Unidad 2. FUNCIONES Conceptos

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1 Unidad 2. FUNCIONES Competencia específica a desarrollar Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propiedades y operaciones. Función 2.1. Conceptos Se puede considerar que una función es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y. Por ejemplo, sean tanto X como Y el conjunto R de los números reales. A cada número real x, asociémosle su cuadrado x 2. Entonces a 3 le asociamos 9, -5/4 le asociamos 25/16, etc. Esto determina una función de R a R. La siguiente definición resume la observación anterior: Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es una regla que asocia a cada elemento x de X un único elemento y de Y. El elemento y se llama la imagen de x bajo f y se denota por f(x). El conjunto X se llama el dominio de la función. El rango de la función consta de todas las imágenes de los elementos de X. Definición de variable Una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor de los comprendidos en un conjunto. Variable independiente Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. La variable independiente en una función se suele representar por x y se grafica en el eje de abscisas. Variable dependiente Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable, es decir, la variable y está en función de la variable x. La variable dependiente en una función se suele representar por y, y se grafica en el eje ordenadas. Constante Una constante matemática es un valor fijo Dominio Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x (variable independiente) forman el conjunto original. Gráficamente lo miramos en el eje x de las abscisas. Codominio

2 El Codominio es el conjunto de valores que pueden tomar la variable dependiente y. Es decir, el codominio son los posibles resultados que salgan de la función f(x). Rango Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Gráficamente lo miramos en el eje y de ordenadas Función inyectiva 2.2. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino. Ejemplo 1: Sea A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3}; f: A B: f= {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} Es decir, gráficamente queda: Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea. Por lo tanto, es INYECTIVA. Ejemplo 2. Sea A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3}; f: A B: f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2)} Gráficamente queda: Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA. Ejemplo 3. Para la siguiente función: f(x) = y = x-1. A cada elemento del domino se le relaciona en la función con un elemento de la imagen, por lo tanto ES INYECTIVA.

3 NOTA: El domino y la imagen son todos los reales: D = R I = R Función suprayectiva Cuando el rango y el codominio son iguales la función es suprayectiva. Ejemplo 1: Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3} y B = {2, 4} y la función f = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)}. Gráficamente queda: Al conjunto B = {2, 4} se le llama codominio. El rango de la función también es I = {2,4}. Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA Ejemplo 2. Sean los mismos conjuntos anteriores pero con la función f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}. Gráficamente queda de la siguiente forma:

4 El codominio B = {2, 4}. El rango o imagen es: I = {2}. Como el codominio y el rango no son iguales la función es no es SUPRAYECTIVA. Función biyectiva Para que una función sea biyectiva se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. Ejemplo 1. La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva Función real de variable real y su representación gráfica Para describir una función f es necesario especificar la imagen f(x) de cada uno de los elementos x del dominio. Un método común para hacer esto es usar una ecuación, por ejemplo f(x)=x 2. En este caso es irrelevante qué símbolo se use para la variable, es decir expresiones tales como f(x)=x 2, f(s)=s 2, f(t)=t 2, etc., todas definen la misma función f. El concepto de pareja ordenada se puede usar para ver a las funciones desde otro punto de vista. Primero observamos que una función f de X a Y determina el siguiente conjunto W de parejas ordenadas: Es decir W es el conjunto de todas las parejas ordenadas en las que el primer número está en X y el segundo es la imagen del primero. Por ejemplo, en f(x)=x 2, W consta de todas las parejas (x, x 2 ) donde x es cualquier número real. Se concluye de la discusión anterior que, una función con dominio X es un conjunto W de parejas ordenadas tal que para cada x en X, existe exactamente una pareja ordenada (x, y) en W con x como primer número. Se define la gráfica de una función f como el conjunto de todos los puntos (x, f(x)) en un plano coordenado con x en el domino de f. Las gráficas son muy útiles para describir el comportamiento de f(x) cuando varía x. También se puede describir la gráfica f como el conjunto de puntos P (x, y) tales que y= f(x). Por lo tanto la gráfica de f coincide con la gráfica de la ecuación y= f(x) si P (x, y) está sobre la gráfica de f, entonces la ordenada y es el valor de f en x.

5 Ejemplo 1 Dibuje la gráfica de f suponiendo que Solución. La gráfica consta de todos los puntos. Primero hemos de llamar algunos puntos con coordenadas tales que estén en W. Conviene hacer una tabla con estas coordenadas, de manera que el valor de y correspondiente al número real x sea igual a 2x-1. x y Después de trazar los puntos con estas coordenadas, observamos que todos están sobre una línea recta y dibujamos la gráfica de acuerdo con esta observación (ver figura 2.1): Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de f suponiendo que Figura 2.1. Gráfica de la función f(x)=2x-1 Solución. Los valores de x tales que no están en el dominio de f ya que en este caso f(x) no es un número real. En consecuencia no hay puntos de la forma (x, y) con en la gráfica de f. En la siguiente tabla se hace una lista de algunos puntos (x, f(x)) sobre la gráfica: x y Trazando estos puntos llegamos al dibujo mostrado en la figura 2.2:

6 Ejemplo 3. Fig Gráfica de la función Si x es un número real cualquiera entonces existen enteros consecutivos n y n+1 tales que. Sea f la función de R a R definida como sigue: si entonces. Solución. Se puede hacer una lista de las abscisas y ordenadas de los puntos sobre la gráfica de f como sigue: Valores de x f(x) Ya que f se comporta como una función constante cuando x está entre dos valores enteros consecutivos, la porción correspondiente de la gráfica es un segmento de recta horizontal. En la figura 2.3 está dibujada una parte de la gráfica.

7 Fig Gráfica de una función discontinua escalonada Ejemplo 4. Dibuje la gráfica de la función f definida como sigue: Solución. Si x<0 entonces. Esto quiere decir que si x es negativo entonces se debe usar la expresión 2x+3 para hallar los valores de f(x). Por lo tanto si x<0 la gráfica de f coincide con la recta y dibujamos la porción de la gráfica a la izquierda del eje y como se indica en la figura 2.4. Si usamos x 2 para encontrar los valores de f(x) y por lo tanto esta porción de la gráfica coincide con la gráfica de la ecuación y=x 2. Por lo tanto, dibujamos la porción de la gráfica f entre x= 0 y x= 2 como lo indica la figura 2.4. Finalmente si la gráfica de f coincide con la función constante que tiene valor 1.Esta parte de la gráfica es la semirrecta horizontal ilustrada en la figura 2.4.

8 Fig Gráfica de la función discontinua del ejemplo Funciones algebraicas: Funciones polinomial, racional e irracional Una función f se llama algebraica si se puede expresar en términos de sumas, diferencias, productos, cocientes o raíces de polinomios. Por ejemplo si Entonces f es una función algebraica. Función polinomial Sea f una función definida por Para cada x, donde a 0,, a n son reales y los exponentes son enteros no negativos. La expresión a la derecha la función se llama un polinomio en x (con coeficientes reales) y cada a k x k se llama un término del polinomio. Si decimos que tiene grado n. Si un polinomio tiene grado 0, entonces con y por lo tanto f es una función constante. Si f(x) es un polinomio de grado 1, entonces con. Como se vio anteriormente, la gráfica de esta función f es una línea recta y por consiguiente, f se llama función lineal. Cualquier polinomio de grado 2 se puede escribir como

9 Con. En este caso f se llama función cuadrática. La gráfica f es una parábola. Función racional Una función racional es un cociente de dos polinomios. Por lo tanto, q es racional si para cada x en su dominio Donde f(x)k y g(x) son polinomios. El dominio de un polinomio es R mientras que el dominio de una función racional consta de todos los números reales exceptuando los ceros del polinomio en el denominador. Función irracional Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical: donde g(x) es una función polinómica o una función racional. Las características generales de estas funciones son: a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero. b) Si el índice del radical es impar, el dominio es R. c) El recorrido es d) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas Funciones trascendentes: Funciones trigonométricas y funciones exponenciales Las funciones trascedentes de una variable son aquellas que no pueden relacionarse con la variable independiente por medio de las cuatro operaciones algebraicas efectuadas un número limitado de veces. Entre las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas directas e inversas; las logarítmicas y las exponenciales. Función exponencial Teorema: A cada número real x le corresponde un número real positivo único y tal que.

10 Este teorema permite definir una función del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales positivos, ya que a cada x corresponde un único. La definición formal de esta función es: La función exponencial natural denotada por exp se define mediante Para todo x y para todo. El dominio es el conjunto de los números reales, el rango son los reales positivos. Las funciones logaritmo natural y exponencial natural son funciones inversas una de la otra. Por lo tanto una de la gráficas es la reflexión de la otra con respecto a la recta y = x. Por consecuencia, se puede obtener la gráfica de reflejando la gráfica de con respecto a este recta como se ilustra en la figura Fig Gráfica de las funciones exponencial y logaritmo natural La letra e denota al único número real positivo tal que. Si x es cualquier número real, entonces es el (único) número real y tal que. Comparando esto con la definición de función exponencial, se tiene que

11 Para todo número real x. Si p y q son números reales y r es un número racional, entonces 1) 2) 3) Funciones trigonométricas En el cálculo, está convenido que la medición de los ángulos de las funciones trigonométricas se realiza en radianes. Por ejemplo, cuando se usa la función f(x)= sen (x), se entiende que sen (x) es el seno del ángulo x medido en radianes. Por lo tanto, la gráfica de las funciones seno y coseno se muestran en la figura 2.11: Fig Representación gráfica de las funciones sen (x) y cos (x) El dominio de estas dos funciones está desde. y el rango en el intervalo cerrado de Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienen como periodo. Esto quiere decir que, para todos los valores de x:

12 La naturaleza periódica de estas funciones las hace ideales para modelar fenómenos repetitivos, tales como olas, vibraciones, ondas de sonido, etc. La función tangente está relacionada con las funciones seno y coseno por medio de la ecuación: Y su gráfica se muestra en la figura Es indefinida cuando, etc. Su rango es de, y su periodo es :, esto es cuando Fig Gráfica de la función tan x Las otras tres funciones trigonométricas (cosecante, secante y cotangente) son funciones inversas a las funciones seno, coseno y tangente respectivamente. Y sus gráficas se muestran en las figuras 2.13 y 2.14:

13 Fig Gráficas de las funciones csc(x) y sec(x). Fig Gráfica de la función cot (x). Bibliografía Ditutor, Diccionario de Matemáticas, Ferrero, P., Matemáticas, Dominio y recorrido de una función, Swokowski, E., Cálculo con geometría analítica, Ed. Wadsworth Internacional Iberoamérica, pág. 29, 30, 1982.

14 Caro, A., Dominio y codominio de una función, Ruiz. M. Funciones y relaciones, funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, Swokowski, E. Cálculo con geometría analítica, Ed. Wodsworth Internacional Iberoamérica, 2da. Edición, 1982, pág. 14, 15, Funciones irracionales, Jimenez, R., Funciones irracionales, Funciones,