EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad

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1 TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS PROPUESTOS.. Indica la medida de estos ángulos en radianes. a) º c) º b) º d) º a) º rad c) rad º rad b) rad º rad d) rad rad º º Epresa en grados los siguientes ángulos. a) rad b), rad c) rad a) º rad rad b) rad, rad,º º c) º rad rad d) º rad rad d) rad... Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud. sen, m m cos, m tg,7 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa y uno de sus catetos miden y centímetros, respectivamente. Para calcular el otro cateto usamos el teorema de Pitágoras: sen =, cos, tg, sen =, cos, tg,7 Calcula las restantes razones trigonométricas de un ángulo agudo sabiendo que: a) sen b) cos a) cos sen cos tg s en tg cos cos cos cos b) sen sen sen sen tg

2 . La tangente de un ángulo agudo es igual a. Halla sen y cos. tg co s co s co s cos cos sen sen sen.7 Simplifica la siguiente epresión: (sen + cos ) + (sen cos ). (sen cos ) (sen cos ) sen. Calcula las razones trigonométricas de estos ángulos. a) rad b) 7º a) sen cos tg b) sen 7º cos 7º tg 7º =. La tangente de un ángulo del tercer cuadrante es tg. Halla las otras dos razones trigonométricas de este ángulo. Tercer cuadrante sen, cos, tg ; tomaremos las raíces negativas... cos cos cos Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas. a) sen a) sen sen sen b) cos b) cos Halla las razones trigonométricas de estos ángulos. 7 a) º c) º b) º d) º a) sen º sen ( ) sen º cos º cos ( ) cos º tg º tg ( ) tg º b) sen (º) sen (º) sen ( ) sen º cos (º) cos (º) cos ( ) cos º tg (º) tg (º) tg ( ) tg º c) sen º sen ( ) sen º cos º cos ( ) cos º tg º tg ( ) tg º d) sen º sen () sen º cos º cos (º) cos º tg º tg () tg º

3 . Con la ayuda de la calculadora, halla el seno, el coseno y la tangente de estos ángulos. a) 7º b) º c), rad d) rad a) sen 7º, cos 7º,7 tg 7º, b) sen º, cos º, tg º, c) sen, rad cos, rad tg, rad d) sen rad, cos rad, tg rad,7. Resuelve estas ecuaciones trigonométricas. a) tg c) sen b) cos d) cos,7 a) Segundo y cuarto cuadrante: º ó º Equivalentemente: º º k con k Z º k con k Z. º k b) Primero y cuarto: º ó º º k con k Z. º k c) k ó º º k con k Z. Equivalentemente, º k con k Z d) Segundo y tercero:,º º 7 ó,7º º º 7 k con k Z. º k RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Inés mide centímetros y la altura de su aula es de metros. Si se sitúa a metros de la pared, qué ángulo de elevación obtiene?,, m tg,,7 º m α, m m. Desde el suelo se ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de º con la horizontal. Si nos acercamos 7 metros hacia su pie, este ángulo mide º. Halla la altura de la antena. h tg º h h h tg º h m h 7 7 7, h 7 7, m

4 ACTIVIDADES EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Medida de ángulos. Epresa en radianes la medida de estos ángulos. a) º d) 7º b) º e) º c) º f) º a) rad º rad b) rad rad º c) rad º rad d) rad 7 rad 7 º e) rad rad º f) rad rad º.7. Indica la medida en el sistema seagesimal de los siguientes ángulos epresados en radianes. a) c) 7 e) b) d) f) 7 a) º rad rad b) º rad rad c) rad 7 º d),º º rad rad e) rad 7 rad rad º f) 7 º rad 7 rad Halla el ángulo del intervalo [º, ] que corresponde a: a) º c) º e) º b) 7º d) º f) º a) º º. El ángulo es º. d) º º. El ángulo es º. b) 7º º. El ángulo es º. e) º º. El ángulo es º. c) º º. El ángulo es º. f) º º. El ángulo es º.

5 . Epresa en radianes el ángulo, menor que, al que equivalen estos ángulos. a) º c) º b) º d) º a) º º. El ángulo es º. rad = = rad º b) º º. El ángulo es º. rad = = rad º c) º º. El ángulo es º. rad = = 7 rad º d) º º. El ángulo es º rad.. Calcula el ángulo equivalente en sentido positivo a cada uno de los siguientes. Utiliza en cada caso la misma unidad de medida en que vienen dados. a) º c) º b) rad d) rad a) º º c) º º b) rad d) rad Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Escribe, en función de m, n y p, el seno, el coseno y la tangente del ángulo en estos triángulos rectángulos. a) b) m p m p n n a) sen m n ; cos m p ;tg n p b) sen n p ; cos m p ;tg n m. La hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo miden, y decímetros, respectivamente. Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud del triángulo? El ángulo agudo más pequeño es el opuesto al cateto más pequeño. sen cos tg

6 . Halla las razones trigonométricas del ángulo en cada triángulo rectángulo. a) b) m m m m a) Si a es la hipotenusa, a sen ; cos ;tg b) Si b es el cateto opuesto, b sen ; cos ; tg. Calcula las razones trigonométricas del ángulo. h, cm cm sen,,77; cos, tg,, cm. Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo si sen,. sen cos, cos cos, cos,, tg s en,,7 cos,. Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo cuyo coseno vale. sen cos sen sen sen tg s en cos.7 Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo si su tangente es igual a. tg cos cos cos cos sen cos sen sen sen

7 . Halla la medida en el sistema seagesimal de los ángulos del primer cuadrante que cumplen cada una de las siguientes condiciones. a) sen c) cos b) tg d) sen, a) º c) º b) 7º 7 d) º. Calcula la medida de los ángulos del triángulo. m m Comprobamos que el triángulo es rectángulo: sen º º º º 7 m Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Sin calcular su valor, indica el signo que tienen las siguientes razones trigonométricas. a) cos º e) tg º b) sen º f) cos º c) tg º g) sen º d) sen º h) cos º a) cos º e) tg º b) sen º f) cos º c) tg º g) sen º d) sen º h) cos º. En qué cuadrantes se pueden encontrar cada uno de los siguientes ángulos? a), si sen c), si cos b), si tg d), si sen a) En el primero y en el segundo c) En el segundo y en el tercero b) En el primero y en el tercero d) En el tercero y en el cuarto. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos de º y º a partir de las del ángulo de º. sen º sen º ; cos º cos º ; tg º tg º sen º sen º ; cos º cos º ; tg º tg º

8 . Halla las otras dos razones trigonométricas del ángulo en cada caso. a) Si cos y 7º 7 b) Si sen y º º c) Si tg y º 7º a) 7 sen sen sen 7 tg s 7 en cos 7 b) sen cos cos cos tg s en cos c) tg cos cos cos cos tg s en cos sen cos. Calcula las razones trigonométricas del ángulo, epresado en radianes, en cada caso. a) Si tg y b) Si cos, y a) tg cos cos cos cos tg s en sen cos b), sen sen, sen, tg, =,. Si es un ángulo agudo y cos, cuáles son las razones trigonométricas del ángulo º? sen cos sen sen tg s en cos sen ( ), cos ( ), tg ( ) sen

9 . El coseno de un ángulo del primer cuadrante vale. Calcula: a) sen ( º) c) cos (º ) b) tg (º ) d) sen () sen cos sen sen sen tg s en cos a) sen (º ) sen c) cos (º ) cos b) tg (º ) d) sen () sen tg.7 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas. Epresa los resultados en grados. a) cos c) sen b) cos d) tg a) arcos ó k k con k Z b) cos º ó º º k º k con k Z c) º ó º º k con k Z º k d) º ó º º º k con k Z. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas. Epresa los resultados en radianes. a) tg c) sen, b) cos d) sen a) arctg (),, k con k Z b) cos arcos, k =, ó,, k con k Z c), k arcsen,, ó,7,7 k con k Z d) sen arcsen, k, ó, con k Z, k. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas. a) tg ( sen ) sen c) ( tg ) cos b) sen cos sen tg a) tg ( sen ) tg cos s en cos cos sen b) sen cos sen cos cos sen tg sen c) ( tg ) cos cos cos

10 CUESTIONES PARA ACLARARSE. Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. a) El coseno de un ángulo agudo es positivo. b) La tangente de un ángulo del segundo o del tercer cuadrante es negativa. c) El seno de un ángulo es positivo si está comprendido entre º y º. d) Hay dos ángulos entre y radianes con el mismo valor de la tangente. a) Verdadera. b) Falsa. En el tercero, el seno y el coseno son negativos, y, por tanto, la tangente es positiva. c) Verdadera. d) Verdadera.. Comprueba si eiste un ángulo tal que sen y cos. sen cos No puede eistir.. Los lados de un triángulo miden, 7 y centímetros. Demuestra que el seno de uno de sus ángulos vale. Cuáles son las otras dos razones trigonométricas de ese ángulo? Primero hay que comprobar que es rectángulo: 7 7. sen 7 cos tg 7. Si sen, y cos,7, calcula sen y cos. cos sen, sen cos,7. Escribe en radianes el cuadrante en el que se encuentra un ángulo si: a) sen, b) tg, c) cos, a) b) y c). Qué relación eiste entre las tangentes de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? tg tg 7

11 PROBLEMAS PARA APLICAR. En el momento del día en que los rayos del sol forman un ángulo de º con la horizontal, la sombra que proyecta un árbol en el suelo es de, metros. Cuánto mide el árbol? h Si h es la altura del árbol, tg º h, tg º, m,.7 Para medir la distancia entre dos puntos muy alejados A y B, se han situado dos personas sobre ellos. Una tercera persona está en un punto C, a metros de distancia de A. Calcula la distancia que separa los puntos A y B. a Si a es la distancia que separa los puntos A y B: tg º a tg º,77 m.. Unas cigüeñas han construido su nido sobre el tejado de un edificio a metros del suelo. Un chico lo observa desde un punto situado a metros del edificio. Calcula el ángulo de observación. tg arctg,7º. Juan ha subido en un globo aerostático hasta una altura de metros. Sus padres siguen el vuelo desde el suelo. a) A qué distancia del punto A se encuentran los padres de Juan? b) Si el globo continúa subiendo en la misma dirección y se detiene cuando el ángulo de observación de Juan es de º, a cuántos metros de altura se encuentra el globo en este momento? a a) Si a es la distancia: tg 7º a tg 7º, m. b) Si h es la distancia al suelo: tg º,, h 7,7 m. h t g. El tronco de una palmera mide, metros y crece de forma inclinada debido al peso de la parte superior. La perpendicular desde su parte más alta hasta la tierra mide metros. Calcula el ángulo de inclinación del tronco respecto a la vertical. cos 7 arcos 7,º

12 . Alba va a poner una bombilla de bajo consumo en una lámpara que está situada a metros del suelo. Alba mide, metros, y cada lado de la escalera, 7 centímetros. Averigua si alcanza con ella para poner la bombilla. Al abrir la escalera, sus lados forman con el suelo un triángulo isósceles. La altura del triángulo es la altura a la que estará el último peldaño una vez abierta. h sen º h 7 sen º, cm. 7 La altura a la que llegará la cabeza de Alba es:,, cm. Por tanto, llegará para cambiar la bombilla sin esfuerzo.. En el centro de una plaza de forma circular de metros de diámetro hay una estatua sobre un pedestal que mide, metros de altura. Con un teodolito situado en el borde de la plaza se observa la parte más alta de la estatua bajo un ángulo de º. Si la mira del teodolito se encuentra a, metros sobre el suelo, cuánto mide la estatua? h, m m, m El radio de la plaza es de m. Si h es la altura de la estatua: tg º h,, h, tg º,77 m h,77,,7 m

13 . Desde un lugar situado junto al pie de una montaña se observa el pico más alto de la misma con un ángulo de elevación de º. Si se retrocede metros, el ángulo es de º. Calcula la altura de la montaña. Si h es la altura, y, la distancia de la base de esta al primer punto de observación: tg º h h h tg º h tg º tg º h tg º h h tg º, m tg º. Una antena se ha clavado en el suelo. Para que permanezca vertical y bien sujeta se han colocado dos anclajes en el suelo a ambos lados de la antena alineados con su base. La distancia entre los anclajes es de metros y, si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de º y º, respectivamente. Calcula la altura de la antena. Si h es la altura, y, la distancia de la base de esta al punto en el que el ángulo de observación es de º: tg º h h tg º h tg º tg º tg º tg º tg º tg º tg º m, h tg º tg º m REFUERZO Medida de ángulos. Calcula la medida en radianes de estos ángulos. a) º d) º b) º e) º c) º f) º a) rad º rad d) rad rad º º b) rad º rad e) rad rad º º c) rad rad rad f) rad º º

14 cm. Epresa en grados: a) rad c) 7 rad e) rad b) rad d) rad f) rad a) 7º d) º rad rad rad rad b) rad rad º e) 7º rad rad c) 7 º f) º rad rad 7 rad rad.7 A qué ángulo menor que equivalen los siguientes? a) 7º d) º b) º e) º c) º f) º a) 7º º. El ángulo es º. d) º º. El ángulo es º. b) º º. El ángulo es º. e) º º. El ángulo es º. c) º 7º. El ángulo es 7º. f) º º. El ángulo es º. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Halla las razones trigonométricas del ángulo en estos triángulos rectángulos. a) b) cm cm cm a) Si b es el cateto que falta: b. sen = ; cos ;tg b) Si a es la hipotenusa: a. sen ; cos ; tg. Calcula la tangente del ángulo agudo en cada caso. a) Si cos, b) Si sen a) tg cos tg, b) sen cos cos cos cos = tg s en cos

15 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Si cos 7º,, halla: a) sen º c) cos º b) cos º d) cos º a) sen º sen (º 7º) cos 7º, b) cos º cos (º 7º) cos 7º, c) cos º cos (º 7º) cos 7º, d) cos º cos (7º) cos 7º,. Si es un ángulo agudo y sen =,, calcula: a) sen (º ) c) sen () b) cos (º ) d) sen ( º) a) sen (º ) sen, b) cos (º ) sen, c) sen () sen, d) sen ( º) sen,. Halla el valor de los ángulos. a) Y b) Y O X O X sen = cos = a) sen en el segundo cuadrante 7,º b) cos en el tercer cuadrante,º. Calcula las otras dos razones trigonométricas del ángulo en cada caso. a) Si cos y º 7º 7 b) Si sen y 7º c) Si tg y º º a) 7 sen sen sen = 7 tg = 7 7 b) cos cos cos c) cos sen tg cos cos ; sen

16 AMPLIACIÓN. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos reduciéndolos primero a uno equivalente menor que. a) º c) º b) º d) º a) º º sen º sen º, cos º cos º, tg º tg º b) º º sen º sen º, cos º cos º c) º º sen º sen º d) º 7º, tg º tg º, cos º cos º, tg º tg º sen º sen 7º, cos º cos 7º, tg º tg 7º. El seno de un ángulo agudo vale 7. Calcula: a) cos ( º) c) tg (º ) b) sen ( 7º) d) tg ( º) 7 7 cos cos cos = tg 7 a) cos ( º) sen 7 c) tg (º ) tg 7 b) sen ( 7) cos d) tg ( ) tg 7. Si cos y, calcula las razones trigonométricas de estos ángulos. a) c) b) d) sen cos sen sen sen = tg s en cos a) sen ( ) sen ; cos ( ) cos ; tg ( ) tg b) sen ( ) sen ; cos ( ) cos ; tg () tg c) sen ( ) sen ; cos ( ) cos ; tg ( ) tg d) sen cos ; cos sen ; tg tg

17 .7 Si tg y, halla las razones trigonométricas de los ángulos suplementario y opuesto a. cos cos cos ; sen sen sen ( ) sen ; cos ( ) cos ; tg ( ) tg sen () sen ; cos () cos ; tg () tg. Demuestra estas igualdades trigonométricas. a) s en cos sen cos b) cos s en cos co s a) s en sen cos (sen cos ) (sen cos ) = cos sen cos b) cos s en cos sen cos cos co s. Resuelve estas ecuaciones. a) sen b) cos c) tg d) sen a) k con k Z b) k ó k; k; k con k Z c) k ó 7 k; k; k con k Z d) k ó 7 k; k; k con k Z

18 PARA INTERPRETAR Y RESOLVER.7 Cantidades proporcionales? En la figura aparece dibujado el primer cuadrante de la circunferencia goniométrica. En ella se consideran dos ángulos y tales que la amplitud del segundo es igual a la del primero aumentada en un %. sen sen a) Halla el valor del seno de cada uno de los ángulos si º. Determina en qué porcentaje ha aumentado el seno de en relación con el de. b) En qué porcentaje aumenta el seno de si el ángulo mide º? c) Crees que los senos de los ángulos son proporcionales a las amplitudes de los mismos? a) sen sen º, sen sen (, ) sen º,77, 77, Mientras que la amplitud crece en un %, el valor del seno aumenta en un,%., b) sen sen º, sen sen (, ) sen º, El valor del seno ha aumentado en solo un,%., c) Al pasar de º a º, la amplitud ha aumentado en un %, y el seno, en un,%. Al pasar de º a º, la amplitud ha aumentado en un %, pero el seno sólo lo ha hecho en un,%. Las amplitudes no son, pues, proporcionales a los senos..7 Colores circulares La regla de la figura gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y describe una vuelta completa en minutos. La longitud de los segmentos OA y AB es de centímetros. B A A O B a) Calcula, en radianes, el ángulo descrito en un segundo. b) Halla, en centímetros cuadrados, las áreas de color gris y de color naranja que se han pintado cuando ha pasado un segundo. c) Calcula la relación de las áreas pintadas cuando ha transcurrido un segundo. Cuál es esa relación al cabo de segundos? a) En segundos describe radianes. En un segundo describe = radianes. b) Área del sector OBB cuando ha pasado segundo: O B cm. Área del sector OAA cuando ha pasado segundo: O A cm. Área de la zona gris: cm Área de la zona naranja: ( ) cm c) La relación de las áreas pintadas cuando han pasado y segundos es la misma: Zona Gris Zo na Naranja

19 AUTOEVALUACIÓN.A Epresa en grados la medida de estos ángulos. a) rad b) rad a) º rad rad b) 7º rad rad c) º rad rad c) rad.a Pasa a radianes las medidas de los siguientes ángulos. a) º b) º c) º a) rad º rad b) rad rad º c) rad rad º.A Halla las razones trigonométricas de los ángulos y. cm cm cm h h cm sen, cos, tg, sen, cos, tg,7.a Calcula la medida de los ángulos agudos del triángulo. m m m sen º sen

20 .A Halla las otras dos razones trigonométricas en cada caso. a) Si sen y º º c) Si cos y 7º b) Si tg y d) Si tg y cos ; tg cos cos ; sen a) cos cos b) cos c) sen sen d) cos sen ;tg cos cos ; sen 7.A Si el seno de un ángulo agudo vale, calcula: a) sen (º ) b) cos () c) cos (º ) d) sen ( º) cos cos cos = a) sen (º ) sen c) cos (º ) sen b) cos () cos d) sen ( º) sen.a7 Calcula los ángulos que cumplen cada una de las siguientes condiciones. a) cos, b) tg c) sen d) sen, a) º k con k Z y º k con k Z b) º k con k Z y º k con k Z c) º k con k Z y 7º k con k Z d) º k con k Z y º 7 k con k Z MATETIEMPOS El recorrido del oso MURAL DE MATEMÁTICAS Un oso camina kilómetros hacia el sur; luego gira al este y camina, gira hacia el norte y, andando otros kilómetros llega al punto de partida. Cómo es posible? Cuál es la figura que muestra el recorrido del oso? Cuánto miden sus ángulos? Polo Norte Para que el recorrido sea posible, el oso debe ser blanco y estar en el polo norte. El oso recorre el perímetro de un triángulo isósceles curvo. Dos de sus ángulos internos son de º, el otro es:,7º 7 donde 7 es el radio de la Tierra en kilómetros. km α km km 7

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