Cálculo Diferencial. Prof. Enrique Mateus N.

Transcripción

1 Determinar el rango de las siguientes funciones. f ( ). f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 4 f ( ) 5 f ( ) ( ) 8.. f ( ). f ( ). f ( ) ( ) 4 4. f ( ) 9 5. f ( ) 6. f ( ) ( ) 7. f ( ) 5 8. f ( ) ( ) 9. f ( ) f ( ) 0. f ( ) 5 Función Inversa Si la función f : A B es biyectiva, entonces eiste la función g : B A la cual es la función inversa de f y se denota por f - (). Cálculo de la función inversa Procedimiento: De no decir que la función es biyectiva se supone En la función dada se hace un cambio de variables, por y e y por

2 Se despeja la variable y Se denota y = f - () según lo obtenido Ejercicios resueltos de la función inversa. Sea la función y = +5, hallar la función inversa. y = + 5 se intercambian las variables = y + 5 se despeja la variable y 5 = y y = 5 luego la función inversa de y = + 5 es f - () = 5. Sea la función y = 0, determinar la función inversa Solución y = 0 se intercambian las variables = 0 y se aplica logaritmo de base 0 en ambos miembros log = log0 y resolviendo log = log 0 log = y y se despeja la variable y y = log luego la función inversa es f - () = log

3 . Sea la función y = Sen, hallar la función inversa Solución se intercambian las variables = Sen y se despeja la variable y y = Arc Sen luego la función inversa es f - () = Arc sen 4. Sea la función y = log, determinar la función inversa se intercambian las variables = log y se aplica log b A = b = A = log 0 y y = 0 Luego la función inversa es f - () = 0 5. Sea la función y = 4, hallar la función inversa 5 4y se intercambian las variables = para despejar la variable y se elevan ambos miembros 5y de la igualdad con el mismo valor del índice de la raíz () = 4y 5y = 4y 5y (5y ) = 4y + 5 y - = 4y + 5 y 4y = se aplica un factor común de y y (5 4 ) = se despeja la variable y y = 5. Luego la función inversa es f - () = 4 5 4

4 6. Sea la función y = arc Ln. Hallar la función inversa Se intercambian las variables = arc y Ln y se aplica Cos en ambos miembros =. arc y Ln = y y Ln y se aplica logaritmo neperiano en ambos miembros Ln e = Ln y y e = y y (y + ) e = y y e + e = y - se agrupan las variables y y e - y = - - e se aplica un factor común y (e - ) = - - e se despeja la variable y y = e e f - () = e e Ahora como ejercicio: halle la función inversa de las siguientes funciones reales ) y = ) y = ) y = 6 8 4) y = log (+9) 4 6 5) y = 6) y = log ( ) 4 e e 7) y = 8) y = e 9) y = log 0) y = ) y = ) y = ) y = e 4 5 4) y = Arc sen 7 4

5 5) y = + 6) y = Arc 7) y = + log 8) y = 4 9) y = 0 5 0) y = Ln Ln 5 ) y = 4 5 ) y = 5 Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones denominadas algebras de funciones: Ejemplo:. Suma g. Resta f g() = f() - g () D(f - g )() = Df() Dg(). Producto f g() = f() g () D(f. g )() = Df() Dg() f () = f() + g () D(f + g )() = Df() Dg() f 4. Cociente () = g f ( ) g( ) D Sean las funciones reales f() = +5 y g() = + -0.Hallar a) f g() b) f g Solución () a) f g() = (+5) + ( + -0) = +4 5 b) f g() = (+5) - ( + -0) = f g () = Df() Dg() - {/g() 0} Ejercicios propuestos de algebra de funciones En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g Determine las funciones resultantes f g, f g, f. g, f g. f g 4 5

6 . f g 6. f 5 g 4. f g 5. f g 6. f g 4 7. f 4 g ( ) 4 f g 5 Composición de Funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g". Sean f : A B y g : B C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él. El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier A mediante f, y luego obtener la imagen de f() B mediante g. Definición: Sean f : A B y g : B C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: g o f : A C ( gof )() = g( f() ) Ejemplo: Si f y g son las funciones definidas por: f() = y g() = hallar: a) ( gof )() b) ( fog )() a) ( gof )() = g( f() ) = f () = b) ( fog )() = f( g() ) = g( ) = 6

7 Dadas las siguientes funciones calcular la función compuesta señalada: Gráfica de funciones y/o ecuaciones La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (,y) que pertenezcan a R en donde está en el dominio de la función y además y=f(). Técnica para graficar una función La técnica para graficar una función depende en gran medida del tipo de función. Es conveniente hacer una tabla de valores donde estén representados los valores dados a la variable y los correspondientes hallados para la variable y. Se le deben dar por lo mínimo dos valores reales arbitrarios a la variable independiente para obtener los valores de la variable dependiente. Graficar los valores obtenidos en el plano cartesiano. Unir los puntos formados por medio de un segmento o líneas curvas para obtener la gráfica. 7

8 Ejemplos: Graficar las siguientes funciones 8

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