Funciones exponencial y logarítmica

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1 Capítulo 5 Funciones exponencial y logarítmica 5.1. Introducción Dos de la funciones más importantes que se presentan en el estudio de las aplicaciones de la matemática son la función exponencial y = a x, y su inversa, la función logarítmica y = log a x. La relevancia de estas funciones radica en el hecho que muchas y variadas situaciones de la realidad, pueden ser modeladas por ellas: sonoridad de un sonido, crecimiento de poblaciones, evolución de la temperatura de un cuerpo, desintegración de elementos radioactivos, magnitud de sismos, medición del aprendizaje, acumulación de intereses bancarios, etc Función exponencial Una función exponencial con base a, tiene la forma f(x) = a x, con a > 0, a 1 1

2 Resumen de contenidos f(x) = a x, a > 1 f(x) = a x, 0 < a < 1 El dominio de una función exponencial es R, su recorrido es R +. La función exponencial es biyectiva. La gráfica de toda función exponencial intersecta al eje Y en (0, 1) debido a que a 0 = 1, para todo a 0. Con el eje X no hay intersección. La función exponencial es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1. Una base que se utiliza con frecuencia en las funciones exponenciales es el número irracional e, donde e, Función logarítmica Una función logarítmica con base a, tiene la forma f(x) = log a x, con a > 0, a 1 f(x) = log a x, a > 1 f(x) = log a x, 0 < a < 1 El dominio de la función logarítmica es R +, el recorrido es R. La función logarítmica es biyectiva. Instituto de Matemática y Física 13 Universidad de Talca

3 Resumen de contenidos La gráfica de cualquier función logarítmica intersecta al eje X en (1, 0) debido a que log a 1 = 0. Con el eje Y no hay intersección. La función logarítmica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1. La función logarítmica es la función inversa de la exponencial, y viceversa: log a x = b a b = x A los logaritmos con base e se les llama logaritmos naturales y se denotan por ln, a los de base 10 se les denomina logaritmos comunes y se les simboliza por log. Es decir, log e x = ln x log 10 x = log x Luego, y = log x x = 10 y y = ln x x = e y Algunas propiedades de los logaritmos 1. log a (bc) = log a b + log a c. log a ( b c ) = log a b log a c 3. log a b c = c log a b 4. log a 1 = 0 5. log a a b = b 6. Si log a b = log a c, entonces b = c 7. a log a b = b, en particular 10 log x = x y e ln x = x 8. Cambio de base: log a b = log c b log c a Instituto de Matemática y Física 14 Universidad de Talca

4 Resumen de contenidos Algunos modelos de crecimiento 1. Modelo de crecimiento/decrecimiento exponencial (geométrico) Principio: Una población de tamaño P crece a una tasa que es proporcional al tamaño de dicha población. Luego, si P = P (t) representa el número de individuos de una determinada población en el tiempo t, entonces la función que modela esta situación es: donde P = P 0 en t = 0. P = P 0 e kt Cuando k > 0, P crece y cuando k < 0, P decrece. Crecimiento exponencial (k > 0) Decrecimiento exponencial(k < 0) Gráfico de y = e 0,03x (b)gráfico de y = 6e 0,03x. Modelo de crecimiento logístico Principio: Una población de tamaño P crece a una tasa que es proporcional al producto del tamaño de dicha población con la diferencia entre el tamaño máximo posible de la población y el tamaño de dicha población. Luego, si P = P (t) representa el número de individuos de una determinada población en el tiempo t, entonces la función que modela esta situación es: P = MP 0 P 0 + (M P 0 )e kmt donde P = P 0 en t = 0. M representa el máximo número de individuos que la población puede alcanzar. Es claro que la función de crecimiento también se puede escribir como: P = M 1 + Ae kmt donde A = M P 0 P 0 Instituto de Matemática y Física 15 Universidad de Talca

5 Resumen de contenidos Crecimiento logístico Gráfico de y = 3. Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton e 0, t Este modelo permite conocer como evoluciona la temperatura de un objeto. Principio: La razón de cambio de la temperatura T = T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura t m del medio ambiente. Luego, si T = T (t) representa la temperatura de un cuerpo en el instante t, entonces la función que modela esta situación es: T = T (t) = t m + (t 0 t m )e kt donde t 0 es la temperatura inicial del cuerpo (es decir, cuando t = 0), t m es la temperatura del medio ambiente y k es una constante positiva que depende de la situación en estudio. Ley de Newton (enfriamiento) Ley de Newton (calentamiento) Gráfico de y = e 0,t (b)gráfico de y = 5 15e 0,t Instituto de Matemática y Física 16 Universidad de Talca

6 Ejemplos 5.. Ejemplos 1. Escribir en notación logarítmica: a) 3 5 = 43 b) 0, 4 = 0, 0016 c) 10 5 = 0, d) = 4 e) 0, 1 3 = 0, 001 f) e = e a) log 3 43 = 5 b) log 0, 0, 0016 = 4 c) log 0, = 5 d) log 4 = e) log 0,1 0, 001 = 3 f) ln e =. El gráfico de la función y = f(x) = x viene dado por: En base a la relación entre el gráfico de una función y sus funciones relacionadas, encontrar los gráficos de: a) y = g 1 (x) = f(x + ) b) y = g (x) = f(x) + c) y = g 3 (x) = f(x ) d) y = g 4 (x) = f(x) e) y = g 5 (x) = f( x) f) y = g 6 (x) = f(x) g 1 (x) = x+ g (x) = x + Instituto de Matemática y Física 17 Universidad de Talca

7 Ejemplos g 3 (x) = x g 4 (x) = x g 5 (x) = x g 6 (x) = x 3. Resolver la siguiente ecuación logarítmica log 8 (x 6) + log 8 (x + 6) = Como el dominio de la función logarítmica es R +, se tiene que las soluciones de esta ecuación, de tenerlas, deben cumplir x 6 > 0 y x + 6 > 0, es decir, x > 6. log 8 (x 6) + log 8 (x + 6) = log 8 (x 6)(x + 6) = log 8 (x 36) = x 36 = 8 x = 100 x = ±10 Como x debe ser mayor que 6, la única solución de la ecuación propuesta es x = 10. Instituto de Matemática y Física 18 Universidad de Talca

8 Ejemplos 4. Dada la siguiente ecuación: 1 4 log x + A 3 + log x = 1 a) Determinar el valor de A de modo que x = 10 sea solución de esta ecuación. b) Para A = 1, resolver esta ecuación. a) Si x = 10 es una solución de la ecuación: 1 4 log 10 + A 3 + log 10 = 1 Como log 10 = 1, se tiene: A 4 = 1 de donde se obtiene que A = 8 3. b) Si A = 1 entonces ecuación es: 1 4 log x log x = 1 Multiplicando por (4 log x)(3 + log x), se obtiene: o sea: Multiplicando y ordenando: (3 + log x) + (4 log x) = (3 + log x) (4 log x) 7 = (3 + log x) (4 log x) (log x) log x 5 = 0 Haciendo log x = u se tiene: u u 5 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática se obtiene que u = 1 ± 1. De log x = 1 + 1, se obtiene x = ,461 De log x = 1 1, se obtiene x = ,01617 Instituto de Matemática y Física 19 Universidad de Talca

9 Ejemplos 5. Sean: f(x) = ex e x Calcular y simplificar: g(x) = ex + e x a) f(x) g(x) ( ) ( f(x) 1 b) + g(x) g(x) ) a). f(x) g(x) = b). ( ) ( ) A 1 + = B B ( ) e x + e x ( e x e x = ex + e x e x + e x 4 ) ex e x e x + e x 4 = ex + e x e x + e x (e x e x e x + e x ) 4 = ex + + e x e x + e x 4 = = ( e x e x e x +e x ) + ( 1 e x +e x ( e x e x e x + e x ( ) e x e x ( + e x + e x ) ) + ( 1 e x + e x ) = 4 4 = 1 ) e x + e x = ex e x e x + e x e x + e x e x + e x + 4 e x + e x e x + e x = ex + e x e x + + e x + 4 e x + + e x = ex + e x + 4 e x + + e x = ex + + e x e x + + e x = 1 6. Sea f(x) = log(x x) una función real. a) Determinar el Dominio de f. Instituto de Matemática y Física 130 Universidad de Talca

10 Ejemplos b) Sea g la función real definida por: g(x) = x. Determinar (f g)(x), expresando el resultado en la forma más simple. a) Dom(f) = {x R / x x > 0} =], 0[ ]1, + [. b) (f g)(x) = ( ) x f = ( (1 ) x ( ) ) x log ( x x = log 1 + ) x 4 = log x x x 4 = log 10 x = x 7. En la relación i = 1,5e 00t, se pide: a) Encontrar el valor de i cuando t = 0,001. b) Encontrar el valor de t cuando i = 1. a) t = 0,001 i = 1,5e ( 00) ( 0,001) i 1,8 b) i = 1 1 = 1,5e 00t t 0,00 8. Según una propiedad de logaritmos, log x = log x. Graficar las funciones y 1 = log x e y = log x. Comentar. Los gráficos de las funciones son: Instituto de Matemática y Física 131 Universidad de Talca

11 Ejemplos y 1 = log x y = log x Los gráficos no coinciden pues el Dom(y 1 ) = R \ { 0 }, mientras que Dom(y ) = R Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación: R = 6e kx (1) donde x es la concentración de alcohol en la sangre y k una constante. a) Al suponer una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10 % (R = 10) de sufrir un accidente, cuál es el valor de la constante k?. b) Utilizar el valor encontrado de k e indicar cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17, 0.19,...). c) Con el mismo valor de k indicar la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100 %. d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 0 % o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos, con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?. a) Una concentración de 0.04 y un riesgo del 10 %, indica que x = 0,04 y R = 10. Al sustituir estos valores en la ecuación (1) se obtiene: 10 = 6 e 0,04k k = 5 ln(5/3) k 1,77 Con el valor de k encontrado, la ecuación (1) se puede escribir en la forma: R = 6e 1,77x () Instituto de Matemática y Física 13 Universidad de Talca

12 Ejemplos b) Al sustituir x = 0,17 en la ecuación (), se obtiene: R = 6e 1,77 0,17 = 56, c) Al sustituir R = 100 en la ecuación () y despejando x se obtiene: 100 = 6e 1,77 x x = ln 1,77 6 x 0, Lo que indica que para una concentración de alcohol de 0,, el riesgo de sufrir un accidente es del 100 %. d) Con R = 0 en la ecuación (), se determina la concentración x de alcohol en la sangre: 0 = 6e 1,77 x 1 0 x = ln 1,77 6 x 0,094 Este resultado indica que un conductor que presente una concentración de alcohol mayor o igual a 0,094 debe ser arrestado y multado. 10. Supóngase que una población experimental de moscas de la fruta aumenta de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Si al inicio hay 100 moscas y 4 días después hay 600 moscas: a) Determinar la función que modela la situación planteada. b) Cuántas moscas habrán en el décimo día? c) Después de cuántos días habrán 0000 moscas? a) La función que modela esta situación tiene la forma P = P (t) = P 0 e kt, donde P representa el tamaño de la población de moscas y t la cantidad de días transcurridos. Como P (0) = 100: 100 = P 0 e k 0 = P 0 P 0 = 100. Luego, P = 100e kt Como P (4) = 600: 600 = 100e k 4 k 0,45 Por lo tanto, la función que modela la situación es P = P (t) = 100e 0,45t b) Para el día décimo: P = 100e 0, Luego, en el día décimo hay, aproximadamente, 900 moscas. c) 0000 = 100e 0,45t t 1. Luego, después de 1 días hay, aproximadamente, 0000 moscas. Instituto de Matemática y Física 133 Universidad de Talca

13 Ejemplos 11. La población proyectada P de una ciudad esta dada por P = 10 4 e 0,05t en donde t es el número de años después de Pronosticar la población para el año 005. De 1985 a 005 van 0 años, luego t = 0. Entonces P = 10000e (0,05)(0) 7183 Luego, la población para el año 005, será de 7183 habitantes, aproximadamente. 1. El número de bacterias, y, en un cultivo en un tiempo t (en días) está dado por la función y = 50e t a) Cuál es el número de bacterias en el instante inicial (t = 0)? b) En qué momento el número de bacterias será el doble del inicial? a) Cuando t = 0, se tiene y = 50e ()(0) = 50e 0 = 50. Luego, en t = 0 hay 50 bacterias. b) La colonia tendrá 100 (que corresponde al doble del original) bacterias cuando t satisfaga la relación: 100 = 50e t. De donde, e t =, aplicando logaritmo natural se tiene: t = ln, luego t 0, 346 Por lo tanto, en aproximadamente 0, 346 días = 8, 3 horas la colonia se duplica. 13. La Ley de enfriamiento de Newton afirma que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente que lo rodea. Suponer que una habitación se mantiene a una temperatura constante de 70 y que un objeto se enfría de 350 a 150 en 45 minutos. Qué tiempo se necesitará para enfriar dicho objeto hasta una temperatura de 80? Sean t la variable que representa el tiempo (medido en minutos) y T la variable que representa la temperatura (en C) del objeto en el instante t. Luego, de la Ley de enfriamiento de Newton y como la temperatura del medio ambiente es de 70 y la temperatura inicial del objeto es de 350 : T = 70 + (350 70)e kt, es decir T = e kt Como en t = 45, T = 150, se tiene que : 150 = e k 45. De donde k = ln(/7) 0,08. Por lo tanto: T = e 0,08t 45 Ahora bien, para encontrar el tiempo t en el cual el cuerpo llega a la temperatura de 80, reemplazamos T por 80 en la relación precedente y despejamos t. Al hacerlo, se obtiene que t 119 minutos. Por lo tanto, aproximadamente después de 119 minutos, la temperatura del cuerpo es de 80. Instituto de Matemática y Física 134 Universidad de Talca

14 Ejercicios 5.3. Ejercicios 1. Completar el siguiente cuadro: Forma logarítmica Forma exponencial log = = 8 1 log = = 1 log x = 4 ln e = 3x = 16 a log (x + 3) = b + c. Resolver las siguientes ecuaciones: a) log(x 3 1) log(x + x + 1) = 1 b) log 5 y log 5 (5 4y) = 0,5 3. Resolver las siguientes ecuaciones: a) log x = 4 b) log x(x 1) = 1 c) log x 49 = d) 3x+5 = 8 e) x 6 = 16x 3 f) log 34x = 348 g) 7 5x +3x 9 = 1 h) x ln x = 35 i) ln(x x) = j) log x (6 x) = k) log 8 64 = x 1 l) 5 x+ = 6 3x m) log x 1 + log x+4 x+1 = 0 n) x 1 + x = 1 o) log 4 x = 1 4. Aplicando propiedades de logaritmos, desarrollar las siguientes expresiones: ( ) a b ( a ) (a) log(a b c) (b) log (c) log c b c (d) ln ( a 3 ) b c 3 (e) ln ( ) 4 a b c 3 ) (f) ln (ab (a + b) (a b) 3 Instituto de Matemática y Física 135 Universidad de Talca

15 Ejercicios 5. Escribir las siguientes expresiones usando un sólo logaritmo: (a) log a + log b (c) 3 ( log a 5 (log b + 7 ) log c 3 ) log d (b) ln + ln a ln c (d) log a + 4(log b 7 log c) 5 (e) 1 3 (log 3 + log a 14 log b + 1 log c ) (f) ln a 4 ln b 6. En la ecuación E = F 0,05910 n log Q, hallar el valor de Q sabiendo que F = 1,1, E = 1,13 y n =. 7. a) Calcular x en la expresión : ln(xe 10 ) 1 3 = e b) Utilizando definiciones y propiedades de las funciones exponencial y logarímica, resolver el sistema: log x y = π 10 x y = 0,1 8. En un estudio de ayuno, el peso de un voluntario bajó de 90 Kg a 60 Kg en 60 días. Si el peso se elimina siguiendo el modelo de decaimiento exponencial: N = N(t) = N 0 e kt donde, t está medido en días, N 0 peso inicial del voluntario, medido en kilos, N peso del voluntario, después de t días iniciado el experimento y k es la constante de eliminación. a) Encontrar la función que modela el problema. b) Graficar la función obtenida. c) Cuál era el peso del voluntario un mes después de haber iniciado el tratamiento?. d) Por cuánto tiempo es conveniente realizar el estudio de ayuno, sin perjudicar la salud del voluntario, si lo mínimo que puede llegar a pesar es 50 kg. 9. Para determinar el ph en soluciones de tampones 1 se utiliza la ecuación de Henderson- Hasselbach. ph = pka + log [sal] [acido] 1 Los tampones son soluciones formadas por ácidos o bases débiles, y su sal. Para mayor información consultar con un profesor de Química. Instituto de Matemática y Física 136 Universidad de Talca

16 Ejercicios donde pka = log[ka] y ka es la constante de ionización del ácido. De acuerdo con ella, calcular el ph de un tampón formado por 0, 03 moles de ácido propiónico y 0, 0 moles de propinato de sodio, sabiendo que la constante de ionización del ácido es 1, El estroncio 90 se utiliza en los reactores nucleares y se desintegra según la fórmula de decaimiento exponencial: A = P e 0,048t donde P es la cantidad presente cuando t = 0 y A es la cantidad restante después de t años. Calcular la vida media del estroncio 90 (la vida media es el tiempo que toma la cantidad original en disminuir a su mitad). 11. Una ley de curación de las heridas es A = Be n 10, siendo A (en cm ) el área dañada después de n días, y B (en cm ) el área original dañada. Hallar el número de días necesarios para reducir a su tercera parte el área dañada. 1. Un objeto se calienta a 100 C y luego se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura es de 30 C. La temperatura del objeto es 80 C luego de 5 minutos. Usando el modelo de enfriamiento de Newton, cuándo la temperatura será 50 C? 13. Se ha encontrado que el oído humano responde al sonido en una escala que es, aproximadamente, proporcional al logaritmo (en base 10) de la intensidad del sonido. Así, la altura del sonido, medida en decibeles (db), viene definida por la siguiente relación: ( ) I b = 10 log donde I es la intensidad (altura) del sonido e I 0 es la mínima intensidad detectable (umbral auditivo ). a) Qué altura tiene el sonido, si su intensidad es el triple que la mínima detectable? b) Cuántas veces la mínima intensidad detectable, es la intensidad de un avión a chorro que tiene una altura del sonido de 110dB? c) Una calle congestionada tiene una altura del sonido de 70dB, y una remachadora tiene una de 100dB. Cuántas veces mayor es la intensidad del sonido I r de la remachadora que el sonido de la calle congestionada, I c? 14. En química, el valor ph de una solución es una medida de su acidez 3 (alcalinidad). El valor ph se define por la relación ph = log(h + ), donde H + es la concentración de El umbral auditivo equivale a 10 1 W atts/m. Observar que el umbral auditivo corresponde a 0dB. 3 Oscila entre los valores de 0 (más acido) y 14 (más básico), 7 es neutro. I 0 Instituto de Matemática y Física 137 Universidad de Talca

17 Ejercicios ion hidrógeno. Si el valor ph es menor que 7, la solución es ácida. Si el valor ph es mayor que 7, la solución es básica. a) Si el ph de cierto vino es de , hallar la concentración de ion hidrógeno b) Que valores de H + hacen que una solución sea ácida? 5.4. Respuestas a los ejercicios a). Forma logarítmica Forma exponencial log = = 1000 log 64 = = 8 1 log 16 4 = 1 16 log 5 1 = = 1 log x = 4 4 = x log 16 = 3x 3x = 16 ln e = e = e b+c = (x + 3) a a log (x + 3) = b + c ) a) x = 11 b) y = 5 3). a) 16 c) 7 e) 0 y 3 16 i) 3,6 y,6 g) 3/5 y 4 g) 3 m) 5 o) 1/ 4) a) log a + log b + log c c) log a log b log c e) 1 4 log a + 1 log b + 3 log c ( ) /3 ( a 3a c 1/ 5) a) log(ab) c) log e) log b 5 c 10/7 d 3/ b 1/4 6) Q 0,096 7) a) x = e 3e 10 0,158 b) x = 100π π, y = π 8) a) N = N(t) = 90e 0,006758t Instituto de Matemática y Física 138 Universidad de Talca ) 1/3

18 Ejercicios b) Gráfico: c) Después de un mes de tratamiento el peso del voluntario era de 73,5 kilos, aproximadamente. d) El tratamiento se debe realizar a lo más por 3 meses aproximadamente, para no causar daño a la salud del voluntario. 9) Aproximadamente, el ph es 4, ) 7,9 años. 11) Aproximadamente, 11 días. 1) Aproximadamente, 18min 36seg. 13) a) 4,77 b) c) ) a) 0,0004 b) Para valores mayores que 10 7 Instituto de Matemática y Física 139 Universidad de Talca