TEMA 6: LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

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1 TEMA 6: LA GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS PUNTOS Y RECTAS NOTABLES SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS INTRODUCCIÓN Dedicamos este tema al estudio de los polígonos más sencillos: los triángulos (polígonos de tres lados). Estos polígonos son siempre convexos y son los polígonos básicos, ya que el resto de polígonos se pueden formar componiendo triángulos y varias de las propiedades que cumplen éstos se deducen utilizando otras ya establecidas en los triángulos. Además, el triángulo es el único polígono rígido, es decir, que no se deforma al presionar sobre sus vértices o sus lados, lo que tiene importantes aplicaciones en la construcción de estructuras. En este tema se establecerá la clasificación de estos polígonos y los teoremas más importantes, aunque ya damos por sentado, puesto que se ha probado en temas anteriores, que los alumnos conocen dos teoremas importantes: El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de los dos interiores no adyacentes (δ=α+β). La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es un ángulo llano (180º ó π radianes) 1 de 14

2 2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Es evidente que la forma de los triángulos varía según sean sus lados y sus ángulos y, atendiendo a la relación de unos u otros surgen dos clasificaciones diferentes: Atendiendo a sus lados: Un triángulo con los tres lados iguales se denomina triángulo equilátero. Un triángulo con dos lados iguales y el tercero desigual se denomina triángulo isósceles. Un triángulo con los tres lados desiguales se denomina triángulo escaleno. Atendiendo a sus ángulos: Un triángulo con los tres ángulos agudos (menor que un recto) se denomina triángulo acutángulo. Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo. Un triángulo con un ángulo obtuso (mayor que un recto) se denomina triángulo obtusángulo. Propiedades: Un triángulo equilátero forzosamente es acutángulo y sus ángulos miden 60º Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Un triángulo escaleno forzosamente debe de tener los tres ángulos desiguales. Un triángulo acutángulo puede ser equilátero, isósceles o escaleno. Un triángulo rectángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno. Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno. Tarea 1: Dibuja en las casillas de la tabla siguiente, si es posible, ejemplos de triángulos que cumplan con la condición de la fila y de la columna correspondiente, una vez construidos en el geoplano. 2 de 14

3 Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Equilátero Isósceles Escaleno Tarea 2: Descomponer la siguiente figura en triángulos. Cuál es el mínimo número de triángulos necesarios? 3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES Mediatriz de un lado es la recta perpendicular al lado por su punto medio. Un triángulo cualquiera tiene tres mediatrices que se cortan en un punto común. Este punto es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo (pasa por los vértices) y se llama circuncentro. Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Un triángulo cualquiera tiene tres bisectrices que se cortan en un punto común. Este punto es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo (es tangente a los lados) y se llama incentro. Hay que hacer notar que para dibujar dicha circunferencia es necesario trazar la perpendicular a uno de los lados que pasa por el incentro, I, y tomar como radio la distancia de I al punto de corte con el lado, H. 3 de 14

4 Cada lado de un triángulo se puede considerar que es una base del mismo y la altura sobre una de sus bases es la distancia del vértice opuesto a la base. Esa distancia es la distancia mínima y se mide sobre la perpendicular a la base (a la recta que contiene a la base) que pasa por el vértice opuesto. También se considera que la altura es el segmento determinado por el vértice y la intersección de la perpendicular a la recta que contiene a la base y esta recta. Las tres rectas que contienen a las alturas se cortan en un punto que se denomina ortocentro. Mediana de un lado: es el segmento que une el punto medio del lado con el vértice opuesto. Un triángulo cualquiera tiene tres medianas que se cortan en un punto común, que se llama baricentro, B. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos congruentes (que tienen igual área, ya que la base, por ejemplo, PQ se divide en dos, PH y HQ, y la altura relativa a estas bases es la misma). Por esta razón, su baricentro es el centro de gravedad de una lámina triangular uniforme. La distancia del baricentro al vértice es el doble de la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto. Tarea 3: Recorta cuatro triángulos de papel. En el primero traza, plegando adecuadamente el papel, las mediatrices y señala su punto de corte, en el segundo las bisectrices y su punto de corte, en el tercero las rectas que contienen a las alturas y su punto de corte y en el último las medianas y su punto de corte. Dibuja las circunferencias inscrita y circunscrita donde proceda con ayuda del compás. A partir de cualquier triángulo se puede construir una circunferencia que pasa por los tres pies de las alturas (intersecciones de las rectas que contienen a las alturas con las rectas que contienen a los lados), por los tres puntos medios de los lados y por los tres puntos medios del ortocentro y cada uno de los vértices. El centro de esta circunferencia es el punto medio entre el circuncentro y el ortocentro. A esta circunferencia se la conoce como circunferencia de los nueve puntos, de Euler y de Feuerbach. Tarea 4: Dibujar la circunferencia de Euler con Geogebra y ver que sigue pasando por los nueve puntos referidos aunque el triángulo se modifique de forma dinámica. 4 de 14

5 4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Para el estudio de la semejanza de triángulos es necesario clarificar previamente qué significa la proporcionalidad en el ámbito geométrico. La razón de dos segmentos es la relación entre sus longitudes, medidas respecto a un segmento unidad, expresada en forma de cociente: a b antecendente con sec uente Una proporción es una igualdad de razones: a c = b d Las longitudes a y d se llaman extremos y las longitudes b y c se llaman medios. Dos segmentos son proporcionales a otros dos si sus longitudes forman una proporción. Teorema de Tales. Si a dos rectas r y r se les corta por un sistema de rectas paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre r son proporcionales a los segmentos determinados por los puntos correspondientes sobre r. Se entiende que dos puntos son correspondientes si pertenecen a la misma recta del sistema de paralelas. Demostración: Se considera que el alumno conoce que el área del triángulo es la mitad de la base por la altura. Ahora se van a comparar las dos razones de la izquierda. Por una parte, los antecedentes de ambas son iguales, ya que se trata del mismo triángulo y, por otra, los consecuentes también son iguales ya que el área del triángulo ACC es igual a la suma de las áreas de los triángulos ACB y CC B o bien ABC y BCC ; pero, además, el área de BCC es igual que el área de CC B porque tienen la misma base CC y la misma altura (la distancia entre las dos rectas paralelas). En consecuencia: Se puede demostrar que también se verifican otras proporcionalidades, por ejemplo: 5 de 14

6 Consecuencia: El teorema de Tales permite multiplicar y dividir segmentos (longitudes), ya que si en la proporción se supone AB=1, entonces se obtiene AC=A C /A B (AC es el cociente de A C y A B ) y A C =AC A B (A C es el producto de AC y A B ). Tarea 5: Dibuja, con ayuda del compás, la escuadra y el cartabón, el producto y el cociente de los siguientes segmentos, dado el segmento unidad u. Triángulos semejantes: Son aquellos que tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales (la misma forma aunque tengan distinto tamaño). La razón de semejanza es el valor común de los cocientes entre las longitudes de lados proporcionales. Posición de Tales: Si dos triángulos tienen un ángulo común (el ángulo mide los mismo y los lados de uno de los triángulos contienen a los del otro) y los lados opuestos a dichos ángulos son paralelos se dice que los triángulos están en posición de Tales. Teorema: Dos triángulos son semejantes si, y sólo si, pueden colocarse en posición de Tales. Demostración: Si son semejantes tienen los ángulos iguales y se puede encajar un triángulo en otro, como muestra la figura adjunta, sin más que trasladar el triángulo de manera que coincida uno de los ángulos (B A C se traslada a B A C que coincide con BAC) de manera que c y c están sobre la misma recta al igual que b y b. Además, el segmento a es paralelo al segmento 6 de 14

7 a por tener los ángulos correspondientes C B A y CBA iguales. De la misma manera, si los triángulos están en encaje de Tales los ángulos son iguales por ser o bien el mismo ángulo o ángulos correspondientes. Además, aplicando al encaje el Teorema de Tales se obtiene que c b c = ó = bb c b c Si el encaje se realiza trasladando otro ángulo (se ha visto que todos son iguales), por ejemplo el ángulo A C B, se obtiene: a b a = ó = bb a b a Por lo que finalmente se obtiene que los lados son proporcionales: c b a = = c b a De esta manera está probado que la posición de Tales equivale a la semejanza. Criterios de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones: a) Tienen dos ángulos iguales. b) Tienen los tres lados proporcionales. c) Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. 5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS En todo triángulo se cumple que la suma de dos lados es mayor que el tercero y la diferencia entre dos lados es menor que el tercero: a+b>c; a+c>b; b+c>a; a-b<c; a-c>b y b-c>a (suponiendo a b c) Un triángulo queda determinado y, por tanto, se puede construir conociendo: Los tres lados; dos lados y un ángulo, comprendido entre sus lados o no, dos ángulos y un lado, comprendido entre los lados o no. Dependiendo de los datos dados, puede haber una única solución, dos o ninguna. Sin embargo, los tres ángulos no determinan un único triángulo porque no queda fijado el tamaño. 7 de 14

8 Tarea 6: Construir, con geogebra un triángulos conocidos: a) los tres lados; b) dos lados y el ángulo comprendido; c) dos lados y uno de los ángulos no comprendidos entre los dos. Mover las figuras y establecer cuándo se pueden construir y cuándo no. 6. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Teorema del cateto. En un triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de aquel sobre ésta. a c = c p a b = b q 8 de 14

9 Demostración: A partir del triángulo rectángulo de partida, ABC, de catetos b y c e hipotenusa a, se han construido otros dos trazando por el vértice A del ángulo recto la perpendicular a la hipotenusa: BHA, de lados p, h y c, y AHC de lados q, b y h (p es la proyección de c sobre a y q es la proyección de b sobre a). Estos dos triángulos vuelven a ser rectángulos porque AH es perpendicular a BC y, además son semejantes al triángulo de partida por tener los tres ángulos iguales. BHA es semejante a ABC porque ambos son rectángulos y tienen un ángulo común, el que tiene por vértice B. Por tanto, el tercer ángulo también debe ser igual y, en suma son semejantes. Por consiguiente: Con el triángulo de la derecha, AHC, se procede igual y se obtiene: Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que aquella divide a ésta. Demostración: Siguiendo la discusión sobre la figura anterior, como BHA y AHC son semejantes a ABC, son semejantes entre sí y, por tanto: Comentario: Este teorema permite efectuar raíces cuadradas de forma gráfica (h 2 =p q, por lo que h es la raíz de p q). Para ello se escribe el radicando como producto de dos factores, p y q, y se dibuja el triángulo rectángulo correspondiente de hipotenusa p+q, trazando la semicircunferencia con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de la longitud de la misma, se traza la perpendicular que pasa por el punto que divide a la hipotenusa en p y q y la altura buscada es la distancia de este punto al punto de corte de la perpendicular y la semicircunferencia. 9 de 14

10 Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Demostración: De las innumerables demostraciones que existen de este teorema, aquí vamos a establecer dos: una aplicando el teorema del cateto y otra combinando el cuadrado de un binomio con cuadrados encajados. Primera prueba: Del teorema del cateto: c 2 =ap y b 2 =aq. Sumando ambas igualdades: c 2 +b 2 = ap+aq=a(p+q)=a a=a 2. Segunda prueba: El cuadrado del binomio b+c, (b+c) 2 =b 2 +c 2 +2bc también expresa el área de un cuadrado de lado b+c. Por otra parte el área de este cuadrado también es igual al área del cuadrado de lado a más el área de los cuatro triángulos rectángulos de catetos b y c. Por tanto, b 2 +c 2 +2bc=a 2 +4b c/2=a 2 +2bc. Por tanto, a 2 =b 2 +c 2. Tarea 7: Buscar en la siguiente dirección web un puzzle pitagórico (las piezas de los cuadrados sobre los catetos deben encajar en el cuadrado sobre la hipotenusa) y construirlo en cartulina, cartón o goma EVA, dibujando previamente el modelo con regla y compás (puedes mover los vértices del triángulos para ver cómo se hace la construcción): Teorema de Pitágoras generalizado: En un triángulo cualquiera, el cuadrado de uno de sus lados es la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (menos) el doble producto de uno de estos lados multiplicado por la proyección del otro sobre el cuando el ángulo opuesto al primer lado es obtuso (es agudo). En las figuras adjuntas, a 2 =b 2 +c 2 +2b proy b (c) (a 2 =b 2 +c 2-2b proy b (c).) 10 de 14

11 Demostración: Trazando la altura CH sobre el lado b, se tiene: Para el ángulo obtuso: a 2 = AH 2 +CH 2 = (b+bh) 2 +CH 2 = b 2 +2bBH+BH 2 +CH 2 = = b 2 +2bBH+BH 2 +CH 2 = b 2 +2bBH+BC 2 = b 2 +2bBH + c 2 = = b 2 +2bBH + c 2 = b 2 +c 2 +2b proy b (c) Para el ángulo agudo: a 2 = AH 2 +CH 2 = (b-bh) 2 +CH 2 = b 2-2bBH+BH 2 +CH 2 = = b 2-2bBH+BH 2 +CH 2 = b 2-2bBH+ c 2 = = b 2-2bBH+ c 2 = b 2 +c 2-2b proy b (c) Consecuencia: Si a 2 =b 2 +c 2 entonces el triángulo es rectángulo (y el ángulo recto es el opuesto al lado a) ya que la igualdad implica que necesariamente proy b (c)=0 y eso ocurre sólo si el segmento c es perpendicular a b, es decir, si b y c son los catetos de un triángulo rectángulo. Tarea: Resolver individualmente los siguientes problemas. 1. En un triángulo, el menor de sus ángulos es la tercera parte del mayor y el mediano es la semisuma de los otros dos. Halla los ángulos del mismo. 2. Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que A ˆ = 3B ˆ y C ˆ = 45º. 3. En una circunferencia de 7 cm de radio dibujamos una cuerda de 7 cm. Qué ángulo central corresponde a dicha cuerda? 4. En el cuadrado de la derecha se construyen 4 triángulos, uno equilátero y los otros tres isósceles, tal y como se indica en la figura. Calcula la medida del ángulo x. 5. Cuánto mide el menor de los ángulos formados por las bisectrices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo al cortarse? 6. En un pueblo hay tres colegios no alineados. El Ayuntamiento ha decidido construir un centro cultural a igual distancia de los tres. Esquematiza la situación y explica al Ayuntamiento dónde debe ubicar el centro cultural para que se cumpla el requisito pedido. 11 de 14

12 7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 50 cm y la diferencia de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es de 14cm. Cuánto miden los catetos? 8. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 50 cm y uno de los catetos 30 cm. Calcula el perímetro de los dos triángulos obtenidos al trazar la altura sobre la hipotenusa. 9. En el hexágono regular de la figura, calcula la longitud del lado del triángulo equilátero sombreado. 10 cm. 10. Dos circunferencias cuyos centros distan 15 m tienen radios de medida 8m y 3m respectivamente. Cuál es la posición de esas dos circunferencias? Se traza una tangente común de dichas circunferencias. Halla la distancia entre los puntos de tangencia. 11. En un triángulo escaleno ABC se traza una de las medianas, dividiendo el triángulo de partida en otros dos triángulos. Contesta de manera razonada a las siguientes cuestiones: a) Queda dividido ABC en dos triángulos iguales? b) Existe alguna relación entre los perímetros de los dos triángulos obtenidos? c) Queda dividido ABC en dos triángulos semejantes? 12. Halla la altura de un triángulo equilátero sabiendo que la suma de sus lados es 15 cm. 13. Calcula la medida de los lados de los triángulos que aparecen en el cuadrado de la derecha. Qué tipo de triángulos son según sus ángulos? 14. En la figura de la derecha, se conocen los siguientes datos: OA = 2 cm, AB = 3 cm y OC = 3 5 cm. Calcula la longitud del segmento OD. 15. Una vara de 80 cm proyecta una sombra de 1,4 m. Qué sombra proyectará a la misma hora un poste de telefonía de 3,4 m? 16. Divide gráficamente un segmento de veinte unidades en partes proporcionales a 4 y 5 unidades. 17. Resuelve gráficamente las siguientes ecuaciones: 12 de 14

13 x = ; = 5 x x Averigua el valor de x e y en la siguiente figura. 19. Calcula el diámetro del Sol sabiendo que en una cámara oscura el rayo debe recorrer 1,8 m para producir una mancha de 1,7 cm, y que el rayo recorre una unidad astronómica desde cada extremo del diámetro del Sol hasta la abertura de la cámara oscura. Dato: 1 UA = Km. 1,8 m 20. Comprueba que los dos triángulos siguientes son semejantes y calcula las medidas desconocidas: 21. Construye un triángulo del que se conocen el lado a=8cm y los ángulos A=70º y C=80º. 22. Utilizando únicamente como instrumentos de dibujo la regla y el compás y explicando los pasos que se vayan realizando en la construcción, dibuja un triángulo ABC tal que el lado AB mida 8cm, el ángulo A mida 60º y la altura sobre el lado AB mida 5cm. 23. Utilizando únicamente como instrumentos de dibujo la regla y el compás (no transportador) y explicando los pasos que se vayan realizando en la construcción, dibuja un triángulo rectángulo ABC que tenga un ángulo de 30º y cuya hipotenusa mida 8cm. 13 de 14

14 24. Dibuja a tamaño real (suponiendo que pueda hacerse), utilizando únicamente regla y compás y explicando los pasos que se vayan siguiendo un triángulo rectángulo e isósceles cuya hipotenusa mida 11cm. 25. Dibuja un triángulo tal que el lado a = 7cm, el ángulo B valga π/9 radianes y la mediana correspondiente al lado a mida 6 cm. 14 de 14