Tema 5: Dinámica del punto II

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1 Tema 5: Dinámica del punto II FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1

2 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 2

3 Leyes de Newton Lasa leyes de Newton de la Dinámica permiten calcular el movimiento de una partícula provocado por las interacciones que actúan sobre ella Ley de inercia Segunda ley Principio de acción y reacción Principio de superposición 3

4 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 4

5 Dinámica de una partícula Conocidas las fuerzas, la Segunda Ley proporciona la ecuación diferencial del movimiento en un sistema de referencia inercial Elementos para resolver un problema de dinámica del punto Ecuación diferencial Ligaduras Condiciones iniciales A la inversa, conocida la aceleración y los vínculos, podemos determinar las fuerzas 5

6 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 6

7 Trabajo mecánico: fuerza constante y movimiento unidireccional La fuerza realiza un trabajo sobre el cuerpo durante su movimiento A B El signo depende del sentido relativo si F dr no hay trabajo mecánico En el SI internacional la unidad base es el Julio 7

8 Trabajo mecánico: fuerza variable y trayectoria arbitraria Se divide el trayecto en segmentos infinitesimales Trabajo de la fuerza sobre la partícula cuando esta se desplaza un dr (t) Z X O Y En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales A X O Z Y B 8

9 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 9

10 Energía cinética Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton Puede interpretarse diciendo que, al realizar trabajo sobre la partícula, la fuerza le transfiere la cantidad d(mv 2 /2) en el trayecto dr 10

11 Energía cinética Definición Es un escalar Está relacionada con la capacidad de la partícula de realizar trabajo Se mide en Julios Depende de las propiedades de la partícula: masa y velocidad Combina la inercia (m) con la cinemática (v) No es igual que caiga en el pie una pluma que una bola de plomo, aunque tengan la misma velocidad 11

12 Energía cinética: relación con el trabajo Trabajo total de una fuerza sobre una partícula en el trayecto A - B B Teorema de las fuerzas vivas o de la energía cinética A Versión finita Versión local El trabajo modifica el valor de la energía cinética de la partícula Es válido para cualquier tipo de fuerza Si hay varias fuerzas actuando 12

13 Potencia Potencia instantánea Mide la tasa con la que se realiza trabajo Se mide en Watios Potencia transferida por una fuerza sobre una partícula en movimiento Versión instantánea del teorema de las fuerzas vivas 13

14 Conservación de la energía cinética Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo Ejemplos Partícula libre Movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular) Movimiento de una carga eléctrica en el seno de un campo magnético 14

15 Energía potencial Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que se desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida B 2 1 A La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando el signo El origen de la energía potencial es arbitrario 15

16 Energía potencial gravitatoria Fuerza gravitatoria cerca de la superficie B 2 1 z Trabajo realizado por F g en un desplazamiento infinitesimal Z A Diferencia de energía potencial entre dos puntos Energía potencial gravitatoria (con una referencia arbitraria en z=0) 16

17 Energía potencial de un muelle ideal Fuerza del muelle Trabajo realizado por F k en un desplazamiento infinitesimal O P Energía potencial elástica (con referencia de potencial en l 0 ) 17

18 Energía mecánica Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una energía potencial por cada fuerza conservativa) Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su energía mecánica se conserva Demostración Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía mecánica 18

19 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 19

20 Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad [p] = kg m s -1 Teorema de la cantidad de movimiento Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental y finita) Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño 20

21 Conservación de la cantidad de movimiento Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su cantidad de movimiento Demostración Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de movimiento en las direcciones perpendiculares a la fuerza Ejemplo Z X 21

22 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 22

23 Momento cinético El momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto vectorial [L] = kg m 2 s -1 O P Teorema del momento cinético 23

24 Conservación del momento cinético Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante Demostración Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la proyección del momento cinético sobre n Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético O P 24

25 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 25

26 Fuerzas de rozamiento viscoso Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido, aparece una fuerza de rozamiento que depende de la velocidad Si la velocidad respecto al fluido es pequeña, n=1 El coeficiente b depende del fluido y de la forma del cuerpo Si esta fuerza de rozamiento actúa el tiempo suficiente, la velocidad del cuerpo se hace constante. El valor límite se llama velocidad terminal 26

27 Fuerzas de rozamiento viscoso: esfera cayendo Supongamos una esfera que cae cerca de la superficie de la Tierra partiendo del reposo En t=0, no hay fuerza viscosa: a(0) = g Al aumentar la velocidad, el término viscoso aumenta, mientras que el gravitatorio permanece constante Z Cuando los dos términos se igualan, la velocidad es constante Velocidad terminal 27

28 Fuerzas de rozamiento viscoso: esfera cayendo Podemos resolver la ecuación diferencial Z 28

29 Índice Leyes de Newton Dinámica del punto material Trabajo mecánico Teoremas de conservación Energía Cantidad de movimiento Momento cinético Rozamiento dependiente de la velocidad: velocidad terminal Coordenadas polares 29

30 Coordenadas polares: definición Movimiento en un plano Y Relación con las cartesianas Base vectorial X u r señala la dirección del desplazamiento cuando r varía y es constante u señala la dirección del desplazamiento cuando varía y r es constante Derivadas de los vectores: los vectores de la base polar dependen de 30

31 Coordenadas polares: variables cinemáticas de una partícula Relación con las cartesianas Y Vector de posición Vector velocidad Vector aceleración 31

32 Resumen Introducción Leyes de Newton Trabajo mecánico dw = F dr Energía Energía cinética: conservación Energía potencial Energía mecánica: conservación Cantidad de movimiento Conservación Momento cinético Conservación 32

33 Resumen Rozamiento dependiente de la velocidad Velocidad terminal Coordenadas polares 33

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