Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

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1 Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O.

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3 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O Ejercicios Intervalos de la recta real Ejercicios El símbolo x L.F. Reséndis O Gráficas de rectas y parábolas L.F. Reséndis O La Recta La parábola Ejercicios Desigualdades L.F. Reséndis O Propiedades de las desigualdades Ejercicios Valor absoluto L.F. Reséndis O Ejercicios La distancia entre dos puntos L.F. Reséndis O Ejercicios Funciones L.F. Reséndis O Funciones y sus operaciones L.F. Reséndis O Definición de función Ejercicios Operaciones aritméticas entre funciones Ejercicios La composición de funciones Ejercicios

4 4 CONTENTS

5 Chapter 1 Números reales L.F. Reséndis O. Aquí se consideran algunas propiedades del conjunto de números reales R, representados por una recta infinita y de algunos de sus subconjuntos, dando énfasis a las expansiones decimales. En ningún momento se intenta justificar propiedades mencionadas aquí. Se introduce también la notación de intervalos, la cual es de utilidad durante todo el texto. 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O. Se recuerda brevemente el conjunto de números naturales y enteros. El conjunto de números naturales N es el que se usa para contar N := {1, 2, 3,..., n,...}, y el conjunto de números enteros Z, incluye a los inversos aditivos de los números naturales, junto con el cero. Así Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Gráficamente asociamos la figura 1.1 al conjunto Z Figure 1.1: Los números enteros Z en la recta real R. 5

6 6 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. Los números racionales son el conjunto que se obtiene al tomar el cociente de dos enteros, donde el denominador es distinto de cero, es decir { a } Q := b : a Z, b Z, b 0. Una propiedad interesante de los números racionales es que se les puede ubicar exactamente en la recta numérica. Ejemplo Ubicar al número en la recta numérica Solución. Se realiza la división y se observa que = = o equivalentemente, usando la notación del algoritmo de la división = (445231)(17) 7. Para ubicar la posición de en la recta numérica, se ubican los 17 números y y se divide esta unidad en diecisiete partes iguales; se eligen siete divisiones de derecha a izquierda por tratarse de un número negativo. En ese punto se localiza como se aprecia en la 17 figura Figure 1.2: Ubicación de la fracción en la recta R Es familiar la representación de algunos números racionales mediante su expansión decimal.

7 1.1. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.L.F. RESÉNDIS O. 7 Ejemplo a) = b). 25 = 1 4 c) 1 3 = Más precisamente la caracterización de números racionales en términos de expansiones decimales está dada por el siguiente teorema Teorema Los números racionales son exactamente aquellos que admiten expansión decimal periódica. La forma práctica de aplicar este teorema está dada por los siguientes ejemplos. Ejemplo Determinar la expansión decimal periódica de Solución. Se plantea la división larga de la fracción Entonces = = es la expansión decimal periódica buscada. Ejemplo Muestre que 1 = =.9.

8 8 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. Solución. Se obtienen las expansiones decimales periódicas de 1 3 y 2 3 y sumando se obtiene por lo tanto al sumar se tiene 1 3 = = = = = Ejemplo Escribir el número como cociente de dos enteros. Solución Sea x = Entonces 10x = y 1000x = = Luego Despejando se tiene 1000x 10x = = x = = En base al teorema se define al conjunto de números irracionales I = R Q. Teorema Los números irracionales I son aquellos que no admiten expansión decimal periódica. Ejemplo Algunos ejemplos importantes de números irracionales son 2, π, e. No es difícil probar que n=1 representa un número irracional n2 =

9 1.1. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.L.F. RESÉNDIS O Ejercicios Ejercicio Ubique los siguiente números racionales en la recta numérica: i) ii) Ejercicio Escriba los siguientes números racionales como cocientes de dos enteros: i) ii) iii) Ejercicio Escriba las expansiones decimales periódicas de los siguiente números racionales: i) ii) Ejercicio Ubique los siguiente números racionales en la recta numérica: i) ii) iii) iv) Intervalos de la recta real Algunos subconjuntos de números reales son de gran utilidad y por eso tienen una forma particular de escribirse. Este el caso de los intervalos. Se recuerda que el conjunto de números reales tiene un orden, (R, <), donde se usan los siguientes símbolos para expresarlo: < se lee menor que, se lee menor o igual que, > se lee mayor que, se lee mayor o igual que. Sean a, b R con a b. Los intervalos de longitud finita b a se definen a continuación. El intervalo cerrado con extremos a, b es [a, b] := { x R : a x b }.

10 10 CHAPTER 1. a NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. b Figure 1.3: El intervalo cerrado [a, b] Una representacioón gráfica está dada por la figura 1.3. El intervalo abierto con extremos a, b con a < b es (a, b) := { x R : a < x < b }. Una representación gráfica está dada por la figura 1.4. a b Figure 1.4: El intervalo abierto (a, b) Los intervalos semiabiertos ( o semicerrados) son [a, b) := { x R : a x < b }, y (a, b] := { x R : a < x b } con representación gráfica dada por las figuras 1.5 y 1.6 respectivamente. a b Figure 1.5: El intervalo semicerrado [a, b). Los puntos a y b mencionados anteriormente se llaman extremos del intervalo y todos los demás puntos del intervalo se dicen interiores. Los intervalos de longitud infinita hacia la derecha son [a, ) := { x R : a x}, y (a, ) := { x R : a < x},

11 1.1. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.L.F. RESÉNDIS O. 11 a b Figure 1.6: El intervalo semicerrado (a, b]. a Figure 1.7: El intervalo infinito [a, ). con representación gráfica dada por las figuras 1.7 y 1.8 respectivamente. Los intervalos de longitud infinita hacia la izquierda son y (, a] := { x R : x a}, (, a) := { x R : x < a} con representación gráfica dada por la figura 1.9 El conjunto de números reales se acostumbra denotar por el intervalo de longitud infinita (, ). Nuevamente el punto a recibe el nombre de extremo del intervalo y los demás puntos del intervalo se llaman puntos interiores. Debido a que los intervalos son subconjuntos de R, se pueden realizar operaciones entre ellos. Ejemplo Sean I = ( 52 ] (, 5, J =, 7 ], K = [ 1, 7]. 3 Calcular I J, J c K y I c K. a Figure 1.8: El intervalo infinito (a, ).

12 12 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. a Figure 1.9: Los intervalos infinitos (, a] y (, a) Solución Se representa gráficamente a los intervalos I y J en un arreglo vertical, cuidando que la posición relativa de los números que son los extremos de los intervalos sea la del orden conque los números aparecen en la recta real. Del dibujo 1.10 de estos intervalos, y al proyectar las líneas punteadas ( a través de los extremos de los intervalos obtenemos el resultado I J = 5 2, 7 ] que es el conjunto de puntos en común de ambos intervalos. 3 ( ) 7 A partir de la gráfica del intervalo J calculamos J c = 3, y unimos con el intervalo K obteniendo J c K = [ 1, ), según se muestra en el dibujo Nuevamente se observa como un alineamiento vertical resuelve la pregunta. ( Procedemos como en los casos anteriores para tener I c =, 5 ] (5, ) 2 y de la figura 1.12 obtenemos la respuesta I c K = (5, 7]..

13 1.1. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.L.F. RESÉNDIS O J I J I Figure 1.10: El intervalo I J = ( 5 2, 7 ] K J c J J c 7 Figure 1.11: El intervalo J c K = [ 1, ) I C K 5 I C 7 IC K 5 7 Figure 1.12: El conjunto I c K = (5, 7].

14 14 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O Ejercicios Ejercicio Sean I = [ 3 2, 5), J = [ 1, 30] y K = (, 3). Calcular los siguientes conjuntos: i) J c I ii) (I c K) J iii) (K c ( 2, 18)) I c Ejercicio Sean A = (, 7 ) [1, 5) (100, ) y B = [0, 42] (83, 200). 3 Calcular i) A c B, ii) B c B, iii) A B, iv) (B c [ 10, 3)) A c. 1.2 El símbolo x L.F. Reséndis O. Si pedimos a un grupo de personas que nos den ejemplos de números grandes escucharemos respuestas como 10, 1500 o incluso Sin embargo siempre podremos encontrar un número más grande que cualquiera que podamos enlistar, por ejemplo es absurdamente más grande que los números dados en la lista anterior. Esto sucede porque la palabra grande es un concepto relativo, es decir requiere preguntar grande con respecto a qué? Así por ejemplo, el conjunto de números más grandes con respecto a 3000 es el intervalo (3000, ). Si consideramos un conjunto de números variables x R, el símbolo x se lee x tiende a infinito o x va a infinito o incluso x se hace infinitamente grande. Esto significa que para cada número M > 0 se cumpla M < x. Para un número M > 0 fijo, son precisamente los números x (M, ) los que se consideran que van a infinito. En esta definición el número M > 0 es la referencia a partir de la cual se dice que x va a infinito y también la arbitrariedad del número M permite que los números x sean tan grandes como se quieran. Una definición análoga se tiene para el símbolo x. Dado un subconjunto A R de números reales, decimos que A es acotado si existe M N tal que A [ M, M], es decir todo el conjunto A se encuentra contenido en el intervalo cerrado [ M, M]. Por tanto un subconjunto A R de números reales A no es acotado si para cada n N, A [ n, n], es decir existe a n A tal que n < a n, o, a n < n. Es decir hay una parte de A que va a infinito o a menos infinito.

15 1.2. EL SÍMBOLO X L.F. RESÉNDIS O. 15 Supongamos que hay infinitos a n A con n < a n. Hay una manera precisa de decir que hay una parte de A que va a infinito. Dado M > 0, sea A M = { a A : M < a} = A (M, ) entonces A M es la parte de A que va infinito, con respecto a M; en otras palabras A M es el conjunto de números grandes de A con respecto a M.

16 16 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. 1.3 Gráficas de rectas y parábolas L.F. Reséndis O. En esta sección se introducen las gráficas de las rectas y parábolas verticales, las cuales se aplican para resolver desigualdades sencillas que involucran factores lineales o cuadráticos La Recta La ecuación de una recta con ordenada al origen b es y = mx + b (1.3.1) donde m denota la pendiente de la recta y b la ordenada de la intersección con el eje y. Cuando m < 0 la recta está inclinada hacia la izquierda, si m = 0 se trata de una recta horizontal y si m > 0 la inclinación es hacia la derecha, según muestra la figura La solución de la ecuación y = 0, es decir mx+b = 0 se denomina cero de la recta. Para poder graficar una recta en el plano euclidiano R 2 es suficiente tener dos puntos distintos de ella y trazar la recta a través de ellos. m0 m 0 m0 Figure 1.13: Las posiciones de la recta y = mx + b. La ecuación de una recta vertical es de la forma x = a, donde a es el punto donde la recta interseca al eje x. El dibujo 1.14 muestra una recta vertical. El siguiente ejemplo permite una interpretación de la gráfica de la recta dada en Ejemplo Determinar el conjunto de x R que satisfacen la desigualdad. 3x

17 1.3. GRÁFICAS DE RECTAS Y PARÁBOLAS L.F. RESÉNDIS O. 17 x a Figure 1.14: La recta vertical x = a. Solución Al poner y = 3x la desigualdad propuesta se escribe como y 0. Se dibuja a continuación la gráfica de la recta y = 3x que está inclinada a la izquierda y tiene un cero en x = Se observa en la figura 1.15 que la recta vertical x = 7 divide en dos regiones 15 al plano: la región izquierda denotada con la letra A y la región derecha denotada con la letra B. En la región izquierda A, la recta y = 3x+ 7 5 está por encima del eje de las x y las coordenadas (x, y) de la recta cumplen y > 0. En la región derecha B, la recta y = 3x + 7 está por debajo del eje de las 5 x y las coordenadas (x, y) de la recta cumplen y < 0; esta parte de la recta se ha remarcado en el dibujo 1.15 con color azul. Es la región B la asociada a la solución de la desigualdad propuesta y donde se identifica gráficamente el intervalo solución en el eje horizontal de las x. Así el conjunto de x R asociadas con estas coordenadas (x, y) es [ 7, ) donde se ha unido el cero 15 de la recta. Este intervalo está remarcado con color rojo en la gráfica El siguiente ejemplo ilustra como resolver desigualdades por medio de la gráfica de rectas. Ejemplo Determinar el conjunto de x R que es solución de las

18 18 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. x,y A B x 7 15 x,y Figure 1.15: La recta y = 3x siguientes desigualdades a) (3x + 8)(7 5x 2 ) 0. b) 3x x 2 < 0. Solución a) Sea y 1 = 3x+8, y 2 = 7 5x 2. Los ceros de las rectas son x = 8 3, x = 14 respectivamente. Se observa que las rectas verticales x = 5 8, x = dividen al plano en las regiones A, B y C, ver la figura El producto y 1 y 2 es mayor o igual cero si los signos asociados a las rectas son iguales o cero. El signo de las rectas es igual en la región B y ambos signos son positivos

19 1.3. GRÁFICAS DE RECTAS Y PARÁBOLAS L.F. RESÉNDIS O. 19 pues la gráfica de las rectas está arriba del eje x. Se han remarcado en azul los segmentos de recta correspondientes y el intervalo asociado en rojo. b) El cociente y 1 < 0 requiere primero que x 14. Además los signos de las 5 y 2 y 2 B y 1 A C x 14 5 x 8 3 Figure 1.16: Las rectas y 1 = 3x + 8, y 2 = 7 5x 2. rectas deben ser diferentes. En la región A el signo de y 1 es negativo, pues su gráfica está debajo del eje x y el signo de y 2 es positivo pues su gráfica está por arriba del eje x. En la región C la situación se invierte. Los intervalos solución son (, 8 3 ) (14 5, ) La parábola La ecuación de una parábola vertical está dada por y = ax 2 + bx + c con a 0 (1.3.2) Las gráficas representativas de una parábola vertical que abre hacia arriba aparecen en la figura 1.17 y corresponden al caso a > 0. Las gráficas

20 20 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O Figure 1.17: La parábola y = ax 2 + bx + c para a > Figure 1.18: La parábola y = ax 2 + bx + c para a < 0. representativas de una parábola vertical que abre hacia abajo aparecen en la figura 1.18 y corresponden al caso a < 0. De las figuras 1.17 y 1.18, destaca el vértice V de la parábola cuyas coordenadas son ( ) b V = 2a, c b2 4a Los ceros o raíces de la parábola están dadas por la fórmula general de segundo orden, a saber x = b ± b 2 4ac. (1.3.3) 2a Acorde al signo del discriminante b 2 4ac la parábola i) tiene dos ceros reales si b 2 4ac > 0; ii) un sólo cero repetido dos veces si b 2 4ac = 0; iii) no tiene ningún cero real si b 2 4ac < 0. Las dos primeras parábolas de las figuras 1.17 y 1.18 ilustran los casos de los casos i) y ii) de los ceros reales. La tercera parábola ilustra el caso cuando no hay ceros reales: la gráfica no interseca al eje horizontal x. En muchas ocasiones es necesario resolver desigualdades que involucran una expresión cuadrática. La representación gráfica de la desigualdad simplifica la solución, como lo muestra el siguiente ejemplo.

21 1.3. GRÁFICAS DE RECTAS Y PARÁBOLAS L.F. RESÉNDIS O. 21 Ejemplo Determinar el conjunto de x R que satisfacen la desigualdad 6x 2 x (1.3.4) Solución Sea y = 6x 2 x+15, que representa una parábola que abre hacia abajo. La desigualdad se escribe y 0. Los ceros de la parábola se obtienen por la fórmula 1.3.3, luego x = ( 1) ± ( 1) 2 4( 6)(15) 2( 6) = esto es x 1 = 5 3, x 2 = 3 2. A B C x 5 3 x 3 2 Figure 1.19: La parábola y = 6x 2 x En la figura 1.19 se observa que las rectas x = 5 3 y x = 3 dividen al 2 plano en las regiones A, B y C. Las coordenadas (x, y) que cumplen y 0, son aquellas donde la gráfica de la parábola se encuentra por encima o toca al eje de las x y corresponden a la parte de la gráfica que está en la región B, la cual se ha remarcado en color azul. Así el conjunto de x R asociadas

22 22 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. [ con estas coordenadas (x, y) es el intervalo 5 3, 3 ] y se ha remarcado en 2 rojo Combinando gráficas de rectas y parábolas se resuelven geométricamente otro tipo de desigualdades, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Determinar el conjunto de x R que es solución de las siguientes desigualdades a) ( 3x 2 + 8x + 2)(7 5x) 0. b) 7 5x 3x 2 + 8x + 2 < 0. Solución Se dibuja en el plano la parábola y 1 = 3x 2 + 8x + 2 y la recta y 2 = 7 5x. La desigualdad a) se lee y 1 y 2 0 y esto ocurre si y sólo si los signos de y 1 y y 2 son iguales o alguno es cero. Al resolver 3x 2 +8x +2 = 0, se obtienen los ceros de la parábola x 1 = y x 2 = y la recta tiene su cero en x = 7. Se grafica a la parábola y a la recta en la 5 figura 1.20 y observando esta figura notamos que los signos de y 1 y y 2 son ambos positivos en la franja B, pues sus gráficas están por encima del eje horizontal x, y ambos son negativos en la franja D, pues las gráficas están por debajo del eje x. Las partes de las gráficas han sido remarcadas en color azul. Así la solución a la primera desigualdad es el conjunto [ 4 22, ] [ 4 + ) 22, 3 parte del cual ha sido remarcado en rojo. Para la segunda desigualdad no se puede dividir entre cero, por tanto de inicio x 4 ± 22 3 La desigualdad b) se lee y 1 y 2 < 0 y esto ocurre si y sólo si los signos son diferentes y no se permite el valor cero. Al observar nuevamente el dibujo.

23 1.3. GRÁFICAS DE RECTAS Y PARÁBOLAS L.F. RESÉNDIS O. 23 x 7 5 A B C D x x Figure 1.20: La parábola y 1 = 3x 2 + 8x + 2 y la recta y 2 = 7 5x. se observa que en la franja A el signo de la parábola es negativo, pues su gráfica esta por debajo del eje x y el signo de la recta es positivo, pues su gráfica está por arriba del eje x. La situación se invierte en la franja C. Las gráficas no han sido remarcadas en estas franjas. Así la solución a la segunda desigualdad es el conjunto (, ) ( 7 5, 4 + ) 22. 3

24 24 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O Ejercicios. Ejercicio Resuelva las desigualdades i) 2x , ii) 2x2 x 3 0, iii) 3x 2 5x + 3 > 0, iv) (3x + 2)( 2x2 + x + 2) 0. Solución i) [ 2 5, ); ii) (, 1] [3 2, ); iii) (, 3 5 ) (2 3, ); iv) [3 13 2, 2 3 ] [ , ). Ejercicio Resuelva las desigualdades i) (x 2 2x 3)( x 2 + 6x + 1) 0, ii) iii) 2 5x 9x 3 (x2 5x + 2) > 0, x 3 2x , iv) x 2 3x 1 + 5x 8 x + 2 < 0. Solución i) (, 1] [3 10, 3] [3+ 10, ); ii) ( 1, 2) 3 5 (5 17, ); 2 2 iii) (, 8 ] 59 [ 1, ); iv) ( 2, ) ( 1, ) Desigualdades L.F. Reséndis O. En esta sección se introducen propiedades básicas de desigualdades; éstas permiten resolver desigualdades recurriendo a la operatividad algebraica y a lo visto en la sección precedente. En particular ya no se describen con detalle las gráficas que sean usadas para resolver desigualdades Propiedades de las desigualdades Las propiedades básicas de las desigualdades son las siguientes. Dados a, b R

25 1.4. DESIGUALDADES L.F. RESÉNDIS O. 25 i) Si a b entonces a + c b + c para cada c R; ii) Si a b y c > 0 entonces ac bc; iii) Si a b y c < 0 entonces ac bc; Es conveniente recordar que a 2 0, para cada a R. Las propiedades de las desigualdades permiten operar algebraicamente con éstas de la manera usual, tomando especial cuidado que al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo el sentido de la desigualdad cambia. Los ejemplos siguientes muestran el uso de estas propiedades para resolver desigualdades. Ejemplo Resolver la desigualdad 13x x Solución. Aplicando a la desigualdad las propiedades enunciadas se tiene 13x x x 5x (138)(7) 11(22) 22x 7 x x Así la solución de la desigualdad es x Ejemplo Resolver la desigualdad 7 [ 483 ) 121,. 2x 2 3x x 2 + 4x 17. Solución. Aplicando a la desigualdad las propiedades enunciadas se tiene 2x 2 3x x 2 + 4x x 2 7x 5 0. Para resolver esta desigualdad graficamos la parábola y = 9x 2 7x 5.

26 26 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. x x Figure 1.21: La parábola y = 9x 2 7x 5. La solución corresponde a los intervalos donde la gráfica está por encima o toca al eje x. Del dibujo 1.21 obtenemos la solución x (, ] [ 7 ) 229,. 18 Ejemplo Resuelver las desigualdades i) 6x 4 3 2x 1, ii) 6x 4 3 2x > 1. Solución Se resuelve la desigualdad i). Primero se observa que el denominador

27 1.4. DESIGUALDADES L.F. RESÉNDIS O. 27 de la desigualdad en i) se anula en x = 3 2, por tanto se considera x x 4 3 2x 1 6x 4 3 2x 1 0 6x x 0 3 2x 8x 7 3 2x 0. Como el cociente de estos dos números es menor o igual que cero, de la figura 1.22 nos interesa ver cuando los signos son diferentes o el numerador es cero. x 7 8 x 3 2 Figure 1.22: Las rectas y = 8x 7 y la recta y = 3 2x.

28 28 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. Esto ocurre en los intervalos (, 7 ] ( ) 3 8 2, que es la solución de la desigualdad i). La solución de la desigualdad ii) es sólo el complemento de la solución i) sin el punto 3, luego es 2 ( 7 8, 3 ). 2 Ejemplo Resuelver las desigualdades i) 4x + 3 2x 2 + 3x 2 2 x + 1, ii) 4x + 3 2x 2 + 3x 2 > 2 x + 1. Solución Se resuelve la desigualdad i). Primero se observa que los denominadores de la desigualdad i) se anulan para 2x 2 + 3x 2 = 0, x + 1 = 0, por 1 tanto se considera que x 2, 1,. Manipulando la desigualdad 2 4x + 3 2x 2 + 3x 2 2 x + 1 4x + 3 2x 2 + 3x x (4x + 3)(x + 1) + 2(2x 2 + 3x 2) (1 + x)(2x 2 + 3x 2) 8x x 1 (1 + x)(2x 2 + 3x 2) 0 0. Se grafican ahora la recta y 1 = 1 + x y las parábolas y 2 = 2x 2 + 3x 2, y 3 = 8x x 1, ver figura Para que la desigualdad se satisfaga se requiere que la combinación de los tres signos de las gráficas, en las operaciones indicadas, de como resultado un número negativo o cero. Al observar la figura 1.23 vemos que en la región A las parábolas tienen signo positivo y la recta negativo; en la región B la parábola y 2 y la recta tienen signo negativo y la parábola y 3 tiene signo positivo; en la región C las parábolas y la recta tienen signo negativo; en la región D, las dos parábolas tienen signo

29 1.4. DESIGUALDADES L.F. RESÉNDIS O. 29 A B C D E F x x 5 x x 3 x x 4 x x 1 x x 2 Figure 1.23: La recta y 1 = 1 + x y las parábolas y 2 = 2x 2 + 3x 2, y 3 = 8x x 1, negativo y la recta signo positivo; en la región E la parábola y 3 y la recta tienen signo positivo y la parábola y 2 signo negativo; finalmente en la región F las tres tienen signo positivo. Por ello la solución a la desigualdad i) es (, 2) ( , 1 16 ) ( , La solución a la desigualdad ii) se hace con ayuda de la complementación o viendo nuevamente la figura Así se obtiene ( 2, 13 + ) ( 201 1, 13 + ) ( ) , Ejercicios. Ejercicio Resuelva las desigualdades i) 15x x ii) x 2 3x x 4 ).

30 30 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. 504 Solución i) (, 5( ]; ii) (, 433 ] [ 9 433, ). 2) 8 8 Ejercicio Resolver analíticamente las desigualdades i) 7x 3 2x 2 3x 1 2 ii) 7x 3 2x 2 3x 1 < 2 Solución i) ( , ) ( , ), ii) (, ) ( , ) ( , ). Ejercicio Resolver analíticamente las desigualdades i) iii) 7 6x 2 4x + 2x 2 3 3, ii) x + 2 3x 1 1 5x 8 x + 2, 2x 3 x 2 x + 1 2x x 2 9. Solución i) (, 2 10 ) ( 3 57, ) ( 3+ 57, ); ii) ( 2, 1 ) [ 15 43, ]; iii) (, ) ( 3, 1 5 ) ( 1+ 5, ) (3, ) Valor absoluto L.F. Reséndis O. Dado a R el valor absoluto del número a se define como { a si a 0 a = a si a < 0. Algunas propiedades inmediatas del valor absoluto son las siguientes. i) a 0 para cada a R; ii) a = 0 si y solo si a = 0; iii) a ±a a para cada a R; iv) ab = a b para cada a, b R, en particular a = a ; v) a = a 2 para cada a R. El siguiente ejemplo ilustra algunas de estas propiedades Ejemplo Calcular 376,

31 1.5. VALOR ABSOLUTO L.F. RESÉNDIS O. 31 Solución Como 376 < 0 entonces, por la definición de valor absoluto se tiene 376 = ( 376) = 376. También = = Ejemplo a) Calcular el valor absoluto: 17x b) Obtener la gráfica de c) Resolver las desigualdades i) ii) y = 17x x , 17x y dar una interpretación gráfica de ellas. Solución a) Por definición de valor absoluto se tiene 17x 8 17x 8 si 17x 8 13 = (17x 8 13 ) si 17x 8 13 < 0. Se resuelve 17x y se obtiene 17x 8 17x 8 [ ) 8 13 si x 221, 13 = ( 8 17x si x, 13 )

32 32 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O Figure 1.24: La gráfica de y = 17x 8. b) La gráfica de y = 17x 8 13 consta de dos rayos rectilíneos, ver figura ( ) En el intervalo, se grafica el rayo de recta y = x y [ ) 8 en el intervalo 221, se grafica el rayo de recta y = 17x 8. También se 13 puede obtener la gráfica al trazar la recta y = 17x 8. Por la definción de 13 valor absoluto, la parte de la gráfica que esté por encima del eje x permanece y la parte que esté por debajo del eje x es reflejada hacia arriba del eje x. c) Por el inciso a) es necesario considerar dos casos. Primer caso. Se considera x Por tanto la desigualdad i) (, x 8 13 = x. 13 ) y en este intervalo 17x (1.5.1) se escribe como Sólo en el intervalo (, x 2. (1.5.2) 13 ) las soluciones de las desigualdades y

33 1.5. VALOR ABSOLUTO L.F. RESÉNDIS O son las mismas, pues sólo en este intervalo [ estas desigualdades coinciden. La solución de la desigualdad es 18 ) 221, y es necesario considerar sólo la parte de la solución que está en en intervalo considerado. Así se calcula la intersección ( ) 8 [, 18 ) [ , = 18 ) 221, y este intervalo es la solución del [ primer ) caso. 8 Segundo caso. Se considera x 221, y en este intervalo 17x 8 13 = 17x Por tanto la desigualdad i) 17x (1.5.3) se escribe como 17x (1.5.4) [ ) 8 Sólo en el intervalo 221, las soluciones de las desigualdades y son las mismas, pues sólo en este intervalo ( estas desigualdades coinciden. La solución de la desigualdad es, 34 ] y es necesario considerar sólo 221 la parte de la solución que está en en intervalo considerado. Así se calcula la intersección [ ) 8 ( 221,, 34 ] [ 8 = , 34 ] 221 y este intervalo es la solución del segundo caso. La solución total de la desigualdad i) es la unión de las dos soluciones de los casos anteriores, [ 18 ) 221, 8 [ , 34 ] [ = , 2 ] 13.

34 34 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. Para obtener la solución de la desigualdad ii) se procede por complementación, prestando especial atención al signo de igualdad. Así se obtiene que ( ), ] [ 2 13, es la solución de la desigualdad ii). Para interpretar gráficamente ambas desigualdades se grafican y = 17x 8 13, y = 2. En el dibujo se observa la parte de la gráfica del valor absoluto está por debajo de la recta y = 2 y las partes que están por encima de la misma recta; las intersecciones de la recta 8 y el valor absoluto son precisamente los puntos 221 y 34. Los intervalos 221 asociados en el eje x son las soluciones ya determinadas. La interpretación gráfica se obtiene de la figura La solución de la desigualdad i) esta asociada con la parte de la gráfica de y = 17x 8 que 13 está por debajo de la gráfica de la recta y = 2, mientras que la solución de la desigualdad ii) está asociada con la parte de la gráfica de y = 17x 8 13 que está por arriba de la gráfica de la recta y = 2. 5 x x Figure 1.25: La gráfica de y = 17x 8, y = Ejemplo a) Calcular el valor absoluto de y = 15x 2 11x 14 y obtener su gráfica. b) Resolver las desigualdades i) 10 4x 15x 2 11x 14, ii) 10 4x > 15x 2 11x 14,

35 1.5. VALOR ABSOLUTO L.F. RESÉNDIS O. 35 y dar una interpretación gráfica. Solución a) De la definición de valor absoluto se tiene { 15x 15x 2 11x 14 = 2 11x 14 si 15x 2 11x 14 0 (15x 2 11x 14) si 15x 2 11x 14 < 0. Al calcular los ceros de 0 = 15x 2 11x 14 y considerar la gráfica de y(x) = 15x 2 11x 14, ver figura 1.26, x 2 3 x 7 5 Figure 1.26: La gráfica de y = 15x 2 11x 14. se obtiene al observar la parte de la gráfica que está por arriba del eje x y la parte que está por debajo del eje x que: ( 15x 2 11x 14 si x, 2 ] [ ) 7 3 5, 15x 2 11x 14 = ( 15x x + 14 si x 2 3, 7 ). 5 La representación gráfica de este valor absoluto se obtiene al graficar la parábola y = 15x 2 11x 14 manteniendo la parte de la gráfica que está por

36 36 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. y 15x 2 11x14 y 15x 2 11x14 y 15x 2 11x14 x 2 3 x 7 5 Figure 1.27: La gráfica de y = 15x 2 11x 14. encima del eje x (es la parte marcada en la figura 1.27) y reflejando hacia arriba la parte que está por debajo del eje x, ver la figura b) Del inciso a) se deben considerar dos casos. Primer caso. Se considera x desigualdad (, 2 3 ] [ 7 5, 10 4x 15x 2 11x 14 ). En este conjunto la se escribe 10 4x 15x 2 11x 14 ; la cual es equivalente a 0 15x 2 7x 24. Las soluciones de esta desigualdad y de la desigualdad original son las mismas pero sólo en el conjunto considerado, pues sólo ahí coinciden. De la gráfica de la parábola y = 15x 2 7x 24

37 1.5. VALOR ABSOLUTO L.F. RESÉNDIS O. 37 y de sus ceros x 3 = de 0 15x 2 7x 24 es (, 7 ] [ , x 4 = ) 1489, 30 se obtiene que la solución La solución para el primer caso se obtiene al intersectar con el conjunto donde se trabaja; así ((, 2 ] [ )) (( 7 3 5,, 7 ] [ )) 1489, ( =, 7 ] 1489 [ ) ,. ( Segundo caso. Se considera x 2 3, 7 ). En este conjunto la desigualdad 5 se escribe 10 4x 15x 2 11x x 15x x + 14 ; la cual es equivalente a 0 15x x + 4. Las soluciones de esta desigualdad y de la desigualdad original son las mismas pero sólo en el conjunto considerado, pues sólo ahí coinciden. De la gráfica de la parábola y = 15x 2 +15x+4 y de sus ceros x 1 = , x 2 = se obtiene 30 que la solución de 0 15x x + 4 es [ , La solución para el primer caso se obtiene al intersectar con el conjunto donde se trabaja; así ( 2 3, 7 ) [ , 15 + ] [ =, 15 + ] ]..

38 38 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. La solución para la desigualdad i) se obtiene uniendo los resultados del primer y segundo caso, a saber (, ] [ , 15 + ] 465 [ ) , La solución del la desigualdad ii) es sólo el complemento de la solución de i), es decir (( R, 7 ] [ , 15 + ] 465 [ ) ) c , = ( , 15 ) ( ) 465, Graficando el valor absoluto y = 15x 2 11x 14 y la recta y = 10 4x, ver figura 1.28 la desigualdad i) se interpreta como la parte donde la gráfica del valor absoluto está por arriba de la recta y la desigualdad ii) como la parte donde la gráfica del valor absoluto está por debajo de la recta Ejercicios Ejercicio Calcular los siguientes valores absolutos: i) 23x 3 7 =, ii) 6x2 + 10x + 3 =. Ejercicio a) Calcule el valor absoluto (x 1)(2x + 5)(x + 3) =. Indicación. Recuerde que ab = a b. Dibuje las rectas involucradas para simplificar el procedimiento. b) Calcule el valor absoluto x 2 5x + 2 2x + 1 =.

39 1.5. VALOR ABSOLUTO L.F. RESÉNDIS O. 39 x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 Figure 1.28: Las gráficas de y = 15x 2 11x 14, y = 10 4x. Ejercicio Usando los resultados del ejercicio (1.5.1) calcular i) (x 2) 6x 2 6x x x + 3 =, ii) 23x 3 =. 7 Ejercicio Grafique los valores absolutos i) y = 7x 3 ii) y = 8x x 3. Ejercicio Resuelva las desigualdades siguientes i) 3x ii) 5x 3 > x Ejercicio Resuelva las desigualdades siguientes i) 7x 25 3x + 20, ii) 2x 5x 3 > 4 3x, iii) 5x x 2 1 2, iv) x + 2 x

40 40 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. Ejercicio Resuelva las desigualdades siguientes: 3x + 7 i) 2 + 3x + 7 5x x 8 iii) x ii) 4x 1 2x 3 5 2x iv) 4 x 2 + x La distancia entre dos puntos L.F. Reséndis O. Una aplicación de importancia del valor absoluto es que permite definir la distancia entre dos puntos de la recta real. Dados dos números a, b R, la distancia entre estos puntos es a b. De la definición de valor absoluto se tiene { a b si b a a b = b a si a < b. Como es bien sabido la distancia permite tener una medida de cercanía o lejanía entre puntos. Se puede pedir a un grupo de personas que enuncien algunos números cercanos al 3. Quizá escuchemos como respuestas 4, 2. 9, Sin embargo por cada número que alguna persona enlista siempre será posible dar otro mucho más cercano al 3. Por ejemplo 3 ± están absurdamente más cercanos al 3 que cualesquiera de los anteriormente dados. Esto ocurre porque el concepto de cercanía, es un concepto relativo, lo que para unos es cerca no tiene por que serlo para otros. Por ello es necesario especificar que tan cercano al número 3 se desea estar. Por ejemplo el conjunto de puntos x que distan del 3 en menos que 10 6 está dado por la desigualdad x 3 < 10 6 y es precisamente el intervalo ( , Teorema Dado a R y δ > 0. Entonces los números x (a δ, a+δ) son los que distan de a en menos que δ. Demostración Los números x R que distan de a en menos que δ son precisamente aquellos que cumplen x a < δ. Se tiene { x a si x [a, x a = a x si x (, a). ).

41 1.6. LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS L.F. RESÉNDIS O. 41 Caso 1. Si x (, a) la desigualdad se escribe como a x < δ, o sea a δ < x. Luego x (, a) (a δ, ) = (a δ, a). Caso 2. Si x [a, ) la desigualdad se escribe como x a < δ, o sea x < a + δ. Luego x [a, ) (, a + δ) = [a, a + δ). Uniendo las soluciones de los dos casos se tiene x (a δ, a + δ). Dado un número a R, si se requiere dar números cercanos al punto a, para superar la ambigüedad de la palabra cercano, es necesario especificar que tan cerca se desea que estén del número a. En el resultado anterior es el número δ > 0 el que da la precisión de cercanía o aproximación al número a. La representación gráfica del intervalo (a δ, a + δ) en la figura 1.29 permite ilustrar a los puntos cuya distancia al punto a es menor que δ. a a a Figure 1.29: El intervalo (a δ, a + δ). En términos de aproximación, los puntos del intervalo (a δ, a+δ) aproximan al punto a R con error menor que δ, así δ es la medida del error de aproximación. Ejemplo Determine el conjunto de puntos que aproximan a 5 con 1 un error menor que a) 100, b) 1 y c) δ > Por el Teorema son los intervalos ( , ), ( , ) y (5 δ, 5 + δ) Es de uso generalizado el uso de aproximaciones en la vida diaria, por ejemplo si un cuaderno cuesta aproximadamente $ y un libro cuesta aproximadamente $ , entonces el libro y el cuaderno costarán aproximadamente $ ; o si un pastel pesa aproximadamente 25 kg y se va a repartir entre aproximadamente 340 invitados les tocará aproximadamente a 74 gr.

42 42 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O. por persona. Las estimaciones de los errores son de suma importancia en la vida diaria y por supuesto en las matemáticas. La siguiente proposición, llamada desigualdad del triángulo, nos ayuda a obtener estimaciones simples de errores en operaciones aritméticas. Teorema Sean a, b R. Entonces a b a b a + b Demostración Por el Teorema la desigualdad del triángulo es equivalente a a b a b a + b y esta doble desigualdad es inmediata de la propiedad iii) del valor absoluto. El siguiente teorema dice que las operaciones aritméticas son continuas, concepto que se estudiará más adelante. Teorema Sean A, B R dos números fijos y sean x, y R números que aproximan a A y B respectivamente con error menor que δ. Entonces: a) x + y aproxima a A + B con error menor que 2δ; b) xy aproxima a AB con error menor que δ( A + B + δ); c) si B 0, y δ < B 2 entonces 1 y aproxima a 1 B con error menor que δ 2 B 2. Demostración. Se usa la desigualdad del triángulo. Para a) se tiene (x + y) (A + B) x A + y B < δ + δ = 2δ. Para b) se tiene por la desigualdad del triángulo y el producto del valor absoluto xy AB xy xb + xb AB x(y B) + (x A)B = x y B + x A B ( A + δ)δ + δ( B ) = δ( A + B + δ)) Para c) se tiene 1 y 1 B = B y y B yb = y B y B B ( B δ) < δ 2 B 2,

43 1.6. LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS L.F. RESÉNDIS O. 43 ya que δ < B 2 δ > B 2 B δ > B 2 1 B δ < 2 B. Ejemplo En una báscula se pesan 125 kg. con un error de ±27 gr. y en otra báscula se pesan 368 kg. con un error de ±32 gr. Cuál es el intervalo de variación para el peso total correcto? Por el teorema la cantidad 125kg + 368kg = 493kg es aproximado con un error de 59 gr. El intervalo de variación para el peso correcto es [ , ] Ejercicios Ejercicio Determine el conjunto de puntos que distan de 3 5 en no más de a) 3 22, b) y c) δ > 0. Ilustre gráficamente. Ejercicio Se miden dos longitudes L y M. La longitud L se mide con un error de ± cm y la longitud M con error de ± cm. Cuál es el error que se comete al considerar la suma de las longitudes L+M? Cuál es el error que se comete al considerar el recíproco de la suma de las longitudes L + M? Ejercicio El lado de un cuadrado de longitud m se mide con una aproximación de ±. 76 cm. Cuál es el rango de valores para la longitud real de cada lado del cuadrado? Cuál es el rango de valores para el área del cuadrado construído? Determine todos los posibles valores.

44 44 CHAPTER 1. NÚMEROS REALES L.F. RESÉNDIS O.

45 Chapter 2 Funciones L.F. Reséndis O. 2.1 Funciones y sus operaciones L.F. Reséndis O Definición de función. Sea A R. Una función f con dominio A y valores reales, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x A uno y sólo un elemento f(x) R. En general se denota simplemente f : A R, x f(x). Asociados a la función f son de interés los siguientes conjuntos. El conjunto de ceros C f de f es la gráfica G f de f se define como C f := { x A : f(x) = 0}; G f := { (x, f(x)) : x A }; y finalmente la imagen (o rango) de Im f de f como Im f := { f(x) : x A }. El primer ejemplo de función lo son las rectas. Ejercicio a) Sea f : R R definida por f(x) = 2x 3. Determinar el dominio, ceros, gráfica e imagen de la función f. b) Sea g : ( 2, 1] (3, ) R definida por g(x) = 2x 3. Determinar el dominio, ceros, gráfica e imagen de la función g. 45

46 46 CHAPTER 2. FUNCIONES L.F. RESÉNDIS O. Solución a) El dominio ya está especificado en el enunciado y es A = R. Para calcular los ceros se considera f(x) = 0, 2x 3 = 0 o sea x = 3 A. Luego { } 2 3 C f =. Poniendo y = f(x), y = 2x 3 se tiene que la gráfica de f es 2 una recta inclinada a la derecha. La figura 2.1 muestra la gráfica de f. 5 y 2x3 2 x Figure 2.1: La función f(x) = 2x 3. La imagen de f se obtiene proyectando la gráfica sobre el eje vertical, así al observar la gráfica se tiene Im f = R. b) El dominio ya está especificado en el enunciado es B = ( 2, 1] (3, ). Para calcular los ceros se calcula g(x) = 0, 2x 3 = 0 o sea x = 3 / B. Luego 2 C g =. Poniendo y = f(x), y = 2x 3 se tiene que la gráfica de g consiste de dos segmentos de la misma recta inclinada a la derecha. La figura muestra la gráfica de g. La imagen de g se obtiene proyectando la gráfica sobre el eje vertical, así al observar la figura 2.2 se tiene Im g = ( 7, 1] (3, ). El segundo ejemplo de función lo son las parábolas verticales. Ejercicio a) Sea la función definida por f(x) = 2x 2 + 5x + 3. Determinar el dominio, ceros, gráfica e imagen de la función f. b) Sea g : (, 3 2 ] (4, 6] R definida por g(x) = 2x2 +5x+3. Determinar el dominio, ceros, gráfica e imagen de la función g. Solución a) El dominio no está especificado en el enunciado, por tanto se deduce a partir de la fórmula dada, la cual tiene sentido para todo x R,

47 2.1. FUNCIONES Y SUS OPERACIONES L.F. RESÉNDIS O gx Figure 2.2: La función g(x). por tanto su dominio es A = R. Para calcular los ceros de f se resuelve la ecuación f(x) = 0 es decir 2x 2 + 5x + 3 = 0, o sea x = 1 2, 3 A. Luego C f = { 12 }, 3. Al poner y = f(x) es decir y = 2x 2 + 5x + 3, se tiene que la gráfica de f es una parábola vertical que abre hacia abajo. La figura 2.3 muestra la gráfica de f. La imagen de f se obtiene proyectando la gx 2 x x 3 Figure 2.3: La gráfica de f(x) = 2x 2 + 5x + 3.

48 48 CHAPTER 2. FUNCIONES L.F. RESÉNDIS O. gráfica sobre ( el ) eje vertical. Por tanto es de utilidad conocer las ordenada del 5 vértice, f = 49 ( 4 8. Así al observar la gráfica se tiene Im f =, 49 ]. 8 b) El dominio ya está especificado en el enunciado es B = (, 3 ] (4, 6]. 2 Para calcular los ceros se calcula g(x) = 0, 2x 2 +5x+3 = 0 o sea x = 1 2, 3. Se tiene que 1 { 2 B pero 3 / B. LuegoC f = 1 }. Poniendo y = g(x), 2 y = 2x 2 +5x+3 se tiene que la gráfica de g son segmentos de una parábola vertical que abre hacia abajo. La figura gx Figure 2.4: La gráfica de g(x). muestra la gráfica de g. La imagen de g se obtiene proyectando ( la gráfica sobre el eje vertical, así al observar la gráfica se tiene Im f =, 49 ]. 8 Las parábolas horizontales y las circunferencias son lugares geométricos que permiten la definición de nuevas funciones de uso frecuente. La ecuación de una parábola horizontal es de la forma x = ay 2 + by + c, y abre hacia la izquierda si a < 0 y hacia la derecha si a > 0. No representa la gráfica de una función. Sin embargo la rama de arriba o la rama de abajo, con respecto al eje de simetría, si representa la gráfica de una función. El vértice tiene coordenadas (c b 2 /2a, b/2a). En general la gráfica de una

49 2.1. FUNCIONES Y SUS OPERACIONES L.F. RESÉNDIS O. 49 parábola horizontal no representa la gráfica de una función, sin embargo podemos dividir la gráfica por su eje de simetría y obtener la gráfica de dos funciones que tienen el mismo dominio. Despejando y de la ecuación se la parábola horizontal se obtienen y 1 (x) = b 4ax + b 2 4ac, y 2 (x) = b + 4ax + b 2 4ac 2a 2a donde los dominios son los intervalos ] (, c b2 si a < 0, 4a ) [c b2 4a, si a > 0. El ejemplo clásico es x = y 2 que da origen a dos funciones f 1 (x) = x y f 2 (x) = x, ambas con dominio [0, ) y ceros en el punto 0. La figura Figure 2.5: Las funciones f(x) = x, g(x) = x. Ejemplo Considere la función f(x) = 3 7 4x. Obtener su dominio, ceros, gráfica e imagen. Solución. El dominio se deduce de la fórmula. Como la raíz cuadrada debe estar bien definida en R, se resuelve 7 4x 0 y se obtiene D f = (, 7/4]. Para calcular los ceros se resuelve f(x) = 0 y se tiene 3 7 4x = 0 3 = 7 4x 9 = 7 4x 1 2 = x.

50 50 CHAPTER 2. FUNCIONES L.F. RESÉNDIS O. Como 1/2 D f entonces C f = { 1 2}. Al igualar f(x) = y se obtiene y = 3 7 4x 3 y = 7 4x (3 y) 2 = 7 4x y 2 y2 4 = x. Entonces la gráfica asociada es la rama inferior de una parábola horizontal, que ( cruza ) el eje horizontal como lo muestra la figura 2.6. Se tiene que 7 f = 3. Luego la imagen es Im f = (, 3]. 4 3 fx Figure 2.6: La gráfica de la función f(x) = 3 7 4x. Otro lugar geométrico que da origen a gráficas de funciones es el círculo, cuya ecuación general es tiene centro x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, ( D ) 2, E y radio r = F D2 2 4 E2 4. Ejercicio Sea f(x) = 1 5 4x x 2. Determinar para la función f dominio, ceros, gráfica e imagen. Solución Para determinar el dominio, la raíz cuadrada debe estar bien definida, luego se resuelve 5 4x x 2 0 cuya solución es [ 5, 1]; entonces el dominio

51 2.1. FUNCIONES Y SUS OPERACIONES L.F. RESÉNDIS O. 51 de f es A = [ 5, 1]. Para calcular los ceros de f se resuelve la ecuación f(x) = 0 y se tiene 1 5 4x x 2 = 0 1 = 5 4x x 2 1 = 5 4x x 2 x 2 + 4x 4 = 0, o sea x = 2 ± 2 A. Luego C f = { 2 2, }. Al poner y = f(x) se obtiene y = 1 5 4x x 2 5 4x x 2 = 1 y 5 4x x 2 = (1 y) 2 5 = 4x + x 2 + (y 1) 2 9 = (x + 2) 2 + (y 1) 2. Por tanto la gráfica es la rama inferior de un círculo de centro ( 2, 1) y radio r = 3. De la gráfica 2.7 se tiene que la imagen es Im f = [ 2, 1] Figure 2.7: La gráfica del semicírculo f(x) = 1 5 4x x 2. En otras ocasiones es necesario deducir de un enunciado la fórmula de la función. Ejemplo Sea f la regla de correspondencia que asocia a cada número entre 3 y 5 su cuadrado más tres. Calcular f(2), f( 3 ), f(6). Deducir una 2 fórmula para la función f y calcular f(t + 1). t 2.0

52 52 CHAPTER 2. FUNCIONES L.F. RESÉNDIS O. Solución El cuadrado de 2 es 4 y sumando 3 se obtiene f(2) = 7. De igual manera f( 3) = = 21. Como el dominio de f es A = ( 3, 5) y 6 / A no tiene sentido f(6). En general para x ( 3, 5) se tiene f(x) = x 2 + 3, por lo tanto f(t + 1 t ) = (t + 1 t )2 + 3 = t t = t2 + 1 t Ejemplo A un campo de forma rectangular se le colocan 240 m de cerca. Determine el área del campo como función de la longitud de alguno de sus lados especificando el dominio. Cuál es el terreno de mayor área que puede cercarse con 240 m? Solución Considérese la figura 2.8, donde el rectángulo tiene base x y altura y. Así el área del campo es A = xy, x base y altura Figure 2.8: El campo rectangular de base x y altura y. es decir el área depende de los valores x, y. Luego es más correcto escribir A(x, y) = xy. Hay una condición adicional en el problema y es la longitud de su perímetro, a saber 2x + 2y = 240 o simplificando x + y = 120. De esta expresión elegimos despejar y obteniendo la dependencia de la variable y con respecto a x, así y = 120 x. Sustituyendo en la expresión del área, se tiene que A(x, y) depende sólo de la variable x según la fórmula A : (0, 120) R A(x) = x(120 x) = 120x x 2. (2.1.1) El dominio se obtiene al considerar rectángulos no degenerados, es decir reducidos a meras líneas, como se muestra en la figura 2.9. La gráfica de la función A(x), corresponde a un trozo de parábola que abre hacia abajo con vértice en (60, 3600), lo que dice que el terreno de mayor área que se puede cercar con 240 m es de 3600 m 2 y corresponde a un cuadrado.

53 2.1. FUNCIONES Y SUS OPERACIONES L.F. RESÉNDIS O. 53 Figure 2.9: La variación de base y altura con 2x + 2y = Ejercicios Ejercicio Considere la función f(x) = 3x x. Calcular f(10), f( 7 10 ), f(a), f(2 a ), f(1 a 5), f( x), f(x 2 + y). Ejercicio Determine los dominios y ceros de las siguientes funciones a partir de sus fórmulas. i) f(x) = 2x 2 + 8x + 3 ii) h(x) = x x z 2 4 t iii) q(z) = iv) g(t) = 2z2 + 8z t 3 v) l(x) = vii) t(x) = 8 5x (2x 1)(x 2 + 7x 4) x 3 5 x + 1 vi) r(x) = 3 x 2x2 + 8x + 3 viii) g(x) = 4 (4x 3)(x 2 14x 6)

54 54 CHAPTER 2. FUNCIONES L.F. RESÉNDIS O. Ejercicio Sea f : ( 4, 6] R la función dada por f(x) = 2 x 2 x 6. a) Determine dominio y ceros. b) Dibuje la gráfica de f y obtenga su imagen. Ejercicio En el triángulo ABC, cuya base AC = b y su altura BD = h, (A D C), está inscrito un rectángulo KLMN, cuya altura es NM = x. Expresar el perímetro P = P(x) del rectángulo KLMN y su área S = S(x) en función de x. Construir las gráficas de las funciones P = P(x), S = S(x). Ejercicio En un trapecio isósceles ABCD, cuyas bases son AD = a y BC = b, a > b, y la altura es HB = h, está trazada una recta MN paralela a HB que pasa a la distancia AM = x del vértice A. Expresar el área S = S(x) de la figura ABNMA en función de la variable x. Construir la gráfica de la función S = S(x). Ejercicio El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su cuerpo, y una persona que pesa 75 kg. tiene un cerebro cuyo peso aproximado es 2 kg. a) Determine una función que exprese el peso aproximado del cerebro en términos del peso de la persona. b) Determine el peso aproximado del cerebro de una persona que pesa 80 kg. Ejercicio Para las funciones de los siguientes incisos determinar dominio, ceros, gráfica e imagen: i) f(x) = x 2 ii) h(z) = z z ii) g(t) = 2 5t 25 iv) r(x) = 2 x Operaciones aritméticas entre funciones En esta parte se definen las operaciones aritméticas entre funciones. Sean f : A R y g : B R dos funciones. Se definen a) La función suma: f + g : C R, x (f + g)(x) := f(x) + g(x)

55 2.1. FUNCIONES Y SUS OPERACIONES L.F. RESÉNDIS O. 55 donde C = A B. b) La función producto: a) La función cociente: fg : C R, x (fg)(x) := f(x)g(x). f g : D R, x f f(x) (x) := g g(x) donde D = A B {x B : g(x) = 0}. Observamos nuevamente que estas nuevas funciones se han formado a partir de las operaciones aritméticas usuales y que el dominio de las funciones suma y producto es C, mientras que en la operación cociente es necesario no dividir entre cero. Ejemplo Sean f : ( 4, ) R definida por f(x) = x 4 x 1 x y g(x) = 1 2x 3x 2. Determinar dominio y fórmulas para las funciones f + g, fg y f g. Solución El dominio de f es A = ( 4, ). Para obtener el dominio de g se [ resuelve la desigualdad 1 2x 3x 2 0, obteniendo así B = (, 1] 1, ). Luego el dominio de las funciones suma y producto es C = A B = 3 ( 4, 1] [ 1, ). Las fórmulas correspondientes para la suma son 3 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x 4 x 1 x x 3x 2 y para el producto = x6 + 3x 4 x + 1 x x 3x 2 = x6 + 3x 4 x (x 2 + 3) 1 2x 3x 2 x (fg)(x) = f(x)g(x) = ( x 4 x 1 ) 1 2x 3x 2 x = (x6 + 3x 4 x + 1) 1 2x 3x 2 x ,

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