Las órbitas de los planetas son elípticas, ocupando el Sol uno de sus focos.

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1 1. LEYES DE KEPLER: Las tres leyes de Kepler son: Primera ley Las órbitas de los planetas son elípticas, ocupando el Sol uno de sus focos. a es el semieje mayor de la elipse b es el semieje menor de la elipse c es la semidistancia focal El punto más cercano al foco se denomina perihelio y el más alejado se denomina afelio. Segunda ley El área barrida por el vector de posición del planeta, respecto del Sol, por unidad de tiempo(velocidad areolar) es constante. Debido a que la órbita es elíptica, la rapidez es variable de forma que el planeta se desplaza con mayor rapidez cuanto menor es su distancia al Sol. Tercera ley Los cuadrados de los periodos de cada planeta son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas respectivas.

2 T 2 = k.a 3 En una órbita elíptica, la distancia media del Sol al planeta coincide con el valor del semieje mayor de la elipse ( r=a). Por esto la tercera ley también se puede enunciar: T 2 = k. r 3 El cuadrado de los periodos de los movimientos de los planetas alrededor del Sol es proporcional al cubo de la distancia media entre ambos: Esta ley se puede aplicar a cualquier conjunto de planetas que giran alrededor del mismo astro, pero para cada sistema planetario la constante k es distinta. 2. LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL La ley de Newton de la gravitación se enuncia de la siguiente forma: La fuerza de atracción entre dos cuerpos puntuales es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia existente entre sus centros. F 12 = - G m 1. m 2 / r 2. ur G es la constante de gravitación universal cuyo valor es 6, N. m 2 / kg 2 ( La interacción gravitatoria es pequeña entre cuerpos con poca masa). u r es el vector unitario que va en la dirección de la recta que une las dos masas y en sentido saliente de la masa que ejerce la fuerza. m 1 y m 2 son las masa de los dos cuerpos entre los que se ejerce la interacción gravitatoria.

3 F 1,2 y F 2,1 tendrán el mismo módulo, la misma dirección pero sentido opuesto ( cada una de estas fuerzas está aplicada en un cuerpo, son un par acción- reacción). La fuerza de gravitación es una fuerza central ya que: Siempre está dirigida hacia el mismo punto Su módulo depende de la distancia entre dicho punto y el punto hacia el que se dirige. 2.1 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La fuerza gravitatoria ejercida por varias masas m 2, m 3,... m i sobre otra masa m 1 es igual a la suma vectorial de la fuerza que cada masa realizaría de forma individual como si las demás no existiesen: F R,1 = F 2,1 + F 3,1 + F 4, F i,1 3. MOMENTO ANGULAR Y FUERZAS CENTRALES. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. 3.1 MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza sirve para cuantificar el efecto de una fuerza en la rotación. El momento de una fuerza respecto a un punto se define como: M= r x F M es el momento de la fuerza r es el vector de posición de la fuerza respecto al punto O F es el vector fuerza

4 El momento de una fuerza es un vector que tiene las siguientes características: Módulo: M = r. F senα (α es el ángulo que forman los vectores r y F) Unidad en el SI es el N.m Dirección perpendicular al plano formado por los vectores r y F Sentido determinado por la regla del tornillo. 3.2 MOMENTO ANGULAR (L) O CINÉTICO. El momento angular (L) respecto a un punto O de referencia,se define como el producto vectorial del vector de posición del cuerpo respecto al punto de referencia o ( r) y del vector cantidad de movimiento: (Consideramos el cuerpo puntual, si es un astro consideraremos toda la masa en su centro). (Recuerda que el vector cantidad de movimiento (p) es el producto de la masa por el vector velocidad) p= m. v) L= rx p Las características del vector L son: Módulo L = r.m.v. senα (α es el ángulo que forman los vectores r y p). Su unidad en el SI es el kg.m 2 /s Dirección perpendicular al plano que forman los vectores r y v Sentido vienen determinado por la regla del tornillo 3.3 RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO ANGULAR Y EL MOMENTO DE UNA FUERZA Calculamos la variación del momento angular respecto al tiempo

5 M resultante es el momento de la fuerza resultante respecto al punto de referencia O Momento angular de un sistema - El momento angular de un sistema de cuerpos puntuales en rotación alrededor de un punto O es igual a la suma vectorial de los momento angular de cada uno de los componentes del sistema respecto al mismo punto. L sis,o = L 1,O +L 2, O +L 3, O +...+L n, O - El momento angular del sistema solamente puede variar por fuerzas externas. dlsist,o/ dt = M resul Fext,o Las interacciones entre los cuerpos que componen el sistema (fuerzas internas) no modifican el momento angular del mismo.( Ejemplo estudio de los planetas del sistema solar) El sistema conservará el momento angular respecto a un punto, cuando la suma de los momentos de las fuerzas externas al sistema sea cero respecto a ese punto. Que se conserve el momento cinético del sistema no significa que cada componente del sistema mantenga su momento cinético, sino que la variación total será nula. Principio de conservación del momento angular Cuando el momento de las fuerzas externas de un sistema de masas, consideradas puntuales, es nulo respecto a algún punto, el momento angular del sistema permanece constante respecto a ese punto. ( L sis,o )= 0

6 4. CONSECUENCIAS DE LA LEY DE LA GRAVITACIÓN 4.1 JUSTIFICACIÓN DE LAS LEYES DE KEPLER. La interacción gravitatoria es una fuerza central (la fuerza y el vector de posición tienen la misma dirección), el momento de la fuerza respecto a un punto O ( en el sistema solar será el centro del Sol) será cero y por lo tanto se conservará el momento cinético respecto a ese punto. r y F son paralelos M = r x F = 0 ( sen 0º = sen 180º = 0) dl/dt = M dl/dt=0 L es constante. La conservación del momento angular (L) de cualquier planeta respecto al Sol implica: La dirección de L es constante y como el momento angular es perpendicular al plano formado por r y v, plano que es el de la órbita será siempre el mismo. Las órbitas son planas.(1ª Ley) Como el sentido de L es constante se verifica que el sentido de giro del planeta es siempre el mismo. El modulo de L es contante esto verifica la segunda ley de Kepler (velocidad areolar del planeta es constante) El área barrida por el radio vector del planeta r respeto al Sol, en un diferencial de tiempo dt es la mitad del área definida por los vectores r y v.dt ds= 1/ 2 * r x dr ds/dt= 1/2* r x dr / dt = 1/2* r x v ( L = r x m. v = m* r x v ) ds/dt = L /2m ds/dt es el área barrida por el radio vector respecto al Sol en un diferencial de tiempo dt (velocidad areolar)

7 - El área barrida por el vector posición del planeta en un intervalo dt es directamente proporcional al valor de su momento cinético respecto al Sol. - El valor del momento cinético y la masa del planeta son constantes, esto implica que la velocidad areolar es constante DEDUCCIÓN DE LA TERCERA LEY DE KEPLER Consideramos las siguientes hipótesis: - El Sol y el planeta son astros esféricos (aplicamos la ley de gravitación universal como si fuesen masas puntuales situadas en su centro). - Como la masa del Sol es mucho mayor que la masa del planeta, se puede considerar que el Sol permanece inmóvil mientras el planeta gira a su alrededor. - El planeta describe una órbita circular alrededor del Sol, cuyo radio es la distancia entre los centros de los dos astros. Si la distancia entre los astros es constante (r=cte), la velocidad es constante en módulo. El movimiento del planeta será circular y uniforme (MCU). Haremos un estudio dinámico y otro cinemático. Estudio cinemático - El planeta posee un movimiento circular uniforme - La velocidad es constante en módulo pero cambia continuamente su dirección v=(2*π*r)/ T La aceleración normal es: a n = v 2 /r v módulo del la velocidad del planeta r es el radio de la órbita T es el periodo. Sustituimos el valor de la velocidad y resulta : a n = (2*π*r) 2 / ( T 2 * r) = (4*π 2 *r)/t 2 Estudio dinámico - Sobre el planeta sólo actúa la fuerza de interacción gravitatoria Sol- planeta (aislamos el sistema Sol planeta del resto del universo). - Aplicamos la segunda ley de Newton al planeta y resulta: Fgravitatoria= m p. a n (1) La fuerza gravitatoria es una fuerza centrípeta. a n es la aceleración normal o centrípeta. m p es la masa del planeta Como sabemos Fgravitatoria= G Ms mp/r 2 (2)

8 G es la constante de gravitación universal. Ms es la masa del Sol. m p es la masa del planeta r es la distancia entre el centro del Sol y el centro del planeta. En la ecuación (1) sustituimos (2) y (3) y obtenemos: Fc = mp. v 2 /r = mp.(4*π 2 *r)/t 2 Despejando el cuadrado del periodo obtenemos: T 2 = 4*π 2 * r 3 G* Ms Es la expresión de la tercera ley de Kepler en la que k= (4.п 2 ) /(G* M s) 4.1 VELOCIDAD ORBITAL Si un planeta describe una órbita circular alrededor del Sol, la fuerza centrípeta necesaria para realizar ese movimiento es proporcionada por la fuerza gravitatoria entre el Sol y el planeta. Fc= Fg mp. v 2 /r = G Ms mp/r 2 v= G Ms/ r M s es la masa del Sol; m p es la masa del planeta r es el radio de la órbita circular; v es la velocidad orbital. 4.2 Cálculo de la masa de un planeta Si se conoce el radio r de la órbita circular y su periodo T, se puede calcular la masa M del planeta alrededor del cual gira. El planeta describe una trayectoria circular está sometido a una fuerza centrípeta que es proporcionada por la fuerza de atracción entre el planeta y el satélite: Fc= Fg Mp es la masa del planeta ms. v 2 /r = G Mp ms/r 2 (4) ms es la masa del satélite. Sabemos que la velocidad se puede expresar como: v= e/ t = (2*π*r)/ T y sustituyendo en (4) obtenemos :

9 ms* (2*π*r/ T ) 2 G* Mp * ms r r 2 Mp = 4* π 2 * r 3 G*T 2 5. EL CAMPO GRAVITATORIO Se tiene una masa M y se coloca en diferentes puntos otra masa m, se observa que la segunda está sometida a una fuerza de atracción. El espacio que rodea la masa M tiene la propiedad de ejercer una fuerza sobre cualquier masa colocada en él. La masa M ha creado un campo gravitatorio. La interacción gravitatoria de dos cuerpos de masa M y m respectivamente tiene lugar de esta forma: - El cuerpo de masa M crea un campo gravitatorio - El campo gravitatorio ejerce localmente una fuerza sobre el cuerpo de masa m. - El campo gravitatorio es atractivo. 5.1 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO La intensidad del campo gravitatorio creado por una masa M es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en él. - La unidad de intensidad de campo gravitatorio en el SI es el N/kg o m/s PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. Si se tienen varias masa m 1, m 2, m 3,...,m n y cada una de ellas crea un campo gravitatorio de intensidad g 1,g 2,g 3,...g n, la intensidad de campo gravitatorio creado por todas ellas es: g = g 1 +g 2 +g g n 5.3 LÍNEAS DE CAMPO - El campo gravitatorio es un campo de fuerzas y se puede representar gráficamente por medio de líneas de campo. - Al dibujar una línea de campo estamos indicando el camino que seguiría una masa al colocarla en cada punto de dicha línea.

10 - Las propiedades que cumplen las líneas de campo, en el campo gravitatorio son: Su densidad es proporcional al módulo del vector intensidad de campo. Su sentido es el de la fuerza que actuaría si se colocara una masa de prueba en el campo gravitatorio. Su dirección es tangente en cada punto al vector intensidad de campo. Son sumideros, ya que tienen sentido hacia la masa que origina el campo. En cada punto de la línea de campo, el vector intensidad de campo sólo puede tener una dirección lo que implica que las líneas de campo no se pueden cortar. 6. CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE La dirección del campo gravitatorio terrestre (g) es perpendicular a la superficie en cada punto y su módulo se calcula de esta forma: M T es la masa de la Tierra R T es el radio de la Tierra Es el valor medio de la gravedad en la superficie terrestre ( la Tierra está achatada por los polos) 6.1VARIACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE CON LA LATITUD El valor teórico de la gravedad en la superficie terrestre no coincide con el valor efectivo que mide un péndulo o un dinamómetro. Esto se debe entre otros factores a la rotación de la Tierra sobre su eje, ya que una fracción de la gravedad se usa en imprimir el movimiento de rotación. g o = g efectiva + g rotación g rotación = an = ω 2.r. u n = ω 2.R T. cosφ. u n

11 ω es la velocidad angular de la Tierra r es el radio de la circunferencia que describe el punto P R T es el radio de la Tierra φ es la latitud del punto P ( ángulo que forma con el ecuador) La componente efectiva de la gravedad corresponde a la diferencia vectorial : g efectiva = g o - g rotación Existen dos latitudes para las que la dirección de la gravedad real coincide con la efectiva: En el polo, φ = 90º, se obtiene g rotación = 0 y por tanto g efectiva = g o,polo En el ecuador, φ = 0º, se obtiene g rotación= ω 2.R T y por lo tanto : gefectiva = g o, ecuador - ω 2.R T 6.2 VARIACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE CON LA ALTURA (PUNTOS EXTERIORES) Al alejarnos del centro de la Tierra, la intensidad del campo gravitatorio disminuye al aumentar la distancia(r ) Para r> R T g= -G. Mt/r 2. ur (1) r es la distancia desde el centro de la Tierra al punto considerado. r= R T + h

12 R T es el radio de la Tierra. h es la altura medida desde la superficie de la Tierra Si se considera un punto situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la distancia entre el centro de la Tierra y el punto considerado será: r= R T + h Sustituimos en (1) y obtenemos: g= G.M T/ (R T +h) 2 La relación entre la intensidad de campo gravitatorio en el exterior y el valor de éste en la superficie de la Tierra (g 0 ) es: g G.M T /r 2 2 R T g= go. R T2 /r 2 = go.r 2 T / (R T +h ) 2 go 2 G.M T / R T r 2 La fuerza que ejerce la Tierra sobre los cuerpos cercanos a su superficie se llama peso y se representa por P. El peso es la fuerza gravitatoria con la que la Tierra (o el planeta que se trate) atrae a los cuerpos y se calcula de esta forma: P= G. M T.m / (R T +h) 2 M T es la masa de la Tierra m es la masa del cuerpo R T es el radio de la Tierra h es la altura sobre la superficie terrestre. Y como g = G. M T.m / (R T +h) 2, el peso se puede escribir P= m. g ( Si comparamos esta expresión última con la segunda ley de la dinámica, F= m.a, se deduce que la intensidad de campo gravitatorio tiene la unidades de una aceleración. Por esta razón, g se le llama también aceleración de la gravedad). 6.1 VARIACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE CON LA PROFUNDIDAD. Consideramos un punto interior de una esfera homogénea de radio r (r<r T ), la masa que contribuye a crear el campo gravitatorio en el punto P es la encerrada por la esfera de radio r.

13 Suponemos la densidad de la Tierra uniforme, a una distancia r del centro de la Tierra y en su interior. Calculamos la masa contenida en la esfera de radio r M masa de la esfera de radio r V= 4/3* π*r 3 d es la densidad de la Tierra V es el volumen de la esfera de radio r La densidad se calcula la partir de la masa total de la Tierra y de su volumen. ρ = M T /V T = M T /(4/3*π. R T 3 ) M T es la masa de la Tierra V T es el volumen del la Tierra R T es el radio de la Tierra Sustituyendo este valor en la expresión M= V.ρ se obtiene: M= V.ρ = 4/3* π*r 3. M T /(4/3*π. R 3 T )= M T * r 3 3 / R T El valor del campo gravitatorio será: g= G. M/r 2 = G. M T /R 3 T * r Como G. M T /R 3 T es una constante, g varía de forma lineal con r. En resumen:

14 7. ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa esto implica: Que el trabajo realizado por dicha fuerza sólo depende del punto inicial y del punto final, pero no del camino seguido. Se le puede asociar una magnitud llamada energía potencial Ep, de forma que: Wconservativo= - Ep = Ep 1 Ep 2 La suma de la energía cinética y potencial (la energía mecánica) es constante: E c1 + E p1 = E c2 + E p2 Calculamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando un cuerpo de masa m, situado en el campo gravitatorio creado por la masa M, pasa del punto 1 al punto 2 W= F.dr= G.M.m /r 2 ur dr = [ G. M. m/r] 1 2 = G.M.m/r 2 -Gmm/r 1 (5) 7.1 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Como hemos dicho anteriormente la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, y se le puede asociar una magnitud que se denomina energía potencial (E p ) de forma que: Wconservativo= - Ep = Ep 1 Ep 2 W conservativo es el trabajo realizado por una fuerza conservativa, en este caso la fuerza gravitatoria

15 Ep 1 es la energía potencial gravitatoria en el punto inicial Ep 2 es la energía potencial gravitatoria en el punto final. Si comparamos con la expresión ( 5 ) se obtiene para la energía potencial gravitatoria la siguiente expresión: Ep= - G.M.m /r El origen de la energía potencial gravitatoria está en el infinito (Ep = 0). La unidad de energía potencial gravitatoria en el sistema internacional es el julio (J) La energía potencial gravitatoria siempre es negativa. La energía potencial gravitatoria aumenta a medida que lo hace la distancia entre las masas que interaccionan. Si la masa se encuentra cerca de la superficie terrestre, de la expresión ( 5) se obtiene: Ep= m.g.h Si el trabajo lo realiza el campo será positivo y el proceso será espontáneo Wcampo> 0 proceso espontáneo Si el trabajo lo realizan fuerza exterior en contra del campo, será negativo y el proceso será forzado. W campo<0 proceso forzado Si una masa m se mueve a velocidad constante, se puede considerar que actúa una fuerza externa del mismo módulo que la del campo, pero de sentido contrario. Se cumple que el trabajo realizado por el campo y el realizado por la fuerza externa tienen el mismo valor absoluto, pero signo contrario W ext= -W campo Wext= Ep 2 Ep 1 La energía potencial se puede definir como: La energía potencial en un punto del sistema formado por dos masas M y m es igual al trabajo exterior que se hace cuando se mueve la masa m desde el infinito a dicho punto en el campo creado por M. La energía potencial es la forma en que los cuerpos almacenan el trabajo realizado sobre ellos por las fuerzas externas al campo. 7.2 POTENCIAL GRAVITATORIO El potencial del campo gravitatorio (V),creado por una masa M en un punto, es la energía potencial en dicho punto por unidad de masa. V= Ep/m= -G.M/r Es una magnitud escalar La unidad del potencial gravitatorio en el sistema internacional es J/kg El potencial gravitatorio es negativo Si hay varias masas puntuales M 1, M 2, M 3,...,Mn, cada una de ellas crea un potencial V 1, V 2, V 3,...Vn de forma que el potencial total es la suma de todos V T = Vi= V 1 +V 2 +V Vn

16 Los puntos del campo gravitatorio que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial Si el campo es creado por una masa puntual M, las superficies equipotenciales serán aquellas para los que r sea constante, serán esferas concéntricas (cuyo centro será la masa M). Si una masa se mueve en un campo gravitatorio siguiendo una superficie equipotencial, el potencial en el punto inicial y final de la trayectoria será el mismo y esto ocurrirá también con la energía potencial, por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será nulo. Wcampo= Ep 1 - Ep 2 =0 7.3 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Si un sistema se mueve sometido únicamente a fuerzas gravitatorias, su energía mecánica, suma de la cinética y la potencial se mantiene constante, independientemente de que haya interconversiones entre la potencial y la cinética. (E mecánica )= W ext + W NC W ext es el trabajo realizado por las fuerzas exteriores al sistema. E p + Ec = W ext + W NC W NC es el trabajo no conservativo realizado por la fuerza de rozamiento Si W ext =0 y W NC = 0 (E mecánica )= 0 E mecánica =cte Si el cuerpo se mueve del punto 1 al punto 2 sucederá: E m1 = E m2 E c1 + E p1 = E c2 + E p2 E c1 es la energía cinética del cuerpo cuando está en el punto 1. E p1 es la energía potencial del cuerpo cuando está en el punto 1. Em 1 es la energía mecánica del cuerpo cuando está en el punto 1.

17 8. SATÉLITES ARTIFICIALES El movimiento de los satélites artificiales se explica por estos principios físicos: 8.1 ENERGÍA DE UN SATÉLITE EN SU ÓRBITA. La energía mecánica de un satélite artificial girando alrededor de la Tierra se expresa: Em = E c + E p = ½. m.v 2 + ( -G.MT. m/r) Si el satélite está ligado a la Tierra la energía mecánica será negativa y por tanto: - G. M.m/r > ½. m.v 2 r es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el satélite. r variará entre un valor mínimo r a que será cuando el satélite esté en el perigeo ( r p =R T + h p ) y una distancia máxima cuando el satélite esté en el apogeo ( r a =R T + h a ). R T es el radio de la tierra; h a es la altura medida sobre la superficie terrestre a la que se encuentra el satélite en el apogeo.

18 Satélite en órbita circular Se cumple esta relación: F gravitatoria= F centrípeta G.M.m m. v 2 r 2 r v es la velocidad orbital v= G.M /r r es la distancia entre el centro de la Tierra y el satélite M es la masa del planeta m es la masa del satélite Como se trata de un movimiento circular uniforme, el periodo será v= e/t= (2*π*r)/ T

19 (2*π*r)/ T = G.M /r T 2.π. r 3 G.M La energía cinética tienen esta expresión Ec= ½. m.v 2 = m. ( G.M /r ) 2 /2 = GMm/ 2r La expresión que permite calcular la energía potencial es: Ep= - G.M.m /r La energía mecánica será Em = E c + E p = GMm/ 2r - G.M.m /r = - GMm/ 2r En resumen, las energías de un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra son estas: 8.2 ENERGÍA TOTAL Y FORMA DE LA ÓRBITA El tipo de trayectoria que presenta un satélite respecto al centro de un planeta se puede establecer en función de su energía mecánica dando lugar a las siguientes posibilidades:

20 8.3 VELOCIDAD DE ESCAPE. La velocidad de escape (v) es el valor teórico de la mínima rapidez de lanzamiento de un cuerpo que le permita llegar al infinito sin velocidad, es decir que pueda escapar de la acción gravitatoria de un astro. Para deducir la expresión de la velocidad de escape se aplica el teorema de conservación de la energía total a: Un punto situado sobre la superficie de la Tierra Un punto situado en el infinito. 1/2.m.v o 2 + (- G.M T.m/R T ) = ½. m.v 2 + (- G.M T.m/r) r= v= 0 y v= ve 1/2.m.v e 2 + (- G.M T.m/R T ) = 0 +0 ve= 2.G.MT / RT M T es la masa de la Tierra R T es el radio de la Tierra En general para cualquier planeta la velocidad de escape es: ve= 2.G.Mp/ Rp Teniendo en cuenta que go = G. M T / R T 2, la velocidad de escape para la Tierra es: ve= 2.go.RT

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