Funciones. Cátedra de Matemática I

Transcripción

1 Funciones Cátedra de Matemática I 2013

2 Definición Las funciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo, ya que constituyen la clave para describir el mundo real en términos matemáticos

3 Definición Las funciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo, ya que constituyen la clave para describir el mundo real en términos matemáticos Definición preliminar: Una función es una relación entre dos magnitudes e llamadas, respectivamente, variable independiente y variable dependiente

4 Definición Las funciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo, ya que constituyen la clave para describir el mundo real en términos matemáticos Definición preliminar: Una función es una relación entre dos magnitudes e llamadas, respectivamente, variable independiente y variable dependiente Es decir, el valor de una cantidad variable, la cual podemos llamarla, depende del valor de otra variable, por ejemplo,. Debido a que el valor de la primera está totalmente determinado por el de la segunda, decimos que es una función de

5 Definición Es posible que en algún momento queramos referirnos a una función sin contar con una fórmula/expresión determinada. Una manera simbólica de decir es función de, consiste en escribir:

6 Definición Es posible que en algún momento queramos referirnos a una función sin contar con una fórmula/expresión determinada. Una manera simbólica de decir es función de, consiste en escribir: Definición de función: Una función de un conjunto a un conjunto es una regla que asigna un elemento único a cada elemento

7 Definición Es posible que en algún momento queramos referirnos a una función sin contar con una fórmula/expresión determinada. Una manera simbólica de decir es función de, consiste en escribir: Definición de función: Una función de un conjunto a un conjunto es una regla que asigna un elemento único a cada elemento Al conjunto se lo llama dominio Por lo tanto, el dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada posibles. Es decir, todos los valores que puede tomar la variable

8 Dominio e Imagen Imagen de una función: es el conjunto de todos los valores que puede ofrecer la función, es decir, todos los valores de a medida que varía en todo su dominio

9 Dominio e Imagen Imagen de una función: es el conjunto de todos los valores que puede ofrecer la función, es decir, todos los valores de a medida que varía en todo su dominio Podemos pensar a una función como una especie de fábrica, en donde la materia prima (los ingrendientes) son los valores de la variable y luego del proceso de fabricación se obtiene el producto

10 Dominio e Imagen Imagen de una función: es el conjunto de todos los valores que puede ofrecer la función, es decir, todos los valores de a medida que varía en todo su dominio Podemos pensar a una función como una especie de fábrica, en donde la materia prima (los ingrendientes) son los valores de la variable y luego del proceso de fabricación se obtiene el producto entrada (dominio) salida (imagen)

11 Dominio e Imagen Ejemplos de dominio e imagen de funciones Función Dominio ( ) Imagen ( )

27 Dominio e Imagen Importante propiedad de las funciones Es muy importante destacar que en una función, a cada elemento del dominio, le corresponde uno y sólo un elemento de la imagen.

28 Dominio e Imagen Importante propiedad de las funciones Es muy importante destacar que en una función, a cada elemento del dominio, le corresponde uno y sólo un elemento de la imagen. Esta propiedad puede graficarse de la siguiente manera:

29 Dominio e Imagen Importante propiedad de las funciones Es muy importante destacar que en una función, a cada elemento del dominio, le corresponde uno y sólo un elemento de la imagen. Esta propiedad puede graficarse de la siguiente manera: Observar que si bien hay dos elementos del dominio que comparten un mismo elemento de la imagen, siempre ocurre que a cada elemento del dominio le corresponde un único valor de la imagen

30 Dominio Restricciones al dominio El dominio puede estar restringido (acotado) en términos puramente algebraicos o por el contexto de un problema.

31 Dominio Restricciones al dominio El dominio puede estar restringido (acotado) en términos puramente algebraicos o por el contexto de un problema. Veamos un ejemplo: supongamos que el crecimiento poblacional de una plaga en decenas de miles está dado por la función donde es la candidad de individuos en decenas de miles y representa la cantidad de años en los que estamos analizando el crecimiento.

32 Dominio Restricciones al dominio El dominio puede estar restringido (acotado) en términos puramente algebraicos o por el contexto de un problema. Veamos un ejemplo: supongamos que el crecimiento poblacional de una plaga en decenas de miles está dado por la función donde es la candidad de individuos en decenas de miles y representa la cantidad de años en los que estamos analizando el crecimiento. Desde un punto de vista puramente algebraico, el dominio de la función es, es decir, todos los nros. reales. Pero teniendo en cuenta el contexto del problema, está claro que el dominio es ahora ya que si estamos realizando nuestro estudio en determinada cantidad de años, la variable independiente puede interpretarse desde cierta cantidad de meses hasta un nro. real positivo tan grande como se desee

33 Dominio Intervalos para el dominio Usualmente, el dominio de una función se expresa en notación de intervalos: : cerrado en ambos extremos del intervalo : abierto en ambos extremos del intervalo : cerrado a la derecha y abierto a la izquierda : abierto a la izquierda y cerrado a la derecha Nota: el análisis completo de notación de intervalos se encuentra en la presentación teóríca de Inecuaciones

34 Gráfica de una función La gráfica de una función Es una representación visual de su comportamiento, la cual permite obtener información significativa de manera rápida y sencilla. Si el par ordenado es un punto de la gráfica, entonces es la altura de la gráfica justo arriba del punto Obviamente, esta altura puede ser positiva (por arriba del eje, o negativa (por debajo de éste)

35 Gráfica de una función Prueba de la recta vertical No todas las curvas son gráficas de funciones. Una función sólo puede tener un valor de para cada en su dominio, de manera que ninguna recta vertical puede intersecar más de una vez la gráfica de una función.

36 Gráfica de una función Prueba de la recta vertical No todas las curvas son gráficas de funciones. Una función sólo puede tener un valor de para cada en su dominio, de manera que ninguna recta vertical puede intersecar más de una vez la gráfica de una función. NO es función es función es función

37 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente para los cuales la función se anula. Es decir, los valores de para los cuales

38 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente para los cuales la función se anula. Es decir, los valores de para los cuales Ejemplo 1: sea la función Entonces: Por lo tanto:

39 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente para los cuales la función se anula. Es decir, los valores de para los cuales Ejemplo 1: sea la función Entonces: Por lo tanto:

40 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente para los cuales la función se anula. Es decir, los valores de para los cuales Ejemplo 1: sea la función Entonces: Por lo tanto: Observar que la raíz de la función Indica el lugar en donde la gráfica corta al eje

41 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Ejemplo 2: sea la función

42 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Ejemplo 2: sea la función Entonces: Por lo tanto: ; ;

43 Ceros (o raíces ) de una función Ceros de una función Ejemplo 2: sea la función Entonces: Por lo tanto: ; ;

44 Funciones Polinomiales Funciones polinomiales Son de la forma:

45 Funciones Polinomiales Funciones polinomiales Son de la forma: Función polinómica lineal

46 Funciones Polinomiales Funciones polinomiales Son de la forma: Función polinómica lineal Función polinómica cuadrática

47 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios

48 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios Es interesante analizar el dominio y los ceros de las funciones racionales. En particular:

49 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios Es interesante analizar el dominio y los ceros de las funciones racionales. En particular: el dominio es el conjunto

50 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios Es interesante analizar el dominio y los ceros de las funciones racionales. En particular: el dominio es el conjunto los ceros de la función son los ceros del numerador

51 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios Es interesante analizar el dominio y los ceros de las funciones racionales. En particular: el dominio es el conjunto los ceros de la función son los ceros del numerador Ejemplo: sea

52 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios Es interesante analizar el dominio y los ceros de las funciones racionales. En particular: el dominio es el conjunto los ceros de la función son los ceros del numerador Ejemplo: sea dominio todos los nros. reales excepto y

53 Funciones Racionales Funciones racionales Son de la forma siendo y polinomios Es interesante analizar el dominio y los ceros de las funciones racionales. En particular: el dominio es el conjunto los ceros de la función son los ceros del numerador Ejemplo: sea dominio todos los nros. reales excepto y Ceros y

54 Funciones definidas a trozos Funciones definidas a trozos En ocasiones, una función se describe usando distintas fórmulas en diferentes partes de su dominio.

55 Funciones definidas a trozos Funciones definidas a trozos En ocasiones, una función se describe usando distintas fórmulas en diferentes partes de su dominio. Un ejemplo de esta situación es la función valor absoluto: dado un número real, se define su valor absoluto a la longitud del segmento determinado sobre la recta numérica entre y el origen.

56 Funciones definidas a trozos Funciones definidas a trozos En ocasiones, una función se describe usando distintas fórmulas en diferentes partes de su dominio. Un ejemplo de esta situación es la función valor absoluto: dado un número real, se define su valor absoluto a la longitud del segmento determinado sobre la recta numérica entre y el origen. Su expresión es:

57 Funciones Trascendentes Funciones Trascendentes Las funciones pueden clasificarse en dos grandes grupos. Por un lado se tienen las funciones algebraicas, las cuales se obtienen a partir de polinomios usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y raíces). Por otra parte, se tienen las funciones no algebraicas, las cuales se denominan trascendentes. Entre ellas podemos mencionar a las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Analicemos estas funciones...

58 Funciones Trascendentes Funciones Exponenciales Son de la forma Todas las exponenciales tienen dominio e imagen

59 Funciones Trascendentes Funciones Exponenciales Son de la forma Todas las exponenciales tienen dominio Ejemplos: e imagen

60 Funciones Trascendentes Funciones Logarítmicas Se define el logaritmo de un número, en una base determinada, al exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir:

61 Funciones Trascendentes Funciones Logarítmicas Se define el logaritmo de un número, en una base determinada, al exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir: (se lee: logaritmo en base a de x es igual a b)

62 Funciones Trascendentes Funciones Logarítmicas Se define el logaritmo de un número, en una base determinada, al exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir: (se lee: logaritmo en base a de x es igual a b) Ejemplos:

63 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas La importancia de las funciones trigonométricas radica en que al ser periódicas (se repiten), pueden modelar muchos procesos naturales periódicos.

64 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas La importancia de las funciones trigonométricas radica en que al ser periódicas (se repiten), pueden modelar muchos procesos naturales periódicos. Antes de pasar a analizar este tipo de funciones, desarrollemos el siguiente concepto: se dice que un ángulo en el plano se encuentra en posición estándar o canónica si su vértice se ubica en el origen y su lado ( rayo ) inicial está a lo largo del eje positivo.

65 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas La importancia de las funciones trigonométricas radica en que al ser periódicas (se repiten), pueden modelar muchos procesos naturales periódicos. Antes de pasar a analizar este tipo de funciones, desarrollemos el siguiente concepto: se dice que un ángulo en el plano se encuentra en posición estándar o canónica si su vértice se ubica en el origen y su lado ( rayo ) inicial está a lo largo del eje positivo.

66 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas Ejemplos de ángulos medidos en radianes:

67 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas Analicemos el siguiente gráfico:

68 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas Analicemos el siguiente gráfico: Puede observarse claramente que el ángulo se encuentra en posición estándar. En esta situación, se definen las funciones trigonométricas de dicho ángulo en términos de las coordenadas del punto.

69 Funciones Trascendentes Funciones Trigonométricas Analicemos el siguiente gráfico: Puede observarse claramente que el ángulo se encuentra en posición estándar. En esta situación, se definen las funciones trigonométricas de dicho ángulo en términos de las coordenadas del punto. Ellas son: