G = 6' N.m 2 /kg 2

Transcripción

1 Demostrar que el campo gravitatorio es un campo conservativo. Un campo es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una masa de un punto a otro es independiente del camino recorrido, sólo depende de la posición inicial y la final. Sean una masa M que crea un campo gravitatorio a su alrededor y una masa m afectada por el campo anterior que se traslada desde el punto A al punto B. Consideremos el camino que pasa por el punto C, perteneciente al arco de circunferencia de radio r A. El trabajo para ir de A a B pasando por C será: calculemos ahora el trabajo desde A hasta B por el camino que pasa por el punto D perteneciente al arco de circunferencia de radio r B Es decir el trabajo no depende del camino elegido, solo depende de la posición inicial y final, por tanto el campo gravitatorio es conservativo. Dos masas de dos y cuatro millones de kilos están separadas 7 Km. Determinar el campo y el potencial en un punto que dista 4 Km de la masa menor y 7 Km de la otra. Aplicando el teorema del coseno al triángulo formado por las masas y el punto determinamos el ángulo w que nos hará falta para sumar los vectores campo: 7 = cos w cos w = - 0' w = 101'54º La intensidad del campo creado por una masa es: g = G. M / r La intensidad del campo que crea la masa de Mkg será: g = 6' / 4000 = 0' m/s La intensidad del campo que crea la masa de 4 Mkg será: g 4 = 6' / 5000 = 1' m/s La intensidad total será la suma de los dos vectores, que forman un ángulo w =101'54º g = [ g + g 4 -. g.g 4. cos w ] 1/ = [ 0' ' ' '067.cos 78'46º ] 1/ = 1' m/s El potencial es una magnitud escalar y su valor es: V = - G. M / r V = V + V 4 = - 6' / ' / 5000 = 8' J/kg

2 Determinar la variación de la energía potencial de la luna, correspondiente a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra, entre las posiciones de eclipse de Sol y eclipse de Luna, suponiendo que las órbitas son circulares y coplanarias. Datos: Radio de la órbita terrestre = 1' m Masa de la Luna = 7'35.10 kg Radio de la órbita lunar = 3' m Masa del Sol = 1' Kg G = 6' N.m /kg Solución: Las situaciones de eclipse de Sol se corresponde con la posición de la Luna en el punto A del dibujo, y la del eclipse lunar a la posición de la Luna en el punto B: En el eclipse de Sol, la Luna está a una distancia del Sol igual a d - r En el eclipse de Luna, la Luna esta a una distancia del Sol igual a d + r En ambos casos la Luna está a una distancia de la Tierra igual a r La energía potencial de un objeto situado en un punto de un campo gravitatorio es igual al producto de su masa por el potencial gravitatorio del punto. El potencial gravitatorio en un punto es igual a la suma escalar de los potenciales gravitatorios creados por las distintas masas que crean el campo. V A = V A,Sol + V A,Tierra = - G. M Sol / (d - r) - G. M Tierra / r V B = V B,Sol + V B,Tierra = - G. M Sol / (d + r) - G. M Tierra / r V B - V A = [ - G. M Sol / (d + r) - G. M Tierra / r] - [ - G. M Sol / (d - r) - G. M Tierra / r] V B - V A = - G. M Sol / (d + r) + G. M Sol / (d - r) = G. M Sol.[ 1 /(d - r) - 1 /(d + r) ] d - r = 1' ' = 1' , d + r = 1' V B - V A = 6' ' [ 1 / 1' / 1' ] = 4' J/kg La variación de energía potencial de la Luna entre las dos posiciones será igual a la masa de la Luna por la diferencia de potencial entre los puntos: Ep B - Ep A = M Luna. ( V B - V A ) = 7' ' = 3' Julios

3 En tres vértices de un cuadrado de 5 m de lado se disponen sendas masas de 1 Kg. Determinar el campo gravitatorio en el cuarto vértice y el trabajo realizado por el campo para trasladar una masa de 1 Kg desde el cuarto vértice hasta el centro. El campo gravitatorio en el cuarto vértice será la suma vectorial de los campos creados por cada vértice masivo. Por ser un cuadrado y las masas de los vértices iguales los campos g 1 y g serán iguales y su suma vectorial tendrá por dirección la diagonal del cuadrado: El trabajo para trasladar una masa de un punto a otro será la masa por la diferencia de potencial entre los puntos. W 4 c = m.(v 4 - V c ) = 1.(- 4' ' ) = ' Julios Cuatro masa iguales de 1 Kg están situadas en los vértices de un cuadrado de m de lado. Calcular el campo gravitatorio en el centro del cuadrado, la fuerza gravitatoria que experimenta cada masa y su energía potencial, debido a las otras tres. Al ser un cuadrado y al ser las masas en los vértices iguales, la intensidad del campo gravitatorio que crea cada una en el centro son iguales y forman entre sí 90º, por lo que la suma vectorial o intensidad total del campo gravitatorio dará cero. El campo gravitatorio en un vértice debido a los otros tres será la suma vectorial de los campos creados por cada vértice masivo. Por ser un cuadrado y las masas de los vértices iguales los campos g 1 y g serán iguales y su suma vectorial tendrá por dirección la diagonal del cuadrado, al igual que la fuerza gravitatoria: Por simetría, la fuerza sobre cada vértice masivo será la misma. La energía potencial en un vértice masivo debido a los tres será: La energía potencial de los otros vértices masivos será igual por simetría.

4 Dos masas puntuales de 10 Kg están separadas una distancia de 48 cm. Una tercera masa de 100 gr se deja en reposo en el punto A, situado en la mediatriz del segmento anterior y a 18 cm del punto medio O. Determinar la aceleración de esta masa y su velocidad al llegar al punto medio. Por simetría, las componentes g y de los campos gravitatorios son iguales y opuestas, por lo que se anulan. el signo negativo se debe a que la aceleración es opuesta a la posición. La aceleración pasa de tener un valor inicial de 8' m/s en el punto inicial, a un valor nulo en el punto medio. Para determinar la velocidad en el punto medio basta con tener en cuenta que en todo campo conservativo la energía mecánica permanece constante: Otra forma de calcular la velocidad es integrando la ecuación diferencial del movimiento:

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6 a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de mesa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. A qué conclusión llegas? b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp. Cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna? Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna. La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres. E1 radio de la Luna es 0,7 veces el radio de la Tierra. Solución: El valor de la fuerza de atracción de la Luna sobre un cuerpo situado en la superficie de la Tierra es máximo cuando el cuerpo se encuentra en el segmento que une los centros de ambos cuerpos celestes: F T = G. m. M T / R T F L = G. m. M L / (d - R T ) F T / F L = [G. m. M T / R T ] / [ G. m. M L / (d - R T ) ] = M T. ( d - R T ) / ( M L. R T ) pero: M T = 81. M L, d = 60. R T F T / F L = 81. M L. ( 60. R T - R T ) / ( M L. R T ) = = La fuerza que ejerce la Tierra es una 8 mil veces la que ejerce la Luna, por lo que ésta puede considerarse despreciable. El peso de un cuerpo en la superficie terrestre es: p T = G. m. M T / R T El peso de un cuerpo en la superficie lunar es: p L = G. m. M L / R L por lo que: p L = p T. R T. M L / ( M T. R L ) = p T. R T. M L / [ 81. M L. (0'7.R T ) ] = p T / ( 81. 0'7 ) = p T / 5'9 en este caso: p L = 100 / 5'9 = 16'94 Kp Aproximadamente el peso de un cuerpo en la superficie lunar es la sexta parte de su peso en la superficie terrestre.

7 Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de 100 km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite. b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita. Datos: Constante de Gravitación G = 6,67x l0-11 N m kg - Masa de la Tierra M T = 5,98x 10 4 kg Radio medio de la Tienta R T = 6,37x 10 6 m Solución: El campo gravitatorio que crea a su alrededor una masa esférica es como si la masa estuviera concentrada en el centro. El aumento de energía potencial del satélite es la diferencia entre la Energía potencial en la órbita y la Energía potencial en la superficie terrestre: Ep(B) - Ep(A) = G. m. M. ( 1 / r A - 1 / r B ) Ep(B) - Ep(A) = - G. m. M / r B - ( - G. m. M / r A ) Ep(B) - Ep(A) = 6' ' ( 1 / 6' / (6'37 + 1').10 6 ) = 5' Julios Para que el satélite se escape desde esa posición necesita una energía que es la diferencia de energías entre el infinito y esa órbita: Em(infinito) - Em(órbita) = 0 - Em(órbita) = - Em(órbita) = - (- 1/. G. m. M / r ) = 1/. G. m. M / r = 1' Julios