I. T. Telecomunicaciones Universidad de Alcalá Soluciones a los ejercicios propuestos Tema 1

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1 I. T. Telecomunicaciones Universidad de Alcalá Soluciones a los ejercicios propuestos 28-9-Tema 1 Departamento de Física 1) Dado el campo vectorial F = y i+x j, calcule su circulación desde (2,1, 1) hasta P 2 (8,2, 1) a) a lo largo de la línea recta que une los dos puntos; b) a lo largo de la parábola x = 2y 2. a) Debemos determinar el vector desplazamiento infinitesimal dl y el vector F sobre la curva de integración. Como el valor de z no cambia, z = 1, podemos describir la curva como y = a + bx, donde los valores de a y b se determinan imponiendo que la recta pase por y P 2 : 1 = a + 2b 2 = a + 8b y en consecuencia b = 1/6 y a = 2/3. La recta es por tanto y = 2/3+x/6. El vector desplazamiento infinitesimal es dl = dx i + dy j, y como dy = dx/6 podemos escribir dl = dx i + dx/6 j Por otro lado, F = y i + x j, y sobre la recta tendremos F = (2/3 + x/6) i + x j El producto escalar F dl = (2/3 + x/6)dx + x/6dx = (2/3 + x/3)dx. La circulación será El resultado es por tanto F dl = 8 2 (2/3 + x/3)dx = F dl = 14 b) Procediendo como antes tendremos dx = 4y dy, por lo que dl = 4y dy i + dy j, donde como se observa es conveniente escribirlo todo en función de y. El campo sobre la curva vale F = y i + 2y 2 j y el producto escalar F dl = 4y 2 dy + 2y 2 dy = 6y 2 dy. La circulación será Por tanto, F dl = 2 1 6y 2 dy = 14 F dl = 14

2 El resultado es por tanto el mismo que el calculado anteriormente. Como se verá en clase, puede demostrarse que este campo es conservativo, lo que implica que la circulación entre dos puntos del campo es independiente de la curva seguida. 2) Dado el campo escalar V ( r) = 2xy yz + xz, a) determine el vector que representa la dirección y magnitud de la máxima variación de V por unidad de longitud en el punto P(2,1,); b) determine la variación de V por unidad de longitud en la dirección hacia el punto Q(,4,6). a) El vector pedido es simplemente el vector gradiente, V, que calculamos primero en un punto genérico del campo: En el punto P el gradiente vale V = V x i + V y j + V z k = (2y + z) i + (2x z) j + (x y) k V P = 2 i + 4 j + k b) Se nos pide la derivada direccional según la dirección del vector que une los puntos P y Q. Este vector es PQ = 2 i + 3 j + 6 k, que normalizamos a la unidad: u = 1 7 ( 2 i + 3 j + 6 k). La variación de V por unidad de longitud en la dirección de u será dv dl = V. u = 1 dv ( ) 7 dl = 2 3) Dado el campo vectorial F = xy i + yz j + xz k, calcule su flujo a través de la superficie de un cubo de lado unidad, en el primer octante y con un vértice en el origen. a) Calcularemos el flujo a través de cada una de las seis caras del cubo. En la cara y = 1, ds = dxdz j, F ds = z dxdz, por lo que φ 1 = dx. En la cara y =, ds = dxdz j, F ds =, y entonces φ 2 = z dz = 1/2 En la cara x = 1, ds = dy dz i, F ds = y dy dz, por lo que φ 3 = y dy. dz = 1/2

3 En la cara x =, ds = dy dz i, F ds =, y entonces φ 4 = En la cara z = 1, ds = dxdy k, F ds = xdxdy, por lo que φ 5 = xdx. En la cara z =, ds = dxdy k, F ds =, por lo que φ 6 = dy = 1/2 Sumando los flujos a través de las seis caras obtenemos el flujo total a través de la superficie cerrada: φ = 6 φ i = 3 2 i=1 4) Una lanzadera de masa m l = 1 3 kg lleva acoplado un satélite de masa m s = 3 kg; el conjunto describe inicialmente una órbita elíptica, de modo que en el afelio la distancia al centro de la Tierra es de = km y la velocidad del conjunto es de v a = 2.8 km/s. Determine en dicha posición de afelio en qué dirección debe ser lanzado el satélite, qué energía debe comunicarle la lanzadera, y qué velocidad debe ganar el satélite para que éste adopte una órbita circular de radio km. Calcule también la velocidad de la lanzadera inmediatamente después del lanzamiento y razone qué órbita describirá. Datos adicionales: g = 9.8 m s 2, R T = 637 km Determinamos en primer lugar la energía mecánica del satélite antes del lanzamiento, que permanecerá constante si no se realiza trabajo sobre él: E antes = E C + U = 1 2 mv2 a G Tm = 1 2 mv2 a mg R 2 T = J Después del lanzamiento, el satélite debe adoptar una órbita circular de radio = km. Usando v = G T / (sólo válido para órbitas circulares), la energía mecánica será: E despues = E C + U = 1 2 mv2 G Tm = 1 2 G Tm G Tm = 1 2 mg R 2 T = J Por lo tanto, la lanzadera debe realizar un trabajo sobre el satélite igual a la diferencia de energías asociadas a las dos órbitas: W = E despues E antes W = J

4 Este trabajo W es la energía que debe inyectar la lanzadera al satélite. Como el punto de lanzamiento es el afelio de la órbita elíptica, en el que el satélite está a una distancia del centro de la Tierra igual al radio de la órbita circular, y además tiene una velocidad puramente tangencial, el impulso dado por la lanzadera al satélite debe tener lugar en la dirección y sentido del movimiento del conjunto, tal y como se ilustra en la figura siguiente: Determinemos a continuación la velocidad que debe llevar el satélite después del lanzamiento, para que adopte la órbita circular de radio : v = G T / = g RT 2 / = 3.77 km/s Como justo antes del lanzamiento la velocidad del satélite es la velocidad del conjunto v a = 2.8 km/s, la velocidad que debe ganar el satélite en el lanzamiento será v = v v a v =.277 km/s Para describir el lanzamiento del satélite por la lanzadera, y determinar la velocidad de la lanzadera y su órbita tras el lanzamiento, adoptamos como sistema de partículas el conjunto lanzadera+satélite. Las fuerzas involucradas en el lanzamiento son entonces internas, y si suponemos que el proceso es suficientemente rápido la cantidad de movimiento del sistema en la dirección del lanzamiento se conserva. Llamando v a la velocidad de la lanzadera inmediatamente después del lanzamiento, tendremos: (m l + m s )v a = m l v + m s v v = 2.72 km/s Como era de esperar, la velocidad de la lanzadera ha disminuido. Su órbita posteriol lanzamiento será elíptica, con el afelio en el mismo punto que antes pero con menor energía mecánica, y será por tanto órbita de mayor excentricidad.

5 5) Un reloj de arena, de 1.5 kg de masa total, contiene 1 kg de arena. Cuando comienza a funcionar los primeros granos de arena caen 2 cm. Los últimos, después de 1 hora, caen 5 cm. El reloj se coloca en una balanza sensible. a) Determine la medida de la balanza antes de que la arena comience a caer. b) Describa la medida de la balanza durante el lapso de tiempo en que la arena ha empezado a caer pero los primeros granos no han llegado todavía al fondo. c) Determine la medida de la balanza cuando la arena se amontona en el fondo. Nota: Suponga que la tasa a la que la arena abandona la parte superior permanece constante, y que la altura del nivel de arena en la parte inferior crece linealmente con el tiempo. a) Antes de que la arena empiece a caer, la medida de la balanza corresponderá a la masa total del conjunto, P = m total g, con m total = 1.5 kg y g = 9.8 m s 2 : P = 12.9 N b) Primero calculamos el lapso de tiempo que tardan los primeros granos en alcanzar el fondo. Como parten de velocidad nula y llevan un movimiento uniformemente acelerado de aceleración g, z = 1/2g t 2, por lo que 2 z t = =.22 s, g donde se ha tomado z =.2 m. A partir de este momento, los primeros granos ya habrán llegado al fondo. Entre t = y t =.22 s, la lectura de la balanza corresponderá a la masa total del conjunto menos la masa de grano que hay en el aire. La masa de grano que hay en el aire será m aire = dm/ t, donde t es el tiempo y dm/ es la rapidez con la que la masa de grano abandona la parte superior del reloj: Por tanto, dm = m grano t total = 1 kg 36 s = kg s 1 P = m total g dm g t = t P = ( t) N La medida de la balanza decrece linealmente con el tiempo, al aumentar paulatinamente la masa de grano que hay en el aire y que no contribuye al peso medido. En el instante t =.22 s, no

6 obstante, la disminución de peso es muy pequeña: P = N,.5 % del peso total. c) Para t >.22 s, y hasta que los últimos granos de arena abandonan el hemisferio superior del reloj, la medida de la balanza se verá alterada, en relación al peso total, por dos efectos: disminuye debido a la masa de grano que hay en el aire, y aumenta debido a la cantidad de movimiento depositada, por unidad de tiempo, por los granos que van cayendo sobre la arena acumulada abajo. El peso medido es entonces P = m total g m aire g + dm abajo v, (1) donde dm abajo es la tasa de aumento de masa de grano en el hemisferio inferior, y v la velocidad de los granos en el momento de caer sobre la arena acumulada abajo. Los granos, si caen con velocidad v sobre el fondo acumulado, han volado un tiempo t caida = v/g, durante el cual la masa que ha salido del hemisferio superior vale dm t caida = dm v/g. Esta es precisamente la masa de grano en el aire m aire, y la disminución de peso asociada vale m aire g = dm v (2) escrito en función de la velocidad v de los granos que están alcanzando el fondo, y de la tasa de masa de granos que abandona el nivel superior. Para determinar el aumento de peso debido a la transferencia de cantidad de movimiento, calculamos primero m abajo : m abajo = m arena m arriba m aire y como m arriba = m arena dm t, y m aire = dm v/g, se obtiene m abajo = dm t dm v/g, donde t es el tiempo transcurrido desde el inicio. Para derivar respecto del tiempo, hay que tener en cuenta que la velocidad v de los granos al caer disminuye con t, porque el nivel de arena sobre el fondo, h(t), va aumentando y los granos vuelan cada vez menos trecho. Como el tiempo de caída vale t caida = 2(d h(t)), g donde d es la altura inicial de caída, 2 cm, y h(t) es el nivel de arena acumulado sobre el fondo, tendremos y entonces v = gt caida = 2g(d h(t)), Derivamos por fin m abajo : dv = g v dm abajo = dm + dm 1 v

7 lo que muestra que la tasa de aumento de m abajo es mayor que la tasa de disminución de m arriba, debido al aumento del nivel del fondo y la consiguiente disminución temporal de la cantidad de arena en el aire. El aumento de peso debido a la transferencia de cantidad de movimiento dm abajo v = dm v + dm (3) y el peso medido por la balanza es, utilizando las ecuaciones (1), (2) y (3), P = m total g m aire g + dm abajo v = m total g dm v + dm v + dm = m total g + dm Es interesante observar que, en el caso =, la balanza mediría exactamente la masa total. Es decir, la disminución del peso debido a la masa de grano en el aire cancelaría exactamente la tasa de transferencia de cantidad de movimiento del grano al caer. Esto es debido a que ambos términos, el peso de grano en el aire y la tasa de transferencia de momento, serían proporcionales a la velocidad de caída v y a dm. El nivel máximo alcanzado por la arena sobre el fondo es de 15 cm, por lo que =.15/36 = m/s. Por tanto, el aumento de peso debido al aumento del nivel de arena es P = dm variación totalmente indetectable para la balanza. P = N