Funciones. f(x) = 2 2 x 2. 2x + 5 si 9 < x. x 4 si x < Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones

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1 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Funciones 1. Hallar Dominio y Recorrido de la función: x. Sea f : R R definida por: x + 5 si 9 < x x x si 9 x 9 x 4 si x < 9, Determine: (a) f(3), f(1), f(9), f(f(5)). (b) Dominio y recorrido de f. 3. Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones (a) f 1 (x) = f(x 3) (b) f (x) = f(x 5) (c) f 3 (x) = f( x ) (d) f 4 (x) = f(3x ) 4. Dadas las funciones reales x + 1 y g(x) = x 3. Para que valores de x R se tiene que (f g)(x) = (g f)(x). 5. Sean x, g(x) = 1, h(x) = sin(x). Encuentre el dominio de: f + g, g h, x g h g, g g, f g. 6. Sea f ij : R R definida por f ij (x) = ix + j con i, j R (a) Pruebe que f 1j f i0 = f ij (b) Para i 0, pruebe que f ij es biyectiva. (c) Para i 0, obtener f 1 ij. 1

2 7. Dadas las funciones { x 1 si x > 0 x 1 si x 0 y g(x) = { x 1 si x > 1 x 1 si x 1 Demuestre que f es biyección sobre R, pero g no lo es y determine g f Sean x + x y g(x) = { x si x < 0 x si x 0. Demuestre que f g = g f. 9. Sean a, b R tales que a b 0. Se define la función f : R R, por f(x, y) = (ax + by, bx + ay). (a) Demuestre que f es una biyección. (b) Hallar explicitamente f Sean f y g definidas por { x + si x > 0 x + si x 0 g(x) = { x + 5 si x > 3 x 3 si x 3 Determine g(f(x)). 11. Considerar f : ] 1, 1[ R tal que x 1 x (a) Pruebe que f es una biyección y hallar f 1. (b) Graficar ambas funciones, en un mismo dibujo. Comprobar que son simétricas respecto de la recta y = x. (c) Verifique que (fof 1 )(x) = x x R y que (f 1 of)(x) = x x ] 1, 1[. 1. Probar cada una de las siguientes propiedades. (a) f es estrictamente creciente f inyectiva. Observar que lo mismo ocurre si f es estrictamente decreciente. (Haga un gráfico, para tener una idea geométrica) (b) g es función par fog es par. (c) f par y g impar fog es par. (d) f y g impares fog es impar. 13. Si f es una función real. Probar que las función es siempre par. g(x) = 1 (f(x) + f( x))

3 14. Pruebe que toda función definida en R se puede escribir de manera única, como suma de una función par y una función impar. 15. Verificar: (a) x 3 es estrictamente creciente. Graficar. (b) g(x) = x 3 x + 1 es impar. (c) Comprobar que la función g(x) = (x )(x 3), no es creciente ni decreciente. (Haga un gráfico para tener una idea de lo que se debe hacer). 16. Sea f : X Y función; A, B X. Probar que se cumplen las siguientes propiedades: (a) Si A B entonces f(a) f(b). (b) f(a B) = f(a) f(b). c) f(a B) f(a) f(b). Donde f(a) = {y Y / x A : y } 17. Probar: (a) f, g inyectivas fog es inyectiva. (b) f, g epiyectivas fog es epiyectiva. (c) Concluya que si f, g son biyectivas fog es biyectiva y pruebe que. (d) gof es inyectiva f es inyectiva. (e) gof es epiyectiva g es epiyectiva 18. Considerar f : R {} R {1} tal que (fog) 1 = g 1 of 1 x + 3 x Pruebe que f es una biyección y hallar f Sea f : R R definida de la siguiente forma: { x + 1, x 0 x + 1, x < 0 Pruebe que f es una biyección y hallar f 1. 3

4 0. Analizar completamente las siguientes funciones y graficarlas: (a) x (x 1) (b) g(x) = x 1 x (c) h(x) = 1 9 x (d) x + 1 x + x + 1 (e) 3x x + 1 (f) β(x) = x + x 3 (g) y = (x )(x 1)(x + 1) (h) z(x) = (i) y = 1 x x x x + x (j) x4 x x 1 (k) g(x) = x + 1 x (l) y = x + 1 x 1 (m) g(x) = ln (x 4) Observar que ln(x) solo está definido en R +. (n) y = { x ln(x), x 0 0, x = 0 4

5 (o) y = 1 e x Nota: Analizarlas completamente significa: inyectivas; epiyectivas; biyectivas; hallar la inversa, si corresponde (buscar un dominio y un recorrido de tal forma que la función sea biyectiva); es par; impar; signos; comportamientos en el infinito y en asintotas verticales; etc Graficar la función { x si 0 x < 1 x si 1 x <, sabiendo que Dom(f) = R, que f es impar y que f es periódica de período 4. x +. Estudiar, determinando dominio, paridad, signos, raíces, x crecimiento y recorrido. Además bosqueje un gráfico de f. 3. Sea f : R R dada por max{x x ; x}. Demuestre que f es biyectiva y determine su inversa. x 4. Sea g : R {, } R, definida por g(x) = x. Pruebe que g no es inyectiva, haga un bosquejo del gráfico y determine el conjunto g 1 (], [). 5. Sea f : R { 1, 1} R tal que x + 1 x Sea (a) Demuestre que f no es inyectiva. (b) Calcular f 1 ([ 1, 1]). (c) Sea g : [0, 1[ R definida por g(x) = f(x). Demuestre que g(x) es inyectiva. (d) Restrinja el recorrido de modo de obtener a partir de g una función biyectiva y calcule su inversa. ( 1) 1 + [x] 1 x si 1 x 0 x 1 si 0 < x 1 [x] 1 1 si x > 1 x 1 ó x < 1 Encuentre el mayor subconjunto A R para que f : A R sea función. 7. Sea f : R R no identicamente nula, tal que para todo x, y en R se tiene f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y). (a) Probar que f(0) = 0 y f(1) = 1. 5

6 (b) Calcular f(x) para x N, luego para x Z y por último para x Q. (c) Probar que x 0 implica que f(x) 0. Deducir que f es monótona creciente. (d) Probar que sup{f(r) : r x, r Q} y que x para todo x R 8. (a) Un granjero tiene 100 metros de valla con la que construir un gallinero rectangular. Si x es la longitud de un lado, probar que el área encerrada es A = 50x x = 65 (x 5) Usar este resultado para hallar el área más grande posible y las longitudes de los lados que dan dicha área. (b) Supongamos que el granjero del apartado (a) decide construir el gallinero contra una pared del granero, de modo que solamente tenga que vallar tres lados del rectángulo. Si x es la longitud de un lado perpendicular a la pared del granero, hallar el área encerrada como función de x. Hallar también el área más grande posible y las longitudes de los lados que dan dicha área. 9. Sea Ω un conjunto finito y Σ su conjunto potencia. Una función P : Σ [0, 1] se llama función de probabilidad si P satisface: (i) P (Ω) = 1 (ii) P (A B) = P (A) + P (B) si A B = (a) Demuestre que P (A c ) = 1 P (A) (b) Demuestre que P ( ) = 0 (c) Sea f : Σ [0, 1] tal que f(a) = A donde A denota la cardinalidad de Ω A. Demuestre que f es función de probabilidad. (d) Sea B Σ. Se define F B : Σ [0, 1] por F B = (A B). Demuestre que B F B es función de probabilidad. (e) Sean A, B Σ. Es verdad que P (A B) = P (A) P (B) 6

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