MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 7 CLASE 1. Transformaciones conformes

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1 MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 7 CLASE 1 Transformaciones conformes 1 Determinar donde son conformes las siguientes transformaciones: (a) w() = (b) w() = 1 + i (c) w() = + 1 (d) w() = En cada caso, determinar el ángulo que giran las tangentes a las curvas que pasan por el punto 0 = i al ser transformadas por w() 2 Considere la transformación w() = 1 Hallar las imágenes de las regiones: (a) (b) el segundo cuadrante (c) y 1 3 Demostrar que por medio de la transformación w() = 1 las imágenes de las rectas y = x 1 e y = 0 son el círculo w 1 + i 2 = 1 y la recta v = 0, respectivamente Traar las gráficas de estas 2 curvas y comprobar que el mapeo es conforme en el punto 0 = 1 4 La transformación definida por w = α + β, αδ βγ 0 recibe el nombre de transformación bilineal o γ + δ transformación fraccionaria o de Möbius (a) Probar que la transformación bilineal puede considerarse como una combinación de transformaciones de traslación, rotación, dilatación/contracción e inversión (b) Probar que la transformación bilineal transforma círculos del plano en círculos del plano w (c) Probar que la composición de dos transformaciones bilineales es otra transformación bilineal 5 Encontrar la transformación bilineal que mapee los puntos 1,, 1 en (a) i, 1, 1 + i (b), i, 1 (c) 0,, 1 6 Probar que la función w = e iα 0 0, Im 0 > 0, transforma el semiplano superior en el disco unitario 1

2 ( ) a b 7 Sea A = una matri de 2 2 a valores reales, tal que ad bc > 0 Para un punto en semiplano c d superior, se define f A () = a + b c + d (a) Mostrar que f A () define un mapeo del semiplano superior en sí mismo ( ) α β (b) Mostrar que existe una matri B = de números reales, con αδ βγ > 0, tal que f γ δ B define una inversa de f A 8 Considere la transformación + i Hallar las imágenes de: 1 (a) la curva y x + 1 = 0, (b) el círculo + (1 + i) 1, (c) el semiplano y 0 9 Encontrar una transformación bilineal que tenga a 1 = 2 y a 2 = 2 como puntos fijos 10 Transformar el disco 4i 2 en el semiplano v > u de manera que al centro del círculo le corresponda el punto 4 y al punto 2i, el origen de coordenadas 11 Transformar el círculo < 2 en el semiplano Re w > 0 de manera tal que w(0) = 1 y arg w (0) = π/2 12 Encontrar una transformación bilineal que mapee el semiplano inferior del plano en el círculo unitario de manera tal que = i se mapee en w = 0 y que = se mapee en w = 1 2

3 PRACTICA 7 CLASE 2 Funciones armónicas Una función u(x, y) que posee en un dominio D derivadas parciales continuas hasta el segundo orden inclusive y que verifica la ecuación de Laplace u := 2 u x u x 2 = 0 se llama función armónica Dos funciones armónicas u(x, y) y v(x, y), ligadas por las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D, se llaman conjugadas 1 Demuestre las siguientes proposiciones (a) Una combinación lineal de funciones armónicas es una función armónica (b) Si las variables de una función armónica u(x, y) se someten a la transformación x = ϕ(ξ, η) e y = ψ(ξ, η), donde ϕ y ψ son funciones armónicas conjugadas, la función transformada será armónica (u, v) (c) Sean u(x, y) y v(x, y) dos funciones armónicas conjugadas y sea el jacobiano J = diferente de (x, y) cero en un dominio D Entonces, las funciones inversas x(u, v) e y(u, v) serán armónicas conjugadas en D 2 Demostrar que para toda función u(x, y), armónica en un dominio simplemente conexo D, existe una familia de funciones armónicas conjugadas dada por donde C es una constante 3 Considere las siguientes funciones: (x,y) (x 0,y 0 ) (a) u(x, y) = x 2 y 2 + x, 0 < x (b) u(x, y) = x 2 + y 2, 0 < < (c) u(x, y) = xe x cos y ye x sin y, 0 < (d) u(x, y) = ln((x 1) 2 + (y 2) 2 ), u u dx + dy + C, y x 0 < (1 + 2i) < Comprobar que son armónicas en los recintos señalados y encontrar la función armónica conjugada correspondiente 4 Hallar la función analítica f() = u(x, y) + iv(x, y) a partir de la parte real o imaginaria dada Expresar a f como una función de (a) u(x, y) = 2 sin x sinh y + x 3 3xy 2 + y (b) 3 + x 2 y 2 y 2(x 2 + y 2 ) 3

4 (c) u(x, y) = 2xy + cos x sinh y 5 Existe una función analítica f() = u(x, y) + iv(x, y) tal que u(x, y) = e y/x? 6 Demostrar que si en cierto dominio, v es una función armónica conjugada de u y, a su ve, u es una armónica conjugada de v, entonces u y v deben ser funciones constantes 7 (a) Será armónica la función u 2 si es armónica la función u? (b) Sea u una función armónica Para qué funciones f, la función f(u) será también armónica? (c) Si f() es una función analítica, serán armónicas las funciones f(), arg(f()) y ln( f() )? 8 Hallar una función armónica v(x, y) definida en el semiplano superior y tal que verifique v(x, 0) = 1 si x < 0 2 si x > 0 Si = re iθ, con r > 0 y 0 θ π, v(r, θ) dependerá solamente de θ Luego, se propone como solución v(r, θ) = Aθ + B = Im (A ln + ib), con A y B constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones de borde 9 Hallar una función armónica v(x, y) definida en la franja infinita < x <, a < y < b y tal que verifique v(x, a) = 2 v(x, b) = 1 Si = x + iy, v(x, y) dependerá solamente de y Luego, se propone como solución Ay + B = Im (A + ib), con A y B constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones de borde 10 Hallar una función armónica v(x, y) definida en la región indicada en la Figura 1 y tal que verifique 100 si y = 1, x > 1 0 si y = x, x > 1 Llevar la región al primer cuadrante mediante los mapeos sucesivos ( 0 ) ( 0 ) n, con 0 y n adecuados 11 Hallar una función armónica v(x, y) definida en el disco unitario x 2 + y 2 < 1 y tal que 10 si x 2 + y 2 = 1, y < 0 10 si x 2 + y 2 = 1, y > 0 Llevar la región a un semiplano mediante el mapeo w() = i

5 12 Hallar una función armónica v(x, y) definida en el semicírculo x 2 + y 2 < 1, 0 < y < 1 y tal que 0 si x 2 + y 2 = 1, y > 0 1 si 1 < x < 1, y = 0 Llevar la región en un cuadrante mediante la transformación del ejercicio anterior 13 Hallar una función armónica v(x, y) definida en el semiplano superior y tal que T 0 si x < 1 v(x, 0) = T 1 si 1 < x < 1 T 2 si x > 1 Si + 1 = r 1 e iθ 1 y 1 = r 2 e iθ 2, como se indica en la Figura 2, v(r 1, r 2, θ 1, θ 2 ) dependerá solamente de θ 1 y θ 2 Luego, se propone como solución v(r 1, r 2, θ 1, θ 2 ) = Aθ 1 + Bθ 2 + C = Im (A ln( + 1) + B ln( 1) + ic), con A, B y C constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones de borde 14 Hallar una función armónica v(x, y) definida en la región indicada en la Figura 3 y tal que 50 si x 2 + (y 1) 2 = 1 0 si y = 0 Llevar la región a una franja horiontal infinita usando el mapeo w() = 1 Estudiar también la posibilidad de transformar la región al semiplano superior mediante el mapeo w() = coth 2π 15 Hallar una función armónica v(x, y) definida en la región indicada en la Figura 4 y tal que T si x = a/2, y > 0 0 si a/2 < x < a/2, y = 0 2T si x = a/2, y > 0 Llevar la región a un semiplano mediante el mapeo w() = sin ( ) π a 16 Hallar una función armónica v(x, y) definida en la región indicada en la Figura 5 y tal que 0 si x < 1, y = 0 60 si x 2 + y 2 = 1, y > 0 0 si x > 1, y = 0 Llevar la región a un semiplano mediante el mapeo w() = + 1 5