Funciones potenciales y exponenciales. Alometría. Funciones inversas. Escala logarítmica.

Transcripción

1 Funciones potenciales y exponenciales. Alometría.. Escala logarítmica. Juan Ruiz Álvarez1, Marcos Marvá Ruiz 1 1 Unidad docente de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

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4 Por qué usar funciones potenciales? Durante el crecimiento de un organismo, es de interés determinar la variación relativa de un atributo (fisiológico, morfológico,...) con respecto a otro. Son las llamadas relaciones alométricas. En la práctica: Toma de datos (trabajo de campo). Representar datos. Buscar la curva que mejor los aproxima.

5 Por qué usar funciones potenciales? [5] Evolución epidemia de SIDA en USA Año Miles de infectados Representar datos Dependencia? Parábola??

6 Por qué usar funciones potenciales? [5] Evolución epidemia de SIDA en USA Año Miles de infectados Representar datos Dependencia? Parábola?? Rojo, y = 82 * (x-1981)² Morado, y = 82 * (x-1981)³ Naranja, y = 82 * (x-1981) 4 El mejor ajuste: algo intermedio

7 Definición de función potencial Definición: Una función potencial f es de la forma: donde r un número real. f (x) = x r, Si r N, son los componentes elemetales de los polinomios. Si r Z, están perfectamente definidas. Si r Q, r = m n : f (x) = x r = x m/n = n x m, siempre definidas si x > 0. Ejemplos: 1 y = x 3, x R, x 0 2 y = x 1/3, x R, y = x 5/2, x 0

8 Alometría Funciones potenciales Definición: relaciones alométricas Las variables x e y mantienen una relación alométrica cuando y es proporcional a una potencia de x (o recíprocamente), es decir: y x r donde r es un número real distinto de 0. La ecuación anterior se puede expresar en forma de igualdad si se introduce una constante de proporcionalidad: y = kx r La búsqueda de estas relaciones es el objetivo de la alometría.

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10 Por qué funciones exponenciales? Un cultivo tiene inicialmente c(0) = 10 células que se dividen cada hora. Después de n horas habrá c(n) = 10 * 2 n células Divisiones perfectamente sincronizadas La realidad es que no hay sincronía: Tiempo = variable continua, c(t) = 10 * 2 t

11 Crecimiento exponencial Definición: Una función f se denomina función exponencial de base a si, f (x) = a x Siendo a una constante positiva distinta de 1. El dominio mas grande posible de f es R. La forma de la función exponencial depende de la base a. El crecimiento exponencial se produce siempre que a > 1 y el decrecimiento exponencial cuando 0 < a < 1. No hay que olvidar que a 0 = 1 y que a 1/k = k a

12 Propiedades de funciones exponenciales Propiedades: a r a s = a r+s a r a s = a r s a r = 1 a r (a r ) s = a rs

13 Función de exponencial de base e El número e se denomina base exponencial natural. Es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Se define como el ĺımite de la sucesión: ( ĺım ) x = e = x x La función exponencial de base e, se puede expresar de dos formas equivalentes: exp(x) = e x

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15 Funciones potenciales Definición: Sea f : A B una función inyectiva con recorrido f (A). La función inversa f 1 tiene como dominio f (A) y como recorrido A, y se define por Para y f (A). f 1 (y) = x y = f (x)

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17 Definición: La inversa de f (x) = a x se denomina logaritmo en base a y se escribe como f 1 (x) = log a (x) El dominio de f (x) = a x es el conjunto de los números reales y su recorrido es el conjunto de los números positivos. Como el recorrido de f es el dominio de f 1, se obtiene que el dominio del f 1 (x) = log a (x) es el conjunto de los números positivos.

18 Relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas Relación logaritmo-exponencial a log a (x) = x, x > 0 log a (a x ) = x, x R Es importante recordar que el logaritmos sólo está definido para x > 0. El logaritmo satisface las siguientes propiedades: Propiedades de logaritmos log a (st) = log a (s) + log a (t) log a ( s t ) = log a(s) log a (t) log a (s r ) = r log a (s)

19 Cualquier función exponencial de base a se puede expresar como una función exponencial de base e. Así mismo, cualquier logaritmo en base a se puede escribir en función del logaritmo natural. Las dos igualdades siguientes indican cómo: Relación entre logaritmos y funciones potenciales en distintas bases: a x = exp(xln(a)) log a (x) = ln(x) ln(a)

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21 Funciones potenciales Existen magnitudes cuyo valor varía recorriendo varios órdenes de magnitud. En estos casos podemos usar la escala logarítmica. Normalmente se usan logaritmos decimales. En este caso estamos usando una escala en la que las potencias de 10 son equidistantes. En la literatura sobre biología se utiliza x y no log(x) para etiquetar los números en la escala logarítmica. También podemos representar f (x) en escala logarítmica.

22 Escala lineal Funciones potenciales f (x) = 2 0,1t

23 Escala logarítmica Funciones potenciales f (x) = 2 0,1t

24 Escala logarítmica Funciones potenciales f (x) = 2 0,1t

25 Tipos de representaciones Escala lineal. Escala log-lineal o semilogarítmica. Escala log-log o logarítmica.

26 Transformación en funciones lineales y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x

27 Transformación en funciones lineales de funciones exponenciales Qué tipo de relación tenemos en la anterior gráfica? y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x f (x) = 10 1,5+0,5x = 10 1,5 (10 0,5 ) x 31,62 3,162 x Función exponencial!!

28 Transformación en funciones lineales

29 Transformación en funciones lineales de funciones exponenciales Si partimos de una función exponencial f (x) = b a x en un gráfico semilogarítmico, representaríamos: y = log(f (x)) = log(b a x ) y = log(b) + log(a)x Expresión lineal!!

30 Transformación en funciones lineales de funciones potenciales Si partimos de una función potencial f (x) = b x a en un gráfico log-log representaríamos: y = log(f (x)) = log(b x a ) y = log(b) + a log(x) Luego, si y = log(f (x)) Expresión lineal en representación log-log!!

31 Ejemplo de Alometría Ejemplo típico de función potencial son las alometrías entre los tamaños de las diferentes partes del cuerpo. Ejemplo El tamaño de la cornamenta de un reno crece con la edad. Durante los primeros 5 años lo hace según c(t) = 53,2e 0,17t, mientras que la altura del hombro varía según h(t) = 88,5e 0,1t. t = 1 ( ) h 0,1 ln 88,5 ( ) ( ) c = 53,2e 0,17 0,1 ln h 88,5 h 0,17/0,1 = 53,2 = 0,026h 1,7 88,5 Esta relación se denomina Alometría

32 Joseph M Mahaffy. Calculus A Modeling Approach for the Life Sciences. Ed. Wiley Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/allometric dim/allometric.html E. K. Yeargers, R. W. Shonkwiler, and J. V. Herod, 1996, An Introduction to the Mathematics of Biology: with Computer Algebra Models, Birkhäser, Boston.