2. KEPLER: LAS LEYES PLANETARIAS. Una herencia maravillosa

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1 2. KEPLER: LAS LEYES PLANETARIAS Una herencia maravillosa Johannes Kepler ( ) ingresó en la universidad de Tübingen en Allí estudió matemáticas con el profesor Michael Maestlin ( ), de quien adquirió los elementos de la astronomía matemática y la primera noticia de la obra de Nicolás Copérnico ( ). Convencido de la verdad del sistema heliocéntrico, se propuso en seguida hallar las claves de la armonía divina del sistema solar a impulsos de su profunda religiosidad. Kepler primero trató sin éxito de explicar los tamaños de las sucesivas órbitas empleadas por Copérnico, inscribiéndolas en polígonos regulares. Pasó a ensayar con poliedros en lugar de figuras planas y descubrió, llevado de su inspiración mística, que con los cinco poliedros regulares asociados por el filósofo Platón a los cinco elementos naturales (fuego, aire, tierra, éter y agua), podían definirse los intervalos entre las órbitas de los seis planetas conocidos. Creyendo que la validez de su teoría se confirmaría con observaciones más precisas que las de Copérnico, Kepler se dirigió al famoso astrónomo Tycho Brahe, y en 1600 logró finalmente emplearse como su asistente en Praga. Pero Tycho, de carácter receloso y difícil, solo accedió a dejarle trabajar con sus observaciones de Marte, consciente de asignarle la tarea más difícil. Tycho falleció un año después, con lo que la totalidad de los datos, acumulados durante treinta años de meticuloso trabajo, paso providencialmente a manos de Kepler, el hombre mejor dotado para extraer todo su valor. Una órbita intratable La astronomía clásica se basaba en el prejuicio metafísico de que los cuerpos celestes solo podían girar en círculos perfectos a velocidad uniforme, pero estaba claro que los datos observados de las órbitas de los planetas no se adaptaban a esta hipótesis. Del cál-

2 culo de la velocidad angular de traslación de la Tierra, se podía asumir que la orbita fuera circular debido a su pequeña excentricidad, pero con las órbitas de otros planetas las discrepancias de las observaciones eran importantes. Ante esta situación, Kepler se propuso ignorar el dogma clásico y obtener directamente de los datos observados algún tipo de órbita no exactamente circular. Continuó con el estudio de la órbita de Marte, cuyas discrepancias eran con mucho las mayores de todos los planetas, consciente de que si podía resolver el caso de este planeta le sería posible determinar después la forma de las órbitas de todos los demás. Primero se puso a buscar la verdadera trayectoria marciana estudiando combinaciones de arcos de círculo mediante la geometría de Euclides, la única herramienta que él reconocía apropiada para el estudio de los cielos. Tras intentar en vano ajustar los datos al clásico giro circular referido a un punto excéntrico, encontró que la órbita resultaba más bien oval Kepler probó entonces con la composición de dos movimientos circulares distintos: uno debido a la acción del Sol, variando con la distancia, y otro propio del planeta, en rotación uniforme por un imaginario epiciclo. La hipotética órbita resultante sería un ovoide, comprendido en un círculo excéntrico normal excepto en los extremos. Que el copernicano Kepler acudiera incluso a componer la trayectoria del planeta al modo tolemaico, años después de haber abandonado por completo la concepción de los epiciclos, da una idea del grado de desconcierto al que había llegado en su guerra marciana.

3 Figura 3 Después de largos y tediosos trabajos sobre la hipótesis del epiciclo sin lograr resultados, acertó a detectar una congruencia numérica entre el exceso del círculo principal sobre la órbita verdadera y el ángulo E descrito por la proyección vertical del planeta sobre el círculo principal, llamado anomalía excéntrica (Figura 3). A partir de este hallazgo y mediante complejas construcciones geométricas, Kepler halló su famosa ecuación M = E ε sen E, siendo M la anomalía media o ángulo que recorre el planeta uniformemente por el círculo principal, ε la excentricidad elíptica (ε = FC/a en la figura). La ecuación de Kepler no tiene solución fácil por ser una ecuación trascendente, donde la incógnita E no se puede despejar en términos de funciones elementales. En su Epitome, publicado en 1621, Kepler propuso para esta ecuación una solución iterativa, a partir de valores de M basados en la velocidad angular media de traslación del planeta. Las Tablas Rudolfinas que publicó Kepler más tarde, destinadas a determinar las posiciones de los planetas, sus longitudes celestes en un tiempo dado, estaban basada en esta ecuación, es decir, en el cálculo de las anomalías excéntricas. Par-

4 tiendo de la anomalía excéntrica, Kepler halló también que para el radio vector r, o distancia variable Sol planeta se cumple que: r = a + εa cos E expresión que resulta ser una forma de la ecuación de la elipse, cuyo foco está en el Sol, donde a es el semieje mayor y εa es la distancia del Sol al centro de la órbita. Leyes planetarias De esta forma, tras cinco años de incesantes cálculos resolvió Kepler al fin el gran problema del planeta intratable que en el pasado había doblegado al genio de Eudoxus y había sido el obstáculo máximo de los astrónomos alejandrinos. La nueva teoría no sólo satisfacía las observaciones astronómicas anotadas, sino que ninguna otra hipótesis podía comparársele, ya que cada alternativa propuesta producía importantes diferencias, imposibles de achacarlas a errores de observación. Al contrario que sus predecesores, Kepler no había producido una mera hipótesis para salvar las apariencias y construir tablas aproximadas del movimiento del planeta, sino que había hallado, por primera vez en la historia, la forma verdadera de la órbita en el espacio. Cuando publicó "Astronomía Nova", en 1608, Kepler estableció una prueba geométrica rigurosa de que el punto típico que había construido, es decir el foco ocupado por el Sol, satisfacía la propiedad de proporción que define una elipse. Basado en la solidez de sus razonamientos, Kepler pudo más tarde generalizar, estableciendo lo que se conoce como su primera ley del movimiento planetario: Todos los planetas se mueven por órbitas en forma de elipse, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. En la "Astronomía Nova", Kepler incluye también su descubrimiento de que, en la órbita elíptica planetaria, el radio vector del planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ecuación se conoce como su segunda ley aunque la descubrió antes que la primera, puesto que aplicó la ley de las áreas para deducir la ecuación de la anomalía excéntrica. Convencido de que la causa del movimiento de los planetas era una fuerza magnética procedente del Sol, Kepler dedujo que la velocidad a lo largo de la órbita debía ser inversamente proporcional a la distancia y, en consecuencia, el corto tiempo que el planeta tarda en pasar por un arco muy pequeño de la órbita sería proporcional al radio vector. De ahí estimó que la suma de los tiem-

5 pos invertidos en recorrer la suma de diminutos arcos de un arco dado de la órbita sería proporcional a la suma de todos los radios vectores, y consideró equivalente esa suma al área del sector descrito por el radio vector. De considerar así el tiempo invertido en describir un arco de órbita proporcional al área del sector barrido, se desprende que se hayan de barrer áreas iguales en tiempos iguales y, al ser los arcos descritos en el perihelio mayores que en el afelio, que la velocidad en la órbita no sea uniforme, sino que sea máxima en la proximidad de perihelio y mínima en la proximidad del afelio (Figura 4). Figura 4 En Harmonice Mundi, publicado en 1619 después de otros diez años de trabajo, Kepler extendió a los otros planetas las dos leyes, que había probado primero para Marte. Poco antes de finalizar esta obra, Kepler descubrió la tercera ley que lleva su nombre: Los cuadrados de los periodos (T) de revolución alrededor del Sol de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol (a): T 2 /a 3 = K siendo K una constante dependiente exclusivamente del Sol i. Éste era el lazo final entre la velocidad de los planetas y su distancia al Sol que Kepler había estado buscando desde el principio de su carrera. No dedujo esta ley clave de la dinámica planetaria mediante una secuencia de razonamientos matemáticos, como con las dos leyes anteriores. Siguiendo con paciencia y tenacidad método de ensayo y error, hizo primero muchas series de comparaciones de

6 las velocidades instantáneas y de los periodos y las distancias de los distintos planetas, pero sin conseguir hallar ninguna relación notable. Ensayó finalmente comparaciones de potencias de estos números, y encontró por fin que los de su tercera ley daban una adecuación empírica exacta. Las tres leyes de Kepler proporcionaron una solución definitiva al antiguo problema de descubrir un sistema astronómico que a la vez salvara las apariencias y describiera las verdaderas trayectorias de los planetas a través del espacio. i La formulación actual, con la constante evaluada es: T 2 / r 3 = 4 π 2 / G M donde r es el semieje mayor de la elipse, G, la constante universal de gravitación y M la masa de la estrella.

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