( ) x y dxdy. x y dxdy y. sin 2θ 2 = = = x y dxdy. 3 4y y ln. 1

Transcripción

1 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial. Evaluar la integral, pasando a coordenadas polares: Solución: haciendo los siguientes cambios, ( ) 4y 4y 4y x y y 4y 4y 4 4 4y x y sin θ x y = r ( sinθcosθ ) rdθdr = r rdθdr r cos4θ r sin4θ r r dθdr = θ dr = dr = y x y = 4y 4 x = cosθ = sinθ y graficando la región de integración: = rdθdr. Calcular por integración doble el área de la región determinada por las curvas y = x x = 4y y Solución: Primeramente debemos graficar la región y luego aplicar la formula Area = da, por los visto en la grafica es conveniente integrar primero respecto a x. 9 Area = [ u ] 4yy Area = da = = ( y y ) dy = y y y. Determinar las coordenadas del centro geométrico de la región plana limitada por x + y 5 = xy = 6 Solución: la región será similar a: Donde los puntos de intersección de las funciones son: (,) (,) 5 ln 5y 6 y Area = da = 6 (5 y ) dy 5y 6ln y [ u] = = = y y jny_hc@hotmail.com

2 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial 5 6 x 5 x x 5x y + Mx yda x = = 6 ydydx dx dx = = 6 x x x Mx = 5x 5x + + = Mx = x El momento en y será el mismo que el momento en x, ya que las integrales son similares tanto en la función a n los limites. 5y 8 My Mx My = xda = 6 x My = Luego calculamos el centro geométrico x = y = Area Area ( x y) y 6 6, =, es el centro geométrico. 5 ln 5 ln 4. Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por la hoja del cono z = x + y e inferiormente por el disco ( x ) y +. ( sup inf) :( ) de acuerdo con la anterior integral, se Volumen = S S da = x + y x + y Solución: ( ) { observa que lo aconsejable es trabajar en coordenadas polares. ( ) θ { Volumen = r rdrd : r cosθ Donde la región de integración es el disco de la figura cosθ cosθ r ( ) θ Volumen = r rdrd = r dθ cosθ 8cos θ 4cos θ dθ + cosθ cos θ = cos θ = cosθ sin θcosθ ( θ θ θ ) cos 8 cos sin cos + θ Volumen = 4 sin θ Volumen = θ + sinθ sin θ = Volumen = [ u] 9 cosθ dθ jny_hc@hotmail.com

3 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial y 5. Cambiar el orden de integración y f( x, y) y =, y = Solución: de la integral obtenemos las siguientes funciones x = y, x = y De acuerdo a la grafica la integral se divide en dos regiones: y y = + r r f( x, y) f( x, y) dydx f( x, y) dydx y x x f( x, y) = f( x, y) dydx + f( x, y) dydx y luego procedemos a graficar la región de integración. 6. Calcular c x + y ds, donde c: x + y = ax Solución: parametrizando la región y la función. x = rcost x = acostcost = acos t c: r = acos t f() t = ( acos t, acostsin t) y = rsint y = acostsint 4 4 f( y)' = 4a cos tsin t + a sin t a cos tsin t + a cos t = ( asin t + acos t) = a ds = adt c x + y ds = a costdt = a { sent} x + y ds = a c 7. Una lamina ocupa un triángulo de vértices (,), (,) y (,) y tiene una densidad de δ ( x, y) = x y en el punto ( x, y ), hallar su centro de masa. Solución: y y y m = δ( x, y) da = yx y ydy = = = x 6 x y x x 4 My = x ydydx = x dx = x dx = = 6 x 6 x y x My = x y dydx = x dx = xdx = 6 My Mx 5 ( x, y) =, ( x, y) =, m m Calcular por integrales triples, el volumen en el primer octante del sólido limitado por x + y = 5 y los planos 4y = x, z =, z = x (sugerencia: arctan = arcsin 4 5 ). Solución: por lo que observamos en la figura es aconsejable trabajar en coordenadas polares. = jny_hc@hotmail.com

4 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial 4 5x x 5 rcosθ 5 rcosθ 5 x { } arctan arctan arctan Volumen = dzdydx = rdzdrdθ = r z drdθ = r cosθdrdθ 5 r cos arctan arctan Volumen = θ dθ = cosθdθ = { sinθ} = sin arctan arctan si, arctan = arcsin Volumen = u 4 5 x y =, x y = 9. Calcular la integral ( x + y ), evaluada en la región del plano xy, limitada por xy = 4, xy = 8 Solución: graficando la región, por lo que se ve tanto en la región como en la integral doble, lo aconsejable es realizar una transformación: x, y x y = u ( x + y ) = ψ( u, v) J dudv u, v ' xy = v x, y J u v = = = = u, v u u x y + J x, y x y y x v v x y, ( x y ) Volviendo a la integral con los cambios respectivos, y volviendo a graficar la región: u = u = ( x + y ) = ( x + y ) dudv = dudv ' ( ) 4 ' x + y ' v = v = 8 8 = dudv ( x + y ) = 6 4. Calcular x y donde esta limitado por las rectas x =, y =, x =, y = x y = u x = u + v x, y Solución: aplicando una transformada del tipo x y = uj dvdu y = v v = y u, v ' x, y x, y uj dvdu J u, v = = u, v ' Aplicando transformada en coordenadas curvilíneas a la integral y a la región, tomando en cuenta las propiedades de valor absoluto, esta integral se divide en dos regiones y jny_hc@hotmail.com 4

5 u u u u u < De acuerdo con la definición de valor absoluto, se tiene. x, y u u J dvdu udvdu udvdu udvdu udvdu u, v = = u ' u u{ v} du { } ( ) ( ) u v du u u du u = = u + u du u u u u = + x y = Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial. Cambiar el orden de integración: y / dy f( x, y) dx y Solución: graficando la región de integración según las siguientes funciones obtenidas de los límites de integración: y x =, x = y y = ± Como se observa en la grafica al cambiar el orden de integración esta integral se divide en tres regiones y / dy f( x, y) dx = f( x, y) dydx + f( x, y) dydx + f( x, y) dydx y ' Delimitando : y varia de y = x +, hasta y = x +, x varia de x =, hasta x =. Delimitando : y varia de y = x +, hasta y = x, x varia de x =, hasta x =. Delimitando : y varia de y = x, hastay = x +, x varia de x =, hasta x =. Por lo tanto la integral queda de la siguiente manera: y / x+ x x+ dy f( x, y) dx = f( x, y) dydx + f( x, y) dydx + f( x, y) dydx y x+ x+ x. Calcular sgn( + ) x y Solución: para resolver este tipo de integrales donde la función a integral es un una función discontinua, lo primero que debemos hacer es dibujar la región de integración y posteriormente analizar como se comporta la función discontinua dentro de la región de integración. x y + < sgn( x y + ) x y + = x y + > Ahora grafiquemos la región de integración conjuntamente con las inecuaciones anteriores: Como se ve en la gráfica la región de integración se divide en 8 regiones donde solamente tomaremos una de cada caso por ser simétrica. jny_hc@hotmail.com 5

6 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial sgn( x y + ) = 4 4 Delimitando (trabajado en coordenadas polares) como se observa en la figura se divide en dos regiones más pequeñas: x + y = 4 r = x y = r = = sin cos sin cos / / sin cos / / sin cos / / r r d = rdrd + rdrd = d + d = d + = sin cos / / / 7 / / tan d 7 = = lntan( + ) = lntan( ) + lntan( ) = + ln cos 4 / 4 tan 4 / ( + ) = + ln = + ln( + ) Delimitando como se observa en la grafica lo más recomendable es trabajar nuevamente en coordenadas polares: / / / dydx = rdrd = 4 d = + d = + lntan( + ) sin cos cos 4 / / / sin cos tan 4 dydx ln ln = + ln ( 7 ) = + = + tan ( + ) Por ultimo reemplazamos la integral en: sgn( x y + ) = 4 + ln ( + ) 4 ln ( + ) = 4 + ln ( + ) ( ) x y + == + + = + + sgn( ) 4 ln 4 ln / / Aplicando la siguiente igualdad para el radical doble: A + C A C A ± B = ± = C A B = + = sgn( x y ) 8ln + = + jny_hc@hotmail.com 6

7 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial. Demuestre que el volumen del cono de altura H y radio esta dada por la formula V = H Solución: para demostrar el volumen del cono, debemos tomar en cuenta la siguiente ecuación: z = x + y Ssup = H V = ( SsupSinf) V = ( H x + y ) Sinf = z = x + y Como la región de integración es una circunferencia de centro en el origen y de radio r r ( ) ( ) ( ) V = H x + y = H r rdrd = H r rdrd = H d H H V = d = Como el punto P(,, H) pertenece a la ecuación z = x + y H = + H = V = H jny_hc@hotmail.com 7

8 Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial INTEGALES MÚLTIPLES Y APLICACIONES:. CALCULO DIECTO DE UNA INTEGAL DOBLE. Si el recinto viene dado por las desigualdades: a x b, y( x) y y ( x), entonces tenemos la siguiente igualdad: b y( x) f( x, y) = f( x, y). CAMBIO DE VAIABLE EN UNA INTEGAL DOBLE. Si las funciones, con diferenciales continuas, x = xuv (, ) y = y( x, y) realizan una transformación biyectiva del recinto cerrado y acotado del plano Oxy en el recinto ' del plano Ouv, y el jacobiano x, y J = I uv,, entonces se verifica la fórmula: f( x, y) = f( xuv (, ), yuv (, )) I dudv. COODENADAS POLAES. Según las fórmulas x = rcos, y = rsin se tiene: ' f( x, y) = f( rcos, rsin ) rdrd ' a y( x) 4. CALCULO DE ÁEAS. El área del un recito S situado en el plano Oxy viene dado por la fórmula: S 5. CALCULO DE VOLÚMENES. El volumen de un cilindro, limitado por arriba por una superficie continua z = f( x, y), por debajo el plano z =, y lateralmente por un superpie cilíndrica recta, que corta en el plano Oxy un recinto cuadriculadle, es igual a: V f( x, y) = 6. CALCULO DE ÁEAS DE SUPEFICIES. El área de un superficie lisa z = z( x, y), se expresa de la siguiente manera z z S = + +, donde es la proyección de la superficie sobre el plano xy. x y 7. APLICACIONES A LA MECÁNICA. o CENTO DE GAVEDAD.- si el punto P( x, y ) son las coordenadas del centro de gravedad de una lamina, y ρ = ρ( x, y) es la densidad de la lámina (nota: si la lamina es homogénea se debe hacer ρ = ) x = ρ( x, y) x, y ρ( x, y) y M = M Donde M = ρ( x, y) o MOMENTOS DE INECIA.- los momentos de inercia de una lamina, situada en el plano xy, se expresan por las formulas. Ix = ρ( x, y) y, Iy = ρ( x, y) x ρ = ρ x y es la densidad de la lamina donde (, ) o MOMENTO DE INECIA CENTIFUGO.- viene dada por: Ixy ρ( x, y) xy 8. INTEGALES TIPLES.- si la función f( x, y, z) esta acotado y se define por las siguientes desigualdades: x x x, y( x) y y ( x), z( x, y) z z ( x, y) Entonces tenemos la siguiente igualdad: V x y( x) z( x, y) x y( x) z( x, y) = f( x, y, zdz ) = f( x, y, z) dz 9. CAMBIO DE VAIABLE EN UNA INTEGAL TIPLE.- si el recinto V esta acotado en el espacio xyz, este se transforma en el recito V en el espacio uvw, mediante la funciones. x = xuvw (,, ), y = yuvw (,, ), z = zuvw (,, ), entonces: f( x, y, zdz ) = f( xuvw (,, ), yuvw (,, ), zuvw (,, )) I dudvdw Donde V V' = I J x, y, z = uvw,, S jny_hc@hotmail.com 8

9 . CALCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE INTEGALES TIPLES.- V = V Cálculo II Exámenes esueltos Tercer Parcial dz x, y, z. SISTEMAS DE COODENADAS CILÍNDICAS.- x = rcos, y = rsin, z = h I = J = r r,, h. SISTEMAS DE COODENADAS ESFÉICAS.- x, y, z x = rcoscos α, y = rsincos α, z = rsinα I = J = r cosα r,, α jny_hc@hotmail.com 9