8º Grado Matemática. Teorema de Pitágoras Distancia y Punto Medio. Slide 1 / 86. Slide 2 / 86. Slide 4 / 86. Slide 3 / 86. Slide 6 / 86.

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1 Slide 1 / 86 New Jersey Center for Teaching and Learning Iniciativa de Matemática Progresiva Este material está disponible gratuitamente en y está pensado para el uso no comercial de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propósito comercial sin el consentimiento por escrito de sus propietarios. NJCTL mantiene su sitio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendizaje profesional virtual, y /o permitir a padres, estudiantes y otras personas el acceso a los materiales de los cursos. Slide 2 / 86 8º Grado Matemática Teorema de Pitágoras Distancia y Punto Medio Click para ir al sitio web: Slide 3 / 86 Slide 4 / 86 Tabla de Contenidos Teorema de Pitágoras Fórmula de Distancia Click en un tema para ir a esta sección Teorema de Pitágoras Puntos Medios Click para volver a la tabla de Contenidos Common Core Standards: 8.G.6, 8.G.7, 8.G.8 Slide 5 / 86 Slide 6 / 86 Lados de un Triángulo Rectángulo Teorema de Pitágoras a c click para revelar Hipotenusa - Opuesto al angulo recto - El mas click largo para de revelar los 3 lados Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró. Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor. Catetos click para revelar b - 2 lados que forman el ángulo recto click para revelar

2 Slide 7 / 86 Slide 8 / 86 En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). a 2 + b 2 = c 2 Cateto que falta Escribe la Ecuación a 2 + b 2 = c 2 Cliquea sobre los links de abajo para ver varias animaciones de prueba Demostración con agua 15 pies 5 pies b 2 = b 2 = b 2 = 200 Sustituye los números Eleva al cuadrado Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Mueve el cursor para mostrar c 2 Marca la Movimiento de cuadrados Slide 9 / 86 Slide 10 / 86 9 pulgadas 18 pulgadas a 2 + b 2 = c b 2 = b 2 = Cateto que falta Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada 7 pulgadas 4 pulgadas a 2 + b 2 = c = c = c 2 65 = c 2 Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrados Suma Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la b 2 = 243 Marca la Slide 11 / 86 Como usas la fórmula para encontrar los lados que faltan. Slide 12 / 86 1 Cuál es la longitud del tercer lado? Cateto que falta Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado 7 x Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la Suma Encuentra la Raíz Cuadrada Marca la 4

3 Slide 13 / 86 2 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 14 / 86 3 Cuál es la longitud del tercer lado? x 41 z Slide 15 / 86 4 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 16 / 86 Ternas Pitagóricas 3 4 x Hay combinaciones de números enteros que funcionan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiplo de una), no será necesario usar una calculadora! Slide 17 / 86 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Slide 18 / 86 5 Cuál es la longitud del tercer lado? Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan. Ternas 1 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

4 Slide 19 / 86 6 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 20 / 86 7 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 21 / 86 8 Los catetos de un triángulo rectángulo son 7.0 y 3.0, cuál es la longitud de la hipotenusa? Slide 22 / 86 9 Los catetos de un triángulo rectángulo son 2.0 y 12, cuál es la longitud de la hipotenusa? Slide 23 / 86 Slide 24 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2.5. Cuál es la longitud del otro cateto? 11 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4.5. Cuál es la longitud del otro cateto?

5 Slide 25 / 86 Corolario del Teorema de Pitágoras Si a y b son las medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c 2 = a 2 + b 2, entonces el triángulo es rectángulo Si c 2 a 2 + b 2, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo. Slide 26 / 86 Corolario del Teorema de Pitágoras En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto. Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdadera, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo.. a = 3 pies c = 5 pies b = 4 pies Slide 27 / 86 Slide 28 / 86 8 pulg. 17 pulg. 15 pulg Es un Triángulo Rectángulo? 12 Es este triángulo un triángulo rectángulo? a 2 + b 2 = c = = 289 Escribe la Ecuación Sustituye los números Eleva al cuadrado Si No 6 pies 10 pies 289 = 289 Si! Simplifica ambos lados Son iguales? 8 pies Slide 29 / 86 Slide 30 / Es este triángulo un triángulo rectángulo? 14 Es este triángulo un triángulo rectángulo? Si No 36 pies 30 pies 24 pies Si No = = = 1296 NO 8 pulgadas 10 pulgadas 12 pugadas = = = 1 NO

6 Slide 31 / Es este triángulo un triángulo rectángulo? Slide 32 / Puedes construir un triángulo rectángulo con tres tablas de madera que miden 7.5 pulgadas, 18 pulgadas y 19.5 pulgadas? Si No 5 pies 12 pies 13 pies Si Si - Terna No Pitagórica! = = = SI Slide 33 / 86 Slide 34 / 86 Trabaja con tus compañeros para completar: Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. 1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación. 2. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana. Para llegar desde la escuela secundaria a su casa, Jamal recorre 5.0 millas al este y luego 4.0 millas al norte. Cuando Sheila va a su casa desde la misma escuela secundaria, viaja 8.0 millas al este y 2.0 millas al sur. Cuál es la medida de la distancia más corta, a la décima de milla, entre la casa de Jamal y la casa de Sheila? From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, Slide 35 / 86 Trabaja con tus compañeros para completar: Un sorbete se coloca en una caja rectangular que tiene 3 pulgadas por 4 pulgadas por 8 pulgadas, como se muestra en el diagrama adjunto. Si el sorbete encaja exactamente en la caja en diagonal desde la esquina frontal inferior izquierda a la esquina superior derecha, qué longitud tene el sorbete, hasta las décimas de pulgada? Slide 36 / 86 El teorema de Pitágoras puede aplicarse a Figuras de 3 Dimensiones En esta figura: a = altura inclnada (altura de la cara triangular ) b = 1/2 de la longitud de la base (del punto medio de lado de la base hacia el centro de la base de la pirámide) h = altura de la pirámide From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, 2011.

7 Slide 37 / 86 Slide 38 / 86 Un triángulo rectángulo está formado entre tres longitudes. Si conoces dos de las medidas, puedes calcular la tercera. Encuentre la altura inclinada de la pirámide, cuya longitud de la base es de 10 cm y la altura es de 12 cm. Coloca las medidas en el diagrama. Ejemplo: Encuentre la altura inclinada de la pirámide cuya altura es de 5 cm y cuya base tiene una longitud de 8 cm Slide 39 / 86 Encuentra la longitud de la base de la pirámide, cuya altura es de 21 metros y la altura inclinada es de 29 m. Coloca las mediciones en el diagrama. Slide 40 / Los tamaños de monitores de televisión y de computadoras son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de computadora de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. Cuál es la altura de la pantalla? Slide 41 / Encuentra la altura de la pirámide, cuya longitud de la base es de 16 pulgadas y la altura inclinada es de 17 pulgadas Coloca las medidas en el diagrama. Slide 42 / Un árbol fue golpeado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol es de 8 metros y está en reposo desde la base del árbol, y aún parcialmente adjunto a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto era el árbol originalmente?

8 Slide 43 / 86 Slide 44 / Acabas de recoger una pelota en el suelo en la tercera base, y ves al jugador del otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Un diamante de béisbol es un cuadrado) 2da base 90 pies. 90 pies. 21 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, a 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos al costado de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud deberá tener la escalera para alcanzar la ventana? 3ra base 1ra base 90 pies 90 pies. Casa Slide 45 / 86 Slide 46 / Scott quiere nadar a través de un río que tiene 400 metros de ancho. Comienza a nadar perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde el punto de inicio? Dibujo Fórmula de Distancia Click para volver a la tabla de Contenidos Slide 47 / 86 Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos simplemente contando las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical Slide 48 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? La distancia entre esos dos puntos es 4 unidades. El punto más alto esta á 4 unidades por encima del punto más bajo

9 Slide 49 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 50 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 51 / 86 La mayoría de los conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo: Slide 52 / 86 Dibuja el triángulo rectángulo en torno a estos dos puntos. A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. Contando las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula usando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre dos puntos. c a b c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 25 c = 5 La distancia entre los dos puntos (2,2) y (5,6) es 5 unidades. Slide 53 / 86 Slide 54 / 86 Ejemplo: Prueba esta c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 45 c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 225 c = 15 La distancia entre los dos puntos (-3,8) y (-9,5) es de aproximadamente 6.7 unidades La distancia entre los dos puntos (-5, 5) y (7, -4) es 15 unidades.

10 Slide 55 / 86 Slide 56 / 86 Derivación de una fórmula para el cálculo de distancia... Haz un triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Marca los puntos como se muestra. Luego sustituye en la fórmula de Pitágoras d (x 1, y 1) (x 2, y 2) longitud = y 2 - y 1 longitud = x 2 - x 1 c 2 = a 2 + b 2 d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 Esta es la fórmula de la distancia ahora sustituye los valores d = (5-2) 2 + (6-2) 2 d = (3) 2 + (4) 2 d = d = 25 d = 5 Slide 57 / 86 Fórmula de Distancia Puede encontrar la distancia d entre dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2) utilizando la siguiente fórmula. Slide 58 / 86 Cuando solo damos dos puntos, usa la fórmula. Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-4, -7) Punto 2 (-5, -2) d = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 distancia en la coordenada x-. distancia en la coordenada y. Slide 59 / Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8). Redondea la respuesta a la decena más cercana. Slide 60 / Encuentra la distancia entre (-7,-2) y (11,3). Redondea la respuesta a la decena más cercana. Pista Pista

11 Slide 61 / Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). para fórmula Redondea la respuesta a la decena más cercana. Slide 62 / Encuentra la distancia entre (7,-5) y (9,-1). Redondea la respuesta a la decena más cercana Slide 63 / 86 Cómo podrías encontrar el perímetro de este rectángulo? Slide 64 / 86 Podemos contar cuántas unidades de largo tiene cada segmento es en este cuadrilátero para encontrar el perímetro? Se puede hacer una cosa o la otra; solo cuenta las unidades o encuentra la distancia entre los puntos desde los pares ordenados. D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0) D (3,3) A (0,-1) Slide 65 / 86 Puedes usar la fórmula de distancia para resolver problemas de geometría. C (9,4) B (8,0) Encuentra el perímetro de ABCD. Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las cuatro longitudes de los lados. A continuación, suma todos juntos AB = AB = BC = BC = CD = CD = DA = DA = Slide 66 / Encuentra el perímetro del EFG. Redondea la respuesta a la decena más cercana. G (1,1) F (3,4) E (7,-1)

12 Slide 67 / 86 Slide 68 / Encuentra el perímetro del cuadrado Redondea la respuesta a la decena más cercana. H (1,5) 32 Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la decena más cercana. L (1,2) M (6,2) Para Fórmula K (-1,3) I (3,3) O (0,-1) N (5,-1) J (1,1) Slide 69 / 86 Slide 70 / 86 Encuentra el punto medio de este segmento. Qué es un punto medio? Como encontraste el punto medio? Cuáles son las coordenadas del punto medio? Puntos Medios (2, 10) Click para volver a la tabla de Contenidos (2, 2) Slide 71 / 86 Encuentra el punto medio de este segmento. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? Slide 72 / 86 Encuentra el punto medio de este segmento. Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los puntos extremos? (3, 4) (9, 4) (3, 4) (9, 4) Punto medio= (6, 4) Esta es la mitad des segmento. Promedio de las coordenadas de x. Promedio de las coordenadas de y.

13 Slide 73 / 86 Slide 74 / 86 Fórmula del Punto Medio Para calcular punto medio de un segmento con los puntos extremos (x 1,y 1) y (x 2,y 2) usa la fórmula: ( x1 + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. A (2,5) B (8,1) Las coordenadas del punto medio de los ejes x e y son los promedios de las coordenadas de los puntos extremos de x e y, respectivamente. Mira la próxima página para la respuesta Slide 75 / 86 Slide 76 / 86 El punto medio de un segmento AB es el punto M de AB a medio camino entre los extremos A y B. A (2,5) M B (8,1) Usa la fórmula del punto medio: + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) ( x1 Sustituye los valores: ( ) 2 + 8, Simplifica los numeradores: 10, 6 ( 2 2 ) Escrbe las fracciones en la forma más simple: (5,3) es el punto medio de AB Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Usa la fórmula del punto medio: + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) ( x1 Sustituye los valores: , ( 2 2 ) Simplifica los numeradores: -4, 3 ( 2 2 ) Escribe las fracciones en la forma más simple: (-2,1.5) es el punto medio Slide 77 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (2,10) y (6,-4)? A (3,4) Slide 78 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (4,5) y (-2,6)? A (3,6.5) B (4,7) B (1,5.5) C (4,3) C (-1,5.5) D (1.5,3) D (1,0.5)

14 Slide 79 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (-4,-7) y (-12,2)? Slide 80 / Cuál es el punto medio del segmento que tiene puntos extremos de (10,9) y (5,3)? A (-8,-2.5) B (-4,-4.5) A (6.5,2) B (6,7.5) para respuesta C (-1,-6.5) C (7.5,6) D (-8,-4) D (15,12) para fórmula Slide 81 / 86 Slide 82 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2). 38 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-4,3) y (0,2). Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula Pitagórica B Fórmula de Distancia C Fórmula del Punto Medio D Fórmula del Área de un Círculo A (2.5,-2) B (2,2.5) C (-2,2.5) D (-1,1.5) Puesto que el centro está en el punto medio de cualquier diámetro, encontrar el punto medio de los dos puntos finales dados. para respuesta para fórmula Slide 83 / 86 Slide 84 / Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene puntos finales en (-12,10) y (2,6). A (-7,8) B (-5,8) C (5,8) D (7,8) para respuesta para fórmula Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta. Q =? M (8,1) P (8,-6) Usa la fórmula del punto medio y resuelve para el desconocido. + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) ( x1 Sustituye para fórmula Multiplica ambos lados por 2 Suma o Resta (8, 8)

15 Slide 85 / Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? Slide 86 / Si el punto M es el punto medio entre los puntost P y Q. Cuáles son las coordenadas del punto que falta? A (-13,-22) B (-8.5,-9.5) C (-4.5,-7.5) P = (-4,3) M = (-8.5,-9.5) Q =? A (1,-1) B (-13,19) C (-8,11) Q = (-6,9) M = (-7,10) P =? D (-12.5,-6.5) para respuesta D (-19,8) para respuesta para fórmula para fórmula