Módulo 2 - Diapositiva 16 Función Exponencial y Logarítmica. Universidad de Antioquia. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Transcripción

1 Módulo 2 - Diapositiva 16 Función Exponencial y Logarítmica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

2 Temas Función Exponencial Propiedades de la Función Exponencial Función Logarítmica Propiedades de la Función Logarítmica

3 Función Exponencial Función Exponencial de base a Dado un número real a, con 0 < a < 1 ó a > 1 se define la función exponencial de base a por: f : R (0, ) x a x

4 Función Exponencial Gráfica de Funciones Exponenciales Completar las siguientes tablas y usarlas para graficar las funciones f(x) = 2 x y g(x) = 3 x f( 2) f( 1) f(0) f(1) f(2) f(3) g( 2) g( 1) g(0) g(1) g(2) g(3) Comparar las dos gráficas obtenidas y observar las principales características que comparten. Ejercicio Graficar las funciones f(x) = 1 2 x y g(x) = 1 3 x. Compare dichas gráficas.

5 Función Exponencial Observaciones La función exponencial f : R (0, ), donde f(x) = a x, a > 0 y a 1 es biyectiva. En particular: Si a x 1 = a x 2 entonces x 1 = x 2. La gráfica de la función exponencial se acerca al eje x a medida que x crece (para 0 < a < 1) o a medida que x decrece ( para a > 1) pero nunca cruza el eje x. En esta caso decimos que el eje x es una asíntota horizontal de la gráfica de la función exponencial. Para todo par x 1, x 2 R, a x 1 a x 2 = a x 1+x 2 y a x 1 a x 2 = ax 1 x 2

6 Función Exponencial (Crecimiento poblacional) En un cultivo de bacterias se observa que el número de bacterias se duplica cada día. Suponga que inicialmente habían 1000 bacterias. 1 Al octavo día cuántas bacterias habrían? 2 Cuántas bacterias habrían al cabo de t días.

7 Función Exponencial Natural Función Exponencial Natural La función exponencial natural esta definida, para todo número real x, por: f(x) = e x Observación El número e se define como el valor al que se aproxima la expresión ( ) n n cuando n se hace arbitrariamente grande. Ejercicio Graficar y determinar el rango de la función: f(x) = e x+1 e

8 Función Exponencial Formula de interés compuesto Si un capital inicial P se invierte a una tasa de interés r, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se añaden al capital inicial, entonces el capital después de t periodos es C = P (1 + r) t P = Capital inicial. r= tasa de interés expresada como decimal t = número de periodos que P se invierte C = capital después de t periodos. Ejemplo: Formula de interés compuesto Calcular en qué se convierte un capital de pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

9 Función Logarítmica La función exponencial de base a, para un real a, con 0 < a < 1 ó a > 1 se definió por: f : R (0, ) x a x Dado que la función es biyectiva existe su inversa que se define por: f 1 : (0, ) R a x x A la función f 1 se le denota por log a, y así tenemos la función: log a : (0, ) R y log a (y) = x Es decir que: log a (y) = x si y solo si a x = y

10 Función Logarítmica Función Logarítmica de base a La función logarítmica de base a, con a > 0 y a 1, es la función inversa de la función exponencial y = a x, se denota por y = log a x y satisface y = log a x x = a y para todo x > 0 y todo y R. Notar que: dom(log a ) = (0, ) y ran(log a ) = R

11 La gráfica de y = log a x se obtiene reflejando la gráfica de y = a x con respecto a la recta y = x.

12 Ejemplos log 3 81 = 4, porque 3 4 = 81. log 6 1 = 0, porque 6 0 = 1. log 9 0 no existe, por qué? log = 2, porque 5 2 = = log 2 1 no existe, por qué? Ejercicios Calcular usando la definición de la función logarítmica: log 2 4 log 2 8 log 9 3 log 5 1 log

13 Función Logarítmica Observaciones La función logarítmica log a : (0, ) R es biyectiva. En particular para todo x 1, x 2 (0, ) Si log a x 1 = log a x 2 entonces x 1 = x 2. (Función Logaritmo Natural) La función logarítmica con base e se llama función logarítmica natural y se denota por ln x. Así: ln x = log e x para todo x > 0. (Función Logaritmo Común) La función logarítmica con base 10 se llama función logarítmica común y se denota por log x. Así: log x = log 10 x para todo x > 0.

14 Función Logarítmica Ejemplo La gráfica de la función y = 3 x se traslada dos unidades a la izquierda y luego se traslada una unidad hacia arriba. Por último se refleja con respecto a la recta y = x. Hallar la ecuación de la gráfica resultante.

15 Referencias E.W. Swokowski, J.A. Cole. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica 13 a Edición. Zill, D. G. Dewar, J. M. Álgebra y trigonometría, 2a edición. Editorial McGraw-Hill, Colombia, 1996.