La curvatura en el periastro y el problema de Kepler The curvature in the periastro and the problem of Kepler

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1 La curvatura en el periastro y el problema de Kepler The curvature in the periastro and the problem of Kepler Campillo IES Ruiz de Alda Isaac Peral s/n San Javier (Murcia) 20 de octubre de 2002

2 1 Resumen El semilatus rectum de las secciones cónicas resulta ser el radio de curvatura en los vértices del eje focal. Esta identificación facilita el estudio del problema de Kepler. Semilatus rectum of the conical sections turns out to be the radius of curvature in the vertices of the focal axis. This identification facilitates the study of the problem of Kepler. 1 Cónicas Una cónica o sección cónica es toda curva plana trazada de manera que la distancia de cualquiera de sus puntos a un punto fijo o foco es e veces la que lo separa de una recta dada o directriz [2, p. 146]. El número positivo e es la excentricidad, y según sea menor, igual o mayor que uno se dice que la cónica es una elipse, una parábola o una hipérbola, respectivamente (figura 2). Sea l tal que l/e es la distancia del foco a su directriz. De acuerdo con la definición, si la distancia de un punto de la curva al foco es r, la distancia a la directriz será r/e. Con el origen en el foco y el eje OX apuntando directamente a la directriz, de manera que ésta es la recta x = l/e, en términos de coordenadas polares los puntos de la cónica satisfacen la ecuación ±r/e = l/e r cos φ, (1) con el signo positivo para los puntos situados a la izquierda de la directriz, y el negativo para los que puedan estar a la derecha. Dado que r > 0, la hipérbola (e > 1) es la única cónica con puntos a los dos lados, y se dice que tiene dos ramas. De este modo, la ecuación de la elipse, de la parábola o de la primera de las ramas de la hipérbola es r = l/(1 + e cos φ). (2) Hay que observar que si el sentido positivo del eje OX no se elige como antes, sino al contrario, de modo que la directriz es la recta x = l/e (figura 1), la ecuación (2) toma la forma r = l/(1 e cos φ). (3) Puesto que los valores del coseno oscilan entre 1 y 1, de (2) se deduce que existe siempre un punto de la cónica, y sólo uno, cuya distancia l/(1 + e) al foco origen es mínima. En el caso de la elipse, con e < 1, existe también

3 2 un punto a la distancia máxima l/(1 e). Para todas las cónicas, l es la distancia al foco origen cuando φ es un ángulo recto, es decir, que 2l es la longitud del latus rectum, cuerda paralela a la directriz que pasa por el foco. El semilatus rectum l también es lo que se conoce como parámetro p de la cónica [3, p. 42]. Pues bien, se encontrará más abajo que l es igual al radio de curvatura de la cónica en el punto a la mínima distancia del foco: R = l. Además, hay que destacar que el cálculo de la curvatura en el citado punto notable es particularmente simple. Elevando (1) al cuadrado se obtiene la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = (l ex) 2, que se puede reducir a las conocidas formas canónicas para la elipse, la parábola y la hipérbola [2, p. 146]. Así, por ejemplo, cuando e < 1, trasladar los ejes cartesianos al punto ( ea, 0) da como resultado la ecuación para la elipse, en la que x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (4) b 2 = la (5) y a = l/(1 e 2 ) es, en este caso, la semisuma de las distancias mínima y máxima al foco. La simetría de las cónicas se desprende fácilmente de sus ecuaciones canónicas; si el punto (x, y) satisface la ecuación (4), también lo hacen los puntos ( x, y), (x, y) y ( x, y), y la elipse es simétrica respecto al nuevo origen y los nuevos ejes cartesianos. Es por esta simetría que la elipse tiene dos focos y dos directrices (la hipérbola también tiene dos focos). Existen otras definiciones para las cónicas, pero se pueden derivar de la de arriba. Una de las más conocidas se refiere a la elipse y se basa en que la suma de las distancias r 1 y r 2 a los focos es una constante para todos sus puntos, propiedad que se hace evidente observando que la distancia entre las directrices es r 1 /e + r 2 /e = (r 1 + r 2 )/e. 2 El semilatus rectum y el radio de curvatura en los vértices del eje focal Tres puntos B, A y C de una curva, no alineados, determinan un plano y una circunferencia en éste, que pasa por los tres, ya que el punto en el que la mediatriz del segmento BA corta a la del AC equidista de los tres puntos y,

4 3 por tanto, es el centro de la circunferencia buscada. Se puede demostrar que existe una circunferencia límite de las circunferencias que pasa por los tres puntos cuando B y C tienden a A. Esta circunferencia es la que mejor se ajusta a la curva en el punto A, su círculo y su plano son, respectivamente, el círculo osculador y el plano osculador. El radio de curvatura en el punto A de la curva es el radio R del círculo osculador. Resulta [1, p. 659] que, para una curva dada en forma paramétrica, el cálculo de la curvatura suele ser más sencillo formando primero dos vectores: las componentes del primero son las derivadas de las coordenadas cartesianas con respecto al parámetro elegido (un escalar); las del segundo, las derivadas segundas. El radio de curvatura en un punto es el cubo del primer vector dividido por el módulo del producto vectorial de los dos, que, en los puntos notables donde los vectores son mutuamente perpendiculares, se reduce a dividir el cuadrado del primero por el módulo del segundo. Como ejemplo importante se determinará el radio de curvatura en los vértices del eje de simetría que pasa por los focos de la elipse, que son los puntos en los que la distancia a un foco es mínima o máxima. Las ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = b sen t, satisfacen su ecuación canónica, y el parámetro toma los valores cero y π en los dos puntos que interesan. En este caso, el vector de las derivadas primeras tiene las componentes cartesianas a sen t, b cos t, y el de las segundas tiene a cos t, b sen t. Con t igual a cero o π, estos vectores son mutuamente perpendiculares, el cuadrado del primero es b 2, y el módulo del segundo, a. Por tanto: R = b2 = l, (6) a véase (5). En realidad, el semilatus rectum es también el radio de curvatura en los vértices de las otras cónicas, lo que se puede probar de una manera semejante (tomando como parámetro el ángulo φ de (2) y las ecuaciones x = r cos φ e y = r sen φ). No obstante, en la siguiente sección se llegará a este resultado deduciendo la primera ley de Kepler. Evidentemente, el centro del círculo osculador debe encontrarse sobre el eje de simetría (figuras 1 y 2). 3 El problema de Kepler La identificación de R con l es útil en el estudio del movimiento de una partícula en un campo en el que la energía potencial es inversamente pro-

5 4 porcional a r, como ocurre en el campo gravitatorio de Newton (y en la interacción electrostática de Coulomb). En particular, la deducción de la tercera ley de Kepler es muy sencilla, y puede ser una alternativa a la que frecuentemente se ofrece en los textos de Bachillerato y física general, que se limita a órbitas circulares. En lo que sigue, una partícula de masa m se mueve en el campo de otra M, de masa mucho mayor. Inicialmente, la distancia a M es mínima o máxima, y la magnitud de la velocidad es v El cuadrado del momento angular Como se sabe del estudio del momento angular, el módulo del producto r v = L m (7) es el doble del área barrida por unidad de tiempo por el vector posición de la partícula. Con el origen en M, el momento angular se conserva (dl/dt = 0 por ser la fuerza central) y la velocidad areolar L/2m es constante. Este resultado implica la conocida segunda ley de Kepler. Si la distancia al origen es mínima o máxima, la velocidad inicial debe ser perpendicular al vector posición y L/m = r 0 v 0. Por otra parte, la aceleración de la partícula en cada punto se encuentra dividiendo por la masa la fuerza de la ley de la gravitación de Newton, dv dt = GM r 2 u r, (8) donde u r = r/r = cos φ i + sen φ j; en la posición inicial, la aceleración es perpendicular a la velocidad y se satisface G M = v2 0 r0 2 R, (9) pues, como se sabe bien de la Cinemática, la aceleración normal es igual al cuadrado de la velocidad dividido por el radio de curvatura. Por tanto, (L/m) 2 = GMR. (10) Pero (L/m) 2 es el producto mixto (r v) L/m, en el que se pueden intercambiar el punto y el aspa [1, p. 600], y r (v L/m) = GMR. (11) Como se verá, el vector entre paréntesis no depende de r cuando la aceleración está dada por (8).

6 5 3.2 Ecuación de la trayectoria Como L es constante en (7), el vector posición r con origen en M siempre es perpendicular a una dirección, la del momento angular, es decir, r se encuentra siempre en un plano y la trayectoria de la partícula es una curva plana. Su ecuación resultará de la (11) después de encontrar el vector v L/m con la ayuda de la ley (8) y las condiciones iniciales. Conviene descomponer la velocidad de la partícula en la dirección de r y en una perpendicular; son las componentes radial y transversal. Con el vector unitario u r, son r = ru r y v = dr dt = dr dt u r + r dφ dt u φ, donde u φ = du r /dφ es otro vector unitario, perpendicular a u r. Multiplicando vectorialmente se encuentra L m = r v = r2 dφ dt u r u φ. La aceleración (8) se introduce después de derivar el vector v L/m: d dv (v L/m) = dt dt L m dφ du r = GM dt dφ = d dt (GMu r), donde se ha tenido en cuenta que u r (u r u φ ) = u φ = du r /dφ. Este resultado indica que los vectores de los paréntesis sólo se diferencian en un cierto vector constante, el cual se puede determinar con las condiciones iniciales. Tomando el eje OX con el origen en M y dirigido hacia la posición inicial de m, como en las figuras 1 y 2, en la posición inicial estos dos vectores se determinan fácilmente (v 0 r 0 v 0 = GMR/r 0 ) y su diferencia es GM(R/r 0 1)i, por lo que v L m = GM[u r + (R/r 0 1)i]. (12) Sustituyendo en (11) se obtiene r+r(r/r 0 1) cos φ = R, lo que demuestra que la trayectoria de la partícula es una cónica y, a la vez, que el semilatus rectum es el radio de curvatura en la posición inicial (un vértice del eje focal): r = R 1 + (R/r 0 1) cos φ, e = R 1 r 0, l = R. (13) Compárese (13) con (2) y (3). En particular, las órbitas de los planetas son elipses con un foco común, el ocupado por el Sol (primera ley de Kepler).

7 Figura 1: Órbita elíptica con sus dos focos, la directriz del foco del origen, el círculo osculador del apoastro y la velocidad de la partícula en este punto. Obsérvese que R = l. Cuando se conocen la energía y el momento angular, que se conservan, las ecuaciones E m = 1 2 v2 0 G M L, r 0 m = r 0v 0 permiten determinar r 0 y v 0, y reducir así el problema al anterior, donde R = r0v 2 0/GM. 2 Sólo con energías negativas se dan los tres primeros casos de los cinco que se enumerarán enseguida (partícula ligada). Si la energía es cero o positiva, la partícula escapa de la atracción de M (parábola o rama de hipérbola). 3.3 Trayectorias según la velocidad inicial Se ha visto que R es proporcional al cuadrado de la velocidad inicial. Para un r 0 dado, con el incremento de esta velocidad se dan los cinco casos siguientes: 1. Con velocidades tales que 0 < R < r 0, e se encuentra entre uno y cero, y las trayectorias son elipses con la partícula inicialmente a la máxima distancia de M, es decir, en el apoastro (véase la figura 1). Hay que señalar que las familiares parábolas de los proyectiles de los tiros corrientes se cuentan en realidad aquí, pues si R r 0, entonces e 1 y una parte de la elipse, la trayectoria del proyectil, se puede aproximar bien con un arco de parábola. Para alturas mucho menores que el radio de la Tierra, la excentricidad difiere de la de la parábola en menos de una milésima parte cuando v 0 no supera los 250 m/s. 2. Cuando v 0 = GM/r 0, el radio de curvatura según (9) es igual a r 0 y el movimiento es circular (y uniforme). 3. Si las velocidades son mayores que la del circular, pero no llegan a hacer R = 2r 0, la excentricidad toma valores entre cero y uno, y los

8 7 movimientos vuelven a ser elípticos (figura 2), sólo que ahora, como en los casos restantes, la posición inicial es la más próxima a M: la del periastro (para los planetas, el perihelio). 4. La velocidad inicial que hace R = 2r 0 corresponde a la excentricidad de la parábola; obsérvese que, al ser la velocidad proporcional a la R, la relación entre la velocidad del movimiento parabólico (la llamada velocidad de escape) y la del circular es simplemente la Con una velocidad inicial mayor que la del movimiento parabólico, es R > 2r 0 y la trayectoria es una rama de hipérbola. 3.4 La tercera ley de Kepler Para calcular el período de revolución T en la órbita elíptica de m alrededor de M, basta con dividir el área de la elipse por la velocidad areolar, que es constante: T = πab L/2m. Pero, por (9) y (6), (L/m) 2 = GMR = GMb 2 /a, y el cuadrado del período resulta ser proporcional al cubo del semieje mayor: T 2 = 4π2 GM a Órbita de transferencia Se quiere encontrar la trayectoria y la energía con las que se transfiere la partícula m desde una órbita circular de radio r 0 a otra con el radio r 1 (figura 3). La partícula debe pasar del punto A al B. En ellos, el ángulo de la ecuación (2) toma los valores cero y π, por lo que la excentricidad y el parámetro R de la elipse de transferencia satisfacen r 0 = R/(1 + e) y r 1 = R/(1 e). Despejando y sustituyendo, resulta ya: r = 2r 0 r 1 /(r 0 + r 1 ) 1 + [(r 1 r 0 )/(r 0 + r 1 )] cos φ. Los cuadrados de las velocidades en las órbitas circulares son GM/r 0 y GM/r 1. Moviéndose por la elipse, los cuadrados de las velocidades en A y B se determinan fácilmente sabiendo que el radio de curvatura en ellos es

9 Figura 2: Tres trayectorias de una partícula situada inicialmente en el periastro, con velocidades crecientes: elipse, parábola y rama de hipérbola. Obsérvese cómo la directriz del foco ocupado por M se acerca a él, mientras que el centro del círculo osculador del vértice se aleja. Se ha trazado también la segunda rama de la hipérbola y sus asíntotas.

10 9 B Figura 3: Órbita de transferencia de m y órbitas circulares. M está en el origen. A R = 2r 0 r 1 /(r 0 +r 1 ) y teniendo en cuenta que en estos puntos (y sólo en éstos) la aceleración es perpendicular a la velocidad: G M r 2 0,1 = v2 0,1 R, v2 0 = 2GMr 1 r 0 (r 0 + r 1 ), v2 1 = 2GMr 0 r 1 (r 0 + r 1 ). La transferencia se efectúa con dos impulsos. La energía que se suministra en A es la diferencia entre las energías cinéticas 1 2 m(v2 0 GM/r 0 ); en B, 1 2 m(gm/r 1 v 2 1). El tiempo es el semiperíodo de la órbita elíptica, y se puede calcular con la tercera ley de Kepler (el eje mayor es r 0 + r 1 ). Finalmente, obsérvese que este y otros problemas también pueden resolverse sin recurrir a las coordenadas polares; con r 0 y r 1 se hallan los semiejes a y b de la órbita elíptica, los cuales dan R con la ecuación (6). Referencias [1] Apostol, T. M. Calculus, segunda ed., vol. I. Reverté, [2] Coxeter, H. S. M. Fundamentos de geometría. Limusa-Wiley, [3] Landau, L. D., and Lifshitz, E. M. Mecánica. Reverté, 1978.

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