INTERVALOS ENTORNOS FUNCIONES

Transcripción

1 FUNCIÓN RACIONAL f: A R es una función racional si su fórmula viene dada por f(x) P(x) Q(x) donde P (x) y Q (x) son dos polinomios y Q (x) 0. Observación: En caso en que P (x) y Q (x) puedan factorizarse y tengan factores comunes, estos se simplifican y se obtiene otra función racional s (x) asociada a f (x) que es irreducible y equivalente a la original, excepto para los valores de x para los cuales la simplificación no fue posible. Si A es el máximo dominio real de f (x), entonces A=Dom f(x) A = Dom (f)= R - { k R / Q (k) = 0 } 1

2 Características: P(x0 ) Cero o raíz: para cada x 0 R siempre que f(x0 ) P (x 0 ) = 0 y Q (x 0 ) 0 simultáneamente. Q(x0 ) Gráficamente resulta la intersección de la gráfica de la función y f(x) y=f(x) con el eje x : y 0 0 Observación: la intersección de y=f(x) con el eje y (x=0) se f( 0) P( 0) produce en y 0 = siempre que Q (0) 0. Q( 0) Agujero o hueco: para cada x a R y x a Domf(x) y se cumple que P(x a )=0 y Q(x a )=0. En este caso se dice que y = f(x) es discontinua en x = x a. La ordenada de cada agujero se obtiene reemplazando x = x a en la función racional irreducible s(x) asociada a f(x). 2

3 Asíntotas: a) Vertical Existe para cada x v Dom f (x) siempre que sólo Q (x v ) = 0 (y P (x v ) 0 ). Su ecuación es la recta vertical x = x v. Se dice que y = f (x) es discontinua en x = x v. b) Oblicua Existe si gr P(x) = gr(q(x))+1 es decir que, al efectuar la división entre los polinomios P (x) y Q (x) el cociente que se obtiene es polinomio de grado 1 de la forma C(x)= mx + b con m 0. La ecuación de la asíntota oblicua es y = mx + b. 3

4 Asíntotas (cont.) c) Horizontal Existe si al dividir P (x) por Q (x) el polinomio cociente es un polinomio de grado cero, o sea un número real k. Es decir que gr P (x) Q (x). La ecuación de la Asíntota Horizontal es y = k. En particular: Si k=0 se tiene que AH: y = 0 y gr [P (x)] < gr [Q (x)] Si k 0 se tiene que AH: y = k y gr [P (x)] = gr [Q (x)] Una función racional puede tener: Un número finito de asíntotas verticales. A lo sumo una asíntota oblicua, si no tiene horizontal. A lo sumo una asíntota horizontal, si no tiene oblicua. 4

5 CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL dominio de f (x) Factorizar y Simplificar en lo posible f(x). Si es factible, en esos valores de x el gráfico de f(x) tiene agujeros. Lo que se obtiene es una nueva función irreducible s (x), que tiene el mismo gráfico que f(x), excepto para los valores de x que pertenecen al dominio de s(x) y no pertenecen al dominio de f(x). Se analiza si hay asíntotas. Si existen, se trazan con líneas punteadas. Se marcan los puntos de intersección de la curva con los ejes cartesianos, si es que existen, raíces en el caso del eje x. Si es necesario, se calculan algunas imágenes que ayuden a trazar la curva. Se traza el gráfico de modo que la curva pase por los puntos que se marcaron antes y se aproxime a las asíntotas, si es que existen. 5

6 CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL 2 x 4 x 2 f(x) s(x) x.(x 2) x 6

7 FUNCIÓN HOMOGRÁFICA Es un caso particular de una función racional. a.x b Su forma es f(x), con a, b, c, d R con a.d b.c y c 0 c.x d x 1 Ejemplos: f(x) y g(x) x 2 5 x 1 Estas funciones siempre tienen una asíntota horizontal y una vertical. Ecuación de la asíntota horizontal: y a c Ecuación de la asíntota vertical: x d c Sus gráficas son hipérbolas equiláteras

8 FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición: Se llama función exponencial a la función f f : R R / f(x) = k. a x con a > 0, a 1 y k R - {0} Si k = 1 y a = e se obtiene f(x) = e x exponencial natural. llamada función Imagen: R+ 8

9 El dominio de las funciones exponenciales es: Dom f(x)=r Imagen: R- Observación: Al reemplazar a por su inverso 1/a se produce una simetría con respecto al eje y. Al reemplazar k por su opuesto -k se produce una simetría con respecto al eje x. 9

10 10

11 FUNCIÓN LOGARÍTMICA En base a la definición de logaritmo si a > 0; a 1 y x > 0 entonces log a x = y si y sólo si a y = x. Siendo a la base y x el argumento. Si tenemos en cuenta que y=f(x) entonces definimos Función LOGARÍTMICA a f : R+ R / f(x) = log a x con a > 0, a 1 Observación: La restricción en el Dom f(x) es debido a que la función logarítmica es la función inversa de la exponencial correspondiente. Para que la función exponencial sea BIYECTIVA, como ya es inyectiva, bastará que su conjunto de LLEGADA sea igual a su Imagen (En el caso de Im: R+). Si se toman las exponenciales de imagen R- entonces cambia el dominio de la logarítmica. 11

12 GRÁFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Las funciones logarítmicas son inversas de las exponenciales, en particular: f: R R + / f(x) = a x f -1 : R + R / f -1 (x) = log a x f(x)=a x e f(x)=log a x son funciones inversas, con a>1. Sus gráficas son funciones simétricas respecto de la recta f(x)= x. f: R R + / f(x) = e x f -1 : R + R / f -1 (x) = log e x = ln x Esta última se llama LOGARITMO NATURAL. 12

13 GRÁFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS En general, para una función logarítmica f(x) = log a g(x) se define al dominio como el conjunto Dom[f(x)] = {x R / g(x) > 0} Ejemplo: el dominio de f(x) = log 2 (5x 1) es el conjunto de los x R que verifican 5x 1 > 0 x > 1/5 Dom(f) = (1/5 ; + ) 13

14 GRÁFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS En una función logarítmica, al cambiar la base a por su inversa 1/a se produce una simetría con respecto al eje x. 14

15 PROPIEDADES a) log a (x. y) = log a x + log a y b) log a (x : y) = log a x - log a y c) log a (x n ) = n. log a x n x d) log a = 1/n. log a x e) log a x = log an x n f) log a x = log n y x = y a=n logb x g) log a x = (fórmula de cambio de base) log a En particular, para b = 10 (logaritmos decimales) log x log a x = log a x a log a h) = x b 15