Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales. Cátedra de Mecánica de los Fluidos. Carrea de Ingeniería Civil

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1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales Cátedra de Mecánica de los Fluidos Carrea de Ingeniería Civil FLUJO COMPRESIBLE DR. ING. CARLOS MARCELO GARCÍA 2011

2 A modo de introducción se analiza un flujo incompresible para poder desarrollar una comparación entre este y el flujo compresible. FLUJO INCOMPRESIBLE DE FLUIDO NEWTONIANO ( =) Ecuaciones básicas Las cuatro ecuaciones básicas que gobiernan el movimiento de este fluido (3d) son I) Continuidad + + =0 II) Conservación de la cantidad de Movimiento. 1 + h)+ u= du dt. 1 + h)+ v= dv dt. 1 + h)+ w= dw dt La ecuación de energía se utiliza para identificar las pérdidas. Incógnitas Las cuatro incógnitas del problema son: Presión 3 componentes del vector velocidad (,,) Parámetros 2 Como los parámetros son constantes, las ecuaciones ) y ),,) están desacopladas de las ecuaciones de energía. De esta manera, constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Las Ecuaciones de energía o de conservación de cualquier escalar están desacopladas de las ecuaciones básicas. 2

3 FLUJO COMPRESIBLE Cabe destacar, que la compresibilidad es una propiedad del flujo y no del fluido. La misma, Implica variaciones apreciables de la densidad en el campo del flujo. La compresibilidad es un aspecto muy importante en flujos de alta velocidad, ya que grandes cambios en la velocidad implica grandes variaciones de presión. Además, en los gases, estos grandes cambios en la presión vienen acompañados por modificaciones significativas en la densidad y en la Temperatura. Ecuaciones básicas Las siete ecuaciones que gobiernan el flujo compresible son: I) Continuidad + + =0 II) Conservación de la cantidad de Movimiento. 1 + h)+ u= du dt. 1 + h)+ v= dv dt. 1 + h)+ w= dw dt III) Primera y segunda ley de la termodinámica = IV) Ecuación de Estado.=.. = =. 3

4 Incógnitas Las incógnitas en el flujo compresible son 8: Presión 3 componentes del vector velocidad (,,) Densidad ρ,) Temperatura Entalpía h Entropía Parámetros Los parámetros que se utilizan son: Viscosidad Constante de los gases De esta manera, se tiene un sistema de ecuaciones acoplado, y para la resolución, se deberán utilizar todas las ecuaciones. A continuación se realizará un breve repaso sobre las ecuaciones de la Termodinámica, y luego se desarrollarán dos ejercicios de aplicación. 4

5 Revisión de termodinámica 1 Ley de la Termodinámica La primera ley enuncia que el calor agregado a un sistema, menos el trabajo realizado por este, es igual a la variación de energía interna. = La variación de energía surge del balance entre lo que entra y lo que sale al volumen de control, a lo que se le suma lo aportado por la fuente, y lo quitado por los sumideros. Puesto que la energía se conserva, esta variación es nula. Este principio se puede expresar mediante la siguiente ecuación: = + +. Donde: =í = = + + = Luego, si evaluamos la variación entre un punto inicial 1 y un punto final 2, y dividimos ambos miembros por la tasa de flujo de masa ( ), se obtiene: h + = h + Donde: h=+ h= = 5

6 Ecuación de Bernoulli A partir de la primera ley de la termodinámica se puede deducir la Ecuación de Bernoulli: Se considera el flujo en un tubo de corriente con las siguientes hipótesis: Flujo permanente Flujo incompresible Flujo no viscoso Como el sistema no realiza trabajo: =0 Además, como se supone que no existe fricción, no existe transferencia de calor, lo que implica que no existe ningún cambio en la energía interna. De esta manera: ) + = ) = = 2 + ɣ + = 6

7 2 Ley de la Termodinámica Entre dos estados 1 y 2: Donde: =í Si se tratara de un proceso reversible, entonces se cumple que: = Luego, se tiene: En caso de tratarse de un sistema adiabático: =0 >0 á =0 ó Realizado este pequeño repaso acerca de las leyes de la termodinámica, se procede al planteo y resolución de tres ejercicios de aplicación de las ecuaciones que gobiernan el flujo incompresible. 7

8 EJEMPLOS Caso 1 Se tiene un flujo con las siguientes características: Adiabático 0 No hay trabajo realizado por el sistema Compresible Permanente Sección Transversal constante Se permite efecto no isoentrópico de la fricción Unidireccional Horizontal (efectos gravitatorios despreciables) 0 Para su resolución, se realiza un esquema de la situación planteada: Resolución: 1) Ecuación de Continuidad

9 2) Ecuación de Conservación de la Cantidad de Movimiento 0 = =... ) +... ) Tomando como factor común, y recordando que: Se obtiene:. =. = +. ) =.. ) ) 3) Primera ley de la termodinámica Donde: = + +. Luego: = = ) ) Donde: Simplificando: = =. =. = = Y sabiendo que: h = + 9

10 Reemplazando: h 2 h 2 ) 4) Segunda ley de la termodinámica Al existir fricción, el proceso es irreversible. Por este motivo: >0 Luego, para un gas ideal: =.ln. ) 5) Ecuación de Estado Para un gas ideal: =.. ) h h = ) ) Si todas las propiedades del flujo son conocidas en la sección 1, se tienen entonces siete incógnitas en la sección 2: h Se tienen entonces seis ecuaciones con siete incógnitas. De esta manera, existen infinitos número de casos posibles. 10

11 El problema se resuelve de la siguiente manera: Se fijan distintos valores de, para los cuales se pueden determinar los valores de las distintas variables y de. Esto es: Se fija un valor de. De (6) se determina h. De (3) se calcula. De (1) se obtiene. De (5) puedo calcular. De (4) se determina. Finalmente, de (2) se calcula. De la situación planteada se puede realizar el siguiente análisis: Recordando que el número de match es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad del sonido: / Para flujos supersónicos, aumentos en la entropía provocan una disminución de la temperatura, mientras que los flujos subsónicos, aumentos de la entropía se manifiestan con una disminución de la temperatura. Cabe destacar que no es posible que un flujo pase de un régimen subsónico a uno supersónico, porque no se cumple lo analizado anteriormente. 11

12 Caso 2: Flujo isoentrópico de un gas ideal Resolviendo de manera análoga que el ejemplo anterior, se planten una por una las seis ecuaciones que gobiernan el flujo: 1) Ecuación de Continuidad.. =.. 2) Cantidad de Movimiento +.. =... ) +... ) 3) Primera ley de la termodinámica h + 2 =h + 2 4) Segunda ley de la termodinámica = = 5) Ecuación de estado =.. 6) Ecuación para un gas ideal h= h h = ) Una condición (además de ) debe ser especificada en estado 2 para que sea completamente desarrollado. 12

13 Caso 3: Efecto de variación del área de flujo en flujos isoentrópicos Se adopta un flujo con las siguientes características: Flujo permanente Flujo uniforme en cada sección No existe fricción Un esquema de la situación planteada podría ser el siguiente: 1) Ecuación de Continuidad (Se desprecian los productos de diferenciales de orden superior).. 2) Cantidad de Movimiento Donde:.. 13

14 Se utiliza la presión media entre las secciones: 2 Reemplazando: =+ +. +).+) = Reemplazando:.= ).+).+).=.+ + )... =.. Además: =. +. =2.. = 2 Reemplazando: =. 2 + = Además: =.. = De la ecuación de continuidad se sabe:..= ln.ln.ln=ln 14

15 + =0 Sabiendo que: Reemplazando: = + = = + =.1+ Y como: = =.1 =. De esta última ecuación se deduce que, por ejemplo, para <1, un cambio de área relativo produce un cambio relativo de velocidad del signo contrario, esto es: <1: >0 <0 <1: <0 >0 Para flujos en régimen supersónico >1: >1: >0 >0 >1: <0 <0 En caso de =1, por ser =0, es la sección con mínima área. 15

16 A partir de los resultados del análisis anterior, se puede elaborar la siguiente síntesis: 16

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