Coordinación de Matemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR. 2 do Semestre Contenidos del Certamen

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Coordinación de Matemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR. 2 do Semestre Contenidos del Certamen"

Transcripción

1 Universidad Técnica Federico anta aría Coordinación de atemática IV Guía-Apunte de Preparación del CAR 2 do emestre 2011 Información Contenidos del Certamen Teorema de Green, Teorema de Green para Regiones ultiplemente conexas; Aplicaciones del Teorema de Green, Cálculo de áreas usando Teorema de Green Integrales de uperficie de 1er Tipo y 2do Tipo; cálculo de área, masa y centro de masa de una uperficie; Flujo de un campo de vectores Teorema de tokes y Teorema de la Divergencia 1. Teorema de Green Teorema 1.1 (Teorema de Green) ea R R 2 acotado por una curva suave, simple, cerrada y sea F = (P, Q) de clase C 1 en un dominio que contiene a R en su interior. e cumple: ( dq P dx + Q dy = dx dp ) da dy siempre que se recorra en sentido positivo Problemas Planteados 1. Usando la definición de integral de línea, calcular (x + y)dx + (x + y 2 )dy siendo Γ la frontera del trapecio con vérices ( 2, 0), (2, 0), (1, 1) y ( 1, 1). Es posible aplicar el Teorema de Green? Γ R 0 2. ea (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial definido para todo (x, y) (±3, 0), con Q x = P y + 2. Considere C1 : x 2 + y 2 = 25 C2 : (x 3) 2 + y 2 = 1 C3 : (x + 3) 2 + y 2 = 1 orientados en sentido contrario a las manecillas del reloj. Calcule P dx + Qdy C3 1

2 Universidad Técnica Federico anta aría sabiendo que C1 P dx + Qdy = a; C2 P dx + Qdy = b a b 46π. 3. Calcule la integral de línea donde C 1 C 2 ydx + xdy x 2 + y 2, C 1 : x 2 + y 2 = 1, C 2 : (x 2) 2 + y 2 = 16. Ambas curvas recorridas en sentido positivo. 4π. 4. Calcule la integral de línea ydx + (x + arctan(1 + y 2 ) sinh 2 (y))dy donde C = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1, y 0} C π. 5. ea R una región plana de frontera R. Demostrar que (aydx bxdy) = (b a)a(r), donde A(R) es el área de R. R 6. ea F = (P, Q) un campo vectorial de clase C 1 definido en Ω = R 2 {(0, 0)} que satisface P y = Q x en todo punto de su dominio. ea Γ una curva cerrada simple que encierra el origen (0, 0). Pruebe que P dx + Qdy = C 1 siendo C 1 una constante que resulta ser independiente de Γ. Γ 7. Use el Teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por un arco de la cicloide con a > 0 ; 0 t 2π y el eje x. x(t) = a(t sen(t)) y(t) = a(1 cos(t)) 3a 2 π 8. Calcule y 2 dx Donde corresponde a la lemniscata r = 1 + sen θ recorrida en sentido positiva. 5π 2 2

3 Universidad Técnica Federico anta aría 9. ea τ la curva en el primer cuadrante, determinada por la ecuación r = sen(3θ), recorrida en sentido positivo. Calcular τ x 3 dy y 3 dx 3π ea R la región acotada por las rectas x = 0, y = 0, x + y = 4 y el arco de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 correspondiente al primer cuadrante. Calcular (x 2 + y 2 ) da R Use el Teorema de Green para calcular el área de la región encerrada por la lemniscata (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ) a Resolver (1 x 2 )ydx + x(1 + 4y 2 )dy i corresponde a la elipse x 2 + 4y 2 = 4 y se recorre en sentido negativo. 4π 13. Calcular, usando el Teorema de Green: (xy + x + y)dx + (xy + x y)dy C C : x 2 + y 2 = 2x recorrida en sentido positivo. a3 π 8 2. Integrales de uperficie Proposición 2.1 (Integral de uperficie de Primer Tipo) ea f : A superficie suave en R 3 parametrizada por ϕ : U R 2 R 3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) donde U es un abierto de R 2, tal que A. e cumple: f(x, y, z) d = f(ϕ(u, v)) ϕ u ϕ v du dv U R 3 R continua. ea una abto 3

4 Universidad Técnica Federico anta aría Proposición 2.2 (Integral de superficie de egundo Tipo) ea F : A R 3 R 3 un campo de vectores abto continuo. ea una superficie suave en R 3 parametrizada por ϕ : U R 2 R 3 (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) donde U es un abierto de R 2, tal que A. e cumple: F = F (x, y, z) n d = F (ϕ(u, v)) ϕu ϕ v du dv U 2.1. Problemas Planteados 1. ea la parte del cono z 2 = x 2 + y 2 que está entre los planos z = 1 y z = 3. Calcule la integral: x 2 z 2 d 2. Calcular: xy d 2 π(3 6 1) 6 donde es la porción del cilindro x 2 +z 2 = 1 ubicada en el primer octante y que está acotada por los planos y = 0 e y = x. 3. Calcule el área del pedazo del cilindro x 2 +y 2 = 8y, que se encuentra dentro de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = Encontrar el área del pedazo de la silla z = xy que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = a 2. 2π 3 [ (1 + a2 ) 3/2 1] 5. Calcular x d donde es la porción del cilindro x 2 + y 2 = 2x entre las dos hojas del cono z 2 = x 2 + y Determine el flujo del campo F = (yz, x, z 2 ) hacia el exterior, a través del cilindro parabólico y = x 2 con 0 x 1 y 0 z 4. Resp; 2 4

5 Universidad Técnica Federico anta aría 7. ea la porción de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 con z 0, que se encuentra al interior del cilindro x 2 + y 2 = 1. Calcular de tres formas distintas: Donde F = (xy, yz, xz) y n apunta hacia arriba. 3. Teorema de tokes F n d 0 Teorema 3.1 (Teorema de tokes) ea una superficie en R 3, suave o suave a pedazos, orientada según el vector normal unitario n, con borde una curva suave o suave a pedazos, cerrada, simple, orientada positivamente según n (regla de la mano derecha). ea F : A abto R 3 R Problemas Planteados un campo de vectores de clase C 1, con F = (P, Q, R), tal que A. e cumple F n d = P dx + Qdy + Rdz 1. Calcule la integral de línea (2xy 3 + yz)dx + (3x 2 y 2 + xz) + xzdz Γ donde Γ es la curva cerrada que se obtiene al intersectar las esferas x 2 + y 2 + z 2 = r 2, x 2 + y 2 + (z r) 2 = r ea la parte del paraboloide z = 9 x 2 y 2, para z 0, n es la normal unitaria a la superficie que apunta hacia afuera. Verificar el teorema de tokes si F = 3z i + 4x j + 2y k a) Desarrollar la integral de superficie b) Desarrollar la integral de línea 36π 3. ea la parte de la superficie z = 1 x 2 y 2 comprendida en el 1er octante y sea la curva cerrada que encierra a dicha superficie. Usando el Teorema de tokes calcular la integral z dx + x dy + y 2 dz i la curva se recorre en sentido positivo, mirado desde el plano xy. π 5

6 Universidad Técnica Federico anta aría 4. Considerar la curva, intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y el cilindro x 2 + y 2 = ax, con a > 0, recorrida en sentido positivo. Calcular la integral y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz a) Parametrizando directamente la curva. b) Usando el Teorema de tokes. 5. Use el teorema de tokes para calcular la integral de linea (y 2 + z 2 )dx + (x 2 + z 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz a3 π 4 donde es la intersección del hemisferio superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 8x = 0 (z 0) y el cilindro x 2 + y 2 2x = 0. 8π 6. ea el triángulo de vértices los puntos (1,0,0), (0,1,0), y 80,0,1), orientado en el orden indicado por estos puntos. Calcular dx + x dy + y dz Teorema de la Divergencia Teorema 4.1 (Teorema de la Divergencia) ea un sólido en R 3, acotado por una superficie cerrada, suave (suave a pedazos). = ea F : A abto R 3 R 3 un campo de vectores de clase C 1, tal que A. e cumple. F n d = div( F ) dv donde n es vector normal a la superficie que apunta hacia afuera Problemas Planteados 1. ea D la región limitada por la superficie x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 9, entre 1 z 4 y el plano z = 1. Verifique el teorema de la divergencia si F = x i + y j + (z 1) k. a) Desarrollar la integral triple b) Desarrollar la integral de superficie 54π 6

7 Universidad Técnica Federico anta aría 2. Calcular F n d donde F (x, y, z) = (x, y, e x2 +y 2 ) y corresponde al manto del cilindro x 2 + y 2 z = x + 6 y z = y 8. = 1, entre los planos 28π 3. Considerar el campo F (x, y, z) = ( ) ( ) xy 2 + cosh(y) arc cos(z) i + x 2 y + sinh(x) arcsin(z) j + (x 2 + y 2 ) k Calcular, usando el teorema de la divergencia, la integral: 1 F n d donde n es el vector normal unitario exterior a 1 y 1 es el manto del cilindro z 2 = x 2 + y 2, entre los planos z = 2 y z = 4 8π 4. Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (xy 2, yz, zx 2 ), a través de la superficie determinada por las ecuaciones 1 x 2 + y 2 4 y 1 < z < 4 135π 4 5. ea F (x, y, z) = ( y z, yz, xz ). Considerar la superficie que consta de 4 caras del cubo determinado por las ecuaciones: 0 x 2, 0 y < 2, 0 z < 2. Calcular usando el Teorema de la divergencia: F n d donde la superficie esta orientada por la normal exterior ea F (x, y, z) = (x 3, y 3, z 3 ) y el hemisferio superior de la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1, con z 0. Calcular F n d donde n es vector normal unitario con tercera coordenada positiva. 6π 5 7

8 Universidad Técnica Federico anta aría 7. Considere la región Ω dada por x 2 + y 2 + 4z 2 1, z 0, y el campo vectorial P x + Q y = 3, R(x, y, z) = x 2 + y 2. Calcular F n d F = (P, Q, R) con donde es la porción del elipsoide x 2 + y 2 + 4z 2 = 1, z 0, y n es el vector normal unitario que apunta hacia afuera. 3π 2 8. Considerar la porción, de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 con z 1. Calcular la integral (x 3, y 3, z 3 ) n d a) Directamente usando una parametrización. b) Usando el Teorema de la divergencia de Gauss. Aquí n representa la normal exterior a Varios 96π[3 3 1] 1. ea la superficie del cubo con centro en el origen, de aristas paralelas a los ejes y de longitud 2, orientado exteriormente. Considerar las funciones u(x, y, z) = cos(πx) + 9z 2 4 y v(x, y, z) = 3x + y 2. Calcular u dv d n d Donde n es vector normal unitario que apunta hacia afuera ea V (t) el volumen de la Bola B t (a), con centro en a R 3 (fijo) y radio t > 0. ea (t) su frontera y sea F un campo vectorial de clase C 1. i n es la normal exterior unitaria a (t) demuestre que: div( F )(a) = lím t 0 (t) F n d 3. Calcule ( F ) n d. a) Usando el Teorema de tokes. b) Usando el Teorema de la Divergencia. 8

9 Universidad Técnica Federico anta aría donde F (x, y, z) = (x 2 yz, yz 2, z 3 e xy ) y es la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 que se encuentra sobre el plano z = 1 y n esta orientado hacia afuera. 4π 4. Considerar el campo de vectores F (x, y, z) = ( ) y ( x 2 )2 + y 2, x ( x 2 )2 + y 2, f(z), donde f : R R derivable. ea la parte del paraboloide truncado, 16 z = x 2 + y 2 con 0 z 7, orientado por la normal exterior n. i la frontera de es: = 1 + 2, donde 1 corresponde a la circunferencia de radio menor y 2 la de radio mayor, ambas orientadas en el sentido inducido por la normal n. Usando el Teorema de tokes calcular F d r 1 9

Integración sobre superficies

Integración sobre superficies Problemas propuestos con solución Integración sobre superficies IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Parametrizaciones 1 2. Área de una superficie

Más detalles

Contenido 1. Integrales Dobles 2. Integrales Triples

Contenido 1. Integrales Dobles 2. Integrales Triples Integración Contenido 1. Integrales Dobles 2 1.1. Integrales iteradas............................. 2 1.2. Regiones en R 2.............................. 3 1.3. Volumen..................................

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

Ejercicios Resueltos de Cálculo III. Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como

Más detalles

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 10. Cálculo vectorial.

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 10. Cálculo vectorial. ÁLULO ngeniería ndustrial. urso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de evilla. Lección 10. álculo vectorial. Resumen de la lección. 10.1. ntegrales de línea. ntegral de línea de

Más detalles

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Problemas propuestos Departamento de Matemáticas del Área Industrial Programa de Ampliación de Cálculo. Curso 2014/15 1. Cálculo de integrales múltiples Integrales dobles en rectángulos;

Más detalles

Integral de superficie.

Integral de superficie. Tema 4 Integral de superficie. 4.1 uperficies. Definición 4.1 ean IR 2 un conjunto conexo y κ: IR 3 una función continua. La imagen = κ se llama superficie descrita por κ. También se dice que κ es una

Más detalles

Universidad Técnica Federico Santamaría

Universidad Técnica Federico Santamaría Integral de uperficie - Mate 4 UPEFICIE PAAMÉTICA e forma similar a como se describe una curva mediante una función vectorial r(t), en función de un parámetro t,se puede describir una superficie mediante

Más detalles

Integración doble Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

Integración doble Integrales dobles sobre regiones no rectangulares Nuestra intención es extender la definición de integral doble, de funciones continuas, sobre regiones más generales que el rectángulo. Para ello definiremos dos tipos de regiones en el plano, que llamaremos

Más detalles

1. Sea f una función definida en I = [1, 2] [1, 4] del siguiente modo: (x + y) 2, x y 2x, 0, en el resto.

1. Sea f una función definida en I = [1, 2] [1, 4] del siguiente modo: (x + y) 2, x y 2x, 0, en el resto. La integral múltiple Problemas resueltos. Sea f una función definida en I [, ] [, 4] del siguiente modo: { (x + y), x y x, f(x, y), en el resto. Indique, mediante un dibujo, la porción A del rectángulo

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución: Problemas resueltos 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización α(t) t ı + 4 3 t3/ j + 1 t k, t [, ]. α (t) (1, t 1/, 1 ), t [, ]. La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable.

Más detalles

Los teoremas de Stokes y Gauss

Los teoremas de Stokes y Gauss Capítulo 13 Los teoremas de tokes y Gauss En este último capítulo estudiaremos el teorema de tokes, que es una generalización del teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. HOJA 13.

CÁLCULO INTEGRAL. HOJA 13. CÁLCULO INTEGRAL. HOJA 13. INTEGRALE OBRE UPERFICIE. TEOREMA E TOKE Y GAU. Una superficie es una variedad diferenciable de dimensión dos, que en este curso consideraremos siempre inmersa en el espacio

Más detalles

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea.

Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM. Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II. Guión del Tema 5: Integrales de Línea. Universidad de Sevilla. GO y GERM. Matemáticas. Departamento de Matemática Aplicada. Guión del Tema 5: ntegrales de Línea. 1. ntegrales de línea. ntegral de línea de un campo escalar. Sea una curva parametrizada

Más detalles

CAMPOS: CIRCULACIÓN Y FLUJO

CAMPOS: CIRCULACIÓN Y FLUJO AMPO: IRULAIÓN Y FLUJO Dado el vector a ( x + y) i ˆ + xy ˆ j calcular su circulación a lo largo de la recta y x+ desde el punto A (, ) al B (, 2). olución: I.T.I. 99, 5, I.T.T. 2 En la trayectoria que

Más detalles

TEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES TEMA : CÁLCULO DE FUNCIONES DE AIAS AIABLES. Hallar f,. f, f,. 4 4. Hallar el valor de la función f, en los puntos de la circunferencia.. Calcular los guientes límites: cos lim,, sen lim,, c, lim con,

Más detalles

1 Funciones de Varias Variables

1 Funciones de Varias Variables EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,

Más detalles

Superficies paramétricas

Superficies paramétricas SESIÓN 7 7.1 Introducción En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a gráficos de funciones de dos variables con dos tipos de representaciones: Representación explícita de S, cuando

Más detalles

Banco de Ejercicios del Departamental Métodos Matemáticos para Sistemas Lineales Numeros Complejos

Banco de Ejercicios del Departamental Métodos Matemáticos para Sistemas Lineales Numeros Complejos Banco de Ejercicios del Departamental Métodos Matemáticos para Sistemas Lineales Numeros Complejos 1. Efectuar cada una de las operaciones indicadas. a) (35 + 25i) + ( 12 5i) b) ( 75 i) + (34 + 42i) c)

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

INTEGRALES DE SUPERFICIE.

INTEGRALES DE SUPERFICIE. INTEGALE DE UPEFICIE. 31. Encontrar el área de la sperficie definida como intersección del plano x + y + z 1 con el sólido x + y 1. olción La sperficie dada se pede parametrizar por x cos v : y (/ ) sen

Más detalles

UAM CSIC Grupo 911 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química

UAM CSIC Grupo 911 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química UAM I Grupo 911 Febrero 213 Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.6 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: 1 7 y 9 12. Nota: Los ejercicios pueden contener errores,

Más detalles

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

Por el teorema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces. dxdy. y. x P. 1 dx. 1 (4x 3 2y) dy =

Por el teorema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces. dxdy. y. x P. 1 dx. 1 (4x 3 2y) dy = TEOREMA E GREEN. 1. Calcular y dx x dy, donde es la frontera del cuadrado [ 1, 1] [ 1, 1] orientada en sentido contrario al de las agujas del reloj. Por el teorema de Green, si llamamos al interior del

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3 Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los

Más detalles

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.

1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar. NOTAS DE LASE ÁLULO III Unidad 4: INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEOREMAS FUNDAMENTALES Guía de Estudio Doris Hinestroza 1 Índice 1. INTEGRALES DE LINEA, DE SUPERFIIE, TEO- REMAS FUNDAMENTALES DEL

Más detalles

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO MULTIVARIABLE Primer Parcial

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO MULTIVARIABLE Primer Parcial Primer Parcial Identifica los criterios de convergencia para determinar si una serie es convergente o no. 1,2 Representa una función mediante una serie de potencias estableciendo el intervalo de convergencia.

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

ESTÁTICA 3 3 VECTORES

ESTÁTICA 3 3 VECTORES ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.

Más detalles

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0),

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), NÚMEROS COMPLEJOS 1. Preliminares Definición. Se llama número complejo a todo par ordenado de números reales. Si z = (a, b) es un número complejo, se dice que a es la parte real de z y b es la parte imaginaria

Más detalles

Separata de matemática III Resolución Decanal N 0 082-2010-D-FIME

Separata de matemática III Resolución Decanal N 0 082-2010-D-FIME UNIVERIDAD NAIONAL DEL ALLAO FAULTAD DE INGENIERÍA MEÁNIA - ENERGÍA Departamento Académico de Ingeniería Mecánica Asignatura Matemática III eparata de matemática III Resolución Decanal N 82-21-D-FIME Mag.

Más detalles

MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas. g(z) e u(z) 1. u(z) a log z + b

MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas. g(z) e u(z) 1. u(z) a log z + b PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas 1. Sea u : C R una función armónica positiva. Pruebe que u es constante. Solución:

Más detalles

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas.

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción a la geometría del plano y del espacio. Curvas. Ramón Bruzual Marisela Domínguez

Más detalles

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio

Más detalles

Tarea 1 - Vectorial 201420

Tarea 1 - Vectorial 201420 Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura

Más detalles

INTEGRAL DE SUPERFICIE

INTEGRAL DE SUPERFICIE INTEGRAL E UPERFICIE 1. Geometría de las superficies. Entendemos por superficie el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio R 3 con dos grados de libertad. También podemos pensar una superficie

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = y el eje OX. Los cortes de la gráfica de y = con el eje OX son los valores de tales que =, esto es, = y =. El

Más detalles

Secciones cónicas. Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros. Secciones Cónicas. Aplicaciones de las cónicas

Secciones cónicas. Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros. Secciones Cónicas. Aplicaciones de las cónicas Secciones cónicas Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I - 2014 Las secciones cónicas toman su

Más detalles

1. Definición de campo vectorial

1. Definición de campo vectorial Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLII MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) 214 egundo emestre GUÍA Nro. 6: AMPO VETORIALE 1. Definición de campo vectorial Durante el curso

Más detalles

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática. Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..

Más detalles

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CAPÍTULO XI. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA SECCIONES A. Áreas de figuras planas. B. Cálculo de volúmenes. C. Longitud de curvas planas. D. Ejercicios propuestos. 37 A. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. En

Más detalles

VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.

VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)

Más detalles

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 .5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto

Más detalles

SUPERFICIES CUÁDRICAS

SUPERFICIES CUÁDRICAS SUPERFICIES CUÁDRICAS Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas. Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma Ax + By + Cz + Dx +

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

Volumen de Sólidos de Revolución

Volumen de Sólidos de Revolución 60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido

Más detalles

Superficies Curvas. Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger

Superficies Curvas. Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger Superficies Curvas Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger www.ingverger.com.ar Superficie cilíndrica Es aquella generada por una recta llamada generatriz que se mueve en el espacio manteniendose

Más detalles

1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función. z = f(x, y) = 3x xy 2

1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función. z = f(x, y) = 3x xy 2 1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función es diferenciable en todo R 2. z = f(x, y = 3x xy 2 Se debe verificar que para todo (a, b en R 2, existen funciones, de = x y k = y, ɛ 1

Más detalles

Práctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones

Práctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones Práctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones 5.1.- Integración con Mathematica o Integrales indefinidas e integrales definidas Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión

Más detalles

Geometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo,

Geometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo, Geometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo, 2007. 42 Índice. 1. Superficies. 2. El espacio eucĺıdeo tridimensional. Coordenadas Cartesianas. 3. Distancia entre

Más detalles

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL. UNIDAD IV: VECTORES EN R2 Y R3 VECTOR Se puede considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales:

Más detalles

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS

Aplicación: cálculo de áreas XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS XII APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS El estudiante, hasta este momento de sus estudios, está familiarizado con el cálculo de áreas de figuras geométricas regulares a través del uso de fórmulas, como el cuadrado,

Más detalles

INTEGRALES TRIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(x, y, z) dzdydx, dibujar la región de integración y escribir

INTEGRALES TRIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(x, y, z) dzdydx, dibujar la región de integración y escribir INTEGALES TIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(,, ) ddd, dibujar la región de integración escribir Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D 1, D 2 D 3 son las proecciones

Más detalles

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 3. Curvas en polares.

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 3. Curvas en polares. CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 3. Curvas en polares. Resumen de la lección. 3.1. Gráficas en coordenadas polares.

Más detalles

Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica

Más detalles

Apuntes de dibujo de curvas

Apuntes de dibujo de curvas Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en

Más detalles

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6

INTEGRAL LAPSO 2 008-2 751-1/ 6 INTEGRAL LAPSO 8-751 - 1/ 6 Universidad Nacional Abierta CÁLCULO III ( 751 ) Vicerrectorado Académico Integral Área de Matemática Fecha 1/1/8 Lapso 8 MOELO E RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a. etermine el dominio

Más detalles

Cambio de variables. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna 1.

Cambio de variables. ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna 1. Cambio de variables IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 2. Cambio de variables 1 2.1. El teorema del cambio de variables

Más detalles

4. Integral de línea de funciones escalares de dos y tres variables

4. Integral de línea de funciones escalares de dos y tres variables Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) (214 Segundo Semestre) GUÍA Nro. 5 (PARTE B) INTEGRAIÓN DE FUNIONES ESALARES DE VARIAS VARIABLES

Más detalles

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID DEPARTAMENTO DE FISICA TEORICA I FEBRERO-JUNIO DE 2005 Cálculo II http://teorica.fis.ucm.es/docenteft1.html GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO 1. [M&T] Describir el significado

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

CÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B

CÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

ejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA

ejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB= (2,-1,3) y el punto B(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A =(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1)

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

Superficies cuádricas

Superficies cuádricas Superficies cuádricas Jana Rodriguez Hertz GAL2 IMERL 9 de noviembre de 2010 definición superficie cuádrica definición (forma cuadrática) una superficie cuádrica está dada por la ecuación: definición superficie

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial

Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial Resumen del Tema 3: Cálculo Vectorial Víctor Domínguez Guillem Huguet Diciembre 2008 I too fell that I have been thinking too much of late, but in a different way, my head running on divergent series,

Más detalles

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial (Esp. en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 8: Cálculo diferencial

Más detalles

1. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n por el método estándar y el de Horner.

1. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n por el método estándar y el de Horner. Interpolación. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n () = a + a + + a n n por el método estándar y el de Horner.. Hallar el polinomio de interpolación de Lagrange y de Newton

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:

CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por:

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

MATE-1207 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. (a) Si f(x,y), g(x,y) son dos funciones continuas en D, entonces

MATE-1207 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. (a) Si f(x,y), g(x,y) son dos funciones continuas en D, entonces Universidad de los Andes epartamento de Matemáticas MATE-27 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. Conteste Falso o Verdadero. Justifique matemáticamente. (a) Si f(x,y), g(x,y) son

Más detalles

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma del cuadrado de las distancias a los puntos P 1 = (, 0) y P = (, 0)

Más detalles

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero de Telecomunicación CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Índice general 1. Aplicaciones de

Más detalles

14.1 Introducción. 14.2 Caso 1: Area bajo una curva.

14.1 Introducción. 14.2 Caso 1: Area bajo una curva. Temas. Capacidades Calcular áreas de regiones del plano. 14.1 Introducción Area bajo una curva En esta sesión se inicia una revisión de las principales aplicaciones de la integral definida. La primera

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

*SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.

*SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x a, y b ). Q(x a, y b ) 2 b + ya yb d= ( ) ( ) 2 x a x *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *ALTURA: perpendicular bajada del vértice al

Más detalles

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.

Más detalles

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables 1 María José Arroyo Shirley Bromberg Patricia Saavedra Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa ÍNDICE 1 Geometría

Más detalles

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química UAM CSIC Grupo 9 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema..5 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: y. Consejo: En todos los ejercicios es esencial dibujar el dominio

Más detalles

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE GEOMETRÍA G E O M É T R Í A GUÍA ANALÍTICA A N A L Í T I C A G U

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx

Más detalles

PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su

Más detalles

MÓDULO Nº 3. Nivelación. Matemática Módulo Nº3. Contenidos. Polígonos Circunferencia y Círculo Volúmenes

MÓDULO Nº 3. Nivelación. Matemática Módulo Nº3. Contenidos. Polígonos Circunferencia y Círculo Volúmenes MÓDULO Nº 3 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº3 Contenidos Polígonos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Polígonos Polígono Regular: Son aquellos polígonos que tienen todos sus lados y ángulos

Más detalles

Forma polar de números complejos (repaso breve)

Forma polar de números complejos (repaso breve) Forma polar de números complejos (repaso breve) Objetivos. pasar la forma polar de números complejos. quisitos. Números complejos, funciones trigonométricas, valor absoluto de números complejos, circunferencia

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar

Más detalles

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie NOTAS DE CLASE CÁLCULO III Doris Hinestroza Diego L. Hoyos 1 Índice general 1. Funciones Vectoriales 5 1.1. El Espacio R n............................ 5 1.2. Funciones Vectoriales........................

Más detalles

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ).

El teorema de Green. 1 x (t) 2 + y (t) 2 ( N(t) = y (t), x (t) ). apítulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

Superficies. Conceptos generales

Superficies. Conceptos generales Repaso Superficies. Conceptos generales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 2005 2006 REPASO: Superficies. Conceptos generales 1. Conceptos generales Definición

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de

Más detalles

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie

Tema 9. Campos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Tema 9. ampos escalares y campos vectoriales. Integrales de línea e integrales de supercie Índice de contenidos del tema 9 1. ampos escalares y campos vectoriales 2. Gradiente, laplaciano, divergencia

Más detalles

Funciones de varias variables.

Funciones de varias variables. Funciones de varias variables. Definición. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x), f :D Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y dependía

Más detalles

Geometría Analítica Agosto 2016

Geometría Analítica Agosto 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman

Más detalles