Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II"

Transcripción

1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO

2 Índice general 1. Derivación de funciones de varias variables 3 2. Aplicaciones de la derivada 6 3. Cálculo de Primitivas Aplicaciones de la Integral Integración Múltiple Análisis Vectorial 20 2

3 Capítulo 1 Derivación de funciones de varias variables 1. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las funciones: a) =. = 2 2. c) ( ) = sen. d) = Evaluar y enlospuntosqueseindican: a) ( ) = arctan en (2 2). ( ) = en (1 1). 3. Calcular las pendientes de las superficies en las direcciones de e en el punto indicado: a) =4 2 2 en (1 1 2). = cos en (0 0 1). 4. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones: a) = p ( ) =ln p c) =sen( +2 +3). 3

4 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 4 5. Evaluar, y en el punto dado. a) ( ) = p en (1 2 1). ( ) = sen ( + ) en (0 4) Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones: a) = ( ) =ln c) = d) ( ) = sen. 7. Calcular utilizando la regla de la cadena: a) = p 2 + 2, =cos, =. = , = cos, = sen, =. 8. Calcular por derivación implícita: a) ln p =4. cos +tan +5=0. 9. Calcular y a) =1. + =0. por derivación implícita: 10. Calcular las primeras derivadas parciales de por derivación implícita: a) =4. cos ()+sen + = Calcular la derivada direccional de la función en el punto y en la dirección del vector dados: a) ( ) =, =(2 3), =(1 1).

5 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 5 ( ) = sen, =(1 ), =( 1 0). 2 c) ( ) = + + 2, =(1 1 1), =(2 1 1). 12. Hallar el gradiente de la función en el punto dado: a) =cos( ), =(3 4). = , =(1 1 2). 13. Hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto dado: a) ( ) = tan, =(2 ). 4 ( ) =, =(2 0 4). 14. Hallar un vector normal y la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel de ( ) = que pasa por el punto =(1 1) Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado: a) =, =(1 2 2). = (sen +1), =(0 2). 2 c) =4, =(2 1 2). 16. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las superficies dadas en el punto indicado: a) =5, =, =(2 1 2). = 2 + 2, + +6 =33, =(1 2 5).

6 Capítulo 2 Aplicaciones de la derivada 1. Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones, en el intervalo dado, y lospuntosenlosquesealcanzan: a) () = , 2 1. () = , 0 4. c) () = 13, 1 8. d) () =2, 1 3. e) () = , 5 5. f ) () = 3 4 (2 1) 23, 3 2. g) () = +sen2,. h) () =ln(cos), 4 3. i) () = 2, Calcular los puntos críticos y los valores extremos (relativos y absolutos) de cada una de las siguientes funciones: a) () = 23 ( +2). () = 4 2. ½ c) () = d) () = 2 ln 1. 6

7 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 7 3. Determinar los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento de lassiguientesfunciones.obtener,siexisten,losextremosrelativosy absolutos de cada función, indicando los puntos en los que se alcanzan. a) () = () = c) () = 6 1. d) () = 2 3, 6= 2. 2 e) () =sen2, 0. f ) () = 3cos +sen, Obtenerlosmáximosymínimoslocales,lospuntosdeinflexión y los intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas o convexas: a) () = () = 3 4 (2 1) 23. c) () = +sen2, Dibujar las gráficas de las siguientes funciones, obteniendo previamente los valores extremos, los puntos de inflexión y las asíntotas cuando existan. a) () =4 3 4, () = 2 +1, () =2 23. () = 2 3 2, () = , () = c) () = , () +1 =4, () = Se desea hacer una caja rectangular abierta con una pieza de cartón de 8 por 15, cortando en las esquinas cuadrados de las mismas dimensiones y doblando hacia arriba los lados Cuáles son las dimensiones de la caja que puede hacerse de esta manera con el mayor volumen? Cuál es ese volumen?

8 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 8 7. Una parcela rectangular en una granja estará limitada en uno de sus lados por un río, y por los otros tres lados por una cerca electrificada con un sólo alambre. Si se cuenta con 800 metros de alambre cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones? 8. Se desea diseñar un cartel cuya área de impresión es de 50 2,con márgenes superior e inferior de 4 y márgenes laterales de 2 cada uno. Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel usado? 9. Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 Cuál es el volumen máximo? 10. Un triángulo cuya hipotenusa mide 3 metrosdelargosehacegirar alrededor de uno de sus catetos para generar un cono circular recto. Determinar el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen que se puede hacer de esta manera. 11. Un alambre de metros de largo se corta en dos partes. Una pieza se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para formar un círculo. Si la suma de las áreas encerradas por cada parte es mínima cuáles son las dimensiones de cada parte? 12. Encontrar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones: a) ( ) = ( ) =2 p c) ( ) =( ) d) ( ) = Calcular los extremos absolutos de ( ) en la región que se indica: a) ( ) = y es la región triangular en el plano de vértices (2 0), (0 1) y (1 2). ( ) = y es la región del plano acotada por las gráficasdelasfunciones = 2 y =1. c) ( ) = 2 + y := {( ) R 2 : 2 3}. d) ( ) = y := {( ) R 2 : }.

9 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 9 4 e) ( ) = ( 2 +1)( 2 +1) y := {( ) R 2 : } 14. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo que se pide con la restricción dada, siendo e positivos. a) Minimizar ( ) = 2 2,sujetoa 2 +6=0. Maximizar ( ) = p 6 2 2,sujetoa + 2=0. c) Maximizar ( ) =,sujetoa =8. d) Minimizar ( ) =2 +, sujetoa =32. e) Minimizar ( ) = ,sujetoa + + 6=0. f ) Maximizar ( ) =,sujetoa++ 32 = 0 + =0. g) Maximizar ( ) =+,sujetoa+2 6 =0 3 = Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia mínima desde la recta =0al punto (0 0). 16. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia mínima desde la circunferencia ( 4) =0al punto (0 10). 17. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la distancia mínima desde el plano + + 1=0al punto (2 1 1). 18. Encontrar el punto más alto de la curva dada por la intersección de las superficies =36y 2 + = Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo inscrita (con sus aristas paralelas a los ejes coordenados) en el elipsoide =1 20. Determinar los puntos de la curva =130más cercanos al origen. 21. Determinar los puntos más alto y más bajo de la elipse dada por la intersección del cilindro =1yelplano2 + = Un cable de 120 de largo se corta en tres o menos piezas y cada pieza se dobla para formar un cuadrado Cómo deben hacerse los cortes para minimizar la suma de las áreas? Y para maximizarla?

10 Capítulo 3 Cálculo de Primitivas 1. Lassiguientesintegralesindefinidas se obtienen usando la linealidad de la integral y la tabla de integrales inmediatas. a) µ +,, 2 2 (sen 2 csc 2 ), (1 + tan 2 ) 7sen 3 1+cos4 2. Si = () es una función derivable cuyo rango es un intervalo, y es continua en, entonces (()) 0 () = (). Utilizando este método de sustitución, calcular: 1 a), 1, 1 2 cos, 2 +2, sen 2 ( 32 1) 2 r 3 3 c), ( 1) 10 2cos, 11 1+sen 2 3. Usar la integración por partes () 0 () = ()() 0 ()() para calcular: a) sen(2), arctan, 2 2 ln ln 2, 2 cos 3,

11 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 11 c) cos, sen (ln ), arcsen 4. Utilizar la fórmula de integración por partes para obtener las siguientes fórmulas de reducción: a) cos = sen 1 sen. sen = cos + 1 cos. c) = Con las fórmulas obtenidas en el ejercicio anterior, calcular: a) 4 cos Para calcular algunas de las siguientes integrales, hay que descomponer la fracción en suma de fracciones simples. 1 a) +1, 1 ( +1), , , c),, ( 2 1) 2 7. Aplicando cos 2 +sen 2 =1y cos 2 sen 2 =cos2, calcular: a) cos 2, sen 2, cos 2 sen 2. cos 5 sen, cos 5, cos 3 sen Las siguientes integrales pueden obtenerse mediante la fórmula de integración por partes, pero resultan más sencillas transformando los productos de funciones en sumas con las fórmulas trigonométricas de la página 539 de Larson. Calcular: cos 2 cos 6 cos 4 sen 6 sen 3 sen 6

12 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Para calcular integrales con el factor 2 2 es conveniente usar el cambio de variables = sen. Sielfactores 2 + 2,seaplicael cambio = tan. Paraelfactor 2 2,usar = sec (Sección 8.4, página 543 de Larson). Calcular: a) 25 2, , 9 2, , Calcular las siguientes integrales usando el método más adecuado en cada caso: 1 a), tan 2, ,. ( +2) , , 4 cos + 7, 4 sen2. tan c) ln(cos ), 2 4 ln(1 + ), +9, 2 2. d) ( ), cos2, e) , 3 +1 ( 2 +1)(4 +1). f ) sen 2 cos 4 2,

13 Capítulo 4 Aplicaciones de la Integral 1. Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones: a) = 2, = = , = 2. c) = p, 5 = +6. d) =2 2, =0, =3. e) =2sen, =sen2, Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por la recta =, la recta =2,lacurva =1 2 yeleje. 3. La región encerrada por la parábola = 2 ylarecta =4se divide en dos regiones de igual área mediante una recta horizontal =. Obtener el valor de. 4. Determinar el área de la región acotada a la izquierda por + =2,a la derecha por = 2 y arriba por =2. 5. Determinar el área de la región encerrada por la curva = 23 ypor las rectas =, = Calcular el volumen de un sólido que se encuentra entre los planos = 1 y =1. Las secciones transversales del sólido perpendiculares al eje entre esos planos son cuadrados cuyas bases van desde la semicircunferencia = 1 2 a la semicircunferencia = Calcular el volumen del sólido cuya base es la región acotada por las gráficas de =3, =6y =0y las secciones perpendiculares al eje son rectángulos de altura

14 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Calcular el volumen del sólido cuya base es el círculo y cuyas secciones transversales son triángulos réctangulos isósceles determinados por planos perpendiculares al eje, entre = 1 e =1,con uno de los catetos en el círculo. 9. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por las gráficas de = 3, =0y =2al girar alrededor del eje y alrededor de la recta = Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por las gráficas de = 2 +1 y = +3 al girar alrededor del eje y alrededor de la recta = Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por las gráficas de = 2 y =4al girar alrededor del eje, alrededor de la recta =2y alrededor de la recta = El sólido que genera el círculo cuando gira alrededor de la recta =, conse denomina toro. Calcular el volumen del toro. 13. Se considera la región, acotadaporlagráfica de una función positiva = () y por las rectas = 0, =, =0.Sielvolumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje es 4 yelquese obtiene al girar la misma región alrededor de la recta = 1 es 8 Cuáleseláreadelaregión? 14. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de =2 1, = y =0al girar alrededor del eje. 15. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de = sen, =0, = y = al girar alrededor del eje Una esfera de radio 5 se perfora diametralmente con un taladro de radio 3 Cuál es el volumen de la parte taladrada? Cuál es el volumen de la parte que queda en la esfera? Si quisiéramos que el volumen de la parte taladrada y la parte que permanece en la esfera fuese el mismo cuál debería ser la longitud del radio del taladro? 17. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas: a) =13( 2 +2) 32 [0 1]. = 32 [0 4].

15 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 15 c) =( 3 3) + (14) [0 3]. 18. Determinar el área de la superficie del tronco de cono que se genera al hacer girar el segmento de recta =(2) + (12) 1 3, alrededor del eje. 19. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva = alrededor del eje y alrededor del eje. 20. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva = alrededor del eje.

16 Capítulo 5 Integración Múltiple 1. Calcular las siguientes integrales iteradas: a) c) d) sen ( + ). (1 + cos ). ( 1 2 ). 1 2 ( + ). 2. Utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada por las gráficas: a) + =2, =0 = =0, + =5 =0. c) = Calcular la siguientes integrales iteradas. Si fuese necesario, cambiar el orden de integración a) p sen 2. 16

17 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Calcular la integral doble sobre la región que se indica a),donde es el rectángulo con vértices (0 0), (0 5), (3 5) c) d) y (3 0)., donde es el triángulo acotado por =, = , =2. 2 ln,donde es la región acotada por =4 2, =4.,donde es la región del primer cuadrante acotada por = 25 2, 3 4 =0, =0. 5. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes funciones: a) =1, =1,enelprimeroctante. =, =0, =, =1, en el primer octante. c) = +, =4, en el primer octante. 6. Calcular las siguientes integrales iteradas, usando coordenadas polares: a) c) p p Calcular la integral doble sobre la región que se indica: a) ( + ), donde es la región acotada por , 0, 0.

18 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 18 arctan, donde es la región acotada por , , 0, Calcular el volumen del sólido acotado por las siguientes superficies: a) = p 2 + 2, =0, =25. Interior al hemisferio = p e interior al cilindro =0 9. Calcular el valor de tal que el volumen del sólido interior al hemisferio = p y exterior al cilindro = 2 sealamitaddel volumen del hemisferio. 10. Hallar el área de la superficie dada por = ( ) sobre la región en los siguientes casos: a) ( ) = y = {( ) R 2 : }. ( ) =2+ 32 y es el rectángulo de vértices (0 0), (0 4), (3 4) y (3 0). c) ( ) = p y = {( ) R 2 : }. 11. Hallar el área de la porción de esfera =25que está en el interior del cilindro = Calcular las siguientes integrales iteradas: a) cos. 13. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por =9 2, =0, =0, = Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por =9 2 2, = Obtener las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas y esféricas, evaluando la más sencilla:

19 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 19 a) Calcular el volumen del sólido interior a = 2 y al cilindro ( 2) =(2) Calcular el volumen del sólido interior a =4yalcono = p Calcular el volumen del sólido comprendido entre =4y =16queesinterioralcono = p Calcular 4( ), donde es el paralelogramo con vértices (1 0), (0 1), ( 1 0) y (0 1), realizando el cambio de variables = ( + )2, =( ) Calcular ( ), donde es el paralelogramo con vértices (0 0), (4 0), (7 3) y (3 3), realizandoelcambiodevariables = +, =. 21. Calcular 2,donde es la región del primer cuadrante comprendida entre las gráficas de = 4, =2, =1 y =4, realizando el cambio de variables = p, =. 22. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie = + e inferiormente por la región del plano =0que está acotada por el triángulo de vértices (0 0 0), (2 0 0), (0 2 0).

20 Capítulo 6 Análisis Vectorial 1. Determinar si el campo dado es conservativo. Si lo es, encontrar una función potencial. a) F( ) =( ). µ F( ) = c) F( ) =( cos sen ). d) F( ) =( ). µ e) F( ) = Calcular la divergencia de los campos vectoriales: a) F( ) =( ). F( ) =(sen cos 2 ). 3. Calcularlassiguientesintegralesdelíneasobrelacurvaindicada. a) 4, donde es la curva r() =( 2 ) , donde es la curva r() =(12 5 3) 0 2. c) ( ),donde es el segmento del eje que va desde =0 hasta =3. 20

21 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 21 d) ( ), donde es el trozo de circunferencia =1, e) recorrida en sentido antihorario de (1 0) a (0 1). ( +4 ), donde es el cuadrado cuyos vértices son (0 0), (2 0),(2 2) y (0 2), recorrido en sentido antihorario. 4. Calcular F dr para el campo vectorial F ylacurva parametrizada por r(), en los siguientes casos: a) F( ) =(3 4) y r() =(2cos 2sen) 0 2. F( ) =(3 4) y r() =( 4 2 ) 2 2. c) F( ) =( 2 ) y r() =( 2 2) 0 1. d) F( ) =( ) y r() = 2sen 2cos Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) =( 2) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva = 3 desde el punto (0 0) al punto (2 8). 6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) = ( 5) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva r() =(2sen 2cos 2 ) Calcular (2 ) +( +3) sobre la trayectoria indicada: a) es la unión del segmento de recta de (0 0) a (0 3) y del segmento de recta de (0 3) a (2 3). es la porción de la curva =1 2 que va desde (0 1) a (1 0). 8. Calcular F dr, analizando previamente si el campo es conservativo: a) F( ) =( ) y es la unión de la porción de la elipse =1 desde (5 0) hasta (0 4), con la porción de la parábola 16 =4 2 desde (0 4) hasta (2 0).

22 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 22 F( ) =( ) y es la unión de las curvas r 1 () = ( 2) 0 4 y r 2 () =( 2 2 ) Calcular cos sen +sen cos siendo una curva suave que va desde (0 ) hasta ( 322) 10. Verificar el teorema de Green para el campo F( ) =( 2 2 ) yla curva que es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de = = Utilizar el teorema de Green para calcular ( ) +(2 ) sobre la trayectoria dada: a) es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de = yde = 2. es la frontera de la región interior a = 25 2 yexteriora = Calcular (2) +( + ) donde es la frontera de región comprendida entre las gráficas de =0yde = Calcular 2 arctan() +ln( ) donde es la elipse 14. Calcular ( 4) ( 4)2 1 =1 +( + ) donde es la frontera de región comprendida entre las gráficas de =1yde = Utilizar una integral de línea para calcular el área de la región acotada por las gráficas de =2 +1yde = Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto queseindica:

23 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 23 a) Superficie parametrizada por r( ) =(+ ),enelpunto (1 1 1). Superficie parametrizada por r( ) =(2cos 3sen 2 ),enel punto (0 6 4). 17. Calculareláreadelasuperficie r( ) =( cos sen ), 0 2, Calcular la integral de superficie ( 2 +), para las siguientes superficies: a) es la superficie = es la superficie = Calcular las siguientes integrales de superficie: a) ( +5) donde es la superficie r( ) =( 2), 0 c) 1, 0 2. () donde es la superficie r( ) =(2cos 2sen ), 0 2, 0 2. ( ) donde es la superficie = +, d) p donde es la superficie = p 2 + 2, Hallar el flujo F N, donde N el vector normal unitario dirigido hacia arriba: a) F( ) =(3 4) atravésdelasuperficie + + =1en el primer octante. F( ) =( ) atravésdelasuperficie =9 2 2, 0. c) F( ) =(4 3 5) atravésdelasuperficie = 2 + 2,

24 Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación Verificar el teorema de la divergencia para: a) F( ) =(2 2 2 ) ylasuperficie es el cilindro =4, 0. F( ) =(2 2 + ) ylasuperficie es el plano =6y los planos coordenados. 22. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular F N en los siguientes casos: a) F( ) =( ) y es la superficie =0, =, =0, =, =0, =. F( ) =( ) y es la superficie = p 2 2 2, =0. c) F( ) =( 2 ) y es la superficie =4, =0, =4. d) F( ) =( 4 ) y es la superficie = Verificar el teorema de Stokes para: a) F( ) =( + ) y dada por = p F( ) =( ) y dada por =12en el primer octante. 24. Utilizar el teorema de Stokes para calcular F dr donde está orientada en sentido antihorario: a) F( ) =( ) y es la curva frontera de =4 2 2, 0. F( ) =( 2 ) y es la curva frontera de = p

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase. Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo CÁLCULO VECTORIAL Notas de clase Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo TEMA IV INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente

Más detalles

Universidad de Puerto Rico en Aguadilla Departamento de Matemáticas PRONTUARIO

Universidad de Puerto Rico en Aguadilla Departamento de Matemáticas PRONTUARIO Universidad de Puerto Rico en Aguadilla Departamento de Matemáticas PRONTUARIO Profesor : Nombre del Estudiante : Oficina : Sección : Horas de Oficina : I. Título del curso : Cálculo III II. Codificación

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010

CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Escuela Superior de Ingenieros Ingeniero de Telecomunicación CÁLCULO Relación complementaria de problemas Curso 2009-2010 Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Índice general 1. Aplicaciones de

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

Inversión en el plano

Inversión en el plano Inversión en el plano Radio de la circunferencia x 2 + y 2 + Ax + By + D = 0 Circunferencia de centro (a, b) y radio r: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Comparando: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 con x

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.-Entre todos los rectángulos de perímetro 10 cm. encontrar el de mayor

Más detalles

Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios:

Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios: 1. Nociones fundamentales de cálculo vectorial Un vector es un segmento orientado que está caracterizado por tres parámetros: Módulo: indica la longitud del vector Dirección: indica la recta de soporte

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 MATERIA: DIBUJO TÉCNICO Junio Septiembre R1 R2 INSTRUCCIONES GENERALES La prueba consiste

Más detalles

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química UAM CSIC Grupo 9 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema..5 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: y. Consejo: En todos los ejercicios es esencial dibujar el dominio

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida Concepto de integral definida: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRAL DEFINIDA Sea una función continua definida en [a, b]. Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a, ], [,

Más detalles

Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

TEMA 2. HERRAMIENTAS DE GeoGebra

TEMA 2. HERRAMIENTAS DE GeoGebra TEMA 2. HERRAMIENTAS DE GeoGebra INTRODUCCIÓN Herramientas como Punto, Circunferencia, Segmento, Tangente, entre otras, se han utilizado en las actividades propuestas en el capítulo anterior, para realizar

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

Recomendaciones para la preparación de las P.A.U. en la materia MATEMÁTICAS para Mayores de 25 años.

Recomendaciones para la preparación de las P.A.U. en la materia MATEMÁTICAS para Mayores de 25 años. MATEMÁTICAS para Mayores de 25 años Recomendaciones para la preparación de las P.A.U. en la materia MATEMÁTICAS para Mayores de 25 años. Curso 2014-2015 Conviene recordar que los contenidos y criterios

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Unidad I Funciones Expresar una función. Dominios

Unidad I Funciones Expresar una función. Dominios Unidad I Funciones Epresar una función 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 0m. Eprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.. Un rectángulo tiene un área de 16 m. Eprese

Más detalles

Vectores no colineales.

Vectores no colineales. Vectores no colineales. Por definición son aquellos vectores que no tienen igual dirección. La resultante de los mismos no surge de la suma algebraica de los módulos de dichos vectores, sino que deben

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.

2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples.. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una función f :(, ) f(, ) continua positiva cuo dominio

Más detalles

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Problemas de Optimización J. Labrin - G.Riquelme 1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe

Más detalles

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea

Ampliación de Matemáticas. Integrales de línea Ampliación de Matemáticas Integrales de línea En Física la idea intuitiva de trabajo queda recogida en la fórmula Trabajo = Fuerza x Espacio Si f(x) es la fuerza aplicada, a lo largo del eje x, a un objeto

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS 1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Javier Rodrigo y Raquel Hernández Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 19 Índice 1. PERÍMETROS Y ÁREAS

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Funciones vectoriales 831

Funciones vectoriales 831 12Funciones vectoriales Se construye una rueda giratoria usando los principios básicos de una rueda de bicicleta. Cuando se está cerca de la parte de la rueda giratoria en movimiento, las fuerzas de rotación

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 EJERCICIOS TEMA 4 3 TOPOLOGÍA Ejercicio 1 Sea el conjunto A = 0; 1) [ fg. Hallar A, A, A 0 fra). Solución: A = 0; 1); A = [0; 1] [ fg;

Más detalles

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL Página Principal del Profesor: Luis Gerardo Guerrero Ojeda Ir al Capítulo 1 Página Principal de Apuntes de Cursos Pág. Principal de los Apuntes de Teoría TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

Problemas de optimización

Problemas de optimización Problemas de optimización 1º) La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en Kg) depende de la temperatura x (ºC) según la expresión. a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima

Más detalles

: INGENIERÍA ELÉCTRICA INGENIERIA ELECTRONICA. : Ingeniería, Ciencias y Administración

: INGENIERÍA ELÉCTRICA INGENIERIA ELECTRONICA. : Ingeniería, Ciencias y Administración UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA, CIENCIAS Y ADMINISTRACION TEMUCO CHILE PROGRAMA DE ASIGNATURA I.- IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA Asignatura : CALCULO III Carrera : INGENIERÍA ELÉCTRICA

Más detalles

Integrales de línea. Teorema de Green

Integrales de línea. Teorema de Green Integrales de línea. Teorema de Green José Antonio Vallejo Departamento de Matemáticas Facultad de iencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí email: jvallejo@fciencias.uaslp.mx 16 Noviembre 2007 1.

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas.

Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas. Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas. Profesor(a): Juana Inés Pérez Zárate Periodo: Enero Junio 2012 Topic:

Más detalles

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5).

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5). 74 MÉTOOS NUMÉRICOS Informática de Sistemas - curso 9/1 Hojas de problemas Tema I - Cálculo diferencial e integral en varias variables I.1 Representación de funciones de dos variables 1. ibuja el plano

Más detalles

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución:

Problemas resueltos. La integral de línea. 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización. Solución: Problemas resueltos 1. Halle la longitud de la curva dada por la parametrización α(t) t ı + 4 3 t3/ j + 1 t k, t [, ]. α (t) (1, t 1/, 1 ), t [, ]. La curva α es de clase C 1 y, por tanto, es rectificable.

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones de varias variables

Límites y Continuidad de funciones de varias variables 1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h..-

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física ESTATICA Es la parte de la física que estudia las fuerzas en equilibrio. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o actúan varias fuerzas cuya resultante es cero, decimos que el cuerpo está en equilibrio.

Más detalles

Mejoramiento Matemático 7º año

Mejoramiento Matemático 7º año Mejoramiento Matemático 7º año Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales pueden

Más detalles

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES C U R S O: FÍSIC Mención MTERIL: FM-01 INTRODUCCIÓN VECTORES Y MGNITUDES La Física tiene por objetivo describir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, a través de relaciones entre magnitudes físicas.

Más detalles

Tema 5: Dinámica del punto II

Tema 5: Dinámica del punto II Tema 5: Dinámica del punto II FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico

Más detalles

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil

Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil 1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGO Primada de América FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGO Primada de América FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS CÁTEDRA: ELABORADO POR: FECHA : Mayo de 2006 ACTUALIZADO POR: MATEMÁTICAS AVANZADAS Prerequisito No. CRÉDITOS: MAT-155 03 No. HORAS TOTALES 64 TEÓRICAS 02 TEÓRICAS 32 PRACTICAS 02 PRACTICAS 32 FECHA :

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Geometría Computacional

Geometría Computacional Geometría Computacional La geometría computacional es una rama de ciencia de la computación que estudia algoritmos para resolver problemas geométricos. Nos concetraremos en la representación y programación

Más detalles

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5.

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. Elementos de un vector. 6. Concepto de origen de un vector. 7.

Más detalles

Matemáticas. Currículum Universal. Índice de contenidos 08-09 años 2013-2014. Índice de contenidos 10-11 años 2013-2014

Matemáticas. Currículum Universal. Índice de contenidos 08-09 años 2013-2014. Índice de contenidos 10-11 años 2013-2014 Matemáticas Currículum Universal Índice de contenidos 08-09 años 2013-2014 Índice de contenidos 10-11 años 2013-2014 Índice de contenidos 12-14 años 2013-2014 Índice de contenidos 14-16 años 2013-2014

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

- A3, Bl - B2 -B3, Cl - C2.

- A3, Bl - B2 -B3, Cl - C2. UNVERSDADES PUBLCAS DE LA COMUNDAD DE MADRD PRUEBASDEACCESOA ESTUDOSUNVERSTAROS(LOGSE) Curso2007-2008 MATERA: DBUJO TÉCNCO 11 NSTRUCCONES GENERALES La prueba consiste en la realización de cinco ejercicios

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA. Campos de fuerzas

TRABAJO Y ENERGÍA. Campos de fuerzas TRABAJO Y ENERGÍA 1. Campos de fuerzas. Fuerzas dependientes de la posición. 2. Trabajo. Potencia. 3. La energía cinética: Teorema de la energía cinética. 4. Campos conservativos de fuerzas. Energía potencial.

Más detalles

ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES

ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES DEFINICIÓN DE ESCALAR: Cantidad física que queda representada mediante un número real acompañado de una unidad. EJEMPLOS: Volumen Área Densidad Tiempo Temperatura

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

MATEMATICAS 1. GUIA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 1 con SOLUCIONES Temas presentes en la guía.

MATEMATICAS 1. GUIA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 1 con SOLUCIONES Temas presentes en la guía. MATEMATICAS 1 GUIA DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 1 con SOLUCIONES Temas presentes en la guía. 1. Propiedades de los números reales. Lógica. Desigualdades. 2. Valor Absoluto. Desigualdades con valor absoluto.

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

Unidad 4: TRIGONOMETRÍA

Unidad 4: TRIGONOMETRÍA Unidad 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS La palabra tri-gono-metría significa medida de las figuras con tres esquinas, es decir, de los triángulos. La trigonometría estudia las relaciones entre

Más detalles

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales.

Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Página 1 de 11 Lección 2. Puntos, vectores y variedades lineales. Objectivos. En esta lección se repasan las nociones de punto y vector, y se identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de

Más detalles

Poliedros regulares Cuerpos de revolución

Poliedros regulares Cuerpos de revolución Poliedros regulares Cuerpos de revolución Poliedro. Un poliedro es un cuerpo limitado por caras poligonales. Ángulo diedro. Ángulo poliedro Se llama ángulo diedro de un poliedro el que está formado por

Más detalles

Rige a partir de la convocatoria 01-2015

Rige a partir de la convocatoria 01-2015 LISTADO DE OBJETIVOS Y CONTENIDOS QUE SE MEDIRÁN EN LAS PRUEBAS DE CERTIFICACIÓN DE LOS PROGRAMAS: Bachillerato por Madurez Suficiente Bachillerato de Educación Diversificada a Distancia Este documento

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

INTEGRAL DE SUPERFICIE

INTEGRAL DE SUPERFICIE INTEGRAL E UPERFICIE 1. Geometría de las superficies. Entendemos por superficie el lugar geométrico de un punto que se mueve en el espacio R 3 con dos grados de libertad. También podemos pensar una superficie

Más detalles

CALCULO 11-M-1 Primera Parte

CALCULO 11-M-1 Primera Parte CALCULO 11-M-1 Primera Parte Duración 1h 4m Ejercicio 1 (1. puntos) Una isla A se encuentra a 3 kilómetros del punto más próximo B de una costa rectilínea. En la misma costa, a 1 kilómetros de B se encuentra

Más detalles

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente.

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente. CÁLCULO HOJA 1 INGENIERO TÉCNICO EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS GRUPO DE MAÑANA, MÓSTOLES, 2008-09 (1) De la serie a n se sabe que la sucesión de sumas parciales viene dada por: S n = 3n + 2 n + 4. Encontrar

Más detalles

y = 2x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x + 2, x = 2, x = 3. x = 16 y, x = 6 y. y = a x, y = x, x y = a. (1 x)dx. y = 9 x, y = 0.

y = 2x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x + 2, x = 2, x = 3. x = 16 y, x = 6 y. y = a x, y = x, x y = a. (1 x)dx. y = 9 x, y = 0. . Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas:.. y = x, y = x +... x = y, x = y +... y = x +, y = x +, y = x....5..6..7..8..9..0....... y = x + 8x 7, y = x. y = x, y = x +, x =, x

Más detalles

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras.

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras. PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector, el vector, etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma

Más detalles