Guía Semana RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

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1 . RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 8- Guía Semana Teorema del Cambio de Variables. Sea Ω ÊN un abierto y T : Ω ÊN una función de clase C. Sea D una región abierta y acotada con AdhD Ω, y supongamos además que T es inyectiva en D, que la matriz T u es invertible para todo u D y que D TD es un abierto. Sea f : AdhD Êuna función continua. Entonces D fxdx D ftu dett u du.. EJERCICIOS PROPUESTOS Teorema del Cambio de Variables P.- Calcule 4 y/+ y/ x y + z dxdy dz Hint: Considere el cambio de variables lineal: u x y, v y, w z. P.- Considere las elipses E y E definidas respectivamente por las ecuaciones x + xy + y 4 4 y x + xy + y x + y. Queremos calcular el área de dominios delimitados por estas elipses utilizando el Teorema del cambio de Variables. a Sea T :Ê Ê definida por Tu, v u u v, + v. Mostrar que T es invertible y que tanto T como su inversa son de clase C. b Sea D {x, y Ê x + xy + y 4, x + xy + y x + y, x y, x y}. Encontrar y dibujar Ω Ê tal que TΩ D. c Encontrar ab Ê, φ : [a, b] Êyφ : [a, b] Êtales que Ω {u, v Ê u [a, b], φ u v φ u}. d Calcular el área de D así como el área del dominio dentro de E y fuera de E es decir ε \E. P.- Calcule: x + y + z R donde R {x, y, z Ê x + y + z 9, z } x + y

2 P4.- Sea R la región dentro de x +y pero fuera de x +y y, con x, y. a Esbozar esta región b Sea y x + y, v x + y y. Esbozar la región D en el plano uv que corresponde a R bajo este cambio de coordenadas. c Pruebe que u, v es inyectiva. d Calcular R xey dxdy usando este cambio de coordenadas. P5.- La transformación Tu, v u v, uv lleva el rectángulo u, v del plano uv a una región R en el plano xy. a Pruebe que T es inyectiva. b Calcule el área de R usando el Teorema del Cambio de Variables. P6.- a Calcule la integral: y ye x dxdy b Considere la transformación Tu, v u, v+u y la función fx, y x. Grafique el conjunto D T[, ] [, ] y calcule f en forma D directa y usando el Teorema del Cambio de Variables. P7.- Sea Ω {x, y Ê x + y, x + y } y: u Tu, v u + v, v u + v a Dibuje Ω, encuentre y dibuje D tal que TD Ω. b Pruebe que T es inyectiva en su dominio. c Calcule x Ω x + y dxdy. P8.- Determine el volumen comprendido entre: x + y z x y x z z 4

3 P9.- Calcular xdxdy en que D es la región acotada por: D x y, x y y, x y y Hint: Haciendo un dibujo busque un cambio de variables apropiado. P.- Para calcular la integral: I asenβ a y y cot β lnx + y dxdy, < β < π. a Describa analíticamente el dominio de integración D, y haga un dibujo de él. b Utilice un cambio de coordenadas apropiado de acuerdo a la geometría de D, para calcular I. P.- Sea f :Ê \ {} Êuna función continua. Si bien esta función no está definida en el origen, se podría intentar definir la integral de f sobre la bola unitaria B a través de un proceso límite. Haciendo una analogía con el caso de una variable, la idea consiste en definir: f lím f. ε B B\B,ε donde B, ε es la bola de centro y radio ε. Supongamos que existen constantes a ÊyC> tales que: C fx, y, z. x + y + z a Para qué valores de a tiene sentido la definición de arriba?. P.- Sea B n la bola unitaria enên. Muestre que: V olb 4 x + y + z dxdydz. B Tomando coordenadas esféricas muestre que el volumen de B 4 es igual a: π V olb 4 r senφ r drdθdφ. y concluya que V olb 4 π /. En general muestre que el volumen de la bola de radio r es r 4 π /.

4 . PROBLEMAS RESUELTOS P.- Sea < a < b y R {x, y x, y, y x, a xy b, y x }. Calcular: y x xy x + y dxdy Solución: R Consideramos el cambio de variables: y x v, xy u. Luego si Tx, y ux, y, vx, y: T x, y dett y x x y y x x y x + y Ahora veremos la nueva región de integración con las variables u, v. x, y u xy u y x y x y x v y x v xy a y xy b a u b La nueva región queda como un rectángulo de lados b a y Luego: R y x xy x + y dxdy b a vu dvdu b a [ u+ vu+ ] du b a u+ du lnu + b a ln b+ a+ P4.- Sea a >, calcule el volumen de la zona encerrada por las superficies: x + y + z a x + y ax 4

5 Hint: Complete cuadrados en la segunda ecuación. Solución Sean: S : x + y + z a S : x + y ay De las ecuaciones se deduce que S es un casquete esférico y S es un cilindro; en efecto: x + y ay x + y a a Sea el cambio de variables a coordenadas esféricas: rr, θ, ϕ r senϕcos θ, r sen ϕsen θ, r cosϕ Luego calculamos el diferecial de la tranformación de coordenadas, obteniendo: dv r sen ϕdr dθ dϕ Ahora queremos saber en qué puntos el cilindro corta a la esfera, es decir, determinar r en función de θ y ϕ. En el borde del cilindro se cumple que: x + y ay, y utilizando el cambio de variables queda: r sen ϕ r a r sen ϕ sen θ a sen θ sen ϕ Notar que en algunos puntos r r esf, pero en otros su radio es el del cilindro. Suponemos θ, ϕ [, ] por simetría, este conjunto será suficiente para obtener el volumen. Notamos que para θ arbitrario r cil θ, ϕ a sen θ sen ϕ a r esf θ, ϕ Alcanzandose la igualdad para θ ϕ. Luego el dominio de integración es el siguiente: { [ D r, θ, ϕ ϕ [, ], θ [, ϕ], r, a sen θ ]} {r, θ, ϕ ϕ [, ], θ [ϕ, ], r [, a]} senϕ Obteniéndose una integral impropia notar que senϕ aparece en el 5

6 denominador: V/8 ϕ a sen θ sen ϕ r senϕdr dθ + ϕ a r sen ϕdr dθ dϕ ϕ a sen θ sen ϕ sen ϕdθ + a sen ϕ a sen ϕ ϕ ϕ sen θdθ + a sen ϕ sen ϕ [ cosθ + cos θ a senϕdθ ϕ dθ ] θϕ dϕ dϕ usando sen θ sen θ cos θ + sen ϕ π ϕ dϕ θ a sen ϕ cosϕ + cos ϕ + + senϕ π ϕ dϕ Luego, desarrollando cada integral por separado: π cos ϕ sen ϕ dϕ sen ϕ cos ϕ sen ϕ dϕ sen ϕ dϕ sen ϕ cosϕ sen ϕdϕ cos ϕ sen ϕ ϕsenϕdϕ ϕcosϕ + sen ϕ π senϕdϕ cosϕ π Finalmente el volumen queda: V 8 a V 8a + + π 4 + π sen ϕ sen ϕ 6