Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones

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1 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática III Guía Nº3 Primer Semestre 015 Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Problemas Propuestos 1. Sea f : R R definida por: Donde a > 3 es un parámetro. (a) Es f(x, y) continua en (0,0)? (b) Es f(x, y) diferenciable en (0,0)? { xy a x +y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0). Se define la función f : R R por la fórmula y x sen ( ) 1 x si x 0 0 si x = 0 Analizar la continuidad en R de las funciones derivadas parciales de f. 3. Definamos la función { (x 1)(y+1) (x 1) 3 +(y+1) si (x 1) 3 + (y + 1) 0 0 si (x 1) 3 + (y + 1) = 0 Determine los puntos en el plano cartesiano donde f es diferenciable. 4. Sea H(x, y) = (sen(πx + y 3 + xy), f(x, y)). Es H(x, y) diferenciable en R? (Justifique), donde : xy y y + si (x, y) (, 0) y > 0, y + (x ) 0 si (x, y) = (, 0) y 0 Si f es diferenciable en (, 0), encuentre el plano tangente en el punto (, 0, f(, 0)) a la gráfica de la superficie z = f(x, y). 5. Sea f : R R la función definida por la siguiente expresión : x 4 y 4 x, si (x, y) (0, 0), + xy + y 0, si (x, y) = (0, 0). (a) Admite f derivada direccional en (0, 0) según cualquier vector unitario u = (cos θ, sen θ)? (Sugerencia: Utilice la definición.) (b) Es f diferenciable en (0, 0)? 6. Sea f una función diferenciable f : R 3 R, tal que f x (0, 0, 0) = ; f y (0, 0, 0) = f z (0, 0, 0) = 5. Sea g : R R definida por g(u, v) = f(u v, u 11, 3v 3). (a) Hallar g u (1, 1) y g v (1, 1). (b) Si f(0, 0, 0) = 0, hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función g en el punto (1, 1, 0). 7. Verifique o refute si u(x, t) = 1 [sen(x ct) + sen(x + ct)] Página 1 de 5

2 es una solución de la ecuación diferencial parcial de onda unidimensional: donde c es una constante positiva. u t = c u x, (1) 8. Sean x = e s cos t, y = e s sen t y f : R R una función de clase C. Pruebe que si g(s, t) = f(x, y) entonces ( 1 ) g e s s + g t = f x + f y. 9. Para f : R 3 R dada por f(x, y, z) = z + ( x + y ) considere la superficie de nivel S = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = 1}. (a) Determine las ecuaciones de los planos tangentes a S en los puntos (1/, 1/, 0), (0, 1, 0). (b) Determine las curvas de intersección de S con los planos x = 0, y = 0 y z = 0. (c) Es posible esbozar una representación de S con la información obtenida de (b)? 10. Considere h : R R una función derivable y las funciones (x + 1, y ), g(u, v) = (u + v, h(u + v), v ). Calcular la derivada de g f : R R 3 en el punto (1, ) si h(1) = h (1) = Sea g una función de clase C (segundas derivadas continuas) y a R, se define F (x, y) mediante ( y F (x, y) = x a g, con (x, y) D = {(x, y) R x) : x 0}. Determine para qué valores de a R se verifica x F x + xy F x y + y F y = Hallar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de f(x, y, z) = axy + byz + cz x 3 en el punto (1,, 1) tenga el valor máximo 64 en la dirección paralela al eje z. 13. Considere la función f diferenciable en A R tal que la derivada direccional de f en el punto P = ( 1, ) A es 5 en la dirección del vector u = (1, 1) y en la dirección del vector v = (, ). (a) Hallar la derivada direccional de f en el punto P en la dirección del vector w = ( 3, 4). (b) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto B = ( 1,, 4). 14. Dadas las superficies xyz = 1, axy + byz + x = 3. (a) Determine todos los valores reales de a y b, si existen, tales que las superficies se corten ortogonalmente en el punto (1, 1, 1). (b) Si a = 0 y b = 1. Determine todos los puntos sobre las superficies donde se corten ortogonalmente. 15. Calcule la derivada direccional de f(x, y, z) = x + y z en (3, 4, 5) a lo largo de la curva intersección de las superficies x + y z = 5 y x + y = z. 16. Hallar una constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas: (x c) + y + z = 3 x + (y 1) + z = 1 los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares el uno al otro. Página de 5

3 Problemas Resueltos 1. Sean α R y f : R R definida por (x 1) (y + ) ((x 1) + (y + ) ) α si (x, y) (1, ) 0 si (x, y) = (1, ) (a) Determine los valores de α R para los cuales f(x, y) es continua en (1, ). (b) Determine los valores de α R para los cuales f x (x, y) es continua en (1, ). Es diferenciable f para estos valores? Justifique. (a) Considerando el cambio de variables u = x 1, v = y +, la función f(x, y) se puede escribir como sigue: u v F (u, v) = (u + v ) α si (u, v) (0, 0) 0 si (u, v) = (0, 0) Si consideramos las trayectorias v = mu, m R, tenemos que, u v (u + v ) α = (u,mu) (0,0) m u 4 ((1 + m ) u ) α = m (1 + m ) α u 4 α u 0 Este ite existe si y sólo si 4 α > 0, es decir, si α <. Si α = el ite depende de la trayectoria, luego no existe. Finalmente si α > el ite no existe. En conclusión la función F (u, v) no es continua para α en el punto (0, 0). Si α <, se tiene: u v (u + v ) α 0 (u + v )(u + v ) (u + v ) α = (u + v ) α. 1 Luego, dado ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ ( δ). De esta forma, para α < se tiene que o equivalentemente (x,y) (1, ) u v (u + v ) α = 0 = F (0, 0), (x 1) (y + ) ((x 1) + (y + ) ) α = 0 = f(1, ), y en conclusión la función f(x, y) es continua para α < en el punto (1, ). (b) Si (u, v) (0, 0): F u (u, v) = uv (u + v ) α αu 3 v (u + v ) α 1 = uv (u + v ) α 1 ( u + v αu ). Por otro lado F 0 0 (0, 0) = = 0. u h 0 h Consideremos las trayectorias v = mu, m R, luego, uv (u + v ) ( α 1 u + v αu ) m u 3+α (1 + m ) ( α m α ) = (1 + m ) α u 4α m u 3 α (1 + m ) ( α m α ) = (1 + m ) α. Página 3 de 5

4 Así, si 3 α < 0, es decir α > 3/ el ite no existe. Si α = 3/ el ite depende de la trayectoria, en conclusión no existe. Luego, la función F u no es continua si α 3/. Si α < 3/, se tiene que, uv (u + v ) ( α 1 (1 α)u + v ) = u v (u + v ) α 1 (1 α)u + v ( Luego, dado ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ máx{1, 1 α } máx{ 1 α, 1}(u + v ) α+3/ ) 1 ( α+3/) Α Figura 1: Gráfico de máx{1, 1 α }. Se grafica hasta α = 3/ pues para valores mayores se pierde continuidad de la derivada parcial. En conclusión se tiene que o equivalentemente, uv (u + v ) ( α 1 u + v αu ) = 0 = F (0, 0), u (x 1)(y + ) ((x 1) + (y + ) ) ( α 1 (x 1) + (y + ) α(x 1) ) (x,y) (1, ) ((x 1) + (y + ) ) α = f (1, ), x luego, la función f x (x, y) es continua en (1, ) si y sólo si α < 3/. Como una derivada parcial es continua, entonces la función es diferenciable para los valores obtenidos en (1, ).. Sea g : R R una función derivable tal que g(0) = 1, g (0) = Se define a z = f(x, y), f : R R mediante ( 1 xy g x 1 ). y (a) Determine el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (1, 1). (b) Obtenga una función h(x, y) tal que x z z + y = z h(x, y). x y (a) Definimos a u = u(x, y) = 1 x 1 y. Puesto que u es diferenciable en (1, 1) y g( ) es derivable, entonces z es diferenciable en (1, 1). Se tiene entonces que z(1, 1) = 1 1 g(u(1, 1)) = g(0) = 1. Página 4 de 5

5 Además, por la regla de la cadena Y, de forma análoga, z x = y g(u) + xy g (u)u x z x (1, 1) = 3. = yg(u) y x g (u) z y = x g(u) + xy g (u)u y z y (1, 1) = 1. Con esto, la ecuación del plano tangente es (b) Hacemos Basta sumar y obtenemos Pero z = xyg(u), de modo que = xg(u) + x y g (u) 3(x 1) + (y 1) (z + 1) = 0 3x + y z = 1. x z x = x yg(u) xyg (u) y z y = xy g(u) + xyg (u). x z x + y z y = (x + y)xyg(u). x z x + y z y = (x + y)z x + y. 3. Considere la función f diferenciable en A R tal que la derivada direccional de f en el punto P = ( 1, ) A es 5 en la dirección del vector u = (1, 1) y en la dirección del vector v = (, ). (a) Hallar la derivada direccional de f en el punto P en la dirección del vector w = ( 3, 4). (b) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto B = ( 1,, 4). Puesto que f es diferenciable en A entonces existen derivadas parciales en P y luego existe el gradiente de f, f, en P. Entonces: (a) D u f( 1, ) = u u f( 1, ). Así 5 = (f x( 1, ) f y ( 1, )) 5 = f x ( 1, ) f y ( 1, ), () donde f x ( 1, ) y f y ( 1, ) denotan a las derivadas parciales de f con respecto a x e y en P. Análogamente para v = (f x( 1, ) + f y ( 1, )) 1 = f x ( 1, ) + f y ( 1, ). (3) Resolviendo el sistema ( 3), se obtiene f x ( 1, ) =, f y ( 1, ) = 3. Por lo tanto D w f( 1, ) = 1 ( 3, 4) (, 3) = (b) Sea g(x, y, z) = f(x, y) z. Su plano tangente en B viene dado por Reemplazando g( 1,, 4) (x + 1, y, z 4) = 0. (, 3, 1) (x + 1, y, z 4) = 0 x 3y z = 1. Página 5 de 5