Ayudantía Regla de la Cadena. Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Matemáticas Departamento de Matemática

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Adolfo Medina Villanueva
hace 6 años
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1 / 010 Ayudantía 4 1. Regla de la Cadena Proposición 1 Regla de la Cadena - 1. Sea f : U R n R diferenciable y γ : I R R n una curva diferenciable contenida en U. Entonces, la función gt = f γt es derivable y se tiene que g t = fγt γ t. Observación 1. Si g, γ son funciones de más variables, podemos utilizar la Regla de la Cadena para sus derivadas parciales recordando que calcularlas es derivar suponiendo que las otras variables son constantes. Es decir, si tenemos ht, s = f γt, s, con γt, s = x 1 t, s,..., x n t, s, podemos derivar respecto a t tomando s constante y sigue que h t = n j=1 x j x j t. Proposición Regla de la Cadena -. Sea f : R R y h : R n R funciones diferenciables. Entonces, la función g : R n R dada por gt = f hx es derivable y se tiene que gt = f hx hx = Df[hx] Dhx. Problema 1. Sea f : R R de clase C 1 una función homogénea de orden m, es decir, t R se cumple que ftx, ty = t m fx, y, x, y R, 1 con m. Demuestre que f satisface mfx, y = fx, y x, y. Solución: Sean u = tx y v = ty. Derivando 1 respecto a t, se tiene que Luego, evaluando para t = 1, sigue que mt m 1 fx, y = u u t + t = x u + y mfx, y = fx, y x, y. = ftx, ty x, y. Problema. Sea f : U R R con segundas derivadas continuas y considere gr, θ = fr cos θ, r sin θ. Encuentre una expresión para f en términos de las derivadas de g. Usando lo anterior, verifique que la función f : R R dada por fx = ln x resuelve la ecuación f = 0. Recuerde que f = d f dx + f. Juan Pablo Vigneaux Ariztía javignea@uc.cl 1

2 / 010 Solución: Sean x = r cos θ e y = r sin θ, entonces = x x g = cos θ + f x x + f x = cos θ + sin θ x, + sin θ f x x + f = cos θ f x + sin θ cos θ f x + sin θ f, θ = x x θ + = r sin θ + r cos θ θ x, g = r cos θ θ x + r sin θ f x r sin θ cos θ f x r sin θ + r cos θ f. Así, f = g + 1 r + 1 g r θ. 3 Respecto a la segunda parte del ejercicio: note que es muy conveniente expresar la función en coordenadas polares, puesto que gr, θ = fr cos θ, r sin θ = ln r cos θ, r sin θ = ln r y esta función sólo depende de r. Luego, se cumple que: g θ = 0 Además, nuestros conocimientos de Cálculo I espero que los tenga aún nos permiten saber que: g = = 1 r = 1 = 1 r r Si reemplaza todos estos valores en la ecuación 3, verá que se verifica f = 0. Échele un vistazo a la ayudantía anterior, donde también mostramos una solución a la ecuación f = 0, y se convencerá de que las coordenadas polares nos arreglaron la vida.. Plano tangente Definición 1 Gradiente. Sea f : U R n R y p U tal que f es diferenciable en p. Se define el vector gradiente de f en p como fp := p,..., p. x 1 x n Juan Pablo Vigneaux Ariztía javignea@uc.cl

3 / 010 Proposición 3. Considere g : R n R, diferenciable. La ecuación gx = c, c R, determina una superficie en R n que llamaremos S. Se cumple que, si s S, entonces Gs es un vector perpendicular al plano tangente a S que pasa por el punto s. Problema 3. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie: y que sea perpendicular a la recta: x + y + z = k x = 3 + 4t, y = t, z = 1 + t t R Solución: Llamemos S a la esfera de ecuación x + y + z = k. Notar que S es una curva de nivel de una función gx, y, z := x + y + z. Luego, si tenemos un punto s = x 0, y 0, z 0 S, el vector normal a la superficie será n = gs. Lo que le queremos pedir a este vector normal es que sea paralelo al vector director de la recta dada a saber, el vector d = 4,, 1. Y la condición de ser paralelo se expresa de la forma: n = λd λ R x 0, y 0, z 0 = λ4,, 1 x 0, y 0, z 0 = λ, λ, 1 λ En principio, pareciera que λ está libre, pero no demos olvidar que x 0, y 0, z 0 debe ser un punto de S, de esta forma: x 0 + y0 + z0 = 1 4 λ = k λ = ± k 1 De esta forma, se han determinado dos puntos sobre la esfera tales que sus planos tangentes son perpendiculares a la recta dada. Para encontrar las ecuaciones de estos planos, recordamos en general que son de la forma: p 0 p n = 0 donde p 0 es el punto que conocemos de la recta, p es la variable y n es la normal del plano. Así: { 4k Π 1 :, k } k 8k, x, y, z, 4k k, = El otro plano se obtiene análogamente. Nota: Esta ciertamente no es la mejor forma de resolver este problema, pero el método usado es bastante general y puede servirle para resolver otros más complicados. Trate de encontrar un mejor método para este. Más espefíficamente, intente establecer que en general el plano tangente a la esfera en un punto x 0, y 0, z 0 está dado por xx 0 + yy 0 + zz 0 = k. Problema 4. Considere z = f x + y, que surge de rotar una función que suponemos conocida sobre el plano zy de la forma z = fy. Demuestre que todos los planos tangentes al gráfico de f correspondientes a un mismo nivel curvas x +y = cte en el domino cortan en el mismo punto al eje z. Juan Pablo Vigneaux Ariztía javignea@uc.cl 3

4 / 010 Solución: Consideremos s = x 0, y 0, z 0 un punto de la superficie S : gx, y, z := f x + y z = 0. Un vector normal a esta superfie en s está dado por gs. Calculemos el gradiente. x = df dt x + y x + y = f x x + y x x + y Análogamente: x = f x + y y x + y gs = f x 0 + y 0 x 0, f x x 0 + y0 0 + y 0 y 0, 1 x 0 + y0 Por conveniencia, pordemos tomar como vector normal uno paralelo a ese, como f x 0 + y 0 x 0, f x 0 + y 0 y 0, x 0 + y 0. Entonces, el plano tangente a S en el punto s es: Π : x 0, y 0, f x 0 + y0 x, y, z f x 0 + y 0 x 0, f x 0 + y 0 y 0, x 0 + y 0 = 0 Equivalentemente, Π : f x 0 + y 0 x 0x 0 x + f x 0 + y 0 y 0y 0 x = x 0 + y 0 f x 0 + y0 z Para encontrar la intersección con el eje z, hacemos x = 0 e y = 0. Esto nos dirá que sobre curvas x 0+y 0 = k, el intercepto con z siempre será z = fk kf k. 3. Derivadas direccionales Definición. Definimos la derivada direccional de f en p en la dirección de v por p := lím t 0 fp + tv fp. t Note que las derivadas parciales son un caso particular de derivada direccional, cuando v es igual a algún vector canónico. Proposición 4. Sea f : U R n R m y p U tal que f es diferenciable en p. Consideremos v R n unitario, entonces Juan Pablo Vigneaux Ariztía javignea@uc.cl 4

5 / p = fp v. p fp. fp fp es el vector que maximiza la expresión p. Problema 5. Considere los vectores u = 1 1, 1 y v = 1 1, 1. Sea f : R R diferenciable y tal que Calcule f1, y w 1, con w =, 3. u 1, =, 1, =. Solución: Notemos que {u, v} es una base ortonormal de R. Luego, f1, = αu + βv, 4 para algún par α, β R. Como f es diferenciable, al hacer producto punto en 4 con u, se obtiene 1, = f1, u = αu u + βv u = α u = α, u es decir α =. Análogamente, si lo hacemos con v, obtenemos que β =. Así, Finalmente, Alternativa: Puesto que f diferenciable, se cumple que: f1, = u v = 1 1, 1 1 1, 1 = 0,. w 1, = f1, w w = 1 0, 4, 3 = = u 1, = f1, u = f 1 x1,, f y 1, 1, 1 = 1, = f1, v = f 1 x1,, f y 1, 1, 1 En base a lo anterior, tenemos un sistema de ecuaciones para f x y f y : 1 1 fx = 1 1 f y De donde se desprende: f1, = 0,. Lo que sigue se hace como antes. Juan Pablo Vigneaux Ariztía javignea@uc.cl 5

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