Coordinación de Matemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR. 2 do Semestre Contenidos del Certamen

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1 Universidad Técnica Federico anta aría Coordinación de atemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR 2 do emestre 2011 Información Contenidos del Certamen Teorema de Green, Teorema de Green para Regiones ultiplemente conexas; Aplicaciones del Teorema de Green, Cálculo de áreas usando Teorema de Green Integrales de uperficie de 1er Tipo y 2do Tipo; cálculo de área, masa y centro de masa de una uperficie; Flujo de un campo de vectores Teorema de tokes y Teorema de la Divergencia 1. Teorema de Green Teorema 1.1 (Teorema de Green) ea R R 2 acotado por una curva suave, simple, cerrada y sea F = (P, Q) de clase C 1 en un dominio que contiene a R en su interior. e cumple: ( dq P dx + Q dy = dx dp ) da dy siempre que se recorra en sentido positivo Problemas Planteados 1. Usando la definición de integral de línea, calcular (x + y)dx + (x + y 2 )dy siendo Γ la frontera del trapecio con vérices ( 2, 0), (2, 0), (1, 1) y ( 1, 1). Es posible aplicar el Teorema de Green? Γ R 0 2. ea (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial definido para todo (x, y) (±3, 0), con Q x = P y + 2. Considere C1 : x 2 + y 2 = 25 C2 : (x 3) 2 + y 2 = 1 C3 : (x + 3) 2 + y 2 = 1 orientados en sentido contrario a las manecillas del reloj. Calcule P dx + Qdy C3 1

2 Universidad Técnica Federico anta aría sabiendo que C1 P dx + Qdy = a; C2 P dx + Qdy = b a b 46π. 3. Calcule la integral de línea donde C 1 C 2 ydx + xdy x 2 + y 2, C 1 : x 2 + y 2 = 1, C 2 : (x 2) 2 + y 2 = 16. Ambas curvas recorridas en sentido positivo. 4π. 4. Calcule la integral de línea ydx + (x + arctan(1 + y 2 ) sinh 2 (y))dy donde C = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1, y 0} C π. 5. ea R una región plana de frontera R. Demostrar que (aydx bxdy) = (b a)a(r), donde A(R) es el área de R. R 6. ea F = (P, Q) un campo vectorial de clase C 1 definido en Ω = R 2 {(0, 0)} que satisface P y = Q x en todo punto de su dominio. ea Γ una curva cerrada simple que encierra el origen (0, 0). Pruebe que P dx + Qdy = C 1 siendo C 1 una constante que resulta ser independiente de Γ. Γ 7. Use el Teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por un arco de la cicloide con a > 0 ; 0 t 2π y el eje x. x(t) = a(t sen(t)) y(t) = a(1 cos(t)) 3a 2 π 8. Calcule y 2 dx Donde corresponde a la lemniscata r = 1 + sen θ recorrida en sentido positiva. 5π 2 2

3 Universidad Técnica Federico anta aría 9. ea τ la curva en el primer cuadrante, determinada por la ecuación r = sen(3θ), recorrida en sentido positivo. Calcular τ x 3 dy y 3 dx 3π ea R la región acotada por las rectas x = 0, y = 0, x + y = 4 y el arco de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 correspondiente al primer cuadrante. Calcular (x 2 + y 2 ) da R Use el Teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por la lemniscata (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ) a Resolver (1 x 2 )ydx + x(1 + 4y 2 )dy i corresponde a la elipse x 2 + 4y 2 = 4 y se recorre en sentido negativo. 4π 13. Calcular, usando el Teorema de Green: (xy + x + y)dx + (xy + x y)dy C C : x 2 + y 2 = 2x recorrida en sentido positivo. a3 π 8 2. Integrales de uperficie Proposición 2.1 (Integral de uperficie de Primer Tipo) ea f : A superficie suave en R 3 parametrizada por ϕ : U R 2 R 3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) donde U es un abierto de R 2, tal que A. e cumple: f(x, y, z) d = f(ϕ(u, v)) ϕ u ϕ v du dv U R 3 R continua. ea una abto 3

4 Universidad Técnica Federico anta aría Proposición 2.2 (Integral de superficie de egundo Tipo) ea F : A R 3 R 3 un campo de vectores abto continuo. ea una superficie suave en R 3 parametrizada por ϕ : U R 2 R 3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) donde U es un abierto de R 2, tal que A. e cumple: F = F (x, y, z) n d = F (ϕ(u, v)) ϕu ϕ v du dv U 2.1. Problemas Planteados 1. ea la parte del cono z 2 = x 2 + y 2 que está entre los planos z = 1 y z = 3. Calcule la integral: x 2 z 2 d 2. Calcular: xy d 2 π(3 6 1) 6 donde es la porción del cilindro x 2 +z 2 = 1 ubicada en el primer octante y que está acotada por los planos y = 0 e y = x. 3. Calcule el área del pedazo del cilindro x 2 +y 2 = 8y, que se encuentra dentro de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = Encontrar el área del pedazo de la silla z = xy que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = a 2. 2π 3 [ (1 + a2 ) 3/2 1] 5. Calcular x d donde es la porción del cilindro x 2 + y 2 = 2x entre las dos hojas del cono z 2 = x 2 + y Determine el flujo del campo F = (yz, x, z 2 ) hacia el exterior, a través del cilindro parabólico y = x 2 con 0 x 1 y 0 z 4. Resp; 2 4

5 Universidad Técnica Federico anta aría 7. ea la porción de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 con z 0, que se encuentra al interior del cilindro x 2 + y 2 = 1. Calcular de tres formas distintas: Donde F = (xy, yz, xz) y n apunta hacia arriba. 3. Teorema de tokes F n d 0 Teorema 3.1 (Teorema de tokes) ea una superficie en R 3, suave o suave a pedazos, orientada según el vector normal unitario n, con borde una curva suave o suave a pedazos, cerrada, simple, orientada positivamente según n (regla de la mano derecha). ea F : A abto R 3 R Problemas Planteados un campo de vectores de clase C 1, con F = (P, Q, R), tal que A. e cumple F n d = P dx + Qdy + Rdz 1. Calcule la integral de línea (2xy 3 + yz)dx + (3x 2 y 2 + xz) + xzdz Γ donde Γ es la curva cerrada que se obtiene al intersectar las esferas x 2 + y 2 + z 2 = r 2, x 2 + y 2 + (z r) 2 = r ea la parte del paraboloide z = 9 x 2 y 2, para z 0, n es la normal unitaria a la superficie que apunta hacia afuera. Verificar el teorema de tokes si F = 3z i + 4x j + 2y k a) Desarrollar la integral de superficie b) Desarrollar la integral de línea 36π 3. ea la parte de la superficie z = 1 x 2 y 2 comprendida en el 1er octante y sea la curva cerrada que encierra a dicha superficie. Usando el Teorema de tokes calcular la integral z dx + x dy + y 2 dz i la curva se recorre en sentido positivo, mirado desde el plano xy. π 5

6 Universidad Técnica Federico anta aría 4. Considerar la curva, intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y el cilindro x 2 + y 2 = ax, con a > 0, recorrida en sentido positivo. Calcular la integral y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz a) Parametrizando directamente la curva. b) Usando el Teorema de tokes. 5. Use el teorema de tokes para calcular la integral de linea (y 2 + z 2 )dx + (x 2 + z 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz a3 π 4 donde es la intersección del hemisferio superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 8x = 0 (z 0) y el cilindro x 2 + y 2 2x = 0. 8π 6. ea el triángulo de vértices los puntos (1,0,0), (0,1,0), y 80,0,1), orientado en el orden indicado por estos puntos. Calcular dx + x dy + y dz Teorema de la Divergencia Teorema 4.1 (Teorema de la Divergencia) ea un sólido en R 3, acotado por una superficie cerrada, suave (suave a pedazos). = ea F : A abto R 3 R 3 un campo de vectores de clase C 1, tal que A. e cumple. F n d = div( F ) dv donde n es vector normal a la superficie que apunta hacia afuera Problemas Planteados 1. ea D la región limitada por la superficie x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 9, entre 1 z 4 y el plano z = 1. Verifique el teorema de la divergencia si F = x i + y j + (z 1) k. a) Desarrollar la integral triple b) Desarrollar la integral de superficie 54π 6

7 Universidad Técnica Federico anta aría 2. Calcular F n d donde F (x, y, z) = (x, y, e x2 +y 2 ) y corresponde al manto del cilindro x 2 + y 2 z = x + 6 y z = y 8. = 1, entre los planos 28π 3. Considerar el campo F (x, y, z) = ( ) ( ) xy 2 + cosh(y) arc cos(z) i + x 2 y + sinh(x) arcsin(z) j + (x 2 + y 2 ) k Calcular, usando el teorema de la divergencia, la integral: 1 F n d donde n es el vector normal unitario exterior a 1 y 1 es el manto del cilindro z 2 = x 2 + y 2, entre los planos z = 2 y z = 4 8π 4. Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (xy 2, yz, zx 2 ), a través de la superficie determinada por las ecuaciones 1 x 2 + y 2 4 y 1 < z < 4 135π 4 5. ea F (x, y, z) = ( y z, yz, xz ). Considerar la superficie que consta de 4 caras del cubo determinado por las ecuaciones: 0 x 2, 0 y < 2, 0 z < 2. Calcular usando el Teorema de la divergencia: F n d donde la superficie esta orientada por la normal exterior ea F (x, y, z) = (x 3, y 3, z 3 ) y el hemisferio superior de la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1, con z 0. Calcular F n d donde n es vector normal unitario con tercera coordenada positiva. 6π 5 7

8 Universidad Técnica Federico anta aría 7. Considere la región Ω dada por x 2 + y 2 + 4z 2 1, z 0, y el campo vectorial P x + Q y = 3, R(x, y, z) = x 2 + y 2. Calcular F n d F = (P, Q, R) con donde es la porción del elipsoide x 2 + y 2 + 4z 2 = 1, z 0, y n es el vector normal unitario que apunta hacia afuera. 3π 2 8. Considerar la porción, de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 con z 1. Calcular la integral (x 3, y 3, z 3 ) n d a) Directamente usando una parametrización. b) Usando el Teorema de la divergencia de Gauss. Aquí n representa la normal exterior a Varios 96π[3 3 1] 1. ea la superficie del cubo con centro en el origen, de aristas paralelas a los ejes y de longitud 2, orientado exteriormente. Considerar las funciones u(x, y, z) = cos(πx) + 9z 2 4 y v(x, y, z) = 3x + y 2. Calcular u dv d n d Donde n es vector normal unitario que apunta hacia afuera ea V (t) el volumen de la Bola B t (a), con centro en a R 3 (fijo) y radio t > 0. ea (t) su frontera y sea F un campo vectorial de clase C 1. i n es la normal exterior unitaria a (t) demuestre que: div( F )(a) = lím t 0 (t) F n d 3. Calcule ( F ) n d. a) Usando el Teorema de tokes. b) Usando el Teorema de la Divergencia. 8

9 Universidad Técnica Federico anta aría donde F (x, y, z) = (x 2 yz, yz 2, z 3 e xy ) y es la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 que se encuentra sobre el plano z = 1 y n esta orientado hacia afuera. 4π 4. Considerar el campo de vectores F (x, y, z) = ( ) y ( x 2 )2 + y 2, x ( x 2 )2 + y 2, f(z), donde f : R R derivable. ea la parte del paraboloide truncado, 16 z = x 2 + y 2 con 0 z 7, orientado por la normal exterior n. i la frontera de es: = 1 + 2, donde 1 corresponde a la circunferencia de radio menor y 2 la de radio mayor, ambas orientadas en el sentido inducido por la normal n. Usando el Teorema de tokes calcular F d r 1 9