UNIDAD 2 CALCULO DIFERENCIAL

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1 UNIDAD CALCULO DIFERENCIAL DEFINICION DE FUNCIÓN: una función es una epresión matemática en la que aparecen variables constantes relacionadas. Las variables en este curso serán dos: Una llamada variable dependiente otra variable independiente. Una función puede ser epresada de cuatro formas.-en palabras.-por medio de una formula.-por medio de una tabla de valores 4.-Por medio de una grafica EJEMPLO Un vendedor de enciclopedias en CD 5 discos en ventas casa por casa, recibe $5. diarios más $4. por cada enciclopedia vendida El enunciado anterior nos muestra una función en la que las variables son el sueldo S el numero de enciclopedias vendidas por día, encontramos además en el enunciado dos constantes, que son el 5 el 4. S = Variable Dependiente: VARIABLE, Porque no todos los vendedores ganaran lo mismo DEPENDIENTE, Porque depende del no. de enciclopedias que venda = Variable Independiente: VARIABLE, Porque no todos los vendedores acomodan el mismo no. de artículos por día. INDEPENDIENTE, Porque se requiere primero que eistan ventas para que el sueldo varíe. El enunciado del ejemplo puede ser representado por medio de una epresión matemática o formula, como se muestra a continuación: SIENDO: S = sueldo de un empleado = N de enciclopedias vendidas por día S = = F El sueldo como una función de la venta También podemos mostrar el enunciado por medio de una tabla de valores S = sueldo diario de un empleado = no de enciclopedias vendidas por un día

2 S En forma grafica podemos representar el enunciado del ejemplo donde podremos observar el comportamiento de las ventas en una semana que repercuten en el sueldo S L M M J V S DIAS.- Una compañía aérea con aviones de 5 plazas, cobra en cierta ruta $ 6 por persona para grupos de un mínimo de 5 personas. Por cuestiones de competencia ofrece un descuento de $ menos por persona, por cada persona que sobrepase a los 5. El enunciado del ejemplo involucra el ingreso I de la compañía como variable dependiente del no. de pasajeros etra que es la variable independiente. Lo anterior se puede epresar de la siguiente manera: Si = N de pasajeros etra; I = Ingreso de la compañía = ; I = 5 6 = ; I = 6 59 = ; I = 7 58 I = = f También en forma de tabla tendríamos I$ Que también podríamos graficar

3 EJEMPLO.- Epresar el área de un triangulo equilátero como una función de uno de sus lados. A=. Del triangulo. f A A 4 EJEMPLO 4.- Epresar la longitud de una cuerda de circunferencia de radio=8 como una función de la distancia de esta al centro. Del triangulo l C 8

4 l l 4 l l 4 64 =Longitud de la cuerda. = Distancia del centro a la cuerda. l 64 f CLASIFICACION DE FUNCIONES: Las funciones por los elementos que las constituen reciben un nombre: Así encontramos las funciones algebraicas Ejemplo: 7 8 polinomica 5 racional raiz 5 producto FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ejemplos: Y SEN Y COS Y TAN FUNCIONES EPONENCIALES Ejemplos: Y= Y=.5

5 FUNCIONES LOGARITMICAS Ejemplos: ln log ln=logaritmo natural, base e Log=logaritmo decimal, base FUNCION INVERSA Si = + es = f Método para encontrar la inversa = f.- Dada = f.- Despejar para obtener = f.- Para epresar f como una función de ; Intercambiar por el resultado es la función inversa = f.- = -.- = -= f Ejemplo: = + = f función.- = =.- f = inversa de la función Ejemplo: = = f la función.- = - = = - - f = - - inversa de la función Ejemplo: = e = f función.- ln = ln e ln =.ln e ; ln e = = ln.- = ln = f función inversa: Ejercicios: calculable f Y = + ; = Una función por partes: - si Sea: = F= si >

6 Esta función se compone de dos partes: Y= - para - - Y 6 9 Y= para 4 Y Ejemplo: si Y= = f = si < parte: = parte: = - Y - - Y FUNCIONES IMPLICITAS. No siempre encontramos la Y = f Ejemplos de funciones eplícitas: Y= - ; = + ; = 8 ; = tan Nos encontramos a veces con: a + = - b + = 6 c + = 6 Estos tres ejemplos anteriores se llaman funciones implícitas en los ejemplos a b podemos despejar la a = + - = f estas funciones se llevaron de la forma b = 6 = f implícita a la forma eplícita.

7 Pero en el ejemplo c no es posible. Otros ejemplos de este tipo de funciones son: + +. = 5 = 4 Cos - =.e sen + cos = cos + = 5 - Si = f es una función e I a, b es un intervalo donde la función está definida además ; son dos números dentro de ese intervalo que cumplen con < entonces la función es: a Creciente: si f < f b decreciente: si f > f = F b a Función Par: Sea =f una función que será par si guarda su grafica simetría con el eje Y además si al cambiar por - la función queda igual. Ej. = ; = - + ; = 6 4 Función impar: Si = F es una función; será impar si tiene una grafica simétrica con respecto al origen además al cambiar por - ; F -= -F -4 4

8 Ejemplo = Determinar si las funciones siguientes son par; impar o ninguna de las dos.- Y= 4-4 ; = + ; = - por - por - por - = = 4 f Es par Ninguna de las formas Es impar f FUNCIONES PERIODICAS sen ; Para en radianes; 8 ; 9; 6... cos Son funciones periódicas su período es Sus graficas son: sen Un periodo 5 - -

9 - 5 cos Un periodo Este tipo de funciones sirven para representar modelos de fenómenos repetitivos como: Mareas; resortes vibrantes transmisión de ondas sonoras.- Dominio de una función: Sea = f una función El dominio de la función se representa por D acompañado de un intervalo [a;b]; a,b; [a, este intervalo se constitue por los valores de que la función admite que nos permiten calcular un valor para Contradominio o rango de una función = F se representa por R también un intervalo constituido por los valores de El dominio el contradominio sirven para elaborar una grafica.

10 R Gráfica de = F a b D Así en el ejemplo del vendedor de enciclopedias el dominio es: D [; + ] además entero: R= rango = Rs = [ 5 ; + entero Y 5 la grafica es: S + S = F R A N G O En el ejemplo de la compañía aérea: El dominio es D [ ;5] R [, ; 4 5] I I Grafica de: I = = F 5

11 En el problema del triángulo encontramos la función de área como: A= = F ; aquí es una medida del triangulo > puede ser entero o fraccionario D ; + dominio En el problema de la longitud de una cuerda de circunferencia de R= 8; encontramos a como una función de se epreso así: = 64 = f aquí debe ser > N positivo puede ser entero o fraccionario pero que tanto > puede ser: Ha que resolver: 64 > =.- = 64 = 8.- NO NO SI NO D ; 8 DOMINIO 4.-CON = > 5 > SI Eisten funciones inventadas que sirven para practicar el manejo de las mismas. Como por ejemplo: a = + ; b = c - d = e f - 9

12 el Dominio de ellas es: a D - ; + ; R - ; + b D - ; + ; R ; + c D - ; + ; R [-; + d D [- ; + ; R [ ; + e D { ; } f D [- ; + ] ; R [- ; ] Operaciones con Funciones Sean F G dos Funciones, con D A B respectivamente F + G D A B F - G D A B F. G D A B 4 G F D A B SOLO QUE G Dada las funciones: F G Encontrar:.- 6 G F.- G F G F 4.- G F

13 FUNCIÓN COMPUESTA O FUNCIÓN COMPOSICION Sean F G Dos funciones F G = Función compuesta se obtiene de sustituir en F ; la G en el lugar de. Ejemplo: F ; G F G = Ejemplo: F ; G F G = TRASLACION DE UNA FUNCIÓN: Si Y F Es una función con una cierta grafica entonces es interesante saber que pasa con la grafica de la función, si se le suma o resta alguna constante. Ejemplo Si parabola Y V

14 v v V - v ; 4 v -

15 f e d c b a 5 a - d b e f c 5 -

16 sen - sen sen sen sen -

17 PROBLEMAS DE APLICACIÓN. El perímetro total de una hoja rectangular será de 6 mts. Esta hoja se usará para formar un tubo circular enrollándola. Epresar el volumen del tubo como una f; siendo = largo; =ancho de la hoja. Cuál es el dominio? radio D;8 v R h v 8 R R v 8 4 f.- Calcular la función inversa de 7 Y7 Y7 Y7 Y 7 F.- Encontrar el D; R la gráfica de: Y=- ; 6 ; 4.- Dadas F= Calcular: F - G= ; G F = ; F G =

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19 5.- Si Y= F= + Y = G = + - TIENE LA GRÁFICA Qué gráfica tendrá?