales con a 0. El dominio de esta función son todos los reales y su representación gráfica es una parábola. Son innumerable la cantidad de ejemplos prácticos donde está involucrada la función cuadrática, es por ello que merece especial atención. La idea para graficar cualquier función de la forma f ( ) = a + b + c es llevarla a la forma f ( ) = a( h) + k completando cuadrados. La gráfica de esta última sabemos que es una dilatación, posible refleión con el ejes y traslaciones de la gráfica de y =. Ejemplo.- Epresar la función f ( ) = en la forma f ( ) = a( h) + k. Graficar. Solución: Primero sacamos el coeficiente de en los dos primeros términos de factor común: f ( ) = ( + ) + 5. La idea es sumar y restar un número para que junto con la epresión + sean el desarrollo de ( h) = h + h Observe que el término corresponde a h. Así que = h, de donde h =. El término que falta para completar el desarrollo del cuadrado es ( ) = f ( ) = ( ) + 5 Sustituimos el trinomio por el cuadrado perfecto. f ( ) = ( ( + ) ( ( )) ) + 5 Se aplica la propiedad distributiva. f ( ) = ( ( )) f ( ) = ( ( )) La gráfica de está función la podemos obtener por desplazamiento a la izquierda de una unidad (), luego un estiramiento vertical () y finalmente una traslación hacia arriba de de tres unidades (4). 56

87 57 Ejemplo.- Epresar la función f ( ) = en la forma f ( ) = a( h) + k. Graficar. Solución: Primero sacamos el coeficiente de en los dos primeros términos de factor común: f ( ) = ( 6 + h h ) 5 El término 6 corresponde a h. Así que 6 = h, de donde h =. El término que falta para completar cuadrados es () = 9 f ( ) = ( ) 5 ( ) ( ) 9) 5 f ( ) = Se aplica la ley distributiva f ( ) = ( ) f ( ) = ( ) La gráfica de está función puede ser obtenida por una traslación horizontal hacia la derecha de tres unidades, luego una refleión de esta gráfica en torno al eje y por último una traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba. 4 Comentario: Una vez que sacamos a de factor común en los dos primeros términos, resulto en ambos casos que h es la mitad del coeficiente en con signo cambiado. Efectivamente en el primer ejemplo se tenía f ( ) = ( + ) + 5 y h =, en el segundo ejemplo f ( ) = ( 6) 5 y h =. Ejercicio de desarrollo: Epresar la función f ( ) = en la forma f ( ) = a( h) + k. Graficar. A continuación se hacen varias observaciones, algunas de las cuales el lector habrá podido darse cuenta a lo largo de estos ejemplos y que se pudiese establecer como resultados a fin de ahorrar trabajo. Se puntualizan Observaciones: ) Si a > 0 la parábola abre hacia arriba. Si a < 0 la parábola abre hacia abajo. ) (0, c) es el corte con el eje y ) En la forma f ( ) = a( h) + k, h es la coordenada del vértice y k es la coordenada y del vértice. 57

88 58 A partir de la forma f ( ) = a + b + c se puede hacer un desarrollo teórico a fin de obtener una fórmula para h. Primero se saca a de factor común de los dos primeros términos. b f ( ) = a( + ) + c a b b b El término corresponde a h. Así que = h, de donde h =. El término que a a a b falta para completar cuadrados es ( ) a b b f ( ) = a( + + a a b ( ) a b a b b f ( ) = a ( ) + c a a Se aplica la ley distributiva ) + c b b f ( ) = a ( ) a + c. a a b Así la coordenada del vértice es h =. En vez de identificar k en el desarrollo anterior, es a b preferible en la práctica evaluar f en h =. a Estas observaciones nos permiten hacer las siguientes recomendaciones Recomendaciones para graficar una función cuadrática f ( ) = a + b + c :.- Si a > 0 la parábola abre hacia arriba. Si a < 0 la parábola abre hacia abajo..- b Calcular la coordenada del vértice por medio de v =. a b Para calcular la coordenada y se evalúa f en. Esto es y v = f ( v ) a. Para la intersección con el eje plantear la ecuación f ( ) = 0 y resolver esta ecuación en. La intersección con el eje y es el punto (0,c). 4.- Llevar estos puntos al plano: vértice y cortes y tomar en cuenta para bosquejar la b gráfica. Recuerde que la parábola es simétrica en torno a la recta =. a Ejemplo.- Graficar f ( ) = Solución: Tomamos en cuenta las recomendaciones..- Como a = > 0 la parábola abre hacia arriba..- Calculamos ahora la coordenada del vértice, observe que en este caso b = 8 58

89 59 b 8 v = = =. Pasamos ahora a calcular la coordenada y del vértice. a y f ( ) = () 8() + 6 =. En conclusión el vértice es (, ) = (, ) v = v. Para las intersecciones con el eje planteamos: = 0, esta ecuación cuadrática tiene como solución = y =. Así los puntos de cortes con el eje son (,0) y (,0). (0,6) es el corte con el eje y. 4.- Se llevan estos puntos a un plano cartesiano, se traza el eje de simetría de la parábola, tomando en cuenta que la parábola abre hacia arriba, hacemos el bosquejo recordando la simetría de la curva y haciéndola pasar por los puntos marcados. v y v Ejercicio de desarrollo: Consiga el vértice y los puntos de intersecciones con los ejes de la gráfica de la función f ( ) = + 4. Obtenga la grafica de f Ejemplo 4.- Resolver gráficamente la desigualdad Solución: La idea para resolver este tipo de ejercicio es definir primero la función y = , Observe que la cuestión ahora es conseguir los s para los cuales y 0, esto se puede revolver graficando pues el conjunto solución son los s donde la gráfica está por encima del eje (tienen la coordenada y positiva). A continuación se graficara y = Como a>0 la parábola abre hacia arriba. Para localizar el vértice planteamos: b 5 v = = =.5. y v = f ( v ) = (.5) + 5(.5) + 6 = 0. 5 a Para los cortes con el eje, planteamos = 0 ( + )( + ) = 0 = ó = El corte con el eje y es (0,6). Con estas informaciones podemos graficar. En la figura se puede apreciar que todos los s de los puntos de la grafica que tienen la coordenada y positiva son: (, ] [, ). Estos son los s que satisfacen la desigualdad y = En conclusión: La solución de la desigualdad está dada por el conjunto (, ] [, ) Ejercicio de desarrollo.- Resolver gráficamente la desigualdad < 0. 59

90 60 MAXIMOS Y MINIMOS EN FUNCIONES CUADRÁTICAS En muchas ocasiones es de interés localizar el valor máimo de una función. En una función cuadrática cuya gráfica abre hacia abajo este máimo se alcanza en el vértice de la parábola. Alternativamente también se puede estar interesado en el valor mínimo de una función cuadrática cuya gráfica abre hacia arriba. b Sea f ( ) = a + b + c y v = la coordenada del vértice a -Si a < 0 entonces f alcanza un valor máimo en v. Este valor máimo de f es y v = f ( v ) -Si a > 0 entonces f alcanza un valor mínimo en v. Este valor mínimo de f es y v = f ( v ) Comentario: Es claro que si a > 0 no hay un valor máimo de f pues la función toma valores arbitrariamente altos. Ejemplo.- Encontrar el valor máimo o mínimo según corresponda de las siguientes funciones a) f ( ) = ; b) g ( ) = Solución: a) Como a = < 0 la parábola abre hacia abajo, por lo tanto la función alcanza un máimo. Para conseguir el valor máimo primero calculamos la coordenada del vértice. b 6 v = = = a ( ) El valor máimo es f ( ) = ( ) + 6( ) + = y remarcamos que se alcanza en v =. b) Como a = > 0 la parábola abre hacia arriba, por lo tanto la función alcanza un mínimo. Para conseguir el valor mínimo primero calculamos la coordenada del vértice. b v = = = a () Ahora el valor mínimo de g es y = g( ) g ( ) = ( ) + ( ) + 4 = 8 En conclusión: El valor mínimo de la función g es -8 y se alcanza en =. Ejercicio de desarrollo: Encontrar el valor máimo o mínimo de f ( ) =

91 6 APLICACIONES Problemas en que se busca los valores máimos y mínimos de una cantidad que depende de otra están presentes en muchas aplicaciones. Cuando la variable a optimizar es una función cuadrática de la variable independiente entonces podemos determinar estos máimos o mínimos calculando el vértice de la gráfica de la función. Posteriormente se verá una técnica que abarca otro tipo funciones. Estos problemas pertenecen a una disciplina de las Matemáticas comúnmente llamada Optimización y se trata básicamente de determinar el valor máimo de una cantidad que es función de una o más variables. Ejemplo.- Una persona tiene 5 metros de malla para construir un corral rectangular. La persona piensa usar una pared eistente para delimitar el corral. a) Eprese el área como función de b) Calcule las dimensiones del corral que tiene área máima Solución: a) Observe que el área esta dada por A = y En este caso viene epresada en términos de las dos variable y y. Sin embargo podemos sustituir y por una epresión que depende de, debido a la relación entre, y y la cantidad de malla a utilizar. Esta relación viene dada por Esto es + + y = 5 + y = 5 De aquí podemos epresar y en función de, despejando y = 5 Sustituyendo y en el área, tenemos finalmente A como función de A( ) = (5 ). Conviene observa que el Dom A = (0,.5) b) En a) se obtuvo que el área es una función cuadrática de. La llevamos a la forma canónica. A( ) = 5 Como a<0, entonces A () alcanza un máimo en v, él cual está dado por b 5 5 v = = = =6,5. a ( ) 4 Pasamos ahora a calcular la dimensión y, la cual puede ser obtenida de la relación y = 5. Al sustituir por 6,5 obtenemos y=,5. Concluyendo las dimensiones que hacen máima el área son 6,5,5. Adicionalmente podemos decir que el área máima es 78,5m, la cual se obtuvo evaluando la función Área en 6,5. 6

92 6 Estos pasos deberán ser tomados en cuenta a fin de resolver problemas de máimos y mínimos.- Leer el problema hasta comprenderlo, este atento que se pide optimizar..- Realice uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se relacionan los elementos que varían. Escoja nombres a las variables de interés. Si hay varias variables involucradas vea como se relacionan. Formule una ecuación que plantee las relaciones entre las variables. Esta ecuación se suele llamar de ligadura (porque establece la relación entre las variables), otros autores la llaman de restricción..-eprese como función la cantidad que se quiere optimizar en términos de sus variables. Si necesita o más variables despeje las demás variables en términos de una sola, usando la ecuación de ligadura (o restricción) y sustitúyala en la función a optimizar. Determine el dominio de la función de acuerdo a la naturaleza del problema 4.- Si la función resultante en el punto anterior es cuadrática, determine el máimo o mínimo calculando el vértice. 5.- Responda las preguntas del problema Recapitulemos estos pasos analizando el primer ejemplo. Era claro que se estaba interesado en maimizar el área y determinar las dimensiones del terreno con área máima. Esta área depende de dos variable y y Como hay dos variable se busco una ecuación que las relacione, ésta resulto + y = 5, esta es la ecuación de restricción o de ligadura, se despejo una de las variable y se sustituyó en la función a maimizar A = y, pasando ahora a depender de una variable y resultando la función a maimizar una función cuadrática. Para conseguir el máimo se determino el vértice de la parábola. Observe como muchas veces se está interesado en averigua donde se alcanza el máimo que en el propio valor máimo. Ejemplo.- Un distribuidor adquiere balones a un costo de 4UM la unidad. Cuando el precio de venta es de 0UM se venden 4000 unidades en un mes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de UM en el precio se venderán 00 balones menos. a) Qué precio se deberá fijar con el fin de obtener la utilidad máima? b) Cuál es la utilidad máima? Solución: Es claro que el problema se basa en maimizar la función utilidad, ella hay que determinarla pero primero vamos a establecer la variable. Una variable muy frecuente para modelar este problema es = Número de incrementos de UM. Así q=número de balones vendidos por mes puede ser epresado en términos de como: q = Observe que si =0 no hay incrementos y las ventas son 4000, si = entonces se dejan de vender 00 balones, esto es 800, así puede continuar. En términos de, el precio está dado por p = 0 + Alternativa : En este caso obtendremos la utilidad total en base a la utilidad por balón Utilidad por cada balón=precio-costo unitario Así Utilidad por cada balón = p cu = = 6 + y la utilidad total en términos de está dada por Utilidad total= q ( utilidad por balón) = ( )(6 + ) Utilidad total = 00(0 )(6 + ) 6

93 6 Como la utilidad total es una función cuadrática con a< 0 eiste un máimo y se localiza en el b vértice. Escribimos la utilidad en la forma canónica para así emplear la fórmula v = a U ( ) = 00( ) = 00(0 + 4 ) = Entonces el máimo se alcanza en b 800 v = = = 7. a ( 00) a) Recordemos que representa incrementos de UM, no el precio. El precio donde se alcanza la máima utilidad es: p = = 7 b) El valor máimo de la utilidad es : = yv = U ( v ) = 00(0 7)(6 + 7) = UM Alternativa : Se basa en obtener utilidad total Utilidad total = Ingreso total cos to total Así Ingreso total= p q = ( 0 + )( ) Costo total= 4 q = 4( ). Utilidad total = ( 0 + )( ) - 4( ) = 00(0 )(6 + ). El punto donde esta función alcanza su máimo es el mismo que el de la función f ( ) = (0 )(6 + ) = y es: b 4 v = = = 7. a ( ) Así la utilidad máima es yv = U ( v ) = 00(0 7)(6 + 7) = 00 =. 800UM Comentario.- Observe que el vértice de esta función o cualquier otra cuadrática ocurre en el punto medio de los cortes. En este caso U = 00(0 )(6 + ), los cortes ocurren en =0 y en =-6. El punto medio, promedio de de estas coordenadas, ocurre efectivamente en v 0 + = ( 6) = 7 Ejemplo.- El costo total por producir q unidades de un artículo está dado por C ( q) = 70q q + q a) Cuál es el nivel de producción en que el costo promedio por unidad es 5 00 mínimo? b) Cuál es el costo promedio mínimo? Solución: Es claro del enunciado del problema que la función a minimizar es el costo promedio. Esta función hay que determinarla a partir de la función de costo total El costo promedio C, está definido por C( q) C ( q) = q Pasamos entonces a determinarla a partir de la función costo total. 6

94 64 70q q + q C (q) = 5 00 q q = 70 + q q 5 q C (q) = 70 q + q 5 00 a) Esta función es cuadrática con a>0, así alcanza un mínimo en b 00 q 5 v = = = = 0. a 5 ( ) 00 El nivel de producción en que se alcanza el costo promedio mínimo es 0. Es decir cuando se producen 0 unidades se alcanza el mínimo costo promedio por unidad. b) El costo promedio mínimo es c min = C ( qv ) = (0) = q q Ejemplo 4.- Se estima que en un terreno si se plantan 00 matas de aguacates, la producción promedio será de 00 kilos por árbol y que por cada árbol menos que se siembre la producción aumentará en kilos por árbol. a) Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la máima cosecha posible del terreno? b) Cuál es la producción máima posible? Solución: La cantidad que se quiere maimizar es el tamaño de la cosecha que llamaremos la producción total. Procedimiento : Una variable que puede ser usada para modelar este problema es = Número de árboles que se dejan de plantar Así tenemos que Números de árboles a plantar= 00 y La producción promedio por árbol la podemos epresar como Producción por árbol = 00 + kilos De esta manera La producción total=( número de árboles a plantar) ( producción por árbol) = ( 00 ) (00 + ) La llevamos a la forma canónica para determinar donde se alcanza el máimo y llamaremos P la producción total. P( ) = a) La función producción es una función cuadrática que alcanza un máimo, para ver donde se alcanza calculamos el vértice b 00 v = = = 50 a ( ) Entonces hay que sembrar = 50 árboles en ese terreno para alcanzar la máima cosecha por árbol. b) Para conseguir el valor máimo simplemente evaluamos la función producción en =50 la P ( 50) = (50) (50) 64

95 65 La producción total = kilos es la máima producción posible Procedimiento : Básicamente se basa en escoger como variable la natural: = Número de matas a sembrar en el terreno. En este caso, si y es la producción promedio de cada mata entonces eiste una relación lineal entre las variables cuya pendiente es - ( por qué?). El punto (, y) = (00,00) cumple con esta relación. Usamos este punto y la pendiente para establecer la ecuación que relaciona con y y 00 = ( 00) de aquí y = Tenemos entonces que La producción total=( número de árboles a plantar) ( producción por árbol) Así, con las variables que estamos trabajando y llamando la producción total P, queda: P = y P ( ) = ( + 900) Esta es una función cuadrática que la llevamos a su forma canónica P( ) = El lector puede chequear que el vértice se alcanza en = 50 y este es precisamente el número de matas a sembrar. b) Para obtener la producción máima evaluamos la función P en 50, P ( 50) = Kilos es la máima producción. EJERCICIOS ) Graficar las siguientes funciones utilizando la técnica de completación de cuadrados:.) f ( ) = 0 4 ;.) f ( ) = 4 4 ;.) f ( ) = 6 ) Graficar las siguientes funciones utilizando la fórmula del vértice y cortes con los ejes..) f ( ) = + ;.) f ( ) = + ;.) f ( ) = ( + ) ;.4) f ( ) = ( + 4)( ) ;.5) f ( ) = 5 6 ( + )( ) ;.6) f ( ) = ( + ) + ) Encuentre los máimos o mínimos de las siguientes funciones cuadráticas según corresponda..) f ( ) = + ;.) f ( ) = ( + )( + ) + 8 ;.) f ( ) = 0 5 ;.4) f ( ) = ;.5) f ( ) = ( ) + / 4) Resolver gráficamente las siguientes desigualdades: 4.) + + < 0; 4.) + 0 > 0 4.) + + > 0 4.4) ; 4.5)

96 66 5) Epresar las siguientes funciones en la forma f ( ) = a( h) + k. 5.) f ( ) = 4 + ; 5.) f ( ) = + ; 5.) f ( ) = ) Encuentre los cortes con el eje de una función cuadrática que alcanza un mínimo en (-,) Respuestas: 66

97 67 Respuestas:.) ma en =0;.) min - en =-6;.) ma 8 en =-;.4)min-.5 en =/4.5)ma.5 en =; 4.) (-,-/); 4.) (, 5) (, ) 4.)R; 4.4) ; 4.5) [,4]; 5 5.) f ( ) = 4 ( ) + ; 5.) 4 4 6) No hay cortes. 5 f ( ) = ( ) + ; 5.) 4 5 f ( ) = ( ) PROBLEMAS DE ECONOMIA ) El costo promedio por unidad al producir q unidades de un artículo es c ( q) = 0 0.q q Cuál es el nivel de producción en que el costo promedio por unidad es mínimo? Respuesta: 0 unidades ) Un museo admite grupos grandes de 0 hasta 60 personas con la siguiente política de rebajas: Para grupos menores o iguales a 0 personas la tarifa es de 60UM, pero por cada persona adicional la tarifa por persona se reduce en UM. Cuál es el tamaño del grupo para el cuál el ingreso del museo es máimo?(observe que si el grupo es de la tarifa por persona es 58, pero si el grupo es de la tarifa es de 56) Respuesta: 55 personas ) El costo total por producir q unidades de un artículo está dado por c ( q) = 0q 0.q + 0.0q a) Cuál es el nivel de producción en que el costo promedio por unidad es mínimo? b) Cuál es el costo promedio mínimo? Respuesta: a) 5, b) 7.75UM. 4) Una disquera puede reproducir un CD a un costo de 0UM cada uno y estima que si vende a un precio de p UM cada uno, los consumidores comprarán aproimadamente 90-p CD cada mes. a) Epresar la utilidad mensual como una función del precio. b) Determinar el precio para el cual la utilidad de la casa discográfica es máima? c) Cuál será esa utilidad? Respuesta: a) (p-0)(90-p) ; b)50 UM; c).600um 5) La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f(q)=00-q, donde p es el precio por unidad cuando q unidades son demandadas. Determine el nivel de producción que maimiza el ingreso total del fabricante. Respuesta: q=50 unidades 6) Un kiosko de comida rápida prepara hamburguesas a un costo de UM cada una. Las hamburguesas se han vendido a 5UM cada uno y a ese precio, los consumidores han comprado 4000 al mes. El dueño planea incrementar el precio de las hamburguesas y estima que por cada UM de aumento en el precio se venderán 00 hamburguesas menos. a) Eprese la utilidad mensual como función del precio. b) Dibuje la gráfica de la función utilidad. Qué precio corresponde a la utilidad máima? Respuesta: U( p) = ( p )( p) ; b) p=.5um. 7) Una tienda de deporte puede obtener un balón de fútbol a un costo de 0UM por pelota y estima que si se fija el precio de venta en p UM la unidad entonces la demanda será de 40(-p) balones al mes. Qué precio deberá fijarse al consumidor a fin de obtener la máima utilidad? Respuesta: p= 8) Los costos fijos mensuales de una fábrica de morrales son 4000UM y el costo variable por unidad q es de 4UM. La fabrica puede vender q unidades a un precio de p por unidad, en donde p = Cuántos morrales deberán producirse y venderse al mes de modo de obtener a)ingresos máimos. b) Utilidad máima Respuesta: a) 80 unidades b) 50 UM 9) Una fábrica de lavadoras vende 5000 lavadoras al mes si el precio es de 400UM cada una y estima que por cada incremento de UM las ventas bajarán en 4 lavadoras. Si la fábrica tiene costos fijos mensuales de UM y el costo variable por lavadora es 00UM. a) Qué precio deberá fijarse a cada lavadora de modo que la utilidad sea máima? b) Cuál es el valor de la utilidad máima? Respuesta: a) 800UM b) UM 0) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 00 matas de mangos por hectárea se obtendrá un valor de la cosecha por árbol de 500 UM en su edad adulta. Se estima que por cada árbol que se siembre de más hará que el valor promedio por árbol disminuya en 4 UM. a) Eprese el valor total de 67

98 68 la cosecha de una hectárea en edad adulta en función del número de árboles adicionales sembrados. b) Cuál es el número de árboles que debe plantarse por hectárea a fin de obtener el valor máimo posible de la cosecha por hectárea? c) Cuál es este valor máimo? Respuesta: a) V = ; b),5 P()= 5064; P() =5064 se deben sembrar ; c) ) Un productor puede vender 00 unidades de un artículo al mes a un precio de 5UM y 00 unidades a un precio de 0UM a) Eprese la demanda q mensual como función del precio asumiendo que eiste una relación lineal entre ellas a partir de una producción de 00UM. b) Eprese los ingresos como función de q. c) Si el costo de producir un artículo es 5UM. Eprese la utilidad como función de p. d) Cuál es el precio que hay que fijar a cada artículo a fin de obtener la máima utilidad? Cuál es el nivel de producción en que se alcanza la utilidad máima? e) Cuál es la utilidad máima? Respuesta: a) q = 0 p ; b) I = 0 p p ; c) u = 0 p p 500 ; d) p = 5 UM y q=00 e) 7000UM ) Un agricultor puede vender el saco de apio a 0UM el primero de septiembre, el precio del apio empieza a disminuir a una tasa aproimada de 0.5 UM por semana. Para la fecha del de septiembre él tiene 0 sacos y estima que su cosecha aumentará en tres sacos por semana. Cuándo le convendrá vender su cosecha? Respuesta: dentro de 0 semanas PROBLEMAS GENERALES ) Con 00 metros se quiere cercar corrales idénticos como muestra la figura. a) Eprese el área total como función de b) Calcule las dimensiones de los corrales que tiene área máima Respuesta:00/m.5m. ) El número de kilómetros K, que puede viajar un automóvil con un litro de gasolina depende de la velocidad. Para una cierta marca de automóvil se estima que la cantidad de kilómetros está dada por el v + 90v siguiente modelo: K( v) =, donde v es la velocidad y el modelo se ha demostrado 400 apropiado para velocidades menores de 80km/seg. Calcule la velocidad más rendidora. ) La tasa de crecimiento de una población está dada por: y =.(0.000 ) individuos por año, donde es el tamaño actual de la población. Estime el tamaño de la población donde la tasa de crecimiento es más alta. (En el modelo y =.(0.000 ) representa el tamaño tope de la población. Este modelo está sustentado en que la tasa de crecimiento es directamente proporcional al tamaño de la población y a la diferencia entre el tope de crecimiento de la población y el tamaño eistente) 68

99 Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones eplícitas Si se pueden obtener las imágenes de por simple sustitución. f() = 5 - Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

100 5 - y - = 0 Funciones polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f() = a 0 + a + a ² + a ³ + + a n n Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen. Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f()= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómica de primer grado f() = m +n función. Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la Funciones cuadráticas f() = a² + b +c parábola. Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

101 El dominio lo forman todos los números reales ecepto los valores de que anulan el denominador. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones trascendentes La variable independiente figura como eponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualq uiera de los signos que emplea la trigonometría. Función eponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia a se llama función eponencial de base a y eponente. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la eponencial en base a.

102 Funciones trigonométricas Función seno f() = sen Función coseno f() = cosen Función tangente f() = tg Función cosecante f() = cosec Función secante f() = sec Función cotangente f() = cotg Funciones constantes La función constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. 4

103 Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo: = K 5

104 Función lineal La función lineal es del tipo: y = m Su gráfica es una línea recta que pasa por el ori gen de coordenadas. y = 0 4 y = Pendiente m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. 6

105 Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso. Función identidad f() = Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. 7

106 Función afín La función afín es del tipo: y = m + n m es la pendiente de la recta. abscisas. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. 8

107 Ejemplos de funciones afines Representa las funciones: y = - y = y = -¾ - y = -¾

108 Función cuadrática parábola. Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una f() = a² + b +c Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:. Vértice Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: = b a 0

109 . Puntos de corte con el eje OX. En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: a² + b +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (, 0) y (, 0) si b² - 4ac > 0 Un punto de corte: (, 0) si b² - 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0. Punto de corte con el eje OY. En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0² + b 0 +c = c (0,c) Representar la función f() = ² Vértice v = - (-4) / = y v = ² = - V(, -). Puntos de corte con el eje OX. ² = 0 (, 0) (, 0)

110 . Punto de corte con el eje OY. (0, ) Traslaciones de parábolas Construcción de parábolas a partir de y = ² Partimos de y = ² y = ²

111 . Traslación vertical y = ² + k Si K > 0, y = ² se desplaza hacia arriba k unidades. Si K < 0, y = ² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría = 0. y = ² + y = ² -

112 . Traslación horizontal y = ( + h)² Si h > 0, y = ² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = ² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (-h, 0). El eje de simetría es = -h. y = ( + )²y = ( - )². Traslación oblicua y = ( + h)² + k El vértice de la parábola es: (-h, k). El eje de simetría es = -h. 4

113 y = ( - )² + y = ( + )² Dilataciones y contracciones de funciones Contracción de una función Una función f(k ) se contrae si K >. 5

114 Dilatación de una función Una función f(k ) se dilata si 0 < K <. 6

115 Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los números reales ecepto los valores de que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:. 7

116 Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones. Traslaciones de hipérbolas Las hipérbolas son las más sencillas de representar. Sus asítontas son los ejes. 8

117 El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen. A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslaci ón.. Traslación vertical El centro de la hipérbola es: (0, a). Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades. 9

118 El centro de la hipérbola es: (0, ) Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades. El centro de la hipérbola es: (0, -) 0

119 . Traslación horizontal El centro de la hipérbola es: (-b, 0). Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades. El centro de la hipérbola es: (-, 0) Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

120 El centro de la hipérbola es: (, 0). Traslación oblicua El centro de la hipérbola es: (-b, a) El centro de la hipérbola es: (, 4).

121 Para representar hipérbolas del tipo: se divide y se escribe como: Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes. El centro de la hipérbola es: (-, ).

122 Funciones radicales El criterio viene dado por la variable bajo el signo radical. Función radical de índice impar El dominio es. 4

123 Función radical de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. 5

124 6

125 Funciones definidas a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. El dominio lo forman todos los núme ros reales menos el 4. Función parte entera de Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior. 7

126 f() = E () f() = E() Función mantisa Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. f() = - E () f() = - E()

127 Función signo f() = sgn() Función valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en fun ciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: raíces.. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus intervalo.. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada. Definimos la función a trozos, teniendo en c uenta que en los intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante. 9

128 D= 0

129 D= Función eponencial La función eponencial es del tipo: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia a se llama función eponencial de base a y eponente.

130 Propiedades de la función eponencial Dominio:. Recorrido:. Es continua. Los puntos (0, ) y (, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>. Decreciente si a<. Las curvas y=a e y= (/a) son simétricas respecto del eje OY.

131 Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la eponencial en base a.

132 Propiedades de las funciones logarítmicas De la definición de logaritmo podemos deducir: No eiste el logaritmo de un número con base negativa. No eiste el logaritmo de un número negativo. No eiste el logaritmo de cero. El logaritmo de es cero. El logaritmo en base a de a es uno. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al eponente. 4

133 Las características de la función logarítmica y = log a son: Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (, 0) y (a, ) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>. Decreciente si a<. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del er y er cuadrante) de la gráfica de la función eponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí. 5