PEP 3. Responda 4 de los siguientes 9 problemas, escogiendo al menos uno de cada sección.

Transcripción

1 Universidad de Santiago de Chile Cálculo odrigo Vargas do semestre 1 PEP Nombre: Nota: esponda de los siguientes 9 problemas, escogiendo al menos uno de cada sección. Sección Use coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido que esta arriba del cono z = x +y y abajo de la esfera x +y +z = z. (Ver figura abajo) z (,,1) π x y Solución. Note que el centro de la esfera está en el punto (,, 1 ). La descripción del solido conforma de cono de helado en coordenadas esféricas es = {(r,θ,φ) θ π, φ π, r cosφ} El volumen de es V(E) = = ω = π = π πdθ dv = π/ π/ [ cos φ π π/ cosφ [ r senφ senφcos φdφ ] π/ = π 8. ] cosφ r senφdrdφdθ dφ

2 . Calcule la integral triple x +z dxdydz donde es la región acotada por el paraboloide y = x +z y el plano y =. Solución. La región es mostrado en la figura de abajo z y = x +z y x De la ecuación y = x + z obtenemos que z = ± y x, luego están son la cota inferior y superior de la variable z en la región. Por lo tanto la descripción del dominio es = {(x,y,z) x, x y, y x z } y x se sigue entonces que x +z dxdydz = x y x x +z y x dzdydx La expresión de arriba es correcta, pero es díficil de calcular. Para hallar la integral, notemos que una cota inferior para es el paraboloide y = x +z y una cota superior es el plano y =, luego tomando u 1 (x,z) = x +z y u (x,y) = obtenemos que x +z dxdydz = D [ x +y x +z dy ] dxdz = D ( x z ) x +z dxdz. donde D = {(x,z) x +z }. Ahora bien, observe que la integral dobel puede ser escrita x x ( x z ) x +z dzdx.

3 Usando coordenadas polares en el plano xz tomando x = rcosθ, z = rsenθ, se obtiene que x +z dxdydz = ( x z ) x +z dzdx = = D π π ( r )rrdrdθ dθ [ r = π r5 5 = 18π 15. (r r )dr ]. Usando el cambio de variables x = u+v, y = u+v calcule 5x +xy +y dxdy donde es la región = {(x,y) 5x +xy +y 1}. Solución. Por la fórmula de cambio de variables, f(x,y)dxdy = f(u+v, u+v) (x, y) (u, v) dudv donde es la imagen de bajo el cambio de variables. Tenemos que f(u+v, u+v) = 5(u+v) +(u+v)( u+v)+( u+v) = 9u +9v y (x,y) (u,v) = = mientras que el conjunto = {(u,v) 9u +9v 1} = {(u,v) u +v 1 9 } Por lo que, 5x +xy +y dxdy = u +v dudv. Ahora bien, haciendo un cambio de coordenadas polares u = rcosθ y v = rsen(θ) obteniendo 5x +xy +y dxdy = 9 u +v dudv = 9 π 1/ r drdθ = 9 π.

4 Sección. 1. Suponga que es una curva parametrizada por (t) = (x(t),y(t),z(t)) en donde t [a,b]. Se define la longitud de la curva por s = b a (x (t)) +(y (t)) +(z (t)) dt. Justifique esta definición y calcule la longitud de la hélice dada por en donde t [,π]. (t) = (cost,sent,t) Solución. Para cada partición a = t < t 1 < < t n = b de [a,b], considere la suma n (t i ) (t i 1 ) = l(,p), i=1 donde P representa la partición dada. La norma P de la partición se define por P = máx(t i t i 1 ), i = 1,...,n. Geométricamente, l(,p) es la longitud de un polígono inscrito en ([a,b]) con vértices en (t i ) (ver la figura). (t i ) (t n 1 ) (t ) (t n ) (t 1 ) (t ) Ahora bien, note que l(,p) = n (t i ) (t i 1 ) = i=1 n i=1 (t i ) (t i 1 ) t i t i 1 t i t i 1,

5 Haciendo P obtenemos que la longitud de la curva es s = b a (t) dt. Por otro lado, para la hélice tenemos que (t) = ( sent,cost,1) luego su longitud de arco es s = π sen t+cos t+1dt = π.. Calcule el valor de la siguiente integral de línea ycos(xy)dx+xcos(xy)dy, en donde es la curva dada por la función y = tanx, x [,π/]. Solución. Primero observe que el campo es conservativo, debido a que ( F (xcos(xy)) = (ycos(xy)) ) =. x y Por lo tanto la integral es independiente del camino. Luego, ycos(xy)dx+xcos(xy)dy = u(π/,1) u(,) en donde u = F = (ycos(xy),xcos(xy)) = se deduce que u(x,y) = sen(xy) y por lo tanto, ( u x, u ) y ycos(xy)dx+xcos(xy)dy = u(π/,1) u(,) =.. Sea lacurva poligonalconvértices enlospuntos(,),(1,1),( 1,1),(,),( 1, 1)y(1, 1). Calcule la siguiente integral de línea (x y )dx+(x+y)dy. Solución. Pictoricamente la curva poligonal es 5

6 y x 1 En virtud del Teorema de Green, obtenemos que I = (x y )dx+(x+y)dy = (+y)dxdy. Separando la región en tres sectores obtenemos que la integral original es: I = 1 +x (+y)dydx+ } +x {{ } 1 1 (+y)dydx+ 1 1 } {{ } 1 x 1 +x (+y)dydx= 15 } {{ } las tres últimas integrales dobles son sencillas de calcular, los detalles quedan a cargo del lector. Sección. 1. Calcule el área del toro dado por la parametrización donde (u,v) [,π] [,π]. φ(u,v) = ((a+rcosu)cosv,(a+rcosu)senv,rsenu), Solución. Los coeficientes de la primera forma fundamental son Luego, Entonces, el área del toro es A = φ u φ v dudv = E = r, F =, G = (rcosu+a). φ u φ v = EG F = r(rcosu+a). π π. Calcular F, n ds para el campo de vectores S F = (x,y,z ) (r cosu+ar)dudv = π ra. 6

7 donde S es la superficie del cubo de lado unitario centrado en el origen con lados paralelos a los ejes coordenados. Solución. Por el Teorema de la Divergencia de Gauss se tiene que F, n ds = FdV S donde F = f 1 x + f y + f z = x+y +z y la descripción de la región es dada por = {(x,y,z) 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1 }. I = 1/ 1/ FdV = 1/ 1/ 1/ 1/ (x+y +z)dxdydz =.. Considere el campo de vectores F : dada por F(x,y,z) = (y +arcsen(x),e y,y +ln(z +)) y sea la curva formada el triángulo de vértices (1,,), (,1,) y (,,) recorrido en el orden que se indican los vértices. Calcule F d r. Solución. El contorno es el que se muestra en la figura: El cálculo directo de la integral es imposible. ecurrimos al teorema de Stokes F d r = F,n ds S donde S es cualquier superficie que tenga a C como borde, orientada hacia arriba. La más simple, es la porción del plano que pasa por los tres F d r = (y,, ),(,,1) dxdy = (y 1)dxdy, donde es la proyección de S sobre el plano xy. Esto es, Por lo tanto, F d r = 1 1 x = {(x,y) x 1, y 1 x}. (y 1)dydx = 1 (y y) 1 x dx = 1 (x x)dx = 1. 7