Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

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1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO

2 Índice general 1. Derivación de funciones de varias variables 3 2. Aplicaciones de la derivada 6 3. Cálculo de Primitivas Aplicaciones de la Integral Integración Múltiple Análisis Vectorial 20 2

3 Capítulo 1 Derivación de funciones de varias variables 1. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las funciones: a) =. = 2 2. c) ( ) = sen. d) = Evaluar y enlospuntosqueseindican: a) ( ) = arctan en (2 2). ( ) = en (1 1). 3. Calcular las pendientes de las superficies en las direcciones de e en el punto indicado: a) =4 2 2 en (1 1 2). = cos en (0 0 1). 4. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones: a) = p ( ) =ln p c) =sen( +2 +3). 3

4 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 4 5. Evaluar, y en el punto dado. a) ( ) = p en (1 2 1). ( ) = sen ( + ) en (0 4) Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones: a) = ( ) =ln c) = d) ( ) = sen. 7. Calcular utilizando la regla de la cadena: a) = p 2 + 2, =cos, =. = , = cos, = sen, =. 8. Calcular por derivación implícita: a) ln p =4. cos +tan +5=0. 9. Calcular y a) =1. + =0. por derivación implícita: 10. Calcular las primeras derivadas parciales de por derivación implícita: a) =4. cos ()+sen + = Calcular la derivada direccional de la función en el punto y en la dirección del vector dados: a) ( ) =, =(2 3), =(1 1).

5 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 5 ( ) = sen, =(1 ), =( 1 0). 2 c) ( ) = + + 2, =(1 1 1), =(2 1 1). 12. Hallar el gradiente de la función en el punto dado: a) =cos( ), =(3 4). = , =(1 1 2). 13. Hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto dado: a) ( ) = tan, =(2 ). 4 ( ) =, =(2 0 4). 14. Hallar un vector normal y la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel de ( ) = que pasa por el punto =(1 1) Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado: a) =, =(1 2 2). = (sen +1), =(0 2). 2 c) =4, =(2 1 2). 16. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las superficies dadas en el punto indicado: a) =5, =, =(2 1 2). = 2 + 2, + +6 =33, =(1 2 5).

6 Capítulo 2 Aplicaciones de la derivada 1. Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones, en el intervalo dado, y lospuntosenlosquesealcanzan: a) () = , 2 1. () = , 0 4. c) () = 13, 1 8. d) () =2, 1 3. e) () = , 5 5. f ) () = 3 4 (2 1) 23, 3 2. g) () = +sen2,. h) () =ln(cos), 4 3. i) () = 2, Calcular los puntos críticos y los valores extremos (relativos y absolutos) de cada una de las siguientes funciones: a) () = 23 ( +2). () = 4 2. ½ c) () = d) () = 2 ln 1. 6

7 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 7 3. Determinar los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento de lassiguientesfunciones.obtener,siexisten,losextremosrelativosy absolutos de cada función, indicando los puntos en los que se alcanzan. a) () = () = c) () = 6 1. d) () = 2 3, 6= 2. 2 e) () =sen2, 0. f ) () = 3cos +sen, Obtenerlosmáximosymínimoslocales,lospuntosdeinflexión y los intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas o convexas: a) () = () = 3 4 (2 1) 23. c) () = +sen2, Dibujar las gráficas de las siguientes funciones, obteniendo previamente los valores extremos, los puntos de inflexión y las asíntotas cuando existan. a) () =4 3 4, () = 2 +1, () =2 23. () = 2 3 2, () = , () = c) () = , () +1 =4, () = Se desea hacer una caja rectangular abierta con una pieza de cartón de 8 por 15, cortando en las esquinas cuadrados de las mismas dimensiones y doblando hacia arriba los lados Cuáles son las dimensiones de la caja que puede hacerse de esta manera con el mayor volumen? Cuál es ese volumen?

8 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 8 7. Una parcela rectangular en una granja estará limitada en uno de sus lados por un río, y por los otros tres lados por una cerca electrificada con un sólo alambre. Si se cuenta con 800 metros de alambre cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones? 8. Se desea diseñar un cartel cuya área de impresión es de 50 2,con márgenes superior e inferior de 4 y márgenes laterales de 2 cada uno. Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel usado? 9. Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 Cuál es el volumen máximo? 10. Un triángulo cuya hipotenusa mide 3 metrosdelargosehacegirar alrededor de uno de sus catetos para generar un cono circular recto. Determinar el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen que se puede hacer de esta manera. 11. Un alambre de metros de largo se corta en dos partes. Una pieza se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para formar un círculo. Si la suma de las áreas encerradas por cada parte es mínima cuáles son las dimensiones de cada parte? 12. Encontrar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones: a) ( ) = ( ) =2 p c) ( ) =( ) d) ( ) = Calcular los extremos absolutos de ( ) en la región que se indica: a) ( ) = y es la región triangular en el plano de vértices (2 0), (0 1) y (1 2). ( ) = y es la región del plano acotada por las gráficasdelasfunciones = 2 y =1. c) ( ) = 2 + y := {( ) R 2 : 2 3}. d) ( ) = y := {( ) R 2 : }.

9 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 9 4 e) ( ) = ( 2 +1)( 2 +1) y := {( ) R 2 : } 14. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo que se pide con la restricción dada, siendo e positivos. a) Minimizar ( ) = 2 2,sujetoa 2 +6=0. Maximizar ( ) = p 6 2 2,sujetoa + 2=0. c) Maximizar ( ) =,sujetoa =8. d) Minimizar ( ) =2 +, sujetoa =32. e) Minimizar ( ) = ,sujetoa + + 6=0. f ) Maximizar ( ) =,sujetoa++ 32 = 0 + =0. g) Maximizar ( ) =+,sujetoa+2 6 =0 3 = Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia mínima desde la recta =0al punto (0 0). 16. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia mínima desde la circunferencia ( 4) =0al punto (0 10). 17. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia mínima desde el plano + + 1=0al punto (2 1 1). 18. Encontrar el punto más alto de la curva dada por la intersección de las superficies =36y 2 + = Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo inscrita (con sus aristas paralelas a los ejes coordenados) en el elipsoide =1 20. Determinar los puntos de la curva =130más cercanos al origen. 21. Determinar los puntos más alto y más bajo de la elipse dada por la intersección del cilindro =1yelplano2 + = Un cable de 120 de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado Cómo deben hacerse los cortes para minimizar la suma de las áreas? Y para maximizarla?

10 Capítulo 3 Cálculo de Primitivas 1. Lassiguientesintegralesindefinidas se obtienen usando la linealidad de la integral y la tabla de integrales inmediatas. a) µ +,, 2 2 (sen 2 csc 2 ), (1 + tan 2 ) 7sen 3 1+cos4 2. Si = () es una función derivable cuyo rango es un intervalo, y es continua en, entonces (()) 0 () = (). Utilizando este método de sustitución, calcular: 1 a), 1, 1 2 cos, 2 +2, sen 2 ( 32 1) 2 r 3 3 c), ( 1) 10 2cos, 11 1+sen 2 3. Usar la integración por partes () 0 () = ()() 0 ()() para calcular: a) sen(2), arctan, 2 2 ln ln 2, 2 cos 3,

11 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 11 c) cos, sen (ln ), arcsen 4. Utilizar la fórmula de integración por partes para obtener las siguientes fórmulas de reducción: a) cos = sen 1 sen. sen = cos + 1 cos. c) = Con las fórmulas obtenidas en el ejercicio anterior, calcular: a) 4 cos Para calcular algunas de las siguientes integrales, hay que descomponer la fracción en suma de fracciones simples. 1 a) +1, 1 ( +1), , , c),, ( 2 1) 2 7. Aplicando cos 2 +sen 2 =1y cos 2 sen 2 =cos2, calcular: a) cos 2, sen 2, cos 2 sen 2. cos 5 sen, cos 5, cos 3 sen Las siguientes integrales pueden obtenerse mediante la fórmula de integración por partes, pero resultan más sencillas transformando los productos de funciones en sumas con las fórmulas trigonométricas de la página 539 de Larson. Calcular: cos 2 cos 6 cos 4 sen 6 sen 3 sen 6

12 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Para calcular integrales con el factor 2 2 es conveniente usar el cambio de variables = sen. Sielfactores 2 + 2,seaplicael cambio = tan. Paraelfactor 2 2,usar = sec (Sección 8.4, página 543 de Larson). Calcular: a) 25 2, , 9 2, , Calcular las siguientes integrales usando el método más adecuado en cada caso: 1 a), tan 2, ,. ( +2) , , 4 cos + 7, 4 sen2. tan c) ln(cos ), 2 4 ln(1 + ), +9, 2 2. d) ( ), cos2, e) , 3 +1 ( 2 +1)(4 +1). f ) sen 2 cos 4 2,

13 Capítulo 4 Aplicaciones de la Integral 1. Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones: a) = 2, = = , = 2. c) = p, 5 = +6. d) =2 2, =0, =3. e) =2sen, =sen2, Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por la recta =, la recta =2,lacurva =1 2 yeleje. 3. La región encerrada por la parábola = 2 ylarecta =4se divide en dos regiones de igual área mediante una recta horizontal =. Obtener el valor de. 4. Determinar el área de la región acotada a la izquierda por + =2,a la derecha por = 2 y arriba por =2. 5. Determinar el área de la región encerrada por la curva = 23 ypor las rectas =, = Calcular el volumen de un sólido que se encuentra entre los planos = 1 y =1. Las secciones transversales del sólido perpendiculares al eje entre esos planos son cuadrados cuyas bases van desde la semicircunferencia = 1 2 a la semicircunferencia = Calcular el volumen del sólido cuya base es la región acotada por las gráficas de =3, =6y =0y las secciones perpendiculares al eje son rectángulos de altura

14 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Calcular el volumen del sólido cuya base es el círculo y cuyas secciones transversales son triángulos réctangulos isósceles determinados por planos perpendiculares al eje, entre = 1 e =1,con uno de los catetos en el círculo. 9. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por las gráficas de = 3, =0y =2al girar alrededor del eje y alrededor de la recta = Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por las gráficas de = 2 +1 y = +3 al girar alrededor del eje y alrededor de la recta = Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por las gráficas de = 2 y =4al girar alrededor del eje, alrededor de la recta =2y alrededor de la recta = El sólido que genera el círculo cuando gira alrededor de la recta =, conse denomina toro. Calcular el volumen del toro. 13. Se considera la región, acotadaporlagráfica de una función positiva = () y por las rectas = 0, =, =0.Sielvolumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje es 4 yelquese obtiene al girar la misma región alrededor de la recta = 1 es 8 Cuáleseláreadelaregión? 14. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de =2 1, = y =0al girar alrededor del eje. 15. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de = sen, =0, = y = al girar alrededor del eje Una esfera de radio 5 se perfora diametralmente con un taladro de radio 3 Cuál es el volumen de la parte taladrada? Cuál es el volumen de la parte que queda en la esfera? Si quisiéramos que el volumen de la parte taladrada y la parte que permanece en la esfera fuese el mismo cuál debería ser la longitud del radio del taladro? 17. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas: a) =13( 2 +2) 32 [0 1]. = 32 [0 4].

15 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 15 c) =( 3 3) + (14) [0 3]. 18. Determinar el área de la superficie del tronco de cono que se genera al hacer girar el segmento de recta =(2) + (12) 1 3, alrededor del eje. 19. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva = alrededor del eje y alrededor del eje. 20. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva = alrededor del eje.

16 Capítulo 5 Integración Múltiple 1. Calcular las siguientes integrales iteradas: a) c) d) sen ( + ). (1 + cos ). ( 1 2 ). 1 2 ( + ). 2. Utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada por las gráficas: a) + =2, =0 = =0, + =5 =0. c) = Calcular la siguientes integrales iteradas. Si fuese necesario, cambiar el orden de integración a) p sen 2. 16

17 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Calcular la integral doble sobre la región que se indica a),donde es el rectángulo con vértices (0 0), (0 5), (3 5) c) d) y (3 0)., donde es el triángulo acotado por =, = , =2. 2 ln,donde es la región acotada por =4 2, =4.,donde es la región del primer cuadrante acotada por = 25 2, 3 4 =0, =0. 5. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes funciones: a) =1, =1,enelprimeroctante. =, =0, =, =1, en el primer octante. c) = +, =4, en el primer octante. 6. Calcular las siguientes integrales iteradas, usando coordenadas polares: a) c) p p Calcular la integral doble sobre la región que se indica: a) ( + ), donde es la región acotada por , 0, 0.

18 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 18 arctan, donde es la región acotada por , , 0, Calcular el volumen del sólido acotado por las siguientes superficies: a) = p 2 + 2, =0, =25. Interior al hemisferio = p e interior al cilindro =0 9. Calcular el valor de tal que el volumen del sólido interior al hemisferio = p y exterior al cilindro = 2 sealamitaddel volumen del hemisferio. 10. Hallar el área de la superficie dada por = ( ) sobre la región en los siguientes casos: a) ( ) = y = {( ) R 2 : }. ( ) =2+ 32 y es el rectángulo de vértices (0 0), (0 4), (3 4) y (3 0). c) ( ) = p y = {( ) R 2 : }. 11. Hallar el área de la porción de esfera =25que está en el interior del cilindro = Calcular las siguientes integrales iteradas: a) cos. 13. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por =9 2, =0, =0, = Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por =9 2 2, = Obtener las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas y esféricas, evaluando la más sencilla:

19 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 19 a) Calcular el volumen del sólido interior a = 2 y al cilindro ( 2) =(2) Calcular el volumen del sólido interior a =4yalcono = p Calcular el volumen del sólido comprendido entre =4y =16queesinterioralcono = p Calcular 4( ), donde es el paralelogramo con vértices (1 0), (0 1), ( 1 0) y (0 1), realizando el cambio de variables = ( + )2, =( ) Calcular ( ), donde es el paralelogramo con vértices (0 0), (4 0), (7 3) y (3 3), realizandoelcambiodevariables = +, =. 21. Calcular 2,donde es la región del primer cuadrante comprendida entre las gráficas de = 4, =2, =1 y =4, realizando el cambio de variables = p, =. 22. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie = + e inferiormente por la región del plano =0que está acotada por el triángulo de vértices (0 0 0), (2 0 0), (0 2 0).

20 Capítulo 6 Análisis Vectorial 1. Determinar si el campo dado es conservativo. Si lo es, encontrar una función potencial. a) F( ) =( ). µ F( ) = c) F( ) =( cos sen ). d) F( ) =( ). µ e) F( ) = Calcular la divergencia de los campos vectoriales: a) F( ) =( ). F( ) =(sen cos 2 ). 3. Calcularlassiguientesintegralesdelíneasobrelacurvaindicada. a) 4, donde es la curva r() =( 2 ) , donde es la curva r() =(12 5 3) 0 2. c) ( ),donde es el segmento del eje que va desde =0 hasta =3. 20

21 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 21 d) ( ), donde es el trozo de circunferencia =1, e) recorrida en sentido antihorario de (1 0) a (0 1). ( +4 ), donde es el cuadrado cuyos vértices son (0 0), (2 0),(2 2) y (0 2), recorrido en sentido antihorario. 4. Calcular F dr para el campo vectorial F ylacurva parametrizada por r(), en los siguientes casos: a) F( ) =(3 4) y r() =(2cos 2sen) 0 2. F( ) =(3 4) y r() =( 4 2 ) 2 2. c) F( ) =( 2 ) y r() =( 2 2) 0 1. d) F( ) =( ) y r() = 2sen 2cos Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) =( 2) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva = 3 desde el punto (0 0) al punto (2 8). 6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) = ( 5) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva r() =(2sen 2cos 2 ) Calcular (2 ) +( +3) sobre la trayectoria indicada: a) es la unión del segmento de recta de (0 0) a (0 3) y del segmento de recta de (0 3) a (2 3). es la porción de la curva =1 2 que va desde (0 1) a (1 0). 8. Calcular F dr, analizando previamente si el campo es conservativo: a) F( ) =( ) y es la unión de la porción de la elipse =1 desde (5 0) hasta (0 4), con la porción de la parábola 16 =4 2 desde (0 4) hasta (2 0).

22 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 22 F( ) =( ) y es la unión de las curvas r 1 () = ( 2) 0 4 y r 2 () =( 2 2 ) Calcular cos sen +sen cos siendo una curva suave que va desde (0 ) hasta ( 322) 10. Verificar el teorema de Green para el campo F( ) =( 2 2 ) yla curva que es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de = = Utilizar el teorema de Green para calcular ( ) +(2 ) sobre la trayectoria dada: a) es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de = yde = 2. es la frontera de la región interior a = 25 2 yexteriora = Calcular (2) +( + ) donde es la frontera de región comprendida entre las gráficas de =0yde = Calcular 2 arctan() +ln( ) donde es la elipse 14. Calcular ( 4) ( 4)2 1 =1 +( + ) donde es la frontera de región comprendida entre las gráficas de =1yde = Utilizar una integral de línea para calcular el área de la región acotada por las gráficas de =2 +1yde = Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto queseindica:

23 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 23 a) Superficie parametrizada por r( ) =(+ ),enelpunto (1 1 1). Superficie parametrizada por r( ) =(2cos 3sen 2 ),enel punto (0 6 4). 17. Calculareláreadelasuperficie r( ) =( cos sen ), 0 2, Calcular la integral de superficie ( 2 +), para las siguientes superficies: a) es la superficie = es la superficie = Calcular las siguientes integrales de superficie: a) ( +5) donde es la superficie r( ) =( 2), 0 c) 1, 0 2. () donde es la superficie r( ) =(2cos 2sen ), 0 2, 0 2. ( ) donde es la superficie = +, d) p donde es la superficie = p 2 + 2, Hallar el flujo F N, donde N el vector normal unitario dirigido hacia arriba: a) F( ) =(3 4) atravésdelasuperficie + + =1en el primer octante. F( ) =( ) atravésdelasuperficie =9 2 2, 0. c) F( ) =(4 3 5) atravésdelasuperficie = 2 + 2,

24 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Verificar el teorema de la divergencia para: a) F( ) =(2 2 2 ) ylasuperficie es el cilindro =4, 0. F( ) =(2 2 + ) ylasuperficie es el plano =6y los planos coordenados. 22. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular F N en los siguientes casos: a) F( ) =( ) y es la superficie =0, =, =0, =, =0, =. F( ) =( ) y es la superficie = p 2 2 2, =0. c) F( ) =( 2 ) y es la superficie =4, =0, =4. d) F( ) =( 4 ) y es la superficie = Verificar el teorema de Stokes para: a) F( ) =( + ) y dada por = p F( ) =( ) y dada por =12en el primer octante. 24. Utilizar el teorema de Stokes para calcular F dr donde está orientada en sentido antihorario: a) F( ) =( ) y es la curva frontera de =4 2 2, 0. F( ) =( 2 ) y es la curva frontera de = p

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