Cálculo III (0253) TEMA 3 INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES. Semestre

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1 Cálculo III (05) Semestre -009 TEMA INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES Y SUS APLICACIONES Semestre -009 Octubre 009

2 U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus aplicaciones. La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en Ingeniería. Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: quinterodavila@hotmail.com.

3 INDICE GENERAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA.1. La integral doble.. Propiedades de la integral doble.. Cálculo de la integral doble.4. Cambio de variables en la integral doble.5. Momentos y centro de masa.6. Momento de inercia.7. Ejercicios resueltos.8. La integral triple.9. Cambio de variables en la integral triple.10. Coordenadas cilíndricas.11. Coordenadaas esféricas.1. Aplicaciones de las integrales triples.1. Ejercicios resueltos.14. Ejercicios propuestos

4 LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 46 de LA INTEGRAL DOBLE Sea F una región de área A del plano xy, F incluye su frontera (Región Cerrada). Subdividimos al plano xy en rectángulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas (figura 1). Partiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F), numeramos sistemáticamente todos los rectángulos que están dentro de F. Supongamos que hay n de tales rectángulos y los designamos con r 1, r,...,r n. Figura 1. Intuición geométrica del área para la integral doble Se utilizan los símbolos A(r 1 ), A(r ),..., A(r n ) para las áreas de estos rectángulos. El conjunto de los n rectángulos {r 1, r,..., r n } se llama una subdivisión de F. La norma de la subdivisión que generalmente se indica con, es la longitud de la diagonal del mayor rectángulo de la subdivisión. Suponga que z = f(x, y) es una función definida para todo (x,y) de la región F. La definición para la integral doble de f sobre la región F es análoga a la definición de integrales para funciones de una variable. Se elige un punto arbitrario en cada uno de los rectángulos de la subdivisión, designando las coordenadas del punto en el rectángulo r i con (ξ i,,η i ). Ahora formamos la suma: f(ξ 1,η 1 ). A(r 1 ) + f(ξ,η ). A(r ) f(ξ n,η n ) A(r n ).

5 LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 47 de 05 En forma compacta n f( ξi, ηi)a(r) i. (1) i= 1 Esta suma es una aproximación a la integral doble que se definirá; y se denomina suma integral. Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier norma positiva y con el iésimo punto (ξ i,η i ) elegido en forma arbitraria en el rectángulo r i. Definición 1. si dado un n n + i= 1 ξ > 0; δ > 0/ lím f( ξ, η )A(r) = L n i= 1 i i i f( ξ, η ).A(r) L < ε i i i para toda subdivisión con < δ y para todas las elecciones posibles de los puntos (ξ i,η i ) en los rectángulos r i. Puede demostrarse que si el número L existe entonces debe ser único. Definición. Si f está definida en una región F y el número L, definido anteriormente, existe, se dice que f es integrable sobre F, y se escribe: f(x, y)da. F A está expresión se le llamará también integral doble de f sobre F. La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Cada término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (r i ) y altura h = f( ξi, η i). Siendo z = f(x, y) una función continua en el dominio cerrado representado por la región F, la sumatoria (1) tiene un límite si n tiende a infinito. Siendo este límite siempre el mismo, cualquiera sea el modo de la división del dominio de los elementos r i, y la selección del punto de coordenadas (ξ i, η i ) en los dominios parciales r i. Este límite se llama integral doble de la función f(x,y) sobre F y si f(x,y) 0, la integral doble es igual al volumen del cuerpo limitado por la superficie z = f(x, y), el plano z = 0 y la superficie cuyas generatrices son paralelas al eje 0z a través de la frontera de F. (figura ) V(s) = f(x, y)da, siendo V(s) el volumen del sólido definido por (x,y) F^ 0 z f(x,y). F

6 LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 48 de 05 Figura. Intuición geométrica del volumen para la integral doble.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE Se enunciarán varias propiedades de las integrales dobles en analogía con las propiedades de la integral definida de funciones de una variable. a. Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y c.f(x, y)da = c f(x, y)da. F F b. Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces f(x, y) + g(x, y) da = f(x, y)da + g(x, y)da. F F F c. Suponga que f es integrable sobre una región cerrada F y m f(x,y) M (x,y) F entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos. F m.a(f) f(x, y)da M.A(F)

7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 49 de 05 d. Si f y g son integrables sobre F y f(x,y) g(x,y) (x,y) F, entonces F f(x, y)da F g(x, y)da e. Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F 1 y F ; es decir F1 F = y F 1 F = F y si f(x,y) es continua en F se tiene f(x, y)da = f(x, y)da + f(x, y)da F F1 F.. CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE La definición de integral doble no es muy útil para la evaluación en cualquier caso particular. Naturalmente, puede suceder que la función f(x,y) y la región F sean simples, de manera que el límite de la suma (1) pueda calcularse directamente. Sin embargo, en general no se pueden determinar tales límites. Como en el caso de las integrales simples, conviene desarrollar métodos simples y de rutina para determinar el valor de una integral doble dada. Sea F en rectángulo cuyos lados son x = a, x = b, y = c, y = d (ver figura ). Figura. Intuición geométrica de la definición de integral doble respecto a x Se supone que z = f(x,y) es continua en cada (x,y) F. Se forma la integral simple con

8 CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 50 de 05 a b f(x, y)dx donde se mantiene fijo y al realizar la integración. Naturalmente, el valor de la integral anterior dependerá del valor utilizado para y o sea que se puede escribir: A(y) a b = f(x, y)dx. La función A(y) está definida para c y d y se puede demostrar que si f(x,y) es continua en F entonces A(y) es continua en [c,d]. Se puede calcular la integral de A(y) y se escribe mediante la forma dada por la integral d d b. () c c a A(y) = A(y)dy = f(x, y)dx dy Se podría haber fijado primero x, luego formar la integral entonces B(x) = c d f(x, y)dy b b d B(x)dx = f(x, y)dy dx. () a a c Observe que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de integrales iteradas. En () se integra primero con respecto a x (considerando y constante) y luego con respecto a y; en () se integra utilizando un orden inverso. Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas. Ejemplo 1. Dada la función f(x, y) = xy la región triangular F limitada por las rectas de ecuaciones y = 0, y = x, x =, halle los valores de ambas integrales iteradas. Integrando respecto a y primero se tiene:

9 CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 51 de 05 Integrando en x se tiene: x x xy 4x xydydx = dx = dx = yx y xydxdy = dy y dy y/ 0 = = y/ 0. Ejemplo. a. b. x y x 7 x ydydx = x ydy dx = dx = x dx = yx 7 x ydxdy = x ydx dy = dy = 9ydy = Ejemplo. Halle el volumen del sólido S que está limitado por x =, y = y los tres planos coordenados. 0 0 V = (16 x y )dxdy = 48. x + y + z = 16, los planos Ejemplo 4. Evalúe D (x + y)da, donde D es la región limitada por las parábolas y = x, y = 1 + x x 1 x (x + y)dydx = CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE Sean S y T dos regiones de R. Sea F : T S una aplicación biyectiva definida por F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), esto es, por el par de funciones

10 CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 5 de 05 x = x(u, v). y = y(u, v) La transformación inversa F 1 :S T está dada por el par de funciones u = u(x, y). v = v(x, y) Bajo ciertas hipótesis (de continuidad y diferenciabilidad) se verifica la siguiente fórmula de transformación para integrales dobles (x,y) f(x, y)da = f[x(u, v), y(u, v)] da, (u,v) S T donde (x,y) (u,v) indica el jacobiano de la transformación F, es decir el determinante: x x (x, y) u v J(u, v) = = (u, v) y y u v. Las hipótesis de continuidad y derivabilidad que se exigen son: a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en T. b. J(u, v) 0 en todo punto (u,v) T. c. f(x,y) es continua sobre S. Cambios de variables frecuentes: a. Coordenadas polares: b. Transformaciones lineales: Se supone ad bc 0. x = r cos( θ) y = rsen( θ), J = r x = au + bv, J = ad bc. y = cu + dv

11 CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 5 de 05 Ejemplo 5. Calcule da, x donde R es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones y = ln(x), y = 1 + ln(x), y = ln(x), y = 1 ln(x). Cambio de variables: Por lo tanto, R u = y ln(x), v = y + ln(x). (v u) u + v x = e, y =. x x v u v u 1 1 v u u v e e 1 e y y 1 1 u v J(u, v) = = =. u u 1 x y x v v 1 x y x 1 J(x, y) = = =. 1 x Nuevas ecuaciones: u = 0, u = 1, v =, v = dvdu = 1. Ejemplo 6. Calcule S x + y dxdy, donde S es el dominio del plano definido por las condiciones x + y 9, x + y 16. Cambio a coordenadas polares: donde S 74π x + y dxdy = r drd θ =, T = {(r, θ) / r 4,0 θ π }. T Ejemplo 7. Usando integrales dobles, encuentre la región encerrada por la curva de ecuación polar r = 1 + cos( θ ) que es exterior a la curva de ecuación polar r = 1. Gráfico (ver figura 4).

12 CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 54 de 05 Figura 4. Representación gráfica de la región del ejemplo 7 π 0 π 1+ cos( θ) π π ÁREA = rdrd θ = (1 + cos( θ)) 1 dθ = cos( θ ) + cos ( θ) dθ π = cos( θ ) + cos ( θ) dθ = +. 4 Ejemplo 8. Plantee la integral I = x y da R eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la región triangular de vértices ( 1, 1), (,) y (0,). x y si (x 0 y 0) (x 0 y 0) x y = x y si (x 0 y 0) (x 0 y 0) (ver figura 5) 0 y 0 y I = x y dxdy x y dxdy + x y dxdy 1 (y ) 0 (y ) 0 0

13 CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 55 de 05 Figura 5. Representación gráfica de la región del ejemplo 8.5. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA Suponga que una lámina ocupa una región R del plano xy y que su densidad viene dada por la función continua ρ (x, y) para todo (x,y) en R. Se define la masa de la lámina mediante la integral doble m = ρ(x, y)da. R Los momentos de la lámina respecto del eje x y el eje y respectivamente, se definen mediante las integrales dadas por x y R R M = y ρ (x,y)da, M = x ρ(x,y)da. Las coordenadas (x,y) del centro de masa de la lámina vienen dadas por My Mx (x,y) =,. m m

14 MOMENTOS Y CENTRO DE MASA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 56 de 05 Ejemplo 9. Halle el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,) si la función de densidad es ρ (x,y) = 1 + x + y. y 1 x 8 m = (1 + x + y)dydx =, x 1 x, x M = x(1 + x + y)dydx = 1 11 (x,y) =, M = y(1 + x + y)dydx = 6 Ejemplo 10. Una lámina tiene la forma de la región del plano xy limitada por las curvas y = x, y = 8x, xy =, xy = 9. Calcule la masa de la lámina si la densidad en cada punto (x,y) de ella está dada por ρ (x, y) = xy. Cambios de variable: u = y / x, v = xy u u y y x y y y y x x v v x x x x y (u, v) 1 J(x, y) = = = = = = u J(u, v) =. (x, y) u y x Región actual (ver figura 6) Figura 6. Región actual del ejemplo 10 Región nueva (ver figura 7)

15 MOMENTOS Y CENTRO DE MASA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 57 de 05 Figura 7. Región nueva del ejemplo v m = dudv = 4 ln(). u.6. MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia (también llamado segundo momento) de una partícula de masa m alrededor de un eje se define como mr, donde r es la distancia de la partícula al eje. El momento de inercia de un cuerpo es considerado como una medida de la resistencia a girar cuando actúa en él una fuerza de rotación. En particular si el eje de giro es el eje X o el eje Y entonces el momento de inercia respecto al eje X o al eje Y es respectivamente x y. R R I = y ρ (x, y)da, I = x ρ(x, y)da La suma de estos dos momentos se llama momento polar de inercia y se denota como I 0. Así se tiene que 0 x y, R I = I + I = (x + y ) ρ(x,y)da

16 MOMENTO DE INERCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 58 de 05 donde I 0 también es el momento de inercia respecto del eje z. Ejemplo 11. Una lámina tiene la forma de la región limitada por densidad es ρ (x,y) = x. Halle los momentos I x, I y, I 0. y = x, y = x y su 1 x 1 x x dydx, Iy = x dydx =, 1 x 15 1 x 5 1 x x = y x dydx =, I 1 x = I x + I y =. 945 m = = I.7. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Al plantear una integral doble sobre una región plana R, se obtuvo la suma de integrales iteradas 1 x+ 6 5 x + 6 f(x, y)dydx + f(x, y)dydx. x+ 6 1 x 1 Dibuje la región R y exprese la integral doble cambiando el orden de integración utilizado. Gráfico (ver figura 8) 4 y+ 1 f(x, y)dxdy. (y 6)/ Figura 8. Gráfica de la región del ejercicio 1

17 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 59 de 05. La integral doble sobre una región S del plano xy viene dada por x a. Grafique la región de integración. Gráfico (ver figura 9) I = xydydx. 0 x b. Exprese I en coordenadas polares. Figura 9. Gráfica de la región S del ejercicio Ecuaciones polares: y = x rsen( θ ) =.r cos( θ) θ = arctg() r = 0 y = x rsen( θ ) = r cos ( θ) r r cos ( θ) sen( θ ) = 0 r = tg( θ)sec( θ) c. Dé una interpretación de lo que calcula I. arctg() tg( θ)sec( θ) r cos( )sen( )drd. 0 0 I = θ θ θ Calcula el volumen de un sólido cuya tapa es la superficie z = xy y cuya base es la región S y con una superficie lateral cilíndrica.. Sea 1 x x 4 x. 1 1 x I = xydydx + xydydx + xydydx a. Plantee I en el orden dxdy. Dibujo de la región de integración (ver figura 10)

18 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 60 de y 4 y I = xydxdy + xydxdy 0 1 y 1 y Figura 10. Gráfica de la región del ejercicio b. Calcule el valor de I. 1 4 y y 1 + y y I1 = xydxdy = y dy = = y 0 4 y 4 4 y y y 7 9 I = xydxdy = y dy = y = 1 = y I = I1 + I = + = La integral doble sobre una región simétrica R del plano, está dada por / x / x / 9 x x y dydx + x y dydx + x y dydx 1/ 1 x / x/ / x/. a. Dibuje la región de integración completa. Intersecciones: (ver figura 11) y = x, x + y = 1. x + x = 1 4x = 1 x = ± (, ) ; (, ) y = x, x + y = 1. y + y = 1 4y = 1 y = ± (, ) ; (, ).

19 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 61 de 05 y = x, x + y = 9. x + x = 9 4x = 9 x = ± (, ) ; (, ). 1 y = x, x + y = 9. y + y = 9 4y = 9 y = ± (, ) ; (, ). Figura 11. Gráfica de la región del ejercicio 4 b. Exprese la integral cambiando el orden de integración. / y / y / 9 y x y dxdy + x y dxdy + x y dxdy 1/ 1 y / y/ / y/. c. Calcule la integral usando coordenadas polares. Transformaciones: x + y = 1 r = 1. π y = x tg( θ ) = θ =. x + y = 9 r =. 1 π x = y tg( θ ) = θ =. 6 π/ π/ 5 5 r cos ( θ)sen ( θ)drdθ = cos ( θ)sen ( θ)dθ r dr π/6 1 π/6 1 π/ π/ π/ cos ( θ)sen ( θ)dθ = sen ( θ)d θ = (1 cos(4 θ))dθ 1 6 π/6 π/6 π/6 π/ 91 sen(4 θ) 91 π 91 π + 91( π + ) θ = + = 4 = π/

20 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 6 de Sea la región D definida como y 1 (x + 1), y 1 (x 1), y 4 x. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el área de la región D en coordenadas: a. cartesianas en el orden dxdy. Gráfico (ver figura 1) Figura 1. Representación gráfica de las curvas del ejercicio 5 b. polares. A = dxdy + dxdy + dxdy y 1 4 y 4 y y 1 0 (x 1) + y = 1 x x + y = 0 r r cos( θ ) = 0 r(r cos( θ )) = 0 x + y = 4 r = π/. 0 cos( θ) A = rdrdθ r = 0 r = cos( θ ) 6. Calcule el área de la región R determinada por las condiciones dadas por x + y x < 0, Gráfico de la región R: (ver figura 1) x + y y > 0, y > 0.

21 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 6 de 05 Figura 1. Gráfica de la región del ejercicio 6 Ecuaciones polares: x + y x = 0 r = r cos( θ) r = cos( θ ). Por tanto: x + y y = 0 r = rsen( θ) r = sen( θ ). π/4 cos( θ) π/4 π/4 π sen( θ) 1 rdrd θ = (cos ( θ) sen ( θ))dθ = cos( θ)dθ = =. 0 sen( ) θ 7. Sea la integral en coordenadas polares π/4 sec( θ) π/ csc( θ) π/4 0 π/ 0 I = rdrdθ + rdrdθ + rdrd θ. Dibuje la región de integración, interprete geométricamente el valor de I y determínelo sin calcular ninguna integral. Gráfico de la región (ver figura 14) π Figura 14. Gráfica de la región del ejercicio 7

22 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 64 de 05 I calcula el área de la región R. Geométricamente se puede calcular el valor como 1 π I = ÁREA CUADRADO + ÁREA CIRCULO = Sea la integral doble sobre una región R en el plano mediante coordenadas polares a. Grafique la región R. Gráfico de la región (ver figura 15) π/ 4cos( θ). 0 I = r drdθ Figura 15. Gráfica de la región R del ejercicio 8 b. Exprese I en coordenadas cartesianas en el orden dydx. 4 (x ) 4 4 (x ) I = (x + y )dydx + (x + y )dydx 1 4 x 0 c. Dé dos interpretaciones físicas de lo que calcula I. Interpretación física 1. Calcula el momento polar de inercia de una lámina homogénea cuya forma corresponde a la región R con función de densidad constante e igual a 1. Interpretación física. Calcula la masa de una lámina cuya forma corresponde a la región R con función de densidad igual a ρ (x, y) = x + y.

23 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 65 de Calcule mediante un cambio de variables conveniente la integral x y (x + y)e da, R donde la región R viene dada por el cuadrilátero de vértices (4,0); (6,); (4,4) y (,). Cambio de variable: u = x + y ; v = x y. 1 Nueva frontera: J(u,v) = x y = 0 v = 0 ; x y = 4 v = 4 ; x + y = 4 u = 4 ; x + y = 8 u = 8 Región actual R: (ver figura 16) Figura 16. Gráfica de la región actual del ejercicio 9 Nueva región T: (ver figura 17) Figura 17. Gráfica de la nueva región del ejercicio 9

24 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 66 de v v (64 16) ue dvdu = udu e dv =.(e 1) = 1(e 1) Calcule el área de la región que satisface las desigualdades dadas por x + y 4y, x + y 4. Gráfico de la región de integración llamada R (ver figura 18) Figura 18. Gráfica de la región del ejercicio 10 Ecuaciones en coordenadas polares: x + y = 4 r =, x + y = 4y r = 4sen( θ ). Intersecciones de las circunferencias: 1 π π = 4sen( θ) sen( θ ) = θ = si θ 0, 6. π/6 π π/6 π r A = rdrdθ + rdrdθ = dθ + dθ rdr 0 4sen( θ) π/ 0 0 4sen( θ) π/ 0 π/6 π/6 = ( 8sen ( θ))dθ + π = ( 4(1 cos( θ)))dθ + π 0 0 π/6 π/6 = ( 4 + 4cos( θ))dθ + π = 4 ( 1 + cos( θ))dθ + π 0 0 π/6 π π 4π = 4( θ + sen( θ )) + π = π = 4 + =

25 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 67 de Calcule donde R = 0, π 0, π. Gráfico de la región (ver figura 19) cos(x + y) da, R Total: π. π/ π/ x 0 0 π/ π 0 π/ x Figura 19. Gráfica de la región del ejercicio 11 π π π/ π/ x π π cos(x + y)dydx + cos(x + y)dydx 0 0 π/ π/ x π/ π π π/ x cos(x + y)dydx cos(x + y)dydx 0 π/ x π/ 0 π cos(x + y)dydx = 1. π cos(x + y)dydx = 1. π π/ π/ x π π/ x / 0 π cos(x + y)dydx = 1. π cos(x + y)dydx = 1.

26 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 68 de Considere 0 si x tg(y) f(x, y) =. 1 si x < tg(y) π π Sea D = 1,,. Plantee la integral en el orden a. dxdy. Gráfico de la región (ver figura 0) D f(x, y)da b. dydx. Figura 0. Representación gráfica de la región del ejercicio 1 D REGIÓN 1 REGIÓN π/ tg(y) π/ f(x, y)da = 1dA + 0dA = dxdy + dxdy D REGIÓN 1 REGIÓN π/4 1 π/ 1 π/ f(x, y)da = 1dA + 0dA = dydx 1 arctg(x)

27 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 69 de Calcule el área de la región del plano xy en el primer cuadrante, interior a las curvas x + y = 4 ; x + (y ) = 4. Gráfico de la región (ver figura 1) Figura 1. Representación gráfica de la región del ejercicio 1 x + y = 4 r= ; x + (y ) = 4 x + y 4y = 0 r 4rsen( θ ) = 0 r = 0 r = 4sen( θ ) π/6 4sen( θ) π/ π/6 4sen( θ) π/ r r I = rdrdθ + rdrdθ = dθ + dθ 0 0 π/ π/6 0 π/6 π/ π/6 π/6 π 0 π/6 0 0 π = 8sen ( θ)dθ + dθ = 8sen ( θ)dθ + π = 4(1 cos( θ))dθ + π π/6 1 π 4π π 4π = 4 θ sen( θ ) + π = + = Calcule 1+ xy e (x + y) x y da, R donde R es la región del plano xy limitada por las curvas 1 xy =, xy =, x + y =, x + y = 4. Región actual D (ver figura )

28 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 70 de 05 Figura. Región actual D de la pregunta 14 Cambios de variable: u = xy, v = x + y. 1 1 d(j(x,y)) y x 1 =. xy = u =, xy = u =, x + y = v =, x + y = 4 v = 4 Región nueva T (ver figura ) Figura. Región nueva T de la pregunta u+ 1 v 1+ u / = = 1 1 e vdudv e 6(e e ).

29 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 71 de Una lámina homogénea tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 4, y = x, y = 4x. Halle el momento de inercia polar. Cambios: u = xy, v = y x (u, v) y x y 1 J(x, y) = = = = = v J(u, v) =. (x, y) x v Curvas: u = 1, u = 4, v =, v = 4 u u x y v v y 1 x y x x u 1 k u k u (1 + v ) k + u.v dudv u dudv dv v = + = v Cálculo de Γ ( ). v v Por definición Entonces 15k 1 + v 15k = dv = =. k = k 4 v t 1/ 1/ u u u u Γ ( ) = e t dt = (u = t u = t udu = dt) e du = e du u u u u v ( ) 4 e du 4 e du e du 4 e du e dv Γ = = = Si se hace el cambio a polares x = r cos( θ ), y = rsen( θ ) se tiene 1 1 Por tanto Γ ( ) = π. π/ π/ (r ) (r ) (u + v ) = 4 e dudv Γ ( ) = 4 e rdrdθ = e ( r)drd θ = π. 17. Cálculo de t e dt. 0

30 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 7 de 05 u u u u v I = e du = e du e du = e du e dv = (u + v ) e dudv 0 0 Si se hace el cambio a polares x = r cos( θ ), y = rsen( θ ) se tiene Por tanto I π =. π/ π/ (r ) 1 (r ) π I = e rdrdθ = e (r)drd θ = Sea f(x) la distribución normal con media µ y desviación estándar σ dada por Se quiere calcular el valor de Si se hace el cambio se obtiene Sea 1 (x µ ). σ 1 f(x) = e < x <. σ π 1 (x µ ). σ 1 I = e dx. σ π x µ dx y = dy = σ σ π 1 y 1 I = e dy. 1y 1u 1v 1(u v ) I = e dy = e du e dv = e dudv π π π. Si se hace el cambio a polares x = r cos( θ ), y = rsen( θ ) se tiene Por lo tanto I = 1.. 1(u v π ) 1(r ) 1 I = e dudv = e rdrd θ =.π = 1 π π π 0 0

31 LA INTEGRAL TRIPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 7 de LA INTEGRAL TRIPLE La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a 0, x= a 1, y = b 0, y = b 1, z = c 0, z = c 1 ; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Se subdivide el espacio en cajas rectángulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B 1, B,..., B n aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. (ver figura 4) Figura 4. Intuición geométrica de la integral triple Se designa con V(B i ) el volumen de la i-ésima caja B i. Se elige un punto de coordenadas Pi(ξ i, η i, γ i ) en B i, esta elección se puede hacer en forma arbitraria. La suma n = i 1 f( ξi, ηi, γi).v(b) i es una aproximación de la integral triple. La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B 1, B,..., B n. Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos P i, a este límite lo llamaremos la integral triple de f sobre R. La expresión

32 LA INTEGRAL TRIPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 74 de 05 se utiliza para representar el límite. R f(x, y, z).dv Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectángular R se obtiene a b c f(x, y, z).dv = f(x, y, z).dz.dy.dx. a 0 b 0 c0 R Observación 1. Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. Ejemplo 1. Evalúe la integral triple xyz dv, B donde B es la caja rectangular dada por B = {(x,y,z) /0 x 1, 1 y,0 z }. B 1 7 xyz dv = xyz dxdydz = Ejemplo 1. Sea Plantee en el orden dxdzdy. 4 x f(x, y, z)dzdydx. 4 x x + y 0 z y z y f(x,y,z)dxdzdy + y z y 0 y z y f(x,y,z)dxdzdy.

33 CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 75 de CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE Sea T una transformación que delimita una región S en un espacio uvw sobre una región R en el espacio xyz por medio de las ecuaciones x = g(u,v,w), y = h(u,v,w), z = k(u,v,w). El jacobiano de T es el siguiente determinante de : x x x u v w (x,y,z) y y y =. (u,v,w) u v w z z z u v w Bajo las mismas hipótesis vistas en integrales dobles, se tiene la siguiente fórmula para integrales triples: R (x,y,z) f(x,y,z)dv = f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) dudvdw. (u,v,w) S.10. COORDENADAS CILÍNDRICAS En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, θ, z), donde r y θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P (ver figura 5). Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares se usan las ecuaciones dadas por x r cos( ), y rsen( ), z z = θ = θ =, mientras que, para convertir de coordenadas retangulares a cilíndricas se usan r = x + y, tg( θ ) = y / x, z = z. Estas coordenadas son preferidas cuando hay simetría alrededor de un eje. Ejemplo 14. Determine el punto con coordenadas cilíndricas (, π /,1) y encuentre sus coordenadas rectangulares. x = cos( π /) = 1, y = sen( π /) =, z = 1.

34 COORDENADAS CILÍNDRICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 76 de 05 Figura 5. Sistema de coordenadas cilíndricas Ejemplo 15. Determine las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares (,, 7). 7π r = =, θ = arctg( 1) =, z = 7. 4 Ejemplo 16. Describa las siguientes superficies en coordenadas cilíndricas. a. z = r. Un cono b. r = c. Un cilindro circular recto c. θ = c. Una recta que pasa por el origen d. z = c. Un plano horizontal. Ejemplo 17. Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide de ecuación 4x + 4y + z = 1. 4(x + y ) + z = 1 4r + z = 1 z = 1 4r. Si se quiere realizar un cambio de variables en las integrales triples usando las coordenadas cilíndricas se tiene que x = r cos( θ ), y = rsen( θ ), z = z, entonces: cos( θ) rsen( θ) 0 (x,y,z) = sen( θ) r cos( θ ) 0 = r. (r, θ,z) 0 0 1

35 COORDENADAS CILÍNDRICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 77 de 05 Por tanto E β h ( θ) u (r cos( θ),rsen( θ)) f(x, y, z)dv = f(r cos( θ),rsen( θ), z).rdzdrd θ. α h 1( θ) u 1(r cos( θ),rsen( θ)) Ejemplo 18. Un sólido E está dentro del cilindro del paraboloide z = 1 x y. Calcule su volumen. 1 1 x 4 π x 1 x y r x + y = 1, debajo del plano z = 4 y arriba 7 V = dzdydx = rdzdrd θ = π..11. COORDENADAS ESFÉRICAS donde Las coordenadas esféricas ( ρ, θ, φ ) de un punto P en el espacio se ilustra en la figura, ρ = OP es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que ρ 0, 0 θ π (ver figura 60). Figura 6. Sistema de coordenadas esféricas

36 COORDENADAS ESFÉRICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 78 de 05 Las siguientes equivalencias permiten las transformaciones de coordenadas esféricas a rectangulares: x = ρsen( φ)cos( θ ), y = ρsen( φ)sen( θ ), z = ρcos( φ ). Por otro lado se tiene que x + y + z = ρ. Ejemplo 19. El punto sus coordenadas rectangulares. π π (,, ) está dado en coordenadas esféricas. Halle el punto y encuentre 4 π π 6 π π 6 π 4 4 x = sen( )cos( ) =, y = sen( )sen( ) =, z = cos( ) = 1. Ejemplo 0. Describa cada una de las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas esféricas. a. 5 ρ = c. Esfera b. θ = c. Plano c. φ = c. Semicono superior Ejemplo 1. Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas, para el hiperboloide de dos hojas x y z = 1. x y z = 1 ρ [sen ( φ)cos( θ) cos ( φ )] = 1. Ejemplo. Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = sen( θ)sen( φ ). 1 1 sen( )sen( ) x y z y x (y ) z 4 ρ = ρ θ φ + + = + + = Esfera. Ejemplo. Evalúe donde B es el sólido encerrado por la esfera B π π (x + y + z )dv, x + y + z = ρ sen( φ)dρdφd θ = π. 5

37 COORDENADAS ESFÉRICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 79 de 05 Ejemplo 4. Evalúe donde E está limitado abajo por el cono E π π/ x + y + z dv, π φ = y arriba por la esfera ρ =. 6 ρ sen( φ)dρdφd θ = 4 π( ). Ejemplo 5. El punto (0,, ) está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus coordenadas esféricas. π ρ = = 16 ρ = 4, φ =, π π θ =. Punto (4,, ) π.1. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Todas las aplicaciones de integrales dobles se pueden extender de inmediato a integrales triples. Por ejemplo, si la función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es ρ (x,y,z), en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto (x,y,z) dado, entonces su masa es m = ρ(x,y,z)dv E y sus momentos alrededor de los tres planos de coordenadas son yz xz Mxy E E M = x ρ (x,y,z)dv, M = y ρ(x,y,z)dv,. = z ρ(x,y,z)dv E El centro de masa está ubicado en el punto (x,y,z), donde Myz M M xz xy x =, y =, z =. m m m

38 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 80 de 05 Si la densidad es constante, el centro de masa del sólido se denomina centroide de E. Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes de coordenadas son x y E E I = (y + z ) ρ(x,y,z)dv, I = (x + z ) ρ(x,y,z)dv, z E I = (x + y ) ρ(x,y,z)dv La carga eléctrica total de un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga σ (x, y, z) viene dada como σ(x,y,z)dv. E Si se tienen tres variables aleatorias continuas X, Y y Z, la función de densidad conjunta de ellas es una función de tres variables tales que la probabilidad de que (X,Y,Z) se encuentre en E es P((X, Y, Z) E) = f(x, y, z)dv, E en particular, se tiene que b d s P(a X b, c Y d,r Z s) = f(x, y, z)dzdydx. a c r La función de densidad conjunta satisface que f(x, y, z) 0 y además f(x, y, z)dzdydx = 1.

39 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 81 de 05 Ejemplo 6. Encuentre el centro de masa de un baul de madera de densidad constante igual a 1 cuya forma está limitada por el cilindro parabólico x = y y los planos x = z, z = 0 y x = 1. El sólido E se proyecta sobre el plano xy. Las superficies inferior y superior de E son los planos z = 0 y z = x. La masa viene dada por 1 1 x 4 dzdxdy. 1 y 5 0 m = = Debido a la simetría de E y la función densidad alrededor del plano xz, se puede decir de inmediato que Mxz = 0 y, por lo tanto, y = 0. Los otros momentos son M yz 1 1 x 4 xdzdxdy, 1 y 7 0 = = En consecuencia, el centro de masa es Myz M M xz xy 5 5,, =,0, m m m M xy 1 1 x zdzdxdy. 1 y 7 0 = = Ejemplo 7. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante, que se encuentra dentro del cilindro de ecuación x + y = 4x y limitado superiormente por la esfera de ecuación en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Cilíndro: (x ) + y = 4 x + y 4x = 0 r = 4 cos( θ ) Esfera: x + y + z = 16 z = 16 x y = 16 r. Jacobiano: r π/ 4cos( θ) 16 r π/ 4cos( θ) x + y + z = 16. La densidad volumétrica de masa 1 m = r cos( θ)sen( θ)zdzdrd θ = (16 r )r cos( θ)sen( θ)drdθ π/ π/ θ θ cos ( ) 4 cos ( ) = sen( θ)cos( θ) dθ = cos ( θ ) + cos ( θ) = = =. =

40 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 8 de EJERCICIOS RESUELTOS 19. Sea T el sólido definido por x + z y + x + z. Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas con: a. dv = dydxdz. b. dv = dxdydz. 4 z + x + z V 4 dydxdz =. 0 0 x + z z+ y z 4 y z V = 4 dxdydz + 4 dxdydz 0 z 0 0 z+ (y ) z 0. Un sólido, en el primer octante, está limitado por las superficies x = 1, y = 1, z = 0, z = 6 x y. Exprese las integrales iteradas que calculan el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas. π sec( θ) 6 r π csc( θ) 6 r 4 I = rdzdrdθ + rdzdrdθ π Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono ρ = 4cos( φ ). π π/ 4cos( φ) ρ sen( φ)dρdφd θ = 10 π. π φ = y debajo de la esfera. Sea la integral π r r z cos ( θ)sen( θ)dzdrdθ

41 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 8 de 05 dada en coordenadas cilíndricas. Exprese la integral en coordenadas esféricas. 4 x x + y π π/ /sen( φ) 6 4 x yzdzdydx = ρ sen ( φ)cos( φ)cos ( θ)sen( θ)dρdφdθ 4 x 0 0 π/4 0. Una integral triple sobre una región Q en el espacio, viene expresada mediante integrales iteradas en coordenadas cilíndricas por π 1 4 π 5 r π 5 r I = r dzdrdθ + r dzdrdθ + r dzdrdθ Exprese la integral I en coordenadas esféricas. Gráfico de la región (ver figura 7) Figura 7. Gráfica del ejercicio 5 1 π 4 4 A = arctg( ) ; B = arctg( ) = ; C = arctg( ) ; r = ρ sen ( φ ) z = 4 ρcos( φ ) = 4 ρ = 4sec( φ ) ; z = 5 r ρcos( φ ) = 5 ρsen( φ) 5 ρ = cos( φ ) + sen( φ) z = ρcos( φ ) = ρ = sec( φ ) ; x + y = 4 ρ sen ( φ ) = 4 ρsen( φ ) = ρ = csc( φ) π arctg( 1) 4sec( φ) π π cos( φ ) + sen( φ) 4 4 I = ρ sen ( φ)dρdφd θ + ρ sen ( φ)dρdφd θ arctg( 1) 0 4 π π csc( φ) π arctg( ) 5 cos( φ ) + sen( φ) 4 4 ρ sen ( φ)dρdφdθ + ρ sen ( φ)dρdφdθ 0 π 0 0 π sec( φ) 4 4

42 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 84 de Calcule la integral (x + y + z ) e dv, T sabiendo que T es el sólido comprendido entre las esferas en el primer octante, utilizando coordenadas esféricas. x + y + z = 1, x + y + z = 4 π π π π π 8 ρ 1 ρ e e π e ρ sen( φ)dρdφd θ = e sen( φ)dφd θ = cos( φ) dθ 8 (e e) π = 6 5. Dadas las integrales que calculan el volumen de cierto sólido usando las coordenadas cilíndricas dadas por π 1 1 π 4 4, 0 0 r 0 1 r I = rdzdrdθ + rdzdrdθ plantee la(s) integrale(s) que calculan su volumen en coordenadas: a. cartesianas proyectando en el plano xz. Proyección en xz: (usando simetría solo mostrando ¼ del sólido) (ver figura 8) Figura 8. Región del ejercicio z x 4 4 z x 1 4 z x I = 4 dydzdx + dydzdx + dydzdx 0 x 0 1 x x

43 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 85 de 05 b. esféricas π π 4 sec( φ) π π 4 4sec( φ) I = 4 ρ sen( φ)dρdφdθ + ρ sen( φ)dρdφdθ arctg(1/4) csc( φ) 6. Plantee la integral triple que calcula el volumen del sólido definido por a. Proyectando en el plano xy. 0 z x + y, Gráfico de la región (ver figura 9) 4 x + y 16 : Figura 9. Región del ejercicio 8 16 x x + y 4 16 x x + y 4 dzdydx + dzdydx 0 4 x b. En coordenadas esféricas. x + y = 4 ρ sen ( φ)cos ( θ ) + ρ sen ( φ)sen ( θ ) = ρ sen ( φ ) = 4 ρ = csc( φ ) x + y = 16 ρ sen ( φ)cos ( θ ) + ρ sen ( φ)sen ( θ ) = ρ sen ( φ ) = 16 ρ = 4csc( φ ) π/ π/ 4csc( φ) 4 ρ sen( φ)dρdφdθ 0 π/4 csc( φ)

44 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 86 de Sea S 1 el sólido limitado por las superficies z = x + y, z = x y. Sea S el sólido definido mediante las desigualdades dadas por z 0, z x + y, x + y 4. Sea S el sólido definido como S = S S1. Plantee, mediante integrales triples, el volumen de S usando coordenadas: a. Cilíndricas. Volumen de S 1 : Volumen de S : Volumen de S: b. Esféricas. Volumen de S 1 : Volumen de S : π r rdzdrdθ. 0 0 r π r rdzdrdθ π r π r rdzdrdθ rdzdrdθ r π π/4 cos( ϕ) ρ sen( ϕ)dρdϕd θ π arctg() /(cos( ϕ ) + sen( ϕ)) π π/ /sen( ϕ) ρ sen( ϕ)dρdϕdθ + ρ sen( ϕ)dρdϕdθ arctg() 0 Volumen de S: Volumen de S - Volumen de S Sea S el sólido definido por 1 z (x + y ) ; x + y 9 ; x + y + (z 5) 5. Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando coordenadas:

45 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 87 de 05 a. Cartesianas en el orden dydxdz. Gráfico de la región (ver figura 0) Figura 0. Proyección del sólido en el plano xz z z x 9 9 x V = 4 dydxdz + 4 dydxdz (z 5) 5 (z 5) x 4 dydxdz b. Cilíndricas con proyección en el plano xy. π 5+ 5 r V = rdzdrdθ 0 0 1r 9. Sea T el sólido definido por z x + y ; x + y 9 ; z 9 + x + y. Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando coordenadas: a. Esféricas. Gráfico de la región (ver figura 1)

46 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 88 de 05 Figura 1. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo Ecuaciones esféricas: ρ = 0 z = x + y ρ cos( φ ) = ρ sen ( φ) ρ ρsen ( φ) cos( φ ) = 0 ρ = ctg( φ)csc( φ) x + y = 9 r = ρ = csc( φ) 9 z = 9 + x + y ρcos( φ ) = 9 + r ρcos( φ ) = 9 + ρsen( φ) ρ = cos( φ) sen( φ) π/ π/ ctg( φ) csc( φ) π/ arctg(1/) csc( φ) V = 4 ρ sen( φ)dρdφdθ + 4 ρ sen( φ)dρdφdθ 0 arctg(1/) 0 0 arctg(1/4) 0 π/ arctg(1/4) 9/(cos( φ) sen( φ)) + 4 ρ sen( φ)dρdφdθ b. Cartesianas en el orden dzdydx. 9 x 9+ x + y V = 4 dzdydx 0 0 x + y 0. Sea T el sólido definido por x + y 6x ; x + y z ; z 0. Use coordenadas cilíndricas para calcular su volumen. Ecuaciones cilíndricas: r = 0 x + y = 6x r = 6r cos( θ) r r 6 cos( θ ) = 0 r = 6 cos( θ) z = x + y z = r

47 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 89 de 05 π/ π/ π/ 6cos( θ) 0 π/ π/ 0 π/ π/ 0 0 π/ 6cos( θ) r π/ 6cos( θ) π/ 6cos( θ) 1 r 1 0 π/ 0 0 π/ 0 π/ 0 V = rdzdrdθ = r z drdθ = r drdθ 1 16 = r dθ = cos ( θ)dθ = 144 cos ( θ)dθ 6 6 sen ( θ) = 144 (1 sen ( θ))cos( θ)dθ = 144 sen( θ) π/ sen ( θ) = 144 sen( θ) = = = = 0 1. Sea T el sólido definido por + z 4 x y si z 4. x + y 4 si 0 z a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen de T en coordenadas: a.1. cartesianas en el orden dxdydz. 4 y 4 4 (z ) 4 y (z ) 4 dxdydz + dxdydz a.. esféricas. π π sen( φ) π π 4 4cos( φ) 4 ρ sen( φ)dρdφd θ + ρ sen( φ)dρdφd θ 0 π/ a.. cilíndricas con proyección en xy. π + 4 r 4 rdzdrdθ b. Calcule el volumen de T V = 8 π + π.8 = 8 + π = π

48 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 90 de 05. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante que se encuentra dentro del cilindro x + y = 4x y limitado superiormente por la esfera x + y + z = 16. La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Cilindro: Semiesfera superior : Densidad: π/ 4cos( θ) 16 r 0 0 π/ 0 π π/ 4cos( θ) r = 0 x + y = 4x. r = 4cos( θ ) x + y + z = 16 z = 16 r. ρ (x, y, z) = xyz r cos( θ)sen( θ )z. m = r cos( θ)sen( θ)zdzdrdθ 1 = r cos( θ)sen( θ)(16 r )drdθ π/ 4cos( θ) π/ 4cos( θ) r = cos( θ)sen( θ)(16r r )drdθ = cos( θ)sen( θ) 4r dθ = cos( θ)sen( θ) 4.cos ( θ) cos ( θ) dθ 6 / = 4 cos ( θ) cos ( θ) sen( θ)dθ = u u du = u u = = = = = = Sea T el sólido homogéneo definido por x + y + z 9 ; x + y + (z ) 9. Usando coordenadas esféricas calcule su masa. Intersecciones: x + y + z = 9 9 x + y + z 6z = 0 9 6z = 0 z = = x + y + (z ) = Curva Inter sec ción: x + y = ; z = 4

49 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 91 de 05 Ecuaciones esféricas: ρ = 0 x + y + z = 9 ρ = ; x + y + (z ) = 9 ρ 6ρcos( φ ) = 0 ρ = 6cos( φ ) Gráfico de la región (ver figura ) Figura. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo π 1 9π 45πk π π/ π π/ 6cos( φ) m = k sen( )d d d sen( )d d d ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ π/ 0 π π/ π π/ 6cos( ) 1 φ = k d sen( )d d sen( ) d d θ φ φ ρ ρ + φ ρ φ θ π/ π π/ π π/ ρ 16 7 π/ = k 4 π. cos( φ ). + cos ( )sen( )d d k 9 cos ( ) d φ φ φ θ 0 = π + φ θ 4 π/ 0 0 π/ 0 = k 9π + 18 dθ = k 9π + = 4. Sea T el sólido homogéneo definido por x + y + z 16 ; x + y + (z ) 4. Use coordenadas esféricas para calcular el momento alrededor del plano xy ( M xy ). Intersecciones: x + y + z = 16 x + y + z 4z = z = 0 z = 4 x + y + (z ) = 4 Curva Inter sección: x + y = 1 ; z = 4

50 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 9 de 05 Ecuaciones esféricas: xy x + y + z = 16 ρ = 4 ; x + y + (z ) = 4 ρ 4ρcos( φ ) = 0 π 4 4 k 4 π 0 π π/ 4 π π cos( φ) 0 π/ 0 ρ = 0 ρ = 4cos( φ ) M = k ρ sen( φ)cos( φ)dρdφdθ + k ρ sen( φ)cos( φ)dρdφdθ π π/ π π k 4 k = sen( φ)cos( φ) ρ dφdθ + sen( φ)cos( φ) ρ dφdθ 4 4 4cos( φ) π/ π π/ π π k k sen( )cos( ) 4 4 cos ( ) 4 = φ φ φ dφdθ + sen( φ)cos( φ) 4 dφdθ π/ π π/ π π/ k 4 k 5 = sen( φ)cos( φ)dφd θ sen( φ)cos ( φ)dφdθ π + sen( φ)cos( φ)dφd θ 0 π/ π π 4 π/ 4 π/ k 4 k 4 k π sen ( ) d cos ( ) = φ θ + φ dθ + sen ( φ) dθ π/ π.4 k π.4 k π.4 k π.4 k π.4 k π.4 k 64πk = = = = = Utilice un cambio de variable adecuado para calcular la masa de la región de densidad ρ (x,y,z) = xyz que se encuentra limitada por las superficies xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 9, yz = 9, yz = 16. Cambios de variables: u = xy, v = xz, w = yz. Cálculo del jacobiano J(x,y,z): u u u x y z v v v x y z w w w x y z y x 0 J(x, y, z) = = z 0 x = xyz. 0 z y Superficies: u = 1, u = 9, v = 4, v = 9, w = 9, w = m = dwdvdu = 140

51 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 9 de Sea Q el sólido definido por z 16 x y, z 0, x + y 4, x + y 8. Considerado el sólido Q homogéneo: a. Exprese su masa en coordenadas cartesianas en el orden dxdydz. Gráfico de la región (ver figura ) Figura. Región del ejercicio 18 8 y 8 y V = 4 dxdydz + 4 dxdydz y y z 16 z 16 y z 4 dxdydz + 4 dxdydz 0 4 y 0 b. Calcule el momento de inercia respecto al eje z. z Q π 16 r I = (x + y ) ρ (x,y,z)dv = k r dzdrdθ π = k r 16 r drdθ π 5/ / (16 r ) 16(16 r ) = k r 16 r drdθ = πk (8) 1 16(1) = πk / / 5/ /

52 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 94 de Sea W un sólido limitado por las superficies z = x + y, x + y = 1, z = x y. a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen del sólido W en coordenadas: a.1. cartesianas en el orden dxdydz. Proyección en el plano yz usando simetría (ver figura 4) Figura 4. Proyección plano yz usando simetría del ejercicio 19 1 (z 1) 1 y (z 1) y V = 4 dxdydz + 4 dxdydz y 0 z 1 y 4 dxdydz + 4 dxdydz 1 z z y dzdydx. Proyección en el plano xy usando simetría (ver figura 5)

53 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 95 de 05 Figura 5. Proyección plano xy usando simetría del ejercicio x 1+ 1 x y V 4 dzdydx = 0 0 x + y a.. esféricas. Ecuaciones esféricas: ρ = 0 x + y + (z 1) = 1 ρ( ρ cos( φ )) = 0 ρ = cos( φ ) x + y = 1 ρ = csc( φ) π/ π/4 cos( φ) π/ π/4 csc( φ) V = 4 ρ sen( φ)dρdφd θ + ρ sen( φ)dρdφd θ π/4 0 b. Calcule el volumen de W. Usando geometría elemental: π π 7π V = + π =. 8. Pruebe que (x y z ) / 4 e + + dv = π. R π m (x + y + z ) / ρ 4π 0 m 4π e dv = lím π sen( φ)dφ e ρ dρ = lím (e e ) =. m + m R

54 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 96 de EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dibuje la región de integración y calcule las integrales dobles siguientes: a. b. c. xydxdy, donde S es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y = x, S x = 1 y el eje x. Rta. 9 8 y xdxdy, donde S es la región limitada por las rectas de ecuaciones x = y S x = y, y = 1, y =. Rta. 7 6 xdxdy x, donde S es la región S {(x,y) / 0 x, 0 y } 1 + x + y S 5 Rta. 1 + ln(5) 4 =.. Las integrales iteradas que se dan a continuación, son en cada caso las integrales dobles de ciertas funciones en regiones del plano xy, para cada una de ellas, dibuje la región de integración y exprese la integral doble mediante integrales iteradas cambiando el orden de integración: a. b. 4 y 4 y 4 x+ 4 1 x x f(x, y)dxdy Rta. f(x, y)dydx 4 x f(x, y)dydx 4 x + 1+ y y+ 1 Rta. f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy 1 1 y + 1 y 4. Calcule las siguientes integrales, bien sea directamente, mediante algún cambio de variables conveniente, o invirtiendo el orden de integración: a. b. c y x dxdy Rta y 5 dxdy Rta. 6 1 y 1 1 x y y + x 1 e dydx 0 0 Rta. (e 1)

55 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 97 de 05 d. e. f. g. h. i. xy e dxdy, donde S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de S 4 ecuaciones xy =, xy = 4, x = y, y = 8x. Rta. (e e )ln() dxdy, donde S es la región encerrada por la curva de ecuación igual a S x y + = Rta. 8π (x y) cos (x + y)dxdy, donde S es el paralelogramo de vértices dados por ( π,0), S π ( π, π), ( π, π), (0, π ). Rta x y x y + x 1 e dydx. Rta. e e y/x dxdy. Rta. 4(e ) / / e 4e + 0 y (y x)/(y+ x) e da, donde S es el interior del triángulo con vértices (0,0), (0,1) y (1,0). S e Rta. (e ) 4. Calcule la integral Rta. 1 ln(sec(1)) 1 1 tg(x )dxdy. 0 y 5. Utilice coordenadas polares para calcular donde la región S está definida por x + y 4 da, S x + y Usando integrales dobles halle el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes funciones sobre la región del plano xy cuyos linderos se indican: a. f(x,y) = x + y, x = 0, x =, y = 0, y =

56 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 98 de 05 b. f(x,y) = 1 x y, x = 0, y = 0, x + y = 1 7. Calcule y arctg e x dxdy, S donde S es la región en el primer cuadrante limitada por las circunferencias x + y = 1, x + y = 4 y las rectas y = x, y = x. 8. Calcule (x+ y) y e 1 + da x, S donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones y = x ; y = x ; x + y = 1 ; x + y =. 9. Halle el volumen de la región que está limitada por el plano xy, el plano x + y + z = y el cilindro parabólico y = x. Rta Halle el volumen del sólido S, si S está limitado por el cono x y y 0 + =. Rta z = x + y y el cilindro 11. Halle el volumen de S, si S está limitado por el cilindro x + y z = 1. Rta. 4 π x + y = 4 y el hiperboloide 1. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la superficie esférica de ecuación x + y + z = 4, inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro Rta. (8 ) π x + y = Encuentre el área de la región en el primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas x + y = 1, x + y = 4, y = x, y = 5x. Rta. 7 arctg( ) 14. Sea R el triángulo acotado por x = 0, y = 0, x + y = 1. Haga la sustitución dada por x + y = u, y = uv y demuestre que

57 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 99 de 05 R x y a 1 b 1 e x y dxdy puede reducirse al producto de integrales sencillas. 15. Evalúe la integral x y a b, a 0 R I = 1 dxdy donde la región R es la región limitada por la elipse Rta. π ab x a y + = 1. b >, b > 0, 16. Grafique la región S que está acotada por las curvas y utilice el cambio de variables para calcular x = y, x = y y, (u + v) x = u, 4 x = y y u + v y = 1 (x + y )dxdy. 6 S Rta Encuentre el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r = cos( θ ) que es exterior a r =. 18. Calcule xy da, 1 + x y S donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones 1 5 x = ; y ; x 1 0 ; x 5 y = x = =. 19. En los problemas siguientes halle el centro de masa de las láminas acotadas por las gráficas dadas y densidad que se indica: a. y = ln(x), x = 1, x =, ρ (x,y) = 1 / x, y = 0

58 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 00 de 05 b. c. y = / x, x = 1, x =, ρ (x,y) = x y = 1 x, y = 0, y = x, ρ = 1 0. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy = 4 y la recta x + y = 5 con respecto a la recta y = x. Rta. 16 ln() Para las láminas limitadas por las curvas que se indican halle el momento polar de inercia I. 0 a. b. y = 1 x, y = 0, ρ (x, y) = y y = x, y = x, ρ (x, y) = x. Grafique la región limitada por las curvas 4y x = 8, y + x = 1, y = 6 x 9 Plantee las integrales que permiten calcular: a. El área de la región b. El centro de masa c. El momento polar de inercia. Calcule las siguientes integrales dobles impropias: dxdy a., donde S es la región limitada por la circunferencia de ecuación x + y b. c. S x + y = 4. Rta. 4π R S dxdy (1 + x + y ). Rta. π dxdy, donde S = 0, 0, xy Rta Calcule la integral impropia extendida a todo el plano integral impropia (x + y ) e dxdy, R R y luego utilice el resultado encontrado para calcular la

59 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (05) - TEMA Pág.: 01 de 05 x e dx. (Esta última integral es importante en Estadística y se trata de la distribución normal). Rta. π, π 5. Sea T el sólido formado por la región interior de por abajo de x + y = 9, exterior a z = x + y y sobre el plano xy. Halle el volumen de T. x + y + z = 9, 6. Calcule 1 dv, x + y + z Q donde Q es el sólido limitado por las superficies z = 1, z = x + y, siendo z Sea T el sólido formado por la región interior del cilindro z = x + y y sobre el paraboloide 1 z = (x + y ). Calcule el volumen de T. 6 x + y = 9, bajo el cono 8. Exprese en coordenadas cilíndricas 9. Exprese en coordenadas esféricas 0. Exprese en coordenadas cartesianas 1. Exprese el volumen del sólido 9 x + 9 x y xdzdydx. 9 x 1 1 x 1 x y x + y + z dzdydx π/ π/ 4 ρ φ ρ φ θ. 0 π/6 0 4 sen d d d x + y 9, z x + y, integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas. z 9 + x + y utilizando. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies 4 z = x + y, z = x + y en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.