Cátedra Matemática del PIT. Gradiente y Derivada Direccional

Transcripción

1 Cátedra Matemática del PIT Gradiente y Derivada Direccional

2 Propósito de la Unidad Hallar y usar las derivadas direccionales de una función de dos variables. Hallar el gradiente de una función de dos variables. Utilizar el gradiente de una función de dos variables en aplicaciones. Hallar las derivadas direccionales y el gradiente de funciones de tres variables

3 Derivada Direccional x z Superficie z = f(x, y) fig. 1 y Suponer que se está en la colina de la figura 1 y se quiere determinar la inclinación de la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por z = f(x, y) se sabe cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la dirección de y está dada por la derivada parcial f y x, y, y la pendiente en la dirección de x está dada por la derivada parcial f x x, y. Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definirá un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Sea z = f(x, y) una superficie y P(x 0, y 0 ) un punto en el dominio de f, como se muestra en la figura 2. La dirección de la derivada direccional está dada por un vector unitario u = cosθi + senθj

4 Derivada Direccional donde θ es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Para hallar la pendiente deseada, se reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo a u como se muestra en la figura 3 Este plano vertical corta la superficie formando una curva C. La pendiente de la superficie en en (x 0,y 0,f(x 0,y 0 ) la dirección de u se define como la pendiente de la curva C en ese punto. De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva C como un límite análogo a los usados en el cálculo de una variable. El plano vertical utilizado para formar C corta el plano xy en una recta L, representada por las ecuaciones paramétricas, Fig. 2 Fig. 3

5 Derivada Direccional x = x 0 + tcosθ y = y 0 + tsenθ de manera que para todo valor de t, el Q(x,y) se encuentra en la recta L. Para uno de los puntos P y Q, hay un punto correspondiente en la superficie. (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) Punto sobre P. (x,y,f(x,y)) Punto sobre Q. Como la distancia entre P y Q es (x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 = (tcosθ) 2 (tsenθ) 2 = t

6 Derivada Direccional Se puede escribir la pendiente de la recta secante que pasa por (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) y (x,y,f(x,y)) como f x, y f(x 0, y 0 ) t = f(x 0 + tcosθ, y 0 + tsenθ f(x 0, y 0 ) t Por último, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la definición siguiente: DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL Sea f una función de dos variables x y y, y sea u = cosθi+ senθj un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u que se denota f(x + tcosθ, y + tsenθ f(x, y) D u f x, y = lim t 0 t Siempre que este límite exista.

7 Derivada Direccional Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u = cosθi+ senθj es D u f x, y = f x x, y cosθ + f y x, y senθ. Ejemplo I: Hallar la derivada direccional: Hallar la derivada direccional de f x, y = 4 x y2, Superficie. En (1,2) en la dirección u = cos π 3 i + sen π 3 j Dirección.

8 Derivada Direccional Solución: Como f x y f y son continuas, fes diferenciable y se puede aplicar la definición de derivada direccional: D u f x, y = f x x, y cosθ + f y x, y senθ. D u f x, y = ( 2x)cosθ + ( y 2 )senθ. Evaluando en θ = π, x = 1 y y = 2 se obtiene 3 D u f x, y = ( 2) y 2 + ( 1)( 3 2 ) = 1 ( 3 2 ) = Fig. 4

9 Derivada Direccional Ejemplo 2. Halla una derivada direccional Hallar la derivada direccional f x, y = x 2 sen2y; Superficie. En (1, π ) en la dirección v = 3i - 4j 2 Solución: Como f x y f y son continuas, fes diferenciable y se puede aplicar la definición de derivada direccional. Se comienza por calcular un vector unitario en la dirección de v. u = v = 3 i 3 j = cosθi+ senθj v 5 5 Usando este vector unitario, se tiene D u f x, y = 2xsen2y cosθ + (2x 2 cos2y) (senθ). D u f 1, π 2 = (2senπ)(3 5 ) + (2cosπ)( 4 5 ) = ( 2)( 4 5 ) = 8 5

10 Solución apoyada en el tutorial de Maplesoft

11 Derivada Direccional El gradiente de una función de dos variables El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes. Fig. 5 DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Sea z = f (x,y) una función de x e y tal que f x y f y existen. Entonces el gradiente de f, denotado por f x, y, es el vector f x, y = f x x, y i + f y x, y j f se lee como nabla. Otra notación para el gradiente es grad En la figura 4 hay que observar que para cada (x,y), el gradiente f x, y es un vector en el plano (no un vector en el espacio).

12 Derivada Direccional Ejemplo 3. Hallar el gradiente de la función. Hallar el gradiente de f(x,y) = y*lnx + xy 2 en el punto (1,2) Solución: Utilizando f x x, y = y x + y2 y f y x, y = lnx + 2xy Se tiene f x, y = y + x y2 i + (lnx + 2xy)j En el punto (1,2) el gradiente es f 1,2 = i + ln j = 6i + 4j

13 Solución apoyada en el tutorial de Maplesoft

14 Forma Alternativa de la Derivada Direccional FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL Si f es una función diferenciable de x y y entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es: D u f x, y = f x, y. u Ejemplo: Hallar una derivada direcciona usando f x, y Hallar la derivada direccional de f(x,y) = 3x 2-2y 2 en (- 3, 0) en la dirección P( 3, 0) a Q(0,1) 4 4 Solución Se puede escribir en la dirección PQ = v = i j = 3 4 i + j Y un vector unitario en esta dirección es u = v v = 3 5 i j Fig. 6

15 Derivada Direccional Como f x, y = f x x, y i + f y x, y j = 6xi-4yj, el gradiente en ( 3, 0) es 4 D u f( 3,0) = f 3, 0. u 4 4 = = 9 2 i + 0j. 3 5 i j Aplicaciones del gradiente Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto de una superficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en qué dirección moverse de manera que crezca más rápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayor ascenso, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema siguiente.

16 Solución apoyada en el tutorial de Maplesoft

17 Calculo de la Derivada Direccional usando Hoja de Trabajo

18 Propiedades del Gradiente Sea f diferenciable en el punto (x,y). Si f x, y = 0, entonces D u f x, y = 0 para todo u La dirección de máximo incremento de f esta dada por f x, y. El valor máximo de D u f x, y es f x, y La dirección de mínimo incremento de f esta dada por f x, y. El valor mínimo de D u f x, y es - f x, y.

19 Propiedades del Gradiente Para visualizar una de las propiedades del gradiente, imaginar a un esquiador que desciende por una montaña. Si f x, y denota la altitud a la que se encuentra el esquiador, entonces f x, y indica la dirección de acuerdo con la brújula que debe tomar el esquiador para seguir el camino de descenso más rápido. (Recuérdese que el gradiente indica una dirección en el plano xy y no apunta hacia arriba ni hacia abajo de la ladera de la montaña.) Otra ilustración del gradiente es la temperatura T x, y en cualquier punto x, y de una placa metálica plana. En este caso, T x, y da la dirección de máximo aumento de temperatura en el punto x, y como se ilustra en el ejemplo siguiente.

20 Hallar la dirección de máximo incremento La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica es: T(x,y) = 20 4x 2 -y 2 Donde x,y se mide en centímetros. En qué dirección crece más rápidamente la temperatura en el punto (2,3)? Cuál es el ritmo de crecimiento? Solución: el gradiente es T x, y = T x x, y i + T y x, y j = -8xi 2yj. Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por T 2, 3 = 16i + 6j Y la tasa de incremento es f 2, 3 = = 292 = C/por centímetro

21 Vector gradiente y curvas de nivel EL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL El gradiente es un vector normal a las curvas de nivel. Si f es diferenciable en x 0, y 0 0, entonces f x 0, y 0 es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por x 0, y 0. Ejemplo: Hallar un vector normal a una curva de nivel. Dibujar la curva de nivel que corresponde a c = 0 para la función dada por f x, y = y senx y hallar un vector normal a varios puntos de la curva. Solución La curva de nivel c = 0 para está dada por 0 = y senx y = senx

22 Vector Gradiente y Curvas de Nivel como se muestra en la figura 6 Como el vector gradiente de f en (x,y) es f x, y = f x x, y i + f y x, y j = - cos xi + j se puede utilizar el teorema para concluir que es normal a la curva de nivel en el punto (x, y). Algunos vectores gradiente son: f π, 0 = i + j f( 2π 3, 3 2 ) = 1 i + j 2 f( π, 1) = j 2 f π 3, 3 = 1 i + j 2 2 f 0,0 = i + j f π 3, 3 2 f π 2, 1 = 1 i + j 2 = j

23 Calculo del Gradiente apoyado en Maplesoft

24 Calculo de la Derivada Direccional usando Hoja de Trabajo

25 Funciones de Tres Variables Las definiciones de derivada direccional y gradiente se pueden extender de manera natural a funciones de tres o más variables. Como a menudo pasa, algo de la interpretación geométrica se pierde al generalizar funciones de dos variables a funciones de tres variables. Por ejemplo, no se puede interpretar la derivada direccional de una función de tres variables como una pendiente. Las definiciones y propiedades de la derivada direccional y del gradiente de una función de tres variables se dan en el resumen siguiente. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES Sea f una función de x, y y z, con derivadas parciales de primer orden continuas. La derivada direccional de f en dirección de un vector unitario u = ai + bj + ck está dada por: D u f x, y, z = af x x, y, z + bf y x, y, z + cf z (x, y, z)

26 Propiedades del Gradiente de Tres Variables El gradiente se define como: f x, y, z = f x x, y, z i + f y x, y, z j + f z x, y, z k Las propiedades del gradiente son: 1. D u f x, y, z = f x, y, z. u 2. Si f x, y, z = 0, entonces D u f x, y, z = 0 para todo u 3. La dirección de máximo incremento de f esta dada por f x, y, z. El valor máximo de D u f x, y, z es f x, y, z 4. La dirección de mínimo incremento de f esta dada por f x, y, z. El valor mínimo de D u f x, y, z es - f x, y, z.

27 El Gradiente y Los Campos Vectoriales Un campo vectorial sobre una región plana R es una función F que asigna un vector F(x,y) a cada punto en R. Un campo vectorial vectorial sobre una región sólida Q en el espacio es una función F que asigna un vector F(x,y,z) a cada punto en Q. El gradiente es un ejemplo de campo vectorial. Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades, los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas.

28 El Gradiente y los Campos Vectoriales Un campo de velocidades describe el movimiento de un sistema de partículas en el plano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 7 muestra el campo vectorial determinado por una rueda que gira en un eje. Los vectores velocidad los determina la localización de sus Fig.7 puntos iniciales: cuanto más lejano está un punto del eje, mayor es su velocidad. Otros campos de velocidad están determinados por el flujo de líquidos a través de un recipiente o porfig.8 el flujo de corrientes aéreas alrededor de un objeto móvil

29 El gradiente y los campos vectoriales Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitación de Newton, que establece que la fuerza de atracción ejercida en una partícula de masa m 1 localizada en (x, y, z) por una partícula de masa m 2 localizada en (0, 0, 0) está dada por F(x,y,z) Gm 1m 2 u x 2 +y 2 +z 2 donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la dirección del origen a (x, Fig.9 y, z). En la figura 9 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene las propiedades de que todo vector F(x, y, z) apunta hacia el origen, y que la magnitud

30 El gradiente y los campos vectoriales de F(x, y, z) es la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Un campo vectorial con estas dos propiedades se llama un campo de fuerzas central. Utilizando el vector posición r = xi + yj + zk para el punto (x, y, z), se puede expresar el campo gravitatorio F como F x, y, z = Gm 1m 2 u. r 2 Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercida en una partícula con carga eléctrica q 1 localizada en (x, y, z) por una partícula con carga eléctrica q 2 localizada en (0, 0, 0) está dada por F x, y, z = cq 1q 2 r 2 u

31 El gradiente y la ecuación del plano tangente Sea F diferenciable en un punto P(x 0, y 0, z 0 ) de la superficie dada por F(x,y,z) = 0 tal que F(x 0, y 0, z 0 ) 0. Al plano que pasa por P y es normal a F(x 0, y 0, z 0 ) se le llama plano tangente a S en P. A la recta que pasa por P y tiene la dirección de F(x 0, y 0, z 0 ) se le llama recta normal a S en P. Si F es diferenciable en (x 0, y 0, z 0 ), entonces una ecuación del plano tangente a la superficie dada por F(x,y,z) = 0 en (x 0, y 0, z 0 ) es: F x (x 0, y 0, z 0 )( x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 )( y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 )( z z 0 )=0

32 El gradiente y su relación con el método de los multiplicadores de Lagrange Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción g x, y = c. Para hallar el mínimo o el máximo de f, seguir los pasos descritos a continuación. 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones f x, y = λ g(x, y) y g x, y = c. resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente. f x x, y = λg x x, y f y x, y = λg y x, y g x, y = c. 2. Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el máximo de f sujeto a la restricción g(x,y) = c y el valor menor da el mínimo de f sujeto a la restricción g x, y = c.

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35 Multiplicadores de Lagrange a través en Maplesoft

36 Mentefacto de la Unidad Derivada Direccional Gradiente Conocidos: f x, y, el punto P x, y y la dirección dada por un vector v = xi+yj D u f x, y = f x x, y cosθ + f y x, y senθ. Conocidos: f x, y y un punto P(x,y) se aplica la ecuación f x, y = f x x, y i + f y x, y j Conocidos: f x, y, z y un punto P(x,y,z) se aplica la ecuación f x, y = f x x, y i + f y x, y j Conocidos: f x, y, dirección dada por do puntos P x, y y Q x, y y la Duf x, y = f x, y. u Conocidos: f x, y o el f x, y y el punto P x, y se aplican las ecuaciones: D u f x, y es f x, y y D u f x, y es - f x, y. Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de las derivadas direccionales. Aplicaciones importantes: Multiplicadores de Lagrange: f x, y = λ g(x, y) y g x, y = c. Ecuación del plano tangente: F x (x 0, y 0, z 0 )( x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 )( y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 )( z z 0 )=0 Conocidos: f x, y o el f x, y y el punto P x, y se aplican las ecuaciones: D u f x, y es f x, y y D u f x, y es - f x, y. Para hallar los valores máximo y mínimo respectivamente de las derivadas direccionales.

37 Los grandes espíritus siempre han encontrado una violenta oposición de parte de mentes mediocres. Albert Einstein