Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )

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1 Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( ) UNIDAD N 3 (DERIVADAS) Profesora: Yulimar Matute Febrero 2012

2 DERIVADAS POR DEFINICIÓN Sea y = f(x) una función; se define la derivada de y con respecto a x como f (x) = lim f(x+h) f(x) h 0 h El proceso de hallar la derivada se denomina derivación, si el límite existe f(x+h) f(x) La expresión lim, se denota con el símbolo f (x); el cual leemos como: h 0 h f prima de x o derivada de f(x) También son comunes las siguientes notaciones, para referirse a derivadas: y ; dy dx ; df dx ; D y INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea y = f(x) una función real de variable real P: Punto fijo Q: Punto móvil S: Recta secante T: Recta tangente α: ángulo entre T y eje x β: ángulo entre S y eje x Figura tomada del material: Problemario Interactivo sobre Derivadas del profesor Danilo Bolívar (Se le practicó algunas modificaciones) 1

3 Efectos que ocasiona el hecho de aproximar Q a P, hasta coincidir prácticamente S T Si Q P Entonces: { h 0 tanβ tanα O sea que: f(x+h) f(x) tanα = lim tanβ = lim = f (x) h 0 h 0 h Luego la derivada de f(x) evaluada en un punto, coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Ejercicios: Usando la definición de derivadas. 1. calcular la derivada de la función f(x) = x 2 + 3x 2. calcular la derivada de la función f(x) = x en el punto de abscisa x = 2 3. calcular la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x 2 en el punto x = 3 Ejercicios propuestos Usando la definición de derivadas calcular la derivada de las siguientes funciones 1. f(x) = x 2 + 5x 1 2. f(x) = 2x 3. f(x) = 3x 2 4 calcular la derivada de las siguientes funciones en los puntos señalados 4. f(x) = x 2 1 en x = 5 5. f(x) = x 2 en x = 4 6. f(x) = 6x 2 en x = 2 2

4 DERIVADAS POR TEOREMAS 1. Si f es la función constante f(x) = C, entonces f (x) = 0 a) f(x) = 6 b) f(x) = 1 4 c) f(x) = 5 2. Si f(x) = x n y n es un número real, entonces f (x) = nx n 1 Corolario: Si f(x) = x, es la función identidad, entonces f (x) = 1 d) f(x) = x 3 e) f(x) = x 5 f) f(x) = x 1 4 g) f(x) = x h) f(x) = x i) f(x) = x 5 j) f(x) = x 3. Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces f ± g es diferenciable en x y se cumple que: (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) k) H(x) = x l) S(x) = x 6 x Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces f. g es diferenciable en x y se cumple que: 3

5 Corolario: (f. g) (x) = f (x). g(x) + f(x). g (x) Si C es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces C. f es diferenciable en x y se cumple que: (C. f) (x) = C. f (x) m) f(x) = x 3. x n) f(x) = 6x 5 o) f(x) = 6x 2. (x x + 2) 5. Si f y g son funciones diferenciables en x y g(x) 0, entonces f g y se cumple que: es diferenciable en x ( f g ) (x) = f (x). g(x) f(x). g (x) [g(x)] 2 Corolario: Si C es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces en x y se cumple que: ( C g ) C. g (x) (x) = [g(x)] 2 C f es diferenciable p) f(x) = 2x4 5 3x 2 q) f(x) = 9 3x 6 +5x Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas 1. Si f(x) = lnx entonces f (x) = 1 x 4

6 2. Si f(x) = log a x entonces f (x) = 1 x.lna 3. Si f(x) = e x entonces f (x) = e x 4. Si f(x) = a x entonces f (x) = a x. lna (donde a es un número positivo) r) f(x) = lnx 2 s) f(x) = ln x t) g(x) = 2x + e x u) y = 3 x Nota: es importante tener presente las propiedades de logaritmos, al encontrar derivadas de funciones logarítmicas. Propiedades de los logaritmos 1. lnxy = lnx + lny 2. ln ( x ) = ln(x) ln(y) y 3. lnx y = y lnx 4. lne = 1 5. ln1 = 0 Para logaritmos naturales Para logaritmos de base a 1. log a xy = log a x + log a y 2. log a ( x y ) = log a(x) log a (y) 3. log a x y = y log a x 4. log a a = 1 5. log a 1 = 0 5

7 Ejercicios propuestos Usando los teoremas de derivadas calcular la derivada de las siguientes funciones y luego simplificarla 1. f(x) = x 3 4x x 2 + x f(x) = x f(x) = (3x + 2)(9x 2 6x + 4) 4. g(x) = x2 x 12 x g(x) = x + x 5 + x 6. g(x) = 5x 4 4x 3 + 3x + 2 x 3 7. f(x) = (3x 2 4)(2x + 6) 8. f(x) = x2 1 4x f(x) = x( x 5 + x) REGLA DE LA CADENA Es un procedimiento matemático que se utiliza para estudiar la diferenciación de funciones compuestas. El resultado que expresa la derivada de una función compuesta en términos de sus funciones componentes se conoce con el nombre de regla de la cadena. Muchas de las funciones que encontramos con frecuencia se expresan como y = f(g(x)); a f le llamaremos función externa y a g función interna. Teorema: (Regla de la cadena) Si y = f(u) es diferenciable en u y u = g(x) es diferenciable en x, entonces la función compuesta fog es diferenciable en x y se cumple que: (fog) (x) = f (g(x)). g (x) 6

8 La regla de la cadena combinada con las derivadas ya encontradas nos da una lista de derivadas más generales. Si u = g(x) es una función diferenciable de x, entonces: 1. Si y = u n entonces y = nu n 1. u 2. Si y = lnu entonces y = u 3. Si y = e u entonces y = u. e u u 4. Si y = a u entonces y = u (a u. lna), donde a es cualquier número positivo. a) f(x) = (x 2 + 5x 6) 4 b) f(x) = ln(2x 3) c) g(x) = e 4x d) g(x) = 3 x Ejercicios propuestos calcular la derivada de las siguientes funciones y luego simplificarla 1. f(x) = (x 2 + 1) f(x) = 3x 4 + 3x 1 3. f(x) = (x 5 + 1) 3 (2x 4x 2 ) 4 4. g(x) = x 2 1 x 2 5. g(x) = x 3 x 2 6. g(x) = 8 ( 3x 1 +4 x 2 +3 )8 7. f(x) = ln(3x 2 + 1) 8. f(x) = ln ( 1 5x 1 ) 9. f(x) = ln x(2x+7)4 (3x 2 +1) y = e 2x 11. y = e x3 12. y = xe (5x2 1) 7

9 13. f(x) = 2 lnx 14. y = 5 3x + (3x) f(x) = (x 2 + 1) (x2 +1) 16. f(x) = (3x 2 1) 5 (x 4) g(x) = (5x+2)3 18. g(x) = x 2 (x 4 6) 2 4 x 3 +6 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Las ecuaciones implícitas, son de la forma g(x, y) = 0 y estas a veces dan lugar a una función y = f(x). Ejemplo: x. y 1 = 0 (ecuación implícita) y = 1 x (ecuación explícita) Las ecuaciones de la forma y = f(x) definen explícitamente a y como función de x Nota: Sucede con frecuencia que en funciones definidas implícitamente es difícil despejar la variable dependiente; por este motivo, sería conveniente contar con una técnica que nos permita encontrar la derivada de una función definida implícitamente, sin la necesidad de contar con la expresión explícita de la función. Esta técnica se llama diferenciación implícita y se resume en la siguiente regla. Para derivar implícitamente, se debe derivar la ecuación término a término, considerando a la variable dependiente como función de la independiente. Luego, despejar la derivada. Hallar y en cada caso. 1. y 3 + x 2. lny = 5x e xy x 3 + 3y 2 = 11 8

10 3. xe y + 2x ln(y + 1) = 3 Ejercicios propuestos Obtener la derivada de las siguientes funciones implícitas 1. 3y x 2 + ln(xy) = 2 2. y 2 + ln ( x y ) = 4x 3 3. xlny ylnx = x 2 + 9y 2 = xy = e xy 6. ln(x + y) + x 2 2y 3 = 1 7. xy = 2x 3y 8. lnxy = e xy 9. x + y = (x + y) 4 = x 4 + y y 2 + xlny = 6x x 2 y + 2xy 2 = e xy + ln(xy) = 3x 14. xe y + y 2 = xy + lny = x 2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Las derivadas de orden superior surgen de la aplicación sucesiva (n veces) del proceso de diferenciación sobre una función f. Si la función f es derivable se obtendrá f, si f es derivable se obtendrá f, si f es derivable se obtendrá f y así sucesivamente. Simbología: Primera derivada: y, f (x), dy dx Segunda derivada: y, f (x), Tercera derivada: y, f (x), d 2 y dx 2 d 3 y dx 3 Cuarta derivada: y 4, f 4 (x), d 4 y dx 4 9

11 Cuarta derivada: y 5, f 5 (x), d 5 y dx Enésima derivada: y n, f n (x), d n y d n x Obtener la derivada de orden superior señalada para las siguientes funciones: 1. f(x) = 3x 2 + 6x + 4 f (x) 2. f(x) = x x+4 f (x) 3. f(x) = x 4 4x 3 + 4x 2 7 f 4 (x) 4. f(x) = xe x f (x) Ejercicios propuestos Obtener la derivada de orden superior señalada para las siguientes funciones: 1. y = 4x 2 8x + 6 y 2. f(x) = 3 x f (x) 3. y = x 2 e x y 4. f(x) = x 4 x+2 f (x) 5. y = 2x 4 + x 3 3x y 4 6. f(x) = 3 x f (x) 10