f(x) = 2 x f(x) = ( 1 5 )x = 5 x f(x) = ( 1 2 )x = 2 x

Transcripción

1 3.4. Ficha 4: Funciones transcendentes Funciones eponenciales La epresión f() = a con a > 0 define una función eponencial de base a. El dominio de una función eponencial es todo R con independencia del valor de la base a > 0. Si a = 1 la función eponencial es la función constante 1 en este caso su rango es {1}. Si a > 1 la función es creciente si a < 1 la función es decreciente, en ambos casos el rango es (0, ). Cuando se habla de función eponencial sin especificar la base se sobrentiende que nos referimos a la función eponencial de base e, esto es, f() = e o como aparece en algunos tetos f() = ep(). f() = ( 1 5 ) = 5 f() = 5 f() = ( 1 ) = f() = Como vemos, las funciones eponenciales son estrictamente crecientes si su base es maor que 1 estrictamente decrecientes si su base es menor que 1. 3

2 Funciones logarítmicas Una función eponencial con base a 1 es inectiva. Por lo tanto tendrá inversa. La función inversa recibe el nombre de función logarítmica o función logaritmo de base a, f() = log a. Si la base es el número e la función se llama función logaritmo neperiano se denota por f() = ln. 6 Dado que son inversas de funciones eponenciales (que como vimos tienen dominio todo R rango (0, )), su dominio será (0, ) su rango todo R. f() = log e () = ln f() = log1 e () Son funciones sobreectivas e inectivas que en 1 toman el valor 0. Si la base es maor que 1 la función logarítmica es estrictamente creciente, si por el contrario la base pertenece al intervalo (0, 1) la función logarítmica es estrictamente decreciente. Funciones seno, coseno tangente 6 Al igual que ocurría con la función eponencial si no nos referimos a la base estamos sobrentendiendo que nos referimos a la función logaritmo neperiano. 33

3 Las funciones trigonométricas son las que a cada le asignan el valor de alguna razón trigonométrica de. Las más importantes son sen, cos tg. La gráfica de la función seno, f() = sen, aparece a continuación vemos que el dominio de la función es todo R el rango es [ 1, 1]. sen() 6 4 No es una función sobreectiva ni inectiva. Se verifica que sen 0 = 0, sen = sen( ) sen(+π) = sen. Por lo tanto es una función impar periódica. La gráfica de la función coseno, f() = cos, aparece a continuación vemos que el dominio de la función es todo R el rango es [ 1, 1]. cos()

4 No es una función sobreectiva ni inectiva. Se verifica que cos0 = 1, cos = cos( ) cos( + π) = cos. Por lo tanto es una función par periódica. La gráfica de la función tangente, tg = sen cos, aparece a continuación vemos que no pertenecen al dominio de la función los números de la forma nπ que su rango es R. Se verifica que tg 0 = 0, tg = tg( ) tg( + π) = tg. Por lo tanto es una función par periódica. 35

5 Ejercicios propuestos Ejercicio 14. Coinciden el dominio de f() = su rango? Podría dibujarla? Ver respuesta correcta. ln, > 0 0, = 0 ln, < 0 Ejercicio 15. El dominio el rango de f() = sen g() = sen coinciden? Ver respuesta correcta. Ejercicio 16. La gráfica siguiente corresponde a una función eponencial, logarítmica o polinómica. Puede determinar a cuál? Ver respuesta correcta. Ejercicio 17. Una de las siguientes gráficas se corresponde con la de sec = 1 cos, determínela. 36

6 Ver respuesta correcta. 37

7 Daniel Franco Leis Soluciones ejercicios propuestos Solución Ejercicio 14: Sí. El dominio de la función es todo R puesto que está bien definida para todo número real. Por otro lado el rango también es R porque la función logaritmo neperiano verifica ln((0, )) = R. La gráfica aparece a continuación. Solución Ejercicio 15: El dominio coincide pero el rango no. Ambas están definidas en todo R por lo tanto su dominio es el mismo. Sabemos que sen toma valores en el intervalo [ 1, 1], por tanto sen tomará valores en [, ]. Por otro lado, si llamamos w =, tenemos que sen = sen w que como a hemos dicho toma valores en [ 1, 1]. A continuación aparecen las gráficas de ambas funciones 38

8 sen() sen() 6 4 Solución Ejercicio 16: La gráfica tiene que ser de una función logarítmica porque las otras dos tienen dominio todo R como vemos los números negativos no tienen imagen para la función representada en la gráfica. Además, como es estrictamente decreciente, podemos afirmar que la base es un número del intervalo (0, 1). Solución Ejercicio 17: En la primera la imagen de 0 es 0. Pero sec 0 = 1 cos0 = 1. Por tanto, es la segunda. 39