Definir la Integral del campo vectorial F sobre una superficie S como una suma de Riemann.

Transcripción

1 .7. Integral de superfície de campos vectoriales. Otra de las aplicaciones importantes de la integral de superficies, es cuando se integra un campo vectorial sobre ella. El significado que adquiere este tipo de integrales de superficie dependerá del significado físico del campo vectorial que se está integrando. Es importante señalar que un aspecto necesario para el cálculo de este tipo de integrales, llamadas también como integrales de flujo de campos vectoriales, es realizar la orientación de la superficie efinir la Integral del campo vectorial F sobre una superficie como una suma de Riemann. ea es una superficie orientada, en donde el vector unitario n indica una orientación de la superficie. A cada partícula que atraviesa la superficie, le podemos asignar un vector V ( x, y, z ) que representa su velocidad, que depende de la posición (,, ) x yz de la partícula. uponga además que la densidad del fluido en el punto ( x, yz, ) está dada por la función ρ ( x, yz, ), en donde esta función densidad es un campo escalar (Cuando el fluido es incompresible la densidad es constante). e manera que el caudal de fluido (masa por unidad de tiempo) por unidad de área, para un punto( x, yz,, ) viene dado por el producto de la densidad por la velocidad del fluido, esto es, ρ V (,, ) ρ ( xyzv,, ) ( xyz,, ) F xyz. i denotamos por, a este campo vectorial se denomina densidad de flujo del fluido. i se divide a la superficie en pequeñas regiones ij, como se observa en la Figura XX, entonces a medida que se aumente el número de regiones ij esta cuadrícula es casi plana, y se puede aproximar mediante su plano tangente, por lo que para estimar la masa de fluido que atraviesa a dicho plano tangente en la dirección del vector normal unitario n por unidad de tiempo, se puede realizar mediante el producto escalar de ( F n) A ( ij,en donde ρ, V y n, son evaluados en algún punto ) ( i, i, i) x y z sobre ij, y es el área de la región ij. (e debe recordar el producto ρ V nos indica la cantidad de masa de fluido que circula por el punto ( x, yz, ) en la dirección de V por unidad de área y tiempo, y ρv n tiene como resultante la componente del vector ρ V, densidad de flujo, en la dirección del vector unitario n ) A ( ij )

2 Figura XX. Integral de superficie. Al sumar todas estas pequeñas cantidades del producto de de ( F n) A ( ij, y tomar el ) límite cuando n, se obtiene la integral de superficie de la función F n sobre : (,, ) (,, ) ρv nd F x y z n x y z d Y esto se interpreta físicamente como el caudal del fluido que atraviesa a la superficie. Esra integral sule escribirse como F nd Esta integral de superficie se presenta con bastante frecuencia en la física, incluso cuando F no es ρ V, y se llama integral de superficie (o integral de flujo) de F sobre. efinición. i F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada en la dirección de un vector unitario n, entonces la integral de superficie de F sobre es F d F nds Esta integral se llama también flujo de F a través de. i la superficie se puede escribir de forma paramétrica por una función vectorial g( u, v ), la integral de flujo (o integral de superficie) se puede escribir mediante la siguiente integral

3 u v F d F d g g u g g v g g ( (, )) u v F g u v gu gv da gu gv onde es el dominio de los parámetros, resultando de esta manera la siguiente expresión para la integral de superficie F d F g g da i la superficie esta dada de manera explicita de la forma z g( x, y) superficie se puede escribir mediante la siguiente integral x y F d F d g g g g y y g g (, ) u x y F x y gu gy da gy gy v, la integral de onde es la proyección sobre el plano xy de la superficie, resultando de esta manera la siguiente expresión para la integral de superficie ( x y) F d F g g da g g ( F1, F, F3),,1 da x x g g F1 F + F3 da x x EJEMPLO 56. etermine la integral de flujo del campo vectorial F( x, y, z) ( x, y, z), a través de la esfera dada por x + y + z 1. olución. Para calcular esta integral de flujo, se debe primero reescribir la superficie de forma paramétrica. Al emplear coordenadas esféricas se tiene una conveniente 3 parametrización dada por ( ϕ) cos( θ) cos( ϕ ) sen x g: R R / g θϕ, sen ϕ sen θ y z θ y ϕ. Como la integral de superficie puede ser escrita en términos de los parámetros de la superficie de la siguiente manera con

4 F d F r r da e determinan los vectores r θ y r ϕ, para luego de determinar el producto escalar ( (, )) ( θ ϕ) F r θϕ r r, así pues r ϕ x y z,, ϕ ϕ ϕ ( cos( ϕ ) cos ( θ), cos ( ϕ) sen( θ), sen( ϕ) ) u v r θ x y z,, θ θ θ ( sen( ϕ) sen( θ), sen( ϕ) cos ( θ),) El producto vectorial de estos vectores dan como resultado ( cos, s, cos ) n rθ rϕ sen ϕ θ sen ϕ enθ senϕ θ, para luego determinar que ( ( θ, ϕ) ) ( θ ϕ) F g r r senϕ. Y expresar la integral de superficie como se muestra a continuación F d F r r da s en cos 4 u dθ v ( ϕ ) ( ϕ ) dϕdθ dθ Figura 63. uperficie del Ejemplo 56.

5 EJEMPLO 57. etermine la integral de flujo del campo vectorial (,, ) ( yxz,, ) F xyz, a través de la superficie dada por la helicoide dada por 3 g: / g u, v ucos v, usenv, v R R. olución. En este problema la superficie, que es una helicoide, esta dado paramétricamente por la siguiente función vectorial ucos v x R R v z 3 g: / g u, v usenv y a g v, como se muestra a continuación g u, con u 1 y v. eterminamos a g u y x y z,, cos,, u u u ( v senv ) x y z gv,, usenv, ucos v,1 v v v Redetermina su producto vectorial, n g g ( senv, cos v, u), y luego sustituimos u el vector resultante y la parametrización correspondiente en la integral de superficie, para ello calculamos ( ) ( u v) que v F g u, v r r usen v ucos v+ vu, de donde se obtiene F d F r r da 1 u sen v v v dv ( v cosv) dv 1 1 v sen( v) u v 1 ( cos ) ( cos ) usen v u v + vu dudv

6 Figura 64. uperficie del Ejemplo 57. Es importante señalar que cuando se elige la orientación de la curva su resultado numérico puede interpretarse como que la región que encierra la superficie es una fuente o un sumidero, si por ejemplo, se tiene una superficie cerrada, y el campo que se esta integrado sobre dicha superficie es un campo de velocidades o un flujo térmico y se elige la orientación positiva de la superficie, y F d > entonces se dice que dicha región es una fuente, ya que el flujo va de adentro hacia fuera, es un deposito que suministra, mientras que si F d < se dice que dicha región es un sumidero, el flujo va de afuera hacia adentro, es un deposito que absorbe. i F d se dice que el flujo está en estado estacionario, es decir, o el flujo no atraviesa la frontera, la superficie, o la cantidad de flujo que va de adentro hacia fuera es igual a la cantidad de flujo que va de adentro hacia fuera. EJERCICIO PROPUETO ) ) 3).7.. Propiedad de las integrales de superficies. a) Linealidad. ean el campo vectorial F definido por 3 3 F: R R / F( xyz,, ) ( F1( xyz,, ), F( xyz,, ), F3( xyz,, )) y el campo vectorial G

7 3 3 definido por G: / Gxyz (,, ) ( G1( xyz,, ), G( xyz,, ), G3( xyz,, )) R R, dos campos vectoriales integrables sobre una superficie, definida paramétricamente por ( 1 3) 3 h: / huv, h uv,, h uv,, h uv, R R, y sean k 1 y k dos números reales cualesquiera, entonces se cumple que k F + k G d k F d + k G d 1 1 b) Integral de línea sobre superficies parcialmente suaves. ea una supoerficie parcialmente suave, es decir, una superficie definida como la unión de dos o más superficies suaves, 1 n, entonces F nds F nds + F nds + + F nds 1 n Cuando la superficie es una superficie cerrada, y ésta se recorre de tal manera que si una persona camina sobre la trayectoria de una curva C que delimita a la superficie la región encerrada por esta curva C queda a la izquierda de la persona, se dice que el sentido de recorrido es positivo, la integral de superficie del campo vectorial F sobre la superficie se denota por F d, donde aquí se debe señalar cual es el sentido de recorrido que se está realizando sobre la curva C que delimita a la superficie. También se puede utilizar la regla de la mano derecha para identificar el sentido de recorrido positivo sobre la curva. EJEMPLO 58. etermine el valor de la siguiente integral de superficie donde F ( xyz,, ) ( x, zy, ) F d, siendo la parte de la esfera x + y + z 4 del primer octante, con orientación hacia el origen. olución. En este caso se debe integrar el campo vectorial F( x, y, z ) en cuaro superficies a saber, la porción de casco esférico del primer octante ( 1), el plano xy ( ), el plano zy ( 3 ), y el plano xz ( 4 ) F d F d + F d + F d + F d 1 3 4

8 e manera que al sustituir la parametrización de la superficie 1, en coordenadas esféricas en el campo vectorial F, se obtiene la siguiente expresión ( ( φ, θ) ) ( ( φ) cos ( θ), ( φ), ( φ) ( θ) ) F r sen sen sen sen Luego para determinar el vector normal que indica la orientación positiva de la curva se determina r ϕ y r θ, para determinar el producto vectorial de ellos. x y z rϕ,, cos ϕ cos θ,cos ϕ sen θ, sen ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) x y z rθ,, ( sen( ϕ) sen( θ),sen( ϕ) cos ( θ),) θ θ θ La dirección que proporciona la orientación positiva viene dado por el vector normal que se presenta en la siguiente expresión ( 4 cos,4,4 cos) rθ rϕ sen ϕ θ sen ϕ sen θ sen ϕ θ e realiza el producto escalar de r expresión θ r y F r( φ, θ ) ϕ 3 ( ( φ, θ) ) ( θ ϕ) 8 ( ϕ) cos( θ) F r r r sen ustituyendo en la integral de superficie se obtiene la siguiente integral 1 ( ( φθ, )) ( θ ϕ) F d F r r r da 3 8sen cos ϕ θ dϕdθ cos cos cos ϕ ϕ θ dθ 3 16 cos( θ) dθ 3, para obtener la siguiente Para la superficie, como la orientación que se está tomando es hacia el origen, su vector normal unitario viene dado por n (,,1), que la sustituir en la integral de superficie, se obtiene

9 F d F nds (,, ) (,,1) x z y da yda rsen( θ) rdrd 1 3 r s en( θ ) d 3 sen Para la superficie 3, como la orientación que se está tomando es hacia el origen, su vector normal unitario viene dado por n ( 1,, ), que la sustituir en la integral de superficie, se obtiene F d F nds 3 3 ( θ) dθ θ (,, ) ( 1,,) da θ x z y da xda Para la superficie 4, como la orientación que se está tomando es hacia el origen, su vector normal unitario viene dado por n (,1, ), que la sustituir en la integral de superficie, se obtiene F d F nds 3 3 (,, ) (,1,) x z y da zda

10 Figura 64. uperficie del Ejemplo 58. EJEMPLO 59. etermine el valor de la siguiente integral de superficie 4 donde F( x, y, z) ( x, y, z ) siendo la parte del cono debajo del plano z 1 con orientación hacia abajo. F d, z x + y que está por olución. Una parametrización para esta superficie es la dada por x x 3 g: R R / g( x, y) y y x y z +, al determinar los vectores g x y g y, y hacer g g su producto vectorial se obtiene como resultado que gx gy,,1. Par esta x x parametrización la integral de superficie vendría dada por

11 1 1 ( x y) F d F g g ds 4 g g xy,, x + y,,1 da x x ( ) x y xy,, x + y,,1 da x + y x + y x y + ( x + y ) da x + y x + y ( ) x + y + x + y da 1 ( cos ( θ) ( θ) ( cos ( θ) cos ( θ) ) ) 1 ( 5) r + r sen + r + r rdrdθ r + r drdθ r r d θ Figura 65. uperficie del Ejemplo59. EJERCICIO PROPUETO.7.. 1) ) 3)

12 .7.3. Aplicar las Integrales de uperficie de Campos Vectoriales para el cálculo de Flujos de Fluido, Flujo Eléctrico y Flujo Térmico. Cálculo de Flujo de Fluidos. i V representa el campo de velocidades de un Fluido entonces la integral de V d es la cantidad neta de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. EJEMPLO 6. etermine el flujo de fluido hacia fuera (alejándose del eje z) del campo de velocidades dado por V ( x, y, z) ( 4 x,4 y,) paraboloide a través de la superficie del z x + y, que se encuentra por debajo del plano z 1. olución. El flujo que se desea determinar viene dado por la integral de superficie V d (, ), la cual para la superficie que esta dada de forma explicita de la forma z g x y, vendría dada por la siguiente expresión ( x y) V d V g g ds g g ( 4 x,4 y, ),,1 da x x x y x y da ( 4,4,) (,,1) ( 8 8 ) x y + da 1 ( 8 cos 8 ) 1 ( 8r ) r θ r sen θ + rdrdθ r r d drdθ Por lo que el flujo del fluido se dirige hacia adentro de la superficie definida por el paraboloide. θ

13 Figura 66. uperficie del Ejemplo 6. Calculo de Flujo de Eléctrico. i E representa un campo eléctrico entonces la integral de E d es la cantidad neta de flujo eléctrico que atraviesa la superficie. EJEMPLO 61. Considere una carga puntual q, cuyo campo eléctrico está definido por q 4ε r, cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie (,, ) ( xyz,, ) E xyz esférica. etermine el flujo eléctrico, hacia fuera, a través de la esfera de radio a. olución. El flujo eléctrico que se desea determinar viene dado por la integral de superficie E d, en la cual la superficie viene dada por la esféra x + y + z a, puede ser parametrizada por la función vectorial 3 g: R R / g φ, θ as en ϕ cos θ, as en ϕ sen θ, acos ϕ, por lo que la ( ) integral de superficie utilizando esta parametrización se obtiene e determina que integral de superficie ( θ ϕ) E d E g g ds q q E g g a sen sen θ ϕ 4ε a ϕ 4ε ϕ, y al sustituir en la

14 q 4ε q 4ε ( θ ϕ) E d E g g ds q ε q 4ε ( 4 ) dϕdθ senϕ dϕdθ Lo cual se interpreta como que el flujo eléctrico es proporcional ala carga q que se encuentra dentro de la esfera de radio a, y es i8mportante observar que el flujo no va a depender de el radio de la esfera. Figura 67. uperficie del Ejemplo 61. Cálculo de Flujo Térmico. 3 ea la función T( t, x, y, z ) la temperatura en un punto ( xyz,, ) W R, donde W es alguna región sólida y T es una función cuyas primeras derivadas parciales son continuas en la región W. T representa entonces al campo gradiente de temperaturas, y como la temperatura fluye de la regiones calientes a las regiones frías, entonces el campo de calor fluye a razón del campo vectorial F T, es importante recordar que T apunta en la dirección en la que el valor de la temperatura T crece, pero como es un hecho físico que el calor fluye de las zonas caliente a las frías, se incorpora el signo negativo, para reflejar esté condición física. Por lo tanto la integral F d es el flujo de calor a través de la superficie.

15 EJEMPLO 6. etermine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la ecuación x + y 4, entre los planos z 1 y z 4, si la temperatura del cuerpo en un momento dado, esta dado por (,, ) T x y z x + y + z. olución. e debe determinar el campo gradiente de temperaturas, denotado por T, debido a que la temperatura fluye de la regiones calientes a las regiones frías, entonces el flujo de calor fluye por campo vectorial definido como F T, qu viene dado por T T T F T,, ( x, y, 1) x y z La parametrización para esta superficie está dada por la función vectorial ( u) cos x R R, con u y 1 v 4, el vector normal n, v z 3 g: / g u, v sen u y viene definido por gu gv ( cos ( u), sen( u),) La integral F d representa pues, el flujo de calor a través de la superficie, la integral de superficie queda planteada de la siguiente manera ( (, )) ( u v) F d F g u v g g ds ( ) ( 8cos 8 ) ( ) 4 1 4cos u, 4 sen u,1 cos u, sen u, dudv u sen u dudv 8 cos u + sen u dudv 48 Como se observa, el resultado de esta integral nos indica que el flujo de energía térmica es hacia el interior de la superficie, por lo que esta región es un sumidero

16 Figura 68. uperficie del Ejemplo 6. EJERCICIO PROPUETO ) ) 3)