Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 10. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

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1 Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN El dominio de la función f(x) x / x es: a) + b) c) [0, ) 9 El período de la función f(x) cos (x + π) es: a) π b) π c) π/ Una sustancia radiactiva se desintegra de forma exponencial. Inicialmente había una cantidad de 000 g de sustancia y, al cabo de 6 años, quedan 00 g. Qué función describe el comportamiento de esta desintegración? a) NN 0 e 0,04 t b) NN 0 e, t c) NN 0 e,0 t Indica cuáles de las siguientes igualdades son ciertas: I. log () log 4 log () log a II. log (a b) l og b III. log 6 log 6 0 La población de un cultivo de bacterias se duplica cada minutos. Cuánto tiempo ha de transcurrir para que aumente en un 0 %? a) Aproximadamente, minutos y 40 segundos. b) Aproximadamente, 9 minutos y segundos. c) Aproximadamente, minutos y 4 segundos. Halla la tasa de deforestación media anual de un bosque que se ha reducido / en 00 años. a) Aproximadamente, 0, % anual. b) Aproximadamente,, % anual. c) Aproximadamente,, % anual. 4 IV. log / l og log Son ciertas: a) I y III b) III y IV c) I y IV El valor de lim x (ex e x )es: a) b) 0 c) El valor de log 00 log 0,0 log 06 es: a) b) c) 4 Las funciones periódicas: a) Son biyectivas. b) Son inyectivas. c) No son inyectivas. La solución de la ecuación 9 x es: 4 a) x 4 b) x 4 c) x 0 La solución de la ecuación x x x es: a) x b) x 4 c) x 6 La función f(x) log /4 x es: a) Creciente y no acotada. b) Positiva y no acotada. c) Decreciente y no acotada. El dominio de la función f(x) ln x x es: a) [, 0] b) c) (, ) En cualquier función logarítmica f(x) log a x: a) La gráfica siempre pasa por el punto (0, ). b) La gráfica siempre pasa por el punto (, 0). c) f(x) f(x) 6 La solución de la ecuación x 0 es: a) x,40 b) x,4 c) x 0, La solución de la ecuación ln x ln 4 ln ln es: a) x 6/ b) x 9/0 c) x 4/4 Las soluciones de la ecuación x ln x x 0 son: a) x y x e b) x 0 y x e c) x e cos x cos x sen x a) x 0 60 x b) x x 0 60 c) No tiene solución. 0. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas 4

2 Solución de la evaluación (Se indican con las respuestas correctas) El dominio de la función f(x) x / x es: a) + b) c) [0, ) Una sustancia radiactiva se desintegra de forma exponencial. Inicialmente había una cantidad de 000 g de sustancia y, al cabo de 6 años, quedan 00 g. Qué función describe el comportamiento de esta desintegración? a) N N 0 e 0,04 t b) N N 0 e, t c) N N 0 e,0 t Indica cuáles de las siguientes igualdades son ciertas: I. log () log 4 log () log a II. log (a b) l og b III. log 6 log 6 IV. log / l og log Son ciertas: a) I y III b) III y IV c) I y IV 4 El valor de lim x (ex e x )es: a) b) 0 c) El valor de log 00 log 0,0 log 0 6 es: a) b) c) 6 La función f(x) log /4 x es: a) Creciente y no acotada. b) Positiva y no acotada. c) Decreciente y no acotada. El dominio de la función f(x) ln x x es: a) [, 0] b) c) (, ) En cualquier función logarítmica f(x) log a x: a) La gráfica siempre pasa por el punto (0, ). b) La gráfica siempre pasa por el punto (, 0). c) f(x) f(x) 9 El período de la función f(x) cos (x + π) es: a) π b) π c) π/ 0 La población de un cultivo de bacterias se duplica cada minutos. Cuánto tiempo ha de transcurrir para que aumente en un 0 %? a) Aproximadamente, minutos y 40 segundos. b) Aproximadamente, 9 minutos y segundos. c) Aproximadamente, minutos y 4 segundos. Halla la tasa de deforestación media anual de un bosque que se ha reducido / en 00 años. a) Aproximadamente, 0, % anual. b) Aproximadamente,, % anual. c) Aproximadamente,, % anual. Las funciones periódicas: a) Son biyectivas. b) Son inyectivas. 4 c) No son inyectivas. La solución de la ecuación 9 x es: 4 a) x 4 b) x 4 c) x 0 La solución de la ecuación x x x es: a) x b) x 4 c) x La solución de la ecuación x 0 es: a) x,40 b) x,4 c) x 0, 6 La solución de la ecuación ln x ln 4 ln ln es: a) x 6/ b) x 9/0 c) x 4/4 Las soluciones de la ecuación x ln x x 0, son: a) x y x e b) x 0 y x e c) x e cos x cos x sen x a) x 0 60 x b) x x 0 60 c) No tiene solución Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

3 SÍNTESIS. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas Función exponencial La base de la función exponencial, a, es un número real, de signo y diferente de El dominio de la función exponencial es y su recorrido es Una función exponencial, f(x) a x,es decreciente si Cuando a, si x, f(x) Las gráficas de f(x) a x y g(x) a x son simétricas respecto de La función exponencial f(x) a x es inversa de la función Función logarítmica El logaritmo en base a de un número, x, es Para que f(x) log a x sea creciente es necesario que Completa: log a (x y) log a x log a y log a n x n log a x Funciones trigonométricas El dominio de la función seno es y su recorrido es El dominio de la función tangente es y su recorrido es El dominio de la función cotangente es y su recorrido es Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente son funciones La función arcotangente es una función continua en, cuyo recorrido es. Es una función estrictamente 0. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas 4

4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Actividades complementarias 4 6 Dada la función f(x) x,calcula: a) f(0), f(), f(), f, f(6) b) f 4, f 9, f 9 Calcula los siguientes límites: a) lim x x x b) lim x x x + x Halla la rentabilidad de un millón de euros en un año a un interés compuesto anual del, %. Y si la capitalización es continua? Construye la gráfica de la función: f(x) x si x 0 x si x 0 Es una función continua? Es inyectiva? El número de habitantes de una ciudad crece exponencialmente de 000 a habitantes desde 9 a 99. Cuántos habitantes se puede calcular que tendrá en el año 000, suponiendo que el ritmo de crecimiento no varía? A partir de las representaciones gráficas de las,calcula: funciones f(x) x y g(x) x a) Su punto de intersección. b) En qué intervalo del dominio se cumple que f(x) g(x). c) En qué intervalo del dominio se cumple que f(x) g(x) Averigua la expresión que refleja el tiempo transcurrido según las unidades vendidas y estima cuántas semanas deben transcurrir para que se hayan vendido unidades. Imagina que una persona consume el suficiente alcohol para alcanzar el doble del nivel a partir del cual está prohibido conducir, que es de 0,0 mg/cc en sangre. Supón que la disminución de alcohol se rige por la función m(t) m 0 (/) t, donde m es la cantidad de alcohol por centímetro cúbico y t, el tiempo medido en horas. Calcula el tiempo que se debe dejar transcurrir para que se alcance el nivel autorizado para poder conducir un vehículo. Aplica las propiedades de los logaritmos y simplifica la siguiente expresión: log 6 log log log 6 log El número de bacterias de un cultivo viene determinado por la expresión N(t),, t, donde t es el tiempo medido en horas y N el número de miles de individuos. Calcula el tiempo que tarda en duplicarse el cultivo. Escribe la función como una exponencial de base e. Calcula: log 00, log /, log 0 Determina la función inversa de cada una de las siguientes funciones: 00 a) f(x) 0,0 x e b) f(x) log 4 (x ) Es periódica f(x) sen x? Ayúdate de una gráfica. 9 La tasa anual de crecimiento de un bosque es del %. Calcula la cantidad de madera que tendrá al cabo de años, si inicialmente tiene unos m y las condiciones de crecimiento se mantienen. Después, expresa la función que rige su crecimiento como una exponencial de base e. Dada la función f(x) log x,calcula: a) f, f(0,), f(0,00) b) f, f 4, f (,) Un producto se lanza al mercado con una previsión de ventas para las primeras 0 semanas, determinada por la función N(t) 00 e 0,t, donde N es el número de unidades que se prevé vender y t es el tiempo en semanas. 6 9 Para qué valores de la derivada x se cumple que sen x cos x? Averigua el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) co s x b) f(x) ln ( tg x) c) f(x) e tg x Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) f(x) sen x tg x b) f(x) x cos x x sen x c) f(x) cos x π cos x Calcula el dominio y el recorrido de la función f(x) sen x tg x. Averigua su tipo de simetría y su período, en caso que sea periódica Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

5 0 Define la función arco cotangente. Cuál es su dominio? Y su recorrido? Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) x x b) x 6 x c) x x 4 d) x 4 x e) x e 4 x Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log (x ) log x b) ln x ln x c) log x log (x ) log 4 0 d) log x log 04 log x Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sec x sen x cos x b) cos x cos x 0 c) tg x cos x d) cos x sen x 4 Resuelve los siguientes sistemas: a) log x (y ) log x log log 6 log y b) log x log y 6 log x log y 0 c) log x ( y) log y x d) log (x y) log (x y) log ln e x ln e y log x log y log 4x log y e) x log y log xylog 4 f) x y x y 4 g) sen x cos y sen x cos y 0 h) x y x y 0 x y 6 i) y 64 0 x 9 y 0 cos x tg y j) 4 sen x tg y EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Actividades complementarias 0. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas 49

6 AMPLIACIÓN. Curva de crecimiento logístico Hay fenómenos que se pueden expresar mediante funciones exponenciales, pero cuyo crecimiento se amortigua al cabo del tiempo, sin llegar a alcanzar un valor límite. Su gráfica es de la forma: f(t) P P a t P La expresión analítica es del tipo f(t),donde las constantes P, a y son positivas. a e t P P P El valor límite del crecimiento es lim P t a e t a e 0 P El valor inicial para t 0 es a Para valores de P y a muy grandes, se puede aproximar la curva siempre y cuando se consideren valores de t no muy grandes, a una exponencial del tipo: P f(t) e t a Ejemplo Una población de microorganismos aumenta de forma exponencial según la ecuación f(t)0 000 e 0, 0t,donde t es el número de días. Con el paso del tiempo, su crecimiento se estabiliza, debido a fenómenos ambientales, y no sobrepasa los 0 individuos. 4, 9 0 La función logística que describe su comportamiento es: f(t) e 0,0t Se puede elaborar una tabla que compare los valores de población según una u otra función: 4,9 0 Tiempo (días) f(t) e 0,0t f(t) 4 0,0t 900 e , Como se puede observar, la diferencia de crecimiento se produce claramente a partir de t Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

7 AMPLIACIÓN 4. Cambio de base logarítmica Dado un logaritmo en una base cualquiera, es sencillo expresarlo en otra base. Se procede del siguiente modo: Si y log a x,entonces x a y.a partir de esta expresión tomamos logaritmos en cualquier base, b, y se obtiene: log b x log b a y Aplicando propiedades del cálculo logarítmico: log b x y log b a Dado que y log a x,sustituyendo: log b x log a x log b a de donde se deduce: Si x b, entonces: log b x log a x logb a log a b = logb a En principio, y puesto que las calculadoras científicas trabajan con logaritmos decimales y neperianos, es interesante expresar un logaritmo de base cualquiera en base 0 o en base e. log x Si b = 0, queda: log a x = log a ln x Si b = e, entonces: log a x = ln a Observa que a partir de las últimas igualdades se puede escribir: log x ln a = log a ln x La relación entre logaritmos decimales y logaritmos neperianos es: log e = ln 0 Actividades Calcula log 4. Calcula log /. 0. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

8 SOLUCIONES DEL MATERIAL FOTOCOPIABLE. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas Función exponencial La base de la función exponencial, a, es un número real, de signo positivo y diferente de uno. El dominio de la función exponencial es y su recorrido es. Una función exponencial, f(x) a x,es decreciente si: 0 a. Cuando a, si x, f(x) 0 Las gráficas de f(x) a x y g(x) a x son simétricas respecto al eje de ordenadas. La función exponencial f(x) a x es inversa de la función logarítmica de base a. Función logarítmica El logaritmo en base a de un número, x, es el número, y, al que hay que elevar a para obtener x. log a x y x a y Para que f(x) log a x sea creciente es necesario que a Completa: log a (x y) log a x log a y log a x y log a x log a y log a n x n loga x Funciones trigonométricas El dominio de la función seno es Dom f(x) y su recorrido es Rec f(x) [, ]. El dominio de la función tangente es: Dom f(x) {x cos x 0} Dom f(x) {( ) π/, } y su recorrido es. El dominio de la función cotangente es: Dom f(x) {x sen x 0} {π, } y su recorrido es. La función arco tangente es una continua en, cuyo recorrido es [π/, π/]. Es una función estrictamente creciente.. Actividades complementarias a) f(0), f() 9, f(), f, f(6) 9 b) f , f 9, f 9 a) e b) e Anual: 0 000, continuo: Es continua y no es inyectiva. 4 6 habitantes. a) (0, ) b) En (0, ) c) En (, 0) 6 96 m. M M 0 e 0,0 t a) f, f(0,), f(0,00) b) f, f 4 4 f (,) 4 t ln 0000 ln 00, Entre y semanas. 0, Aproximadamente min. log 9,64 horas. N(t), e 0,6 t log 00 4,9 log / 4,64 log 0 4,6 a) f (x) 40 [ln x ln (00 x )] b) f (x) 4 x No es periódica , 4 con Y O Y 6 4 O f(x) sen x f(x) cos x 4 X X 0. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

9 9 a) Dom f(x) ( ) π b) Dom f(x) π π, π 4 π c) Dom f(x) π, ( ) π a) Par, simétrica respecto del eje de ordenadas. b) Impar, simétrica respecto del origen de coordenadas. c) No tiene simetría. Dom f(x) ( ) π Rec f(x) Es una función impar, simétrica respecto del origen de coordenadas. Su período es π. 0 Dom f(x) Rec f(x) (0, π) a) x b) x 9 c) x d) x,9 e) x 4 ln ln a) x b) x e c) x d) x 0 a) x 0 x 4 0 b) x x 0 60 c) x 0, d) x 90 x 90 4 Resuelve los siguientes sistemas: a) log (y ) x/ log x log log 6 log y Se puede construir el siguiente sistema equivalente: x y x y Por sustitución: x x Haciendo común denominador: x 4 0x, esto es: x 0x 4 0. Solucionando esta ecuación por Ruffini se obtiene un única solución real, x 4, y, por tanto, y. b) log x log y 6 log x log y 0 El sistema equivalente que se consigue al aplicar las propiedades de los logaritmos es: log x y xy log x 0 x y y Por sustitución: 0 6 x x 00, y, por tanto: y log y c) log x ( y) x Aplicando la definición de logaritmo se obtiene el sistema equivalente: x y y x Por sustitución: x x 0 0 Solucionando esta ecuación por Ruffini se obtiene: x. Por tanto, y 4. d) log (x y) log (x y) log ln e x ln e y Por las propiedades de los logaritmos se tiene el sistema equivalente: (x y)(x y) x y Operando y sustituyendo: x y (y ) y y y 6, por lo que x e) log x log y log 4x log y x log y log log Por las propiedades de los logaritmos se puede construir el sistema equivalente: xy 4x y ( no puede ser) y x y x f) xy log log 6 44 x y x y ,por lo que se puede escribir: logxy log x y 6x y Por tanto: xy x y 0 Sustituyendo: y y 0 90 y 0 y ±0 x ± 0 g) x cos y sen x cos y 0 Sumando ambas ecuaciones, se obtiene: sen x sen x x 0 60 x 0 60 Restando, se obtiene: cos y cos y y y Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas

10 h) x y x y 0 Hacemos x z y y w: i) z w z w 0 Por sustitución se obtiene una ecuación de segundo grado, cuya solución positiva para z es, es decir, x x, y para el valor de w se obtiene, es decir, y y. x y 6 y 64 0 x 9 y 0 Se pueden reescribir ambas ecuaciones del siguiente modo: /(x y) 6/y x y 0 Igualando exponentes: 6 x y y x y Por sustitución se obtiene: x, y j) cos x tg y 4 sen x tg y Sustituimos la primera ecuación en la segunda: 4 sen x 4 cos x 4( cos x) 4 cos x Se obtiene una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: cos x No existe solución. cos x Las soluciones que se obtienen son: x 0 0 x 0 0 Y para el valor de y se obtiene tg y y 4 0. Cambio de base logarítmica log 4 log 4,46 log log log log / 9, log / (/) log 4 0. Funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas