Hoja de Prácticas tema 4: Integrales múltiples. (xy +x 2 +y 2 )dydx =

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Gonzalo Vega Godoy
hace 6 años
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1 Cálculo II EPS (Grado TICS) Curso - Hoja de Prácticas tema 4: Integrales múltiples. Calcular ( + + )da en la región = {(,) R :, }. ( + + )da = ( + + )dd = ( + + = = d 5 = d = 49.

2 . Calcular cos()dd donde es la región del plano limitada por la parábola = las rectas =, =. = = 4 = cos()dd = = cos()dd = ( ( sin( )d = cos( ) sin() = = = = = cos8. d

3 . Calcular dd, siendo el triángulo de vértices (,), (,), (,). = dd = dd = ( ( ) / = = d = 8 d = 6.

4 4. Calcular el área encerrada entre las curvas ( ) = 4 + =. + = 7 6 ( ) = ado que si intercambiamos las variables e en el problema no tenemos problemas en definir una integral directamente pues cada curva representa una función, lo haremos así como se ve en la figura a intercambiamos las variables e. Aún así este problema sin intercambiar las variables se puede resolver de distintas formas, pero o he elegido esta forma por ser original. da = 6 /+ ( ) /4 dd = 6 ( ) d = 9. 4

5 5. Calcular e dd, donde es la región limitada por las gráficas =, = e =. = = = e dd = e dd = ( e = = d = (e )d =.

6 6. Evaluar las siguientes integrales, invirtiendo previamente el ordende integración: (a) e dd (b) +dd (a) Teniendo en cuenta que la región que estamos integrando es: {(,) R :, } = 4 = Por lo tanto si invertimos el orden de integración nos resulta: {(,) R : /, }. e dd = / e dd = e d = e9. 6 (b) Teniendo en cuenta que la región que estamos integrando es: {(,) R :, } = = Por lo tanto si invertimos el orden de integración nos resulta: {(,) R :, } +dd= ( = 9 ( +) / = = +d = ( 8 ). 9

7 7. Calcular + da, donde es la región del plano limitada por + =, + = 4. En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas polares, siendo { = rcosθ, r, θ π. = rsinθ, así + da = π r cos θ r cosθ sinθ rsinθ rcosθ drdθ = π rcos θdrdθ = π.

8 8. Calcular (( ) + )dd, donde es el interior del círculo + 4 =. 4 En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas polares, siendo { = +rcosθ, r, θ π. = rsinθ, así (( ) + )dd,= π r cosθ sinθ rsinθ rcosθ drdθ = π r drdθ = 8π.

9 9. Calcular + dd, h donde = {(,) R :,, + }. = En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas polares, siendo { = rcosθ, r, π = rsinθ, θ π 4. así + dd = π 4 π r sin(θ)cos(θ) r rdθdr = π 4 π rsin(θ)dθdr = 4.

10 . Calcular, utilizando un cambio de variable apropiado, la integral dd, donde es la región del plano limitada por las curvas =, = 4, + = 4, + =. +4 = = + = 4 + = En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio de coordenadas, siendo { u = +, u 4, 4 v, = u v, = u+v, v =, luego dd = 4 4 (u v)(u+v) / / / / dudv = (u uv v )dudv = 64 9.

11 . Calcular donde = {(,) R : +, + }. ( + ) /dd, + = En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas polares, siendo { = rcosθ, = rsinθ, cosθ+sinθ r, θ π. así π ( + ) /dd = cosθ+sinθ r drdθ = π ( +cosθ+sinθ)dθ = π.

12 . emostrar que: (a) El área de una elipse de semiejes a b es πab. (b) El volumen de un elipsoide de semiejes a,b,c es 4/πabc. En estos casos no merece la pena representar las figuras por ser bien conocidas: (a) En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas polares, siendo { = arcosθ, r, θ π. = brsinθ así elipse da = π rdrdθ = πab. (b) En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas esféricas, siendo = arcosθcosϕ, = brsinθcosϕ, z = crsinϕ r, θ π, π ϕ π, así elipsoide π π dv = abc π r cosϕdrdθdϕ = 4π abc.

13 . Calcular I = T zdddz, siendo T el recinto determinado por los planos =, =, z = + +z =. z P z (,, ) (, ) P P (,,) En este caso utilizaremos coordenadas cartesianas, siendo:,, z. Por tanto I = T zdddz = zdzdd = 4 ( ) 4 d = 5.

14 4. Hallar el volumen del sólido que queda tras taladrar un agujero de radio b a través del centro de una esfera de radio R, con b < R. ebido a la simetría podemos suponer que dicho agujero (de radio b) se ha realizado a través del eje z quedando la siguiente sección en el plano XZ (idéntica a la sección en el plano YZ) (Izqda.) la sección del plano z = z = Rsinϕ que produce sobre la figura (drcha.) z = b = b Rcosϕ ϕ z = z b Por tanto, parametrizaremos en coordenadas cilíndricas, siendo = rcosθ, = rsinθ, b r Rcosϕ, θ π, ϕ ϕ ϕ, z = Rsinϕ, siendo Rcosϕ = b; luego Figura ϕ π dv = R ϕ = πr 6 Rcosϕ b ϕ rcosϕdrdθdϕ = πr (R cos ϕ b )cosϕdϕ ϕ ( ( sin ϕ +9sinϕ 9sinϕ cos ϕ ) ) = 4 π(r b ) /. Aplicando el Teorema de Pitagoras se deduce que Rsinϕ = R b.

15 5. Calcular el volumen eterior a z = + e interior a + +z =. z = = i En este caso lo más adecuado, debido a la geometría de la figura, es realizar un cambio a coordenadas esféricas, siendo = rcosθcosϕ, = rsinθcosϕ, z = rsinϕ, r, θ π, π 4 ϕ π 4, así Figura dv = π 4 π 4 π r cosϕdrdθdϕ = π.

16 6. Calcular el volumen limitado por el paraboloide z = + el plano z = ++. ebido a la geometría de la figura [la intersección de las dos superficies es un círculo de radio centrado en el punto (,) = (,)] conviene aplicar un cambio a coordenadas cilíndricas, siendo = +rcosθ, = +rsinθ, z = z, por tanto Figura dv = r, θ π, +r +r(cosθ+sinθ) z 6+r(cosθ+sinθ), π 6+r(cosθ+sinθ) +r +r(cosθ+sinθ) rdzdθdr = π r(4 r )dr = 8π.

17 7. eterminarelvolumendelsólidosituadoenlaregiónz queesinterioralaesfera + +z = al paraboloide z = +. Una sección en el plano XZ (o en el plano YZ) es, debido a la simetría de la figura: = En este caso = rcosθ, = rsinθ, z = z, r, θ π, r z r, así Figura dv = π r r rdzdθdr = π r( r r )dr = π ( )

18 8. Calcular I = T ( + ) dddz, siendo T la región comprendida entre z = + = z. = / En este caso así I = T = rcosθ, = rsinθ, z = z, ( + ) dddz = r, θ π, π r r 4 rdzdθdr = π r z, r 5 ( r /)dr = π.

19 9. Calcular I = T dddz, ( + +z ) siendo T el recinto determinado por las esferas: + +z = + +z = 4. En este caso, obviamente, emplearemos coordenadas esféricas, siendo: = rcosθcosϕ, = rsinθcosϕ, r, θ π, π ϕ π, z = rsinϕ, luego I = T dddz ( + +z ) = π π π r cosϕ r dϕdθdr = π r 5 ( r /)dr = 4πlog.

20 . Calcular I = T ( + )dddz, donde T es el sólido eterior al cono de ecuación a z = + (con a > ) e interior a la esfera + +z =. z z = /a ϕ z = /a En este caso, obviamente, emplearemos coordenadas esféricas, siendo: = rcosθcosϕ, = rsinθcosϕ, r, θ π, ϕ ϕ ϕ, z = rsinϕ, siendo tanϕ = /a [sin ϕ = /(+a )]; luego I = ( + )dddz = T =π 5 ϕ ϕ cos ϕdϕ = π 5 π ϕ ϕ r cos ϕr cosϕdϕdθdr (sinϕ sin ϕ ) = 4πsinϕ 5 ( ) (+a = 4π(a +) ) 5(+a ) /.

21 . Calcular I = T ( a b z c ) dddz, siendo T la región interior al elipsoide a + b + z c =. En este caso, obviamente, emplearemos coordenadas esféricas, siendo: = arcosθcosϕ, = brsinθcosϕ, z = crsinϕ, r, θ π, π ϕ π, así I = T ( a b z c ) dddz = abc π π π ( r ) / r cosϕdϕdθdr =4πabc r ( r ) / dr = 8 π abc.

22 . Calcular la temperatura media en el interior del recinto limitado por el plano z =, el cilindro + = la rama inferior del cono (z ) = + si la temperatura en cada punto es proporcional a su altura (distancia al plano z = ). En este caso, T m (,,z) = V Figura kzdddz. = + zona inferior del cono = En este caso emplearemos coordenadas cilíndricas, siendo: = rcosθ, = rsinθ, r, θ π, z r, z = z, como Así 4π T m = k V Figura = Figura Figura zdddz = k dv = π r π r zrdzdθdr = kπ rdzdθdr = 4π. ( r ) rdr = π k, por tanto T m = 48 k.

23 . Calcular I r = E ( + +z dv, ) n/ donde E = {(,,z) R : r + +z R }. eterminar para qué valores de n eiste lim r +I r. En este caso, obviamente, emplearemos coordenadas esféricas, siendo: = tcosθcosϕ, = tsinθcosϕ, z = tsinϕ, r t R, θ π, π ϕ π, luego I r = E ( + +z dv = ) n/ R π r π π t cosϕ t n dϕdθdt = 4π R r t n dt ( ) = 4π n (R n r n ). Por tanto dicho límite eiste para n >, o sea, n <. (*) Se ha asumido que n para hacer así la integral, en ese caso particular 4πlog(R/r), si r +.

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