Guía Gravitación y Leyes de Kepler.

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1 Guía Gravitación y Leyes de Kepler. Leyes de Kepler Johannes Kepler, trabajando con datos cuidadosamente recogidos por ycho Brahe y sin la ayuda de un telescopio, desarrolló tres leyes que describen la cinemática del movimiento los planetas alrededor del Sol: ˆ Primera ley o Ley de las órbitas : odos los planetas se desplazan alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos de la elipse. Figure 1 En la figura 1, p y a corresponden a las distancias entre el planeta y el Sol, siendo p la distancia en su punto más cercano (perihelio) y a en la zona más alejada a la estrella (afelio). ˆ Segunda ley o Ley de las áreas : La línea que une un planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales. La ley de las áreas es equivalente a la conservación del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). ˆ ercera ley o Ley de los periodos : Para cualquier planeta, el cuadrado del periodo de revolución es proporcional al cubo de su distancia media al Sol, esto es: 1

2 = C 3 Con C una constante que esta dada por C = 4π GM, donde G es la llamada [ constante de gravitación universal, cuyo valor en el sistema internacional de medida es G = 6, Nm ]. Así la expresión para la tercera ley de Kepler corresponde a Ley de gravitación universal = 4π 3 GM Considérese un cuerpo que se mueve alrededor del sol con órbita circular de radio, su aceleración estará dada por a = v Donde v corresponde a la velocidad tangencial del cuerpo que describe una órbita circular y corresponde a v = πr eemplazando en la expresión de la aceleración escrita más arriba, se obtiene la igualdad a = 4π A partir de la ley de los periodos de Kepler se tiene una expresión para, reemplazando en la ecuación anterior se obtiene a = 4π C 3 = 4π C Se tiene entonces que la aceleración, y por tanto la fuerza, varía con el inverso del cuadrado de la distancia. Newton dedujo que las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos deberían ser proporcionales a las masas de los cuerpos. Dado que un cuerpo de masa M que experimenta una fuerza F, acelera a razón F M, una fuerza proporcional a M sería consistente con las observaciones de Galileo de que todos los cuerpos, independientemente de su masa, aceleran bajo la gravedad con la misma magnitud. Así, la teoría gravitacional de Newton o ley de gravitación universal establece que F 1, = G m 1m ( 1, ) Donde F 1, es la magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa entre los dos cuerpos de masas m 1 y m separadas por una distancia 1,, y G es la constante de gravitación universal.

3 Problema 1 En el trayecto a la Luna los astronautas del Apolo alcanzaron un punto donde la atracción gravitacional de la Luna es más intensa que la de la ierra. Si se sabe que Luna =, [s], ierra = 3, [s], M ierra = 5, [], M Luna = 7, []. a) Determine la distancia de este punto desde el centro de la ierra. b) Cuál es la aceleración debido a la gravedad terrestre en este punto? En primer lugar se realiza un diagrama con la información dada por el ejercicio, donde Q corresponde al punto donde la atracción gravitacional de la Luna es más intensa que la de la ierra: A partir de la tercera ley de Kepler, se tiene: Figure Despejando de la ecuación (1.1) se obtiene la expresión Luna = 4π 3 GM ierra (1.1) Evaluando se obtiene: = 3 GM ierra Luna 4π (1.) [ ] (6, Nm )(5, [])(, [s]) = 4π = 3, [m] (1.3) Por otra parte, la aceleración de gravedad en el punto Q, tanto por la presencia de la ierra, como de la Luna, debe ser igual. Siendo x la distancia desde el centro de la ierra al punto Q, se tiene la relación: GM ierra x = GM Luna ( x) (1.4) 3

4 Despejando x: M ierra x = M Luna ( x) ( x) = M Luna x x x De (1.5) se obtienen dos soluciones para x: = ± x = ± x = M ierra MLuna M ierra MLuna M ierra + 1 ± M ierra ± M Luna ± M ierra (1.5) x + = x = M ierra MLuna + = 3, [m] (1.6) M ierra M ierra MLuna M ierra = M ierra M Luna + = 4, [m] (1.7) M ierra Luego la distancia x entre el centro de la ierra y el punto Q no puede ser mayor que la distancia entre la ierra y la Luna, por lo que se descarta la solución x. Así la aceleración debido a la gravedad terrestre en el punto Q corresponde a: Problema [ ] g = M (5, ierrag 4 [])(6, Nm ) x = (3, [m]) = 3, [m/s ] (1.8) El sistema binario de Plaskett se compone de dos estrellas que giran en una órbita circular en torno de un centro de gravedad situado a la mitad de la distancia entre ellas. Esto significa que la masa de las dos estrellas son iguales. Si la velocidad orbital de cada estrella es de 0[Km/s] y el periodo orbital de cada una es de 14, 4[dias], calcule la masa M de cada estrella. esulta conveniente trabajar los datos en el sistema internacional de medidas, por lo que se debe transformar el periodo orbital a segundos, y la velocidad de las estrellas a m/s: [ ] s = 14, 4[dias] = 1, [s] 1 dia [ ] [ ] Km 1000 m v = 0 =, [m/s] s 1 Km 4

5 Figure 3 Se tiene que la velocidad tangencial está dada por: v = π (.1) De (.1) se despeja la expresión para el radio, obteniendo = v π = (, [m/s])(1, [s]) = 4, [m] (.) π Para encontrar una expresión para el sistema binario Plaskett, consideremos la tercera ley de Kepler: De donde se obtiene = 4π 3 GM P laskett (.3) Evaluando (.4) con los datos del problema M P laskett = 4π 3 G (.4) 4π (4, [m]) 3 M P laskett = (6, [ Nm ])(1, [s]) = 3, [] (.5) Luego, como se trata de un sistema binario, compuesto por dos estrellas de masas iguales, la masa de cada una de ellas está dada por: M estrella = M P laskett = 3, [] = 1, [] (.6) 5

6 Problema 3 Se sabe que las masas de la Luna, la ierra y el Sol, son aproximadamente 7, 3 10 []; 5, [] y 1, [], respectivamente. La distancia promedio entre el centro de la Luna y la ierra es 3, [Km]; además, la distancia promedio desde la ierra al Sol es 1, [Km]. Usando a tercera ley de Kepler, determinar los periodos orbitales de la Luna y la ierra expresados en días y segundos. Primero se determinará el periodo para el caso de la Luna, para lo cual se considera la ierra en reposo, por lo que al aplicar la tercera ley de Kepler, se tiene: = 4π 3 4π 3 (3.1) GM ierra GM ierra [ Donde = 3, [m], M ierra = 5, [] y G = 6, Nm ]. Por lo que reemplazando: 4π = (3, [m]) 3 [ =, (6, Nm ])(5, 6 [s] (3.) []) Luego, realizando la conversión de unidades para expresarlo en días, se tiene: [ ] 1 dia, [s] = 7, 43[dias] (3.3) s Sin embargo, es relevante destacar que tanto la Luna como la ierra, describen órbitas aproximadamente circulares en torno al centro de masa entre ambos cuerpos, por lo tanto, M estaría comprendida por la suma de la masa de la Luna (M L ) y la masa de la ierra (M ), es decir, en base a lo mencionado se tiene que: Por lo que, a partir de la tercera ley de Kepler: M = M L + M 4π = 3 GM = 4π 3 G(M L + M ) 4π = (3, [m]) 3 [ (6, Nm ])(5, [] + 7, 3 10 []) (3.4) (3.5) =, [s] = 7, 0[dias] (3.6) Cabe destacar que ninguno de los dos cálculos puede ser considerado exacto, ya que el movimiento de la Luna es mucho más complejo que una órbita circular. En el caso de la ierra, tenemos que = 1, [m]; M S = 1, [] 6

7 = 4π 3 GM S = 4π (1, [m]) [ 3 (6, Nm ])(1, []) Luego realizando la conversión de unidades para expresarlo en días, se tiene: = 3, [s] (3.7) [ ] 1 dia 3, [s] = 365, 046[dias] (3.8) s Este resultado es posible corroborarlo, debido a que la ierra demora un año, es decir 365 días, en darle vuelta al Sol. Problema 4 Durante un eclipse solar la Luna, la ierra y el Sol se encuentran en la misma línea, con el satélite terrestre entre la ierra y el Sol. Si se sabe que Luna =, [s]; ierra = 3, [s]; M Sol = 1, []; M ierra = 5, []; M Luna = 7, []. a) Qué fuerza ejerce el Sol sobre la Luna? b) Qué fuerza ejerce la ierra sobre la Luna? c) Qué fuerza ejerce el Sol sobre la ierra? En primer lugar se realiza un diagrama para ayudar a ordenar la información provista por el enunciado Figure 4 Se tiene que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos está dada por la expresión descrita en la introducción, por lo que es necesario determinar la distancia entre los cuerpos. Para ello consideramos la tercera ley de Kepler, donde se tienen las siguientes expresiones para el periodo de la Luna y de la ierra, respectivamente: 7

8 ierra = 4π 3 1 GM Sol (4.1) Luna = 4π 3 GM ierra (4.) Donde 1 corresponde a la distancia entre el Sol y la ierra, y es la distancia entre la Luna y la ierra. Despejando 1 y de ambas expresiones, se consiguen las expresiones (4.3) y(4.4) que nos ayudan a encontrar las distancias desconocidas Al evaluar los valores conocidos, 1 y resultan 1 = 3 ierra GM Sol 4π (4.3) = 3 Luna GM ierra 4π (4.4) 1 = 1, [m] = 3, [m] Conociendo las distancias, se puede proceder a calcular las fuerzas entre los pares de cuerpos celestes: ˆ Fuerza ejercida por el Sol sobre la Luna F S,L = GM SolM Luna ( 1 ) = ˆ Fuerza ejercida por la ierra sobre la Luna F,L = GM ierramluna ˆ Fuerza ejercida por el Sol sobre la ierra F S, = GM SolM ierra 1 = (6, [ Nm ])(1, [])(7, []) (1, [m] 3, [m]) = 4, [N] (4.5) = (6, [ Nm ])(5, [])(7, []) (3, [m]) = 1, [N] (4.6) (6, [ Nm ])(1, [])(5, []) (1, [m]) = 3, [N] (4.7) 8

9 Problema 5 Los satélites geosíncronos orbitan la ierra a 4.000[Km] desde el centro de esta. Su velocidad angular en esta altura es la misma que la velocidad rotacional de la ierra, razón por la cual parecen estacionarios en el cielo Cuál es la fuerza que actúa sobre un satélite de 1000[] a esta altura?. A partir de la fórmula de Ley de Gravitación, se tiene: F = GM ierram Satelite (5.1) [ ] 6, Nm (5, [])( []) = (4, [m]) = 6, 11[N] (5.) La fuerza que actúa sobre un satélite de 1000[] a esta altura es 6, 11[N]. Problema 6 Io, un pequeña Luna de Júpiter, tiene un periodo orbital de 1, 770[dias] y un radio orbital de 4, [Km]. De acuerdo con estos datos, determine la masa de Júpiter. Se realiza la transformación de unidades al periodo orbital que es entregado en días. Luego, para en segundos se debe 1, 770[dias] Por otra parte, a partir de la tercera ley de Kepler, se tiene que: [ ] s = 1, [s] (6.1) 1 dia Se despeja M J de (6.) y se tiene la expresión = 4π 3 GM J (6.) Así, evaluando en (6.3) se determina que la masa de Júpiter M J = 4π (4, [m]) 3 M J = 4π 3 G (6.3) [ ] = 1, [] (6.4) (6, Nm )(1, [s]) 9

10 Problema 7 Marte es el cuarto planeta del Sistema Solar, su masa es una décima parte de la masa de la ierra, y forma parte de los llamados planetas telúricos. El planeta rojo posee dos satélites: Deimos y Fobos. Este último posee un periodo de 7 horas y 39 minutos, con una órbita de 9, [m] de radio. Determine la masa de Marte, la velocidad orbital del satélite y número de vueltas que da Fobos a Marte por día terrestre (4 horas). Se sabe que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza centrípeta del satélite, es decir: De (7.) se despeja v : M Marte M Satelite G F g = F c (7.1) = M Satelite v (7.) Además se tiene v = M MarteG (7.3) v = π ( ) π v = (7.4) Luego, igualando (7.3) y (7.4) M Marte G ( ) π = (7.5) Despejando M Marte M Marte = 4π G (7.6) El periodo expresado en segundos corresponde a =, [s]. Evaluando (7.6) con los datos dados en el enunciado y el periodo recién calculado Enseguida de (7.4) 4π (9, [m]) 3 M Marte = [ = 6, (6, ])(, 3 [] (7.7) [s]) Nm v = π(9, ), [s] =, (7.8) 10

11 Por regla de tres simple se establece 1[rev], [s] x 8, [s] x = 3, 137[rev] (7.9) De esta forma se tiene que Fobos de 3, 137 vueltas a Marte por cada día terrestre. Problema 8 Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad constante en la dirección x una distancia b de dicho eje (ver figura). Demuestre que la segunda ley de Kepler se satisface mostrando que los dos triángulos sombreados en la figura tienen la misma área cuando t 4 t 3 = t t 1. Figure 5 Se determinan las áreas, donde la A 1 corresponde al área de la izquierda de la figura, y por ende A el área de la derecha, luego como son triángulos, se calcula como el semiproducto de la base por la altura, lo que es posible verlo a continuación: Por lo que igualando las áreas, se tiene: A 1 = 1 b(t t 1 ) (8.1) A = 1 b(t 4 t 3 ) (8.) 1 b(t t 1 ) = 1 b(t 4 t 3 ) (8.3) 11

12 Finalmente, como t 4 t 3 = t t 1, se demuestra que A 1 = A, cumpliendo efectivamente la segunda ley de Kepler que establece que la línea que une un planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales. Problema 9 La ierra en su perihelio está a una distancia de 147 millones de kilómetros del Sol y lleva una velocidad de 30, 3[Km/s]. Cuál es la velocidad en [Km/h] de la ierra en su afelio, si dista 15 millones de kilómetros del Sol? A partir de la segunda ley de Kepler, se sabe que el momento angular de la ierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria, es decir, este será igual en el perihelio y en el afelio, lo que se muestra a continuación: Al reemplazar r perihelio m v perihelio = r afelio m v afelio (9.1) r perihelio v perihelio = r afelio v afelio (9.) [ ] Km ( [Km])(30, 3 ) = ( [Km]) v afelio (9.3) s = v afelio = ( [Km])(30, 3 [ ] Km [ ] s ) Km ( = 9, 3 [Km]) s (9.4) Ya que se solicita que la velocidad esté expresada en kilómetros por hora, se realiza la conversión: [ ] [ ] [ ] Km 3600 s Km v afelio = 9, 3 = s 1 h h (9.5) Problema 10 Se sabe que el radio de la ierra es de 6370[Km] y por otra parte, se tiene que la estación espacial internacional (ISS), gira en una órbita situada a una distancia media de 400[Km] sobre la superficie de la ierra. Con esta información determinar: a) Velocidad orbital. b) El periodo en horas. c) Número de vueltas que da la ISS a la ierra por día. 1

13 Se sabe que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza centrípeta del satélite, es decir: F g = F c (10.1) M ierra M Satelite G = M Satelite v (10.) = v = M ierra G M ierra G v = Donde equivale a la suma del radio de la ierra más la altura donde se sitúa el satélite, es decir (10.3) (10.4) = ierra + h (10.5) = 6370[Km] + 400[Km] (10.6) = 6, [Km] = 6, [m] (10.7) Evaluando en la expresión hallada para la velocidad: M ierra G v = [ (5, [])(6, = (6, [m]) Nm ]) [ = 7, m ] s (10.8) (10.9) Por otra parte, se determina el periodo de la estación espacial internacional haciendo uso de la expresión para la velocidad v = π (10.10) = π v ealizando la transformación a horas, se tiene: Por regla de tres simple, se tiene = π(6, [m]) (7, [ ] 3 m = 5, [s] (10.11) s ) [ ] 1 h = 5, [s] = 1, 54[h] (10.1) 3600 s 13

14 1[rev] 5, [s] x 86400[s] x = 15, 6[rev] (10.13) Finalmente, la estación espacial internacional da 15, 6 vueltas a la ierra por día. Problema 11 Dos planetas X y Y viajan en órbitas circulares en dirección contraria a las de las manecillas del reloj en torno de una estrella, como muestra la figura 6 adjunta. Los radios de sus órbita están en la proporción 3:1. En cierto momento están alineados, como se muestra en (a), formando una línea recta con la estrella. Cinco años después, el planeta X ha girado 90 como en la figura (b) Dónde está el planeta Y en ese momento?. Figure 6 A partir de la tercer ley de Kepler para los dos planetas, se tiene: X = Y = 4π 3 X G M estrella (11.1) 4π 3 Y G M estrella (11.) Con la información que entrega el ejercicio se sabe que la relación entre los radios de sus órbitas están en proporción 3 : 1, lo que se expresa de la siguiente forma: eemplazando en (11.1): X = 3 (11.3) Y 1 X = 3 Y (11.4) 14

15 X = 4π (3 Y ) 3 G M estrella 4π = X G M estrella (3 Y ) 3 (11.5) Y = 4π Y 3 G M estrella 4π = Y G M estrella Y 3 (11.6) Igualando (11.5) y (11.6) se obtiene: X (3 Y ) 3 = Y 3 Y (11.7) X = (3 Y ) 3 Y 3 Y X = 3 3 Y Y = 3 9 X (11.8) Por otro lado se sabe que tarda 5 años en un cuarto de periodo del planeta x, es decir π/ radianes: π X π rad 5 anos X = 5 π π = 0[anos] (11.9) [rad] ransformando el resultado obtenido a segundos se tiene: [ ] [ ] 365 dias s X = 0[anos] = 6, [s] (11.10) 1 ano 1 dia Finalmente: 1[rev] 3 Y = 9 6, [s] x 1, [s] Es decir, el planeta Y habrá completado 1, 3 revoluciones en ese momento. x = 1, 3[rev] (11.11) 15

16 Problema 1 Un satélite síncrono, que se mantiene siempre en el mismo punto sobre un ecuador planetario, se pone en órbita alrededor de Júpiter para estudiar la famosa mancha roja. Júpiter gira una vez cada 9, 9[h]. Si se sabe que la masa de Júpiter es 1, [], encuentre la altura del satélite. Se tiene que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza centrípeta del satélite, es decir: F g = F c (1.1) M Jupiter M Satelite G = M Satelite v (1.) Además = v = M Jupiter G (1.3) eemplazando (1.4) en (1.3) se tiene la relación v = π (1.4) ( ) π = M Jupiter G (1.5) M = 3 Jupiter G (π) (1.6) Enseguida, se convierte el periodo de Júpiter a segundos, debido a que es otorgado en horas por el problema: [ ] 3600 s 9, 9[h] = 35640[s] (1.7) 1 h Evaluando en la expresión hallada para : M = 3 Jupiter G (π) = 3 (1, [])(6, [ (π) ] Nm )(35640[s]) = 1, [m] (1.8) Es decir la altura a la que se encuentra el satélite respecto de la superficie de Júpiter es = 1, [m]. 16

17 Problema 13 Si se sabe que Luna =, [s]; M ierra = 5, []; M Luna = 7, []. En qué punto a lo largo de la línea que conecta la ierra y la Luna la fuerza gravitacional sobre un objeto es igual a cero? (ignore la presencia del Sol y de los otros planetas). A partir de la tercera ley de Kepler: Luna = 4π 3 GM ierra (13.1) Evaluando: = 3 Luna G M ierra 4π (13.) [ ] (, [s]) (6, Nm )(5, []) = 4π = 3, [m] (13.3) Luego, como la fuerza gravitacional sobre un objeto debe ser igual a cero, se tiene: Evaluando: F 1 = F (13.4) M ierra M P G x = M Luna M P G ( x) (13.5) M ierra x = M Luna ( x) (13.6) 5, , x = ((3, ) x) (13.7) (5, )((3, ) x) = (7, )x (8, ) (4, )x + (5, x = (7, )x (5, )x (4, )x + (8, ) = 0 Luego se tiene una ecuación cuadrática cuyas soluciones están dadas por: x 1, = (4, ) ± (4, ) 4(5, )(8, ) (5, (13.8) x 1 = 3, x = 4, (13.9) Se descarta x, debido que no puede ser mayor a la distancia entre la ierra y la Luna, es por esta razón que el objeto estará a 3, [m] desde el centro de la ierra, o en su defecto 3, [m] desde el centro de la Luna. 17

18 Problema 14 Saturno es el sexto planeta del sistema solar, es el segundo en tamaño después de Júpiter y es el único con un sistema de anillos visible desde la ierra. Su masa es 95, veces la masa terrestre, y su radio es 9,5 veces el radio de la ierra. Si itán, uno de sus satélites, posee una masa de 1, [], se encuentra a una distancia de [Km] de Saturno y presenta una órbita circular. Determine: a) El tiempo (en días) que demora itán en dar una vuelta completa en torno a Saturno. b) La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional que itán ejerce sobre una persona de 80[] situada en el Polo norte de Saturno, si se sabe que el diámetro de la ierra es de 1.74[Km]. c) A qué distancia, entre Saturno y itán, medida desde la superficie de itán, la atracción gravitacional sobre un cuerpo es nula, si se sabe que el diámetro del satélite itán es 5, [m]. Por la tercera ley de Kepler se tiene: En días itan = 4π 3 (14.1) G M Sat 4π = (1, [m]) 3 [ (14.) (6, Nm ])(95, 5, []) = 1, [s] (14.3) [ ] = 1, h [s] s Enseguida, se realiza un diagrama para graficar la información disponible = 15, 94[dias] (14.4) Figure 7 La distancia S se determina a partir del eorema de Pitágoras, como se ve a continuación: 18

19 Aplicando la fórmula de ley de Gravitación S = + Sat (14.5) ( ) = (1, ) 1, , 5 (14.6) = 1, 10 9 [m] (14.7) F,p = G M itan M persona S (14.8) [ (6, Nm ])(1, [])(80[]) = (1, 10 9 [m]) (14.9) = 4, [N] (14.10) Figure 8 Como se busca determinar el punto en que la fuerza gravitacional sobre un objeto es nula, se tiene: Evaluando: F Sat = F itan (14.11) M Sat M persona G ( x) = M itan M persona G x (14.1) M Sat ( x) = M itan x (14.13) 95, (5, ) ((1, ) x) = (1, ) x (5, )x + (3, )x (, ) = 0 (5, )x = (1, )((1, ) x) (5, )x = (, ) (3, )x + (1, )x esolviendo la ecuación cuadrática para x obtenida, se tienen las siguientes soluciones 19

20 x 1, = (3, ) ± (3, ) 4(5, )(, ) (5, ) (14.14) x 1 = 1, [m] x = 1, [m] (14.15) Se descarta x 1, debido a que como se trata una medida de distancia, ésta no puede ser negativa. De esta forma el objeto se encontrará a 1, [m] desde el centro del satélite itán. Luego, como se solicita la distancia desde la superficie del satélite se tiene D = x itan = 1, [m] 5, [m] = 1, [m] (14.16) Finalmente, la distancia entre Saturno y itán, medida desde la superficie de itán donde la atracción gravitacional sobre un cuerpo es nula, corresponde a 1, [m] eferencias y Fuentes utilizadas. ˆ Serway aymond A., (1997). (Cuarta edición; Vol. I). McGAW W-HILL 0

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