Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I. Luis Ignacio Sandoval Paéz

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1 Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I Luis Ignacio Sandoval Paéz 1

2 Índice Números reales 1.1 Clasificación de los números reales Propiedades Interpretación geométrica de los números reales Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades. 13 Funciones 2.1 Definición de función Representaciones de funciones(tablas, gráficas, formulas y palabras) Función racional Función raíz Función exponencial Función logarítmica Función definida parte por parte Función inversa Clasificación de las funciones por sus propiedades: Función creciente y decreciente Función par e impar Función periódica Operaciones con funciones y composición de funciones 43 Límites y Continuidad 3.1 Definición de límite Propiedades de los límites Límites laterales Asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) Definición de continuidad Propiedades de la continuidad. 56 2

3 Derivadas 4.1 Definición de la derivada Interpretación geométrica y física de la derivada Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función x n cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada d un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones Derivada de las funciones exponenciales Derivada de las funciones trigonométricas Derivada de las funciones compuestas 66 (regla de la cadena). 4.7 Derivada de la función inversa Derivada de las funciones logarítmicas Derivada de las funciones trigonométricas inversas Derivada de las funciones implícitas Derivadas sucesivas Teorema del valor medio y teorema de Rolle. 86 Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente, normal e intersección de curvas Máximos y mínimos (criterio de la primera derivada) Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada.) Funciones crecientes y decrecientes Concavidades y puntos de inflexión Estudio general de curvas Derivada como razón de cambio y aplicaciones Regla de L`Hôpital

4 Sucesiones y series 6.1 Definición de sucesión Límite de una sucesión Sucesiones monótonas y acotadas Definición de serie infinita Serie aritmética y geométrica Propiedades de las series Convergencia de series

5 CAPÍTULO I: LOS NÚMEROS REALES. NÚMEROS REALES 1.1 Clasificación de los números reales. En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:. Números reales son aquellos que poseen una expresión decimal. Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó finalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. 5

6 Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 = 0, Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. 5/7 = 0, Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite ). es aperiódica. es irracional y su expansión decimal Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del binomio qx=p. Sin embargo, no se cumple el recíproco, no todos los números algebraicos son racionales. Ejemplos El número 12x 2 + 6x 8 es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x 3 6 Un ejemplo de número trascendente es Operaciones con números reales Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: 1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas. 2. No está definida la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie. Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares

7 donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica. La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dada sucesión de Cauchy de números reales. Notación Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324, ), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia. Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma,, la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales. La notación matemática se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones. En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real. 1.2 Propiedades. Cuando a este conjunto de símbolos que solemos llamar Números reales les adicionamos las operaciones de suma (+) y multiplicación (*) usuales creamos algo que se le llama CAMPO DE NÚMEROS REALES. Estas operaciones deben cumplir y de hecho están caracterizadas con las siguientes propiedades, las cuales mostramos en la tabla 1: donde a, b y c son números reales cualesquiera: 7

8 Si a, b y c son números reales entonces: Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Conmutativa Suma a+b = b+a El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. 2+8 = 8+2 Multiplicación ab = ba 5(-3) = ( -3)5 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Asociativa Suma Multiplicación a+(b+c)=(a+b)+c a(bc) = (ab)c Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. 7+(6+1)=(7+6) +1-2(4x7)= (- 2x4)7 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Identidad Suma a + 0 = a Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva = -11 Multiplicación a x 1= a Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. 17 x 1 = 17 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Inversos Suma a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero. 15+ (-15) = 0 Multiplicación El producto de recíprocos es 1. Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Distributiva Suma respecto a Multiplicación a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando. 2(x+8) = 2(x) + 2(8) Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo 8

9 -( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número. - ( - 9 ) = 9 (-a)( b)= a (-b)= - (ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo. ( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2) = - 30 ( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo. ( -34) ( - 8) = 34 x 8-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real. -1 ( 7.6 ) = Propiedades del cero Propiedad del cero Que dice Ejemplo a x 0 = 0 a x b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0. Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a x 0 = 0 (a+b)(a-b) = 0 entonces a + b = 0 ó a b = 0 A las propiedades de R enunciadas se les denomina propiedades de campo, para distinguirlas de otros dos conjuntos de propiedades de este conjunto llamadas propiedades de orden y propiedades de continuidad Identifica la propiedad: 5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) ( - 14 ) = 0 3 ( ) = 3 ( 8) + 3 (11) ( ) 9 = 9 (7 + 5) 9

10 Aplica la propiedad indicada: 5(x + 8) ; (conmutativa de suma) (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación) (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva) 12(x + y) ; (distributiva) 9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación) (x + y) + z ; (asociativa de suma) 1.3 Representación Geométrica de los Números Reales Geométricamente podemos representar el conjunto de los números reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamaremos la recta real o el eje real. Para ello, escogemos un punto de la recta para representar el número 0 y otro punto a la derecha de este para representar al número1. La longitud del segmento determinado por los puntos marcados 0 y 1 se selecciona como unidad de distancia. Utilizando esta unidad de distancia representamos los números positivos a la derecha del 0 y los números negativos a la izquierda del 0. El entero positivo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la derecha del 0 y el entero negativo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la izquierda del 0, como se indica en la siguiente figura donde se representan los enteros entre -5 y 5. En la práctica, se acostumbra a identificar un número real con el punto sobre la recta que lo representa y, a utilizar como sinónimas las expresiones " el punto " y " el número ". Para representar la distancia entre dos puntos de la recta, necesitamos calcular la diferencia entre la coordenada del punto que esta a la derecha y la coordenada del punto que está a la izquierda. Si los puntos tienen coordenadas y, entonces cuando la distancia es y cuando la distancia es, ya que la distancia es siempre positiva. Con el fin de tener una única fórmula para calcular la distancia en todos los casos, introducimos la noción de valor absoluto. Definición: Si es un número real, su valor absoluto que notamos definimos, lo x = 10

11 Ejemplo, pues, pues, pues, pues De acuerdo con nuestra observación anterior, si y son las coordenadas de dos puntos sobre una recta, la distancia entre ellos se define como. En particular, representa la distancia del origen al punto. La relación de orden entre números reales tiene una interpretación geométrica muy simple: si y sólo si el punto que representa esta localizado a la izquierda del punto que representa. La representación geométrica es de gran utilidad en la resolución de problemas y en la visualización de muchas propiedades importantes de los números reales. Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x / a < x < b} Intervalo cerrado 11

12 Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x / a x b} Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x / a < x b} Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x / a x < b} Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos. 12

13 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas de los números reales. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión a b, Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero 2º Todo número negativo es menor que cero 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el 13

14 segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Desigualdades absolutas y condicionales. Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella Ejemplo: a > a Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales: Ejemplo: 2x - 8 > 0 que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x. Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones. Propiedades de las desigualdades. 1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene: a = b + c Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir: a + m = b + c + m Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente a + m > b +m 14

15 Ejemplos: 9 > > > 7-2 > > > -9 Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo: 6x -2 > 4x + 4 6x -4x > Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta: am = bm + cm. Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene: am > bm Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad Ejemplos: 12 > 7 12 * 3 > 7 * 3 36 > > >(-25) 5 3 > Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo. Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene: 15

16 -an = -bn -cn Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto, -an < -bn Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado. Ejemplos: 3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < < (-4) >80 (-4) -16 > -20 Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo: -7x < 9-5x 7x > x 4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta: ab < b 2 En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto: a 2 < b 2 Ejemplo: 7 < < < Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par. 16

17 Sea la desigualdad -a < -b a) Multiplicando sus dos miembros por b 2 se obtiene: -ab 2 < -b 3 En el primer miembro, reemplazando b 2 por a 2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir: -a 3 < -b 3 b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene: a 2 > b 2 Ejemplos: -3 > -6 (-3) 3 > (-6) 3-27 > < -4 (-8) 2 > (-4) 2 64 > Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas. Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b" Se puede escribir: a = b + c a' = b' + c' a" = b" + c" Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente: a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c" a + a' + a" > b + b' + b" Ejemplo: Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo. Sean las desigualdades a > b y c < d Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene 17

18 a > b d > c a + d > b +c Restando d + c de cada miembro, resulta: a - c > b -d Ejemplo: Dado: 7x < 12 y 5x > 16, se obtiene: 2x < -4 Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte. El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-, -13/7] Desigualdades Cuadráticas 1 Factorizables Ejemplo 1: Hallar el conjunto solución de x 2-6x + 8 > 0. Solución: Factorizando, (x - 2)(x - 4) > 0. Gráficamente: \ x < 2 o x > 4. El conjunto solución es {x Î R : x < 2 o x > 4} 18

19 Recta Numérica: \ x < 2 o x > 4. El conjunto solución es {x Î R : x < 2 o x > 4} Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de (2x - 1)(x + 2) < x(4 + x). Solución: 2x 2 + 3x - 2 < 4x + x 2 x 2 - x - 2 < 0 (x + 1)(x - 2) < 0 \ -1 < x < 2. El conjunto solución es {x Î R : -1 < x < 2} 2 No Factorizable Ejemplo 3: Resolver x 2-4x + 1 > 0. Solution: Método 1: Completando el Cuadrado x 2-4x + 1 = x 2-4x = (x - 2) 2-3 (x - 2) 2-3 > 0 (x - 2) 2 > 3 x - 2 > Ö3 x - 2 > Ö3 o x - 2 < -Ö3 x > 2 + Ö3 o x < 2 - Ö3 19

20 2.1 Definición de función. CAPÍTULO II: FUNCIONES. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que más nos interesan dentro del cálculo son las funciones. Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o más del codominio. Donde se dice que f: A B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B) Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X s y que nos generan una asociación en el eje de las Y s. 20

21 El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que está sujeta a los valores que puede tomar la otra. VARIABLES DEPENDIENTES. Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se le subministre a x. VARIABLE INDEPENDIENTE. Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. VARIABLE CONSTANTE. Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: Y=2, la constante gravitacional, entre otras. 2.2 Representaciones de funciones(tablas, gráficas, formulas y palabras) La gráfica de una función solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto, si dicha recta corta más de una punto no lo es. Como se muestra en la figura Se traza una línea paralela Y debe de cortar una solo punto, Y si corta dos o más puntos No es función. 21

22 Se llama función polinómica de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma: Donde a es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Tenemos: Donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: La función constante como un polinomio en x Si un polinomio general, se supone que tiene la forma: Una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0. 22

23 Que es lo mismo que: Que corresponde al termino independiente del polinomio. 2.3 Clasificación de las funciones por su naturaleza; algebraicas y trascendentes Función polinomial. Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u,v,w,x,y,z. Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo y = mx +b Halle las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique. Una recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro. Una función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18.1;3) y el J de coordenadas (1.2;-3.2) Una recta con m igual a -2/5 y término independiente igual a cinco. Determine todos los puntos de intersección entre estas tres rectas. Responda las siguientes cuestiones y grafique. Si y = (3/2 )x + 3x, determine el valor de b. Si y = 3 + (1/2 )x, determine el valor de m Si t= 2/5 + x + 3, determine el valor de m y b Recuerde que: 23

24 Son paralelas si y solo si: son perpendiculares si y solo si: Funcione cuadrática Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma f(x)= ax 2 +bx+c donde a,b y c son constantes y a # 0 La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo. A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas. f(x)= x 2-5x + 4 f(x)= - x 2-5x + 4 f(x)= - 2x 2-5x + 4 x f(x) x f(x) x f(x) -5/

25 Funciones polinomiales n n 1 n 2 Si una función f está definida por f ( x) = an x + an 1 x + an 2 x a1x + a0 donde a 0, a1,..., an son números reales ( a n 0) y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una función polinomial de grado n. Por lo tanto, 5 2 f ( x) = 3x x + 7x 1, es una función polinomial de grado 5. Una función lineal es una función polinomial de grado 1, si el grado de una función polinomial es 2, se llama función cuadrática, y si el grado es 3 se llama función cúbica. Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales f ( x) Q ( x) = se llama función racional. Una función algebraica es aquella que g( x) está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante. Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Ejemplos: Para la función f ( x) = x 2x 5x + 6 : (a) Determine el dominio de la función (b) Las intercepciones con los ejes (c) Elabora una tabla para algunos valores del D f (d) Traza la gráfica de la función (e) Estima una aproximación del R f (puedes comprobarlo utilizando un software) Solución: (a) D f = R (el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales. (b) Intercepciones con los ejes: Si x = 0 y = 6 La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6) 25

26 Si y = 0 0 = x 3 2x 2 5x + 6 Por división sintética: Los factores de 6 son: ± 1, ± 2, ± 3, ± Por lo tanto, f tiene 1 1 un factor -1 de -6 la forma 0 x f ( x) = x 2x 5x + 6 = ( x 1)( x x 6) 2 El factor x x 6, puede descomponerse en: x 2 x 6 = ( x 3)( x + 2) Finalmente: Si y = 0 x 3 2x 2 5x + 6 = 0 ( x 1)( x 3)( x + 2) = 0 Los valores de x son: x 1 = 0 x 3 = 0 x + 2 = 0 x = 1 x = 3 x = 2 La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0) (c) La siguiente tabla será de mucha utilidad para graficar: x y (d) La función ha sido graficada utilizando un software: 26

27 10 y y = x^3-2x^2-5x x (e) El recorrido de la función coincide con el contradominio: R f = R Función racional Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma: P( x) f ( x) = Q( x) se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero. Ejemplos: 1 x f ( x) =, g( x) = 3 2, h( x) = 3x 1 x x + 1 El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero. Teorema: Sea f una función racional definida de la forma: P( x) f ( x) = Q( x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x). Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones: 27

28 1 1) f ( x) = x 2 2) g( x) = x + 1 2x 3 3) h( x) = 2 x 4 1 4) f ( x) = 2x 1 Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios, m amx a1x + a0 f ( x) = n bn x b1 x + b0 entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = a m /b n, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones: 1 1) f ( x) = x 2 2) g( x) = x + 1 2x 3 3) h( x) = 3x x 4) f ( x) = 2 x + 1 Gráfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales. Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de: 28

29 1 1) f ( x) = x 1 2) g( x) = x + 1 2x 3) h( x) = x 3 3 4) f ( x) = 2 x 1 3x + 6 5) g( x) = x 1 Teorema: Si f es una función definida de la forma: P( x) f ( x) = Q( x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma: r( x) f ( x) = mx + b + Q( x) Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f Función raíz Sea n un número natural no nulo. La función (potenciación) x x n define una biyección de hacia si ''n'' es impar, y hacia si ''n'' es par. Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función matemática recíproca, y se puede anotar de formas:. Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:. En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca. 29

30 Cambiando de escala: La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: en vez de. La raíz de orden tres se llama raíz cúbica. El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:. Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, 30

31 de restringir la definición de las raíces de orden impar números positivos. a los Propiedades Como se indica con la igualdad, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación Función exponencial Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x 2 y g(x) = 2 x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x 2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2 x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial. Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b x, donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. 1) f(x) = 2 x x 2) f ( x) = ( 2 ) 2 2 = = x x 31

32 Propiedades de f(x) = b x, b>0, b diferente de uno: 1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). 2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 3) El eje de x es la asíntota horizontal. 4) Si b > 1 (b, base), entonces b x aumenta conforme aumenta x. 5) Si 0 < b < 1, entonces b x disminuye conforme aumenta x. 6) La función f es una función uno a uno. Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes: a)( a )( a ) = a b) a a x ( ) c) a x y x+ y x y = a y x y = a d)( ab) = a b x a a e) = b b xy x x x x x 2) a x = a y si y sólo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces a x = b x si y sólo si a = b. Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 2 x = 8 2) 10 x = 100 3) 4 x - 3 = 8 32

33 4) x = 125 Halla el valor de x: 1) 2 x = 64 2) 27 x + 1 = 9 La función exponencial de base e Al igual que π, e es un número irracional donde e = La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = e x exponencial de base e. define a la función Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e x. La gráfica de f(x) = e x es: El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función f(x) = e x es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e x está entre f(x) = 2 x y f(x) = 3 x, como se ilustra a continuación:

34 En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. Simplifica: 2x ( e ) 1) e 2) e 3x 4x 3x 8 = = Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1 1) Simplifica: (e 3x + 1 ) (e 2x 5 ) 2) Halla el valor de x en e 3x 4 = e 2x La gráfica de la función exponencial f(x) = e -x es: Función logarítmica Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f -1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = b x, en lugar de usar la notación f -1 (x), se escribe log b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log b (x) como el logaritmo de x con base b, y llamamos a la expresión log b (x) un logaritmo. Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces log b y = x si y sólo si y = b x. 34

35 Nota: La notación log b y = x se lee el logaritmo de y en la base b es x. Ejemplos: 1) A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 5 2 = 25. Decimos que el logaritmo de 25 en la base 5 es 2. Simbólicamente lo expresamos de la forma log 5 25 = 2. De manera que, log 5 25 = 2 es equivalente a 5 2 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.) 2) También podemos decir que 2 3 = 8 es equivalente a log 2 8 = 3. Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log 10 3 está definido, pero el log 10 0 y log 10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: 1) log 3 9 = 2 1 2) log 49 7 = 2 1 3) log = Ejercicios: 1) Halla el valor de x si log 3 9 = x. 2) Halla el valor de b si log b 8 = 3. 3) Halla el valor de y si log 2 y = 7. Ejercicio: 1) Halla el valor de y si log 3 27 = y. 2) Halla el valor de b si log b 100 = 2. 3) Halla el valor de x si log 2 x = -3. Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces: 1) log b 1 = 0 2) log b b = 1 3) log b b x = x 35

36 4) log b MN = log b M + log b N M 5) log = log M log N b b b N 6) log b M p = p log b M 7) log b M = log b N si y sólo si M = N Logaritmos comunes y naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = e x entonces x = log e y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notación: Logaritmo común: log x = log 10 x Logaritmo natural: ln x = log e x El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular: 1) ln e = 1 2) ln 1 = 0 3) ln( uv) = ln u + ln v u 4) ln = ln u ln v v n 5) ln u = n ln u Usa las propiedades para expandir: 2x 1 1) ln = x 2 2 2) ln 3x y = Gráficas de funciones logarítmicas Las funciones y = b x y y = log b x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = log b x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = b x. La gráfica de y = b x tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = log b x tiene al eje de y como asíntota vertical. 36

37 Ejemplo: y = 2 x y = log 2 x Las funciones y = 2 x y y = log 2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log 2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2 x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2 x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log 2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales Función definida parte por parte Trazar la gráfica de la función f si Solución Si x < 0, entonces f(x) = 2x +3, y la gráfica de f coincide con la recta y = 2x + 3. Con esto se obtiene la parte de la gráfica que está a la izquierda del eje y, que se ve en la Fig El circulo pequeño indica que el punto (0, 3) no está en la gráfica. Si 0 x < 2, se usa x 2 para calcular valores de f y, por consiguiente, esta parte de la gráfica de f coincide con la parábola y = x 2, como se ve en la figura. Nótese que el punto (2, 4) no pertenece a la gráfica. Finalmente, si x ³ 2, los valores de f siempre son 1. Así, la gráfica de f para x ³ 2 es la media recta horizontal que se ve en la figura. 37

38 2.3.7 Función inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f 1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a. Podemos observar que: El dominio de f 1 es el recorrido de f. El recorrido de f 1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. f o f - 1 = f - 1 o f = x - 1 Las gráficas de f y f son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. 38

39 Hay que distinguir entre la función inversa, f 1 (x), y la inversa de una función,. Cálculo de la función inversa Se escribe la ecuación de la función con x e y. Se despeja la variable x en función de la variable y. Se intercambian las variables. Calcular la función inversa de: 2.4 Clasificación de las funciones por sus propiedades: Función creciente y decreciente Función estrictamente creciente en un intervalo 39

40 Una función es estrictamente creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que: Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba: Una función es estrictamente creciente en el punto de abscisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo. De esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abscisa, entonces. Función creciente en un intervalo Una función es creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que: Función estrictamente decreciente en un intervalo Una función es estrictamente decreciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que: 40

41 Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo: Una función es estrictamente decreciente en el punto de abscisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo. De esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente decreciente en el punto de abscisa, entonces. Función decreciente en un intervalo Una función es decreciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que: Función par e impar SIMETRÍA. FUNCIÓN PAR. Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par. Ejemplo. Comprobar que f(x) = x 2 es par. f(-x) = (-x) 2 = x 2 = f(x) Como f(-x) = f(x), entonces la función es par! f (-x) f (x) -x x 41

42 La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. FUNCIÓN IMPAR. Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar. Ejemplo. Demostrar que f(x) = x 3 es una función impar. f(-x) = (-x) 3 = - x 3 = - f(x) Como f(-x) = - f(x), entonces la función es impar! f (x) -x x f (-x) La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Ejemplos. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguno de los dos. f(x) = x 5 + x f(x) = 1 x 4 f(x) = 2 x x Función periódica Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + zt) La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que: sen (x + 2π) = sen x 42

43 La función f(x) = tg x es periódica π, de ya periodo que cumple que: tg (x + π) = tg x 2.5 Operaciones con funciones y composición de funciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. 43 (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = = 7 Dominio: D (g o f) = {x D f / f(x) D g } Propiedades Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h

44 No es conmutativa. f o g g o f El elemento neutro es la f o i = i o f = f función identidad, i(x) = x. Sean las funciones: 44

45 45

46 CAPÍTULO III: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 3.1 Definición de límite Definición de límite Sea f una función definida en una vecindad del punto (b,0). Definición: Se dice que, si para cada número positivo, por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo, tal que para todos los valores de, diferentes de, que satisfacen la desigualdad, se verificará la desigualdad. Luego, si y solo si para cada tal que si, entonces. En forma gráfica se tiene: para cada existe tal que si entonces 46

47 También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad se deduce que, entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación, que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto, se encontrarán dentro de una franja de ancho,limitada por las rectas, como se muestra en la siguiente figura: Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente, establece que los valores de la función se aproximan a un límite, conforme se aproxima a un número, sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b". 3.2 Propiedades de los límites Para resolver alguno limites es necesario tener en cuenta alguna de las siguientes propiedades, a continuación iniciaremos con las más sencillas e irán aumentando de dificultad, pero muchas veces teniendo en cuenta a anteriores (1) 47

48 (2) (donde c es una constante o numero cualquiera) (3) (e igual cuando es resta) (4) (5) mientras que En este ejemplo vamos a usar propiedades de los limites y algunos trucos para romper la indeterminación de un límite, teniendo en cuenta que solo puedo multiplicar y dividir por 1, usar la factorización o alguno otro procedimiento matemático que no afecte al límite. 3.3 Límites laterales Definición de límites laterales o unilaterales Definición de límite por la derecha Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la derecha de en "a". Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de, pues es mayor que cero ya que. 48

49 Definición de límite por la izquierda Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a". Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que. En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da. Ejemplo: Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por: Primero hagamos la gráfica de la función: El punto de discontinuidad se presenta cuando Luego: y Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). Ejercicio: 49

50 Represente la función definida por y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad. Es posible demostrar que para que exista los límites laterales existan y sean iguales. es necesario y suficiente que Es decir, si y solo si y Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe. Ejemplo: Representemos gráficamente la función definida por: Como y, entonces Como y, entonces no existe. Ejercicio: Considere la representación gráfica de la función definida por: 50

51 3.4 Asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en: Asíntotas verticales (paralelas al eje OY) Si existe un número a tal, que : La recta x = a es la asíntota vertical. Ejemplo: es la asíntota vertical. 51

52 Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX) Si existe el límite: : La recta y = b es la asíntota horizontal. Ejemplo: es la asíntota horizontal. 52

53 Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si existen los límites: : La recta y = mx+n es la asíntota oblicua. Ejemplo: es la asíntota oblicua. Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras. En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos. Posición relativa de la función con respecto a la asíntota Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema: 53

54 Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO [f(x)-asíntota]. Ejemplo: La función tiene por asíntota oblicua la recta Calculamos los puntos de intersección de ambas: El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3). Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA. Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota. 3.5 Definición de continuidad Definición de continuidad 54

55 Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f) existe La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple. Ejemplo Determinar si la función definida por es continua en Primero por lo que f está definida en 2 Calculemos (de aquí existe) Como entonces f es continua en Note que f no está definida ni en, ni en por lo que f es discontinua en esos puntos. Ejemplo Determine si la función definida por es o no continua en 55

56 Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de ) Además Pero por lo que es discontinua en. La representación gráfica de la función es la siguiente: 3.6 Propiedades de la continuidad Propiedades de continuidad Si b es un número real y f, g son continuas en x = c, entonces: 1) bf es continua en c (múltiplo escalar) 2) f ± g es continua en x = c ( suma o diferencia) 3) fg es continua en x = c ( producto) 4) g f es continua en x = c si g(c) 0 ( cociente) Teorema-Función compuesta Si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces ( f o g )(x) = f(g(x)) es continua en x = c. 56

57 CAPÍTULO IV: LA DERIVADA. 4.1 Definición de la derivada. La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente: 4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada. Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β. 57

58 La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. m t = f'(a) Dada la parábola f(x) = x 2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1. Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: f'(a) = 1. Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a. 58

59 4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función x n cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. Derivada de una función constante Sea una función constante f(x) = C. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero. 59

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