Introducción al Cálculo. Integral en Varias Variables

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción al Cálculo Integral en Varias Variables Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Septiembre 5

2 Ramón Bruzual Correo-E: Marisela Domínguez Correo-E: Laboratorio de Formas en Grupos Centro de Análisis Escuela de Matemática Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela labfg Nota: Este material está disponible en la página web labfg/guias.htm En general mantenemos una réplica en un servidor externo a la Universidad Central de Venezuela, el vínculo se encuentra indicado en esa misma página web.

3 Prólogo Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Cálculo Integral en Varias Variables del curso de Matemática III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biología, Geoquímica, Química, Computación, Física y Matemática. El trabajo de mecanografía y la elaboración de los gráficos está a cargo de los autores. Agradecemos cualquier observación o comentario que deseen hacernos llegar. Ramón Bruzual. Marisela Domínguez. Septiembre 5. iii

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5 CONTENIDO Capítulo 1. Integrales dobles El caso de una dimensión. 1. Integrales dobles sobre rectángulos Integrales dobles sobre conjuntos más generales Cálculo de áreas y volúmenes usando integrales dobles Cambio de coordenadas cartesianas a polares Lectura adicional: Justificación de la fórmula del cambio de variables para coordenadas polares Cálculo de + e x dx. Ejercicios. Integrales dobles. 5 Capítulo. Integrales triples Definiciones y resultados básicos. 9. Cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas Cambio de coordenadas cartesianas a esféricas Aplicación a cálculo de volúmenes. 34 Ejercicios. Integrales triples. 39 Capítulo 3. Lectura adicional: El teorema de Green. 41 Ejercicios. El teorema de Green. 45 Bibliografía 47 Índice 49 v

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7 CAPÍTULO 1 Integrales dobles. Integrales dobles de funciones sencillas, haciendo énfasis en la determinación de los límites de integración en regiones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. Aplicación a cálculo de áreas. Cálculo de + e x dx. 1. El caso de una dimensión. En esta sección recordaremos algunos resultados y definiciones relacionados con la integral de Riemann en una dimensión. El enfoque usual de la integral de Riemann, es como sigue. Definición 1.1. Sean a, b R, a < b. Una partición del intervalo [a, b] es una colección finita de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b. Los puntos de una partición pueden ser numerados como x, x 1,..., x k, de forma tal que el conjunto quede ordenado de la siguiente manera a = x o < x 1 < < x k 1 < x k = b. Al hablar de una partición siempre supondremos que está ordenada de la forma anterior. Definición 1.. Sean a, b R, a < b y f : [a, b] R una función acotada. P = {x o, x 1,..., x k } una partición del intervalo [a, b]. Para 1 i n, sean Sea m i = inf{f(x) : x i 1 x x i }, M i = sup{f(x) : x i 1 x x i }. La suma inferior de f correspondiente a P, se denotará por L(f, P ) y es L(f, P ) = n m i (x i x i 1 ). i=1 1

8 1. INTEGRALES DOBLES. La suma superior de f correspondiente a P, se denotará por U(f, P ) y es n U(f, P ) = M i (x i x i 1 ). i=1 Es importante notar que la hipótesis f acotada es esencial para poder garantizar que tanto M i como m i están definidos. También es necesario definirlos como supremo e ínfimo y no como máximos y mínimos, ya que f no se supone continua. El siguiente dibujo nos ilustra la suma superior para la función f(x) = sen x en el intervalo [, 1], con la partición {, 1,,..., 1}. y x -1 Figura 1.1. Suma superior para f(x) = sen x El siguiente dibujo nos ilustra la suma inferior para la función f(x) = sen x en el mismo intervalo [, 1], con la misma partición {, 1,,..., 1}. y x -1 Figura 1.. Suma inferior para f(x) = sen x Es importante notar que cada una de estas sumas representa el área algebraica de los rectángulos sombreados (área algebraica se refiere a lo siguiente: si el rectángulo está por encima del eje x, el área se toma como positiva, si está por debajo, se toma negativa).

9 1. EL CASO DE UNA DIMENSIÓN. 3 Definición 1.3. Una función acotada f definida en [a, b] es integrable Riemann o integrable sobre [a, b] si sup{l(f, P ) : P es una partición de [a, b]} = inf{u(f, P ) : P es una partición de [a, b]}. En este caso, este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por b a f. Si la función f es no negativa, la integral de f sobre [a, b] representa el área de la región plana limitada por el gráfico de f, el eje x y las verticales x = a y x = b. Tenemos que si f es continua en [a, b], salvo en una cantidad finita de puntos, entonces f es integrable sobre [a, b]. Además, para funciones continuas tenemos lo siguiente. Si P = {x, x 1,..., x k } es una partición del intervalo [a, b], la norma de P se define por P = max{x i x i 1 : i = 1,..., k}. Teorema 1.4. Sea f : [a, b] R una función continua. Entonces para cada ε > existe δ > tal que k f(c i )(x i x i 1 ) i=1 b a f < ε para toda partición P = {x, x 1,... x k } de [a, b] tal que P < δ y para cualquier conjunto de puntos {c i } tales que c i [x i 1, x i ]. El resultado anterior se suele expresar de la siguiente manera: Si f es continua en [a, b] entonces c i [x i 1, x i ]. b a f = lim P k f(c i )(x i x i 1 ) i=1 Las sumas que aparecen en la fórmula anterior se conocen con el nombre de sumas de Riemann de f.

10 4 1. INTEGRALES DOBLES. Es muy importante recordar el siguiente resultado, que establece una conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral, y que es sumamente útil en el momento de calcular integrales. Teorema 1.5 (Teorema fundamental del cálculo). Si f es integrable sobre [a, b] y f = g para alguna función g, entonces b a f = g(b) g(a).. Integrales dobles sobre rectángulos. Definición 1.6. Sea Q = [a, b] [c, d] un rectángulo contenido en R. Sea P una colección de subrectángulos de Q. Se dice que P es una partición de Q si existen una partición P 1 = {x,..., x N1 } de [a, b] y una partición P = {y,..., y N } de [c, d] tales que P = { [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] : 1 i N 1, 1 j N }. El par (P 1, P ) lo usaremos para denotar a P. Notar que si P 1 divide el intervalo [a, b] en N 1 intervalos y P divide el intervalo [c, d] en N intervalos entonces P contiene N 1 N subrectángulos. y y =d y 1 y o =c x o =a x 1 x x 3 =b x Figura 1.3. Partición de [a, b] [c, d] Consideremos ahora una función acotada f definida en el rectángulo Q = [a, b] [c, d]. Sea P = (P 1, P ) una partición de Q donde P 1 = {x,..., x N1 } P = {y,..., y N } son particiones de [a, b] y [c, d] respectivamente.

11 . INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 5 Para 1 i N 1 y 1 j N, sean m ij = inf{f(x, y) : x i 1 x x i, y j 1 y y j }, M ij = sup{f(x, y) : x i 1 x x i, y j 1 y y j }. La suma inferior de f correspondiente a P, se denotará por L(f, P ) y es N 1 N L(f, P ) = m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ). i=1 j=1 La suma superior de f correspondiente a P, se denotará por U(f, P ) y es N 1 N U(f, P ) = M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ). i=1 j=1 Es importante notar que la hipótesis f acotada es esencial para poder garantizar que tanto M ij como m i están definidos. Definición 1.7. Una función acotada f definida en Q es integrable Riemann o integrable sobre Q si sup{l(f, P ) : P es una partición de Q} = inf{u(f, P ) : P es una partición de Q}. Definición 1.8. En caso de que f sea integrable el número común de la definición anterior recibe el nombre de integral doble de f sobre Q y se denota por f(x, y) dxdy, o simplemente por Q Q f. Al igual que en el caso unidimensional, tenemos que toda función continua en un rectángulo es integrable. Más generalmente se cumple lo siguiente: si f es acotada en un rectángulo y continua, salvo en un conjunto de área nula, entonces f es integrable sobre el rectángulo (los segmentos y las curvas lisas son ejemplos de conjuntos de área nula). También se cumple el siguiente resultado.

12 6 1. INTEGRALES DOBLES. Teorema 1.9. Sea Q R un rectángulo, sea f : Q R una función continua. Sea P = (Q ij ) = (P 1, P ) una partición de Q. Si c ij Q ij, entonces N 1 N fdv = f(c ij ) Area (Q ij ). Q lim P 1, P i=1 j=1.1. Interpretación geométrica de la integral doble. Sea f una función continua y no negativa definida en el rectángulo Q. Cada sumando de la forma M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ), que aparece en la suma superior U(f, P ) es el volumen de un paralelepípedo con base el rectángulo [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] y altura M ij. Además, por definición, M ij es el supremo de f en el rectángulo [x i 1, x i ] [y j 1, y j ]. z z = f(x,y) M ij Volumen = M ij (x i -x i-1 )(y j -y j-1 ) y j-1 y j x i-1 y x i x Figura 1.4. Por lo tanto, la suma superior U(f, P ) es igual al volumen de un sólido, formado por paralelepípedos cuyas bases son los rectángulos [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] y cuyas alturas son M ij, i = 1,..., N 1, j = 1,..., N. De lo anterior concluimos que la suma superior es una aproximación por exceso del volumen del sólido dado por z f(x, y), (x, y) Q.

13 . INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 7 De forma análoga tenemos que la suma inferior L(f, P ) es una aproximación por defecto del volumen del mismo del sólido z f(x, y), (x, y) Q. Por otra parte, por ser f integrable sobre Q, tenemos que que está entre U(f, P ) y L(f, P ) para toda partición P de Q. Q f es el único número real Luego, para una función continua y no negativa f, tenemos que f(x, y) dxdy es igual al volumen del sólido Q S = {(x, y, z) R 3 : (x, y) Q, z f(x, y) }... Cálculo de la integral doble mediante integración iterada. Sea f : Q R continua y no negativa. El volumen del sólido S = {(x, y, z) R 3 : (x, y) Q, z f(x, y) }, lo podemos calcular integrando el área de su sección transversal. En la figura A(x o ) = d c f(x o, y) dy. z z = f(x,y) Area = A(x o ) y x o x Figura 1.5. De manera que si Q = [a, b] [c, d], tenemos que

14 8 1. INTEGRALES DOBLES. Q f(x, y) dxdy = b De manera análoga podemos ver que también a ( d c ) f(x, y) dy dx. Q f(x, y) dxdy = d c ( b a ) f(x, y) dx dy. En general, si Q = [a, b] [c, d] y f es una función continua entonces Q f(x, y) dxdy = b a ( d c ) f(x, y) dy dx = d c ( b a ) f(x, y) dx dy. Observación 1.1. El resultado anterior se conoce como Teorema de Fubini. El resultado se cumple bajo ciertas condiciones más generales que las que hemos considerado y su justificación rigurosa está fuera del alcance de estas notas. Para más detalles ver [7]. Ejemplo Calcular (x + y) dxdy. 1 [,1] [,1] (x + y) dx = x3 3 + yx x=1 x= = y, luego 1 1 (x + y) dxdy = = 1 1 ( 1 = 1 3 y + y ) (x + y) dx dy ( ) y dy x=1 x= = = 5 6. A manera de ejercicio, calcular la integral iterada en el otro orden y verificar que se obtiene el mismo resultado.

15 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES Propiedades de las integrales dobles en rectángulos. Sea Q un rectángulo contenido en R entonces la integral sobre Q tiene las siguientes propiedades (1) Linealidad: Si f y g son dos funciones integrables sobre Q, si c 1, c son números reales, entonces c 1 f + c g es integrable sobre Q y (c 1 f(x, y) + c g(x, y)) dxdy = c 1 f(x, y) dxdy + c g(x, y) dxdy. Q Q Q () Si f es una función integrable sobre Q y se tiene que Q = Q 1 Q, donde Q 1 y Q son rectángulos de lados paralelos a los ejes de coordenados, tales que Q 1 Q es un segmento de recta, entonces f es integrable sobre cada Q i, i = 1, y f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. Q 1 Q Q 1 Q (3) Monotonía: Si f y g son funciones integrables sobre Q y g(x, y) f(x, y) para todo (x, y) Q, entonces g(x, y) dxdy f(x, y) dxdy. Q Q En particular, si f(x, y) para todo (x, y) Q, entonces f(x, y) dxdy. Q 3. Integrales dobles sobre conjuntos más generales. En esta sección extenderemos el concepto de integral doble a conjuntos más generales que rectángulos y veremos cómo calcularlas. Supongamos que tenemos una región acotada R R y una función f : R R. Sea Q R un rectángulo tal que R Q, definimos R f(x, y) dxdy = Q f(x, y) dxdy,

16 1 1. INTEGRALES DOBLES. donde f(x, y) si (x, y) R, f(x, y) = si (x, y) Q \ R. A continuación veremos cómo calcular esta integral, dependiendo del tipo de región. Definición 1.1. Una región del tipo I es una región de la forma R 1 = {(x, y) R : a x b, ϕ 1 (x) y ϕ (x)} donde ϕ 1 y ϕ son funciones continuas en [a, b], tales que ϕ 1 ϕ. y y = ϕ (x) y = ϕ 1 (x) a b x Figura 1.6. Región tipo I Em este caso f(x, y) dxdy = R 1 b ( ) ϕ (x) f(x, y) dy dx. a ϕ 1 (x) Definición Una región del tipo II es una región de la forma R = {(x, y) R : c y d, ψ 1 (y) x ψ (y)} donde ψ 1 y ψ son funciones continuas en [c, d] tales que ψ 1 ψ.

17 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 11 y c x = ψ 1 (y) x = ψ (y) d x Figura 1.7. Región tipo II En este caso f(x, y)dxdy = R d ( ) ψ (y) f(x, y) dx dy. c ψ 1 (y) Ejemplo Sea R la región representada en la siguiente figura. Veamos cómo escribir f(x, y) dxdy como una integral iterada. R y 4 y=x x Figura 1.8. La región de integración está dada por x, x y 4, por lo tanto, f(x, y) dxdy = R ( 4 ) f(x, y) dy dx. x

18 1 1. INTEGRALES DOBLES. Notemos que otra manera de describir la región es y 4, x y, por lo tanto también tenemos que R f(x, y)dxdy = 4 ( y ) f(x, y)dx dy. Finalmente, para calcular una integral sobre una región arbitraria, descomponemos la región como una unión de regiones tipo I y tipo II y sumamos las integrales sobre cada una de estas regiones. Observación La siguiente notación es muy utilizada. En vez de escribir ( b ) ϕ (x) f(x, y) dy dx, se suele escribir a ϕ 1 (x) b a dx ϕ (x) ϕ 1 (x) f(x, y) dy. De igual manera se usa la notación análoga en el otro orden. Así que las expresiones 4 ( y ) f(x, y)dx dy y 4 y dy f(x, y)dx tienen exactamente el mismo significado. Ejemplo Sea R la región {(x, y) R : 1 x + y 4}. Escribir en términos de integrales iteradas. R f dxdy R es la unión de cuatro regiones tipo I, que son

19 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 13 R 1 = {(x, y) R : x 1, 4 x y 4 x }, R = {(x, y) R : 1 x 1, 1 x y 4 x }, R 3 = {(x, y) R : 1 x 1, 4 x y 1 x }, R 4 = {(x, y) R : 1 x, 4 x y 4 x }. y x Figura 1.9. Tenemos que R f(x, y)dxdy = ( ) 4 x f(x, y) dy dx + 4 x ( ) 1 x f(x, y) dy dx x 1 1 ( ) 4 x f(x, y) dy dx 1 x ( ) 4 x f(x, y) dy dx 4 x Ejemplo Considerar la siguiente integral iterada e dy ln y 1 f(x, y) dx. Identificar la región de integración, representarla gráficamente e intercambiar el orden de integración. Tenemos que la región de integración está dada por 1 y e x ln y y gráficamente corresponde con la región sombreada en la siguiente figura.

20 14 1. INTEGRALES DOBLES. y e 1 x = ln y 1 x Figura 1.1. Región de integración Para cambiar el orden de integración, notemos que la curva x = ln y es la misma curva que y = e x, por lo tanto la región también la podemos expresar de la siguiente manera x 1 e x y e. Al cambiar el orden de integración obtenemos 1 e dx f(x, y) dy. e x Ejemplo Sea R la región acotada del plano limitada por el gráfico de la función y = x y la recta 3y = x + 4. Representar gráficamente R y expresar f(x, y) dxdy en términos de integrales iteradas en ambos órdenes. R Para representar gráficamente la región trazamos el gráfico de la función y = x y de la recta 3y = x+4. Los puntos de corte de las curvas son ( 1, 1) y (, ). La región corresponde con el área sombreada en la siguiente figura.

21 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 15 3y = x+4 (,) (-1,1) 1 y = x y = -x -1 Figura Región de integración La región la podemos escribir de la siguiente manera {(x, y) R : 1 x, x y (x+4)/3} {(x, y) R : x, x y (x+4)/3}, por lo tanto f(x, y) dxdy es igual a R 1 dx (x+4)/3 x f(x, y) dy + dx (x+4)/3 x f(x, y) dy. Procedamos ahora con el otro orden. La región también la podemos escribir de la siguiente manera {(x, y) R : y 1, y x y} {(x, y) R : 1 y, 3y 4 x y}, por lo tanto la integral también es igual a 1 dy y y f(x, y) dx + 1 y dy f(x, y) dx. 3y 4 Observación Para regiones generales valen resultados análogos a los enunciados en la Subsección.3.

22 16 1. INTEGRALES DOBLES Lectura adicional: justificación de la definición de integral doble sobre regiones de tipo I y regiones de tipo II. Sea R 1 la región de tipo I dada por R 1 = {(x, y) R : a x b, ϕ 1 (x) y ϕ (x)}. Si c = inf{ϕ 1 (x) : a x b}, d = sup{ϕ (x) : a x b} entonces R 1 [a, b] [c, d]. donde Luego R 1 f(x, y) dxdy = [a,b] [c,d] f(x, y) dxdy, f(x, y) si (x, y) R 1, f(x, y) = si (x, y) [a, b] [c, d] \ R 1. Por ser f continua tenemos que, para cada x [a, b], la función y f(x, y) es integrable sobre [c, d] y de la definición de f sigue que Por el Teorema de Fubini d c f(x, y) dy = R 1 f(x, y) dxdy = b a ϕ (x) ϕ 1 (x) f(x, y) dy. ( ) ϕ (x) f(x, y) dy dx. ϕ 1 (x) Para regiones de tipo II se hace un razonamiento análogo. 4. Cálculo de áreas y volúmenes usando integrales dobles. Sea R una región contenida en R que es unión finita de regiones de tipo I y de tipo II. Sea f : R R, si f entonces f R es el volumen de la región limitada por el gráfico de f y el plano xy, es decir el volumen del sólido S = {(x, y, z) R 3 : (x, y) R, z f(x, y) }.

23 4. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES USANDO INTEGRALES DOBLES. 17 Si tomamos f 1 entonces el volumen de S es igual al área de R, por lo tanto el área de una región R del plano es igual a 1 dx dy. R Ejemplo 1.. Calcular el volumen del sólido limitado por el elipsoide x a + y b + z c = 1. El elipsoide es la región comprendida entre los gráficos de las funciones f 1 (x, y) = c 1 x a y y f b (x, y) = c 1 x a y b, para (x, y) S, donde donde S = } {(x, y) R : x a + y b 1. Por lo tanto, denotando por V al volumen del sólido, tenemos que V = (f 1 (x, y) f (x, y)) dxdy. Tomado en cuenta las simetrías del sólido tenemos que V = 8c 1 x a y b dxdy, Por lo tanto S 1 = V = 8c S S 1 } {(x, y) R : x, y, x a + y b 1. a b 1 x a 1 x a y b dy dx. Dejamos al lector verificar que la integral anterior es igual a (ver Ejercicio 9 ). Luego 4 3 πabc, V = 4 3 πabc.

24 18 1. INTEGRALES DOBLES. 5. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. Recordemos que el punto (x, y) R tiene coordenadas polares (r, θ) si x = r cos θ, y = r sen θ. En este caso, r = x + y tan θ = y/x. Es usual suponer r, θ < π. Más generalmente, se restringe θ a un intervalo semiabierto de longitud π. Explícitamente θ = arctan ( ) y x π + arctan ( y x donde arctan ( y x) está entre π/ y π/. ) x >, y x < π + arctan ( y x) x >, y < Teorema 1.1 (Cambio de variables a Coordenadas Polares). Sea B {(r, θ) R : r, θ < π} un conjunto acotado y sea T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) la transformación de coordenadas polares. Sea T P (B) la imagen de B por T P y sea f : T P (B) R continua y acotada. Entonces f(x, y) dxdy = f(r cos θ, r sen θ)r drdθ. T P (B) B Observación 1.. El factor r que aparece en la integral de la derecha es det T P (r, θ). En efecto, la matriz jacobiana para el cambio a coordenadas polares es: ( ) T P cos θ r sen θ (r, θ) =. sen θ r cos θ Luego det T P (r, θ) = r.

25 5. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES. 19 Ejemplo 1.3. Calcular x + y dxdy donde R R = {(x, y) R : 1 x + y 4}. Sean T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y B = [1, ] [, π], entonces T P (B) = R. Luego x + y dxdy = (r cos θ) + (r sen θ) r drdθ R B = = B π = π r3 3 = 14π 3. r drdθ = dθ 1 r= r=1 π r dr = π = π 3 (8 1) 1 r drdθ 1 r dr Ejemplo 1.4. Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = x + y, el cilindro x + y = 1 y el plano xy. Debemos calcular D (x + y ) dxdy, donde D = {(x, y) R : x + y 1}. Por qué? Sean T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y B = [, 1] [, π], entonces T P (B) = D.

26 1. INTEGRALES DOBLES. Por lo tanto (x + y ) dxdy = ( (r cos θ) + (r sen θ) ) r drdθ D B = = B π = π r4 4 = π. r 3 drdθ = dθ 1 r=1 = π r= 4 π 1 r 3 dr = π 1 r 3 drdθ r 3 dr dobles. A continuación damos el resultado general para el cambio de variables en integrales Teorema 1.5 (Cambio de variables para integrales dobles). Sea R uv un subconjunto acotado del plano. Sean x = x(u, v), y = y(u, v) funciones con derivadas parciales continuas y sea T la transformación definida por T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Sea R xy = T (R uv ) y sea f : R xy R continua, entonces f(x, y) dxdy = R xy R uv f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) dudv Observación 1.6. El factor J(u, v) que aparece en la integral de la derecha es el módulo de J(u, v). Donde J(u, v) es el siguiente determinante x J(u, v) = det u y u Es bueno saber que J(u, v) también se designa con x v y = x y u v x y v u. v (x, y) (u, v).

27 6. LECTURA ADICIONAL Lectura adicional: Justificación de la fórmula del cambio de variables para coordenadas polares. A continuación vamos a justificar, de manera intuitiva y usando argumentos geométricos sencillos, la fórmula para el cambio de variables a coordenadas polares. Tal como antes sea T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Es un hecho básico de geometría (ver figura) que si B o = [, q] [, α], donde α [, π/] y q, entonces Area (T P (B o )) = q α. y q α x Figura 1.1. T P (B o ) Proposición 1.7. Si B 1 = [q 1, q ] [α 1, α ], donde α 1 α < π y q 1 < q, entonces Demostración. Area (T P (B 1 )) = (α α 1 )(q q 1 )(q + q 1 ). Del comentario previo a esta Proposición podemos concluir que (ver figura) Area (T P (B 1 )) = q α α 1 q α (q 1 + α 1 q 1 ) = (α α 1 )(q q 1 )(q + q 1 ).

28 1. INTEGRALES DOBLES. θ T P y B 1 T P (B 1 ) r x Figura T P (B 1 ) Consideremos ahora una región B en el plano rθ. Supongamos B [a, b] [γ, δ] y sea T P (B) la imagen de B por T P. Sean P 1 = {r o, r 1,..., r n1 } una partición de [a, b] y P = {θ o, θ 1,..., θ n } una partición de [γ, δ]. Sean B ij = [r i 1, r i ] [θ j 1, θ j ] y d ij B ij. Sea f : R R una función continua, entonces basándonos en el Teorema 1.9 podemos justificar, de manera informal, la fórmula para el cambio de variables a coordenadas polares de la siguiente manera: T P (B) f(x, y) dxdy = n 1 n lim ( P 1, P ) (,) i=1 j=1 = lim ( P 1, P ) (,) = n 1 n i=1 j=1 f(t p (r, θ))r drdθ f(t P (d ij ))Area (T p (B ij )) f(t P (d ij )) r i + r i 1 (r i r i 1 )(θ j θ j 1 ) B = f(r cos θ, r sen θ)r drdθ. B 7. Cálculo de + e x dx. Lo haremos en dos partes. Proposición e (x +y ) dx dy = π 4.

29 7. CÁLCULO DE + e x dx. 3 Demostración. En este caso la región de integración es el primer cuadrante. Aunque se trata de una región no acotada, se puede dar una versión del teorema del cambio de variables para coordenadas polares. Aplicando este resultado se tiene que Pero Luego e (x +y ) dx dy = π/ + e r r dr = 1 r=+ e r = 1. e (x +y ) dx dy = r= π/ e r r dr dθ. 1 dθ = π 4. Proposición e x dx = π. Demostración. Sea Por supuesto que y así tenemos que Pero De donde a = a = + + e x dx. e y dy. ( + ) + a = a e y dy = e y a dy. + e y a = e y e x dx = + ( + ) + a = a e y dy = Usando la Proposición 1.8 tenemos que a = π 4. e y e x dx = + + e (x +y ) dx dy. e (x +y ) dx.

30 4 1. INTEGRALES DOBLES. Luego a = π. Observación 1.3. Del cálculo anterior también se concluye que + e x dx = π.

31 EJERCICIOS. INTEGRALES DOBLES. 5 Ejercicios. Integrales dobles. (1) Calcular las integrales iteradas que se indican, representar gráficamente la región de integración y describirla utilizando notación conjuntista. (a) (b) (c) (d) (e) dy dx dx 5 x 3 3 x x x (x y + xy 3) dx, (x 3 + x y y 3 + xy) dy, (x + xy 3y ) dy, dx (x + xy 3y ) dy, x ( ) x (x 3 xy) dy dx, (f) (g) (h) (i) (j) ( 4 x 3 ( y dy dx dx 4 x (x 3 xy) dy (x y + xy ) dy 1+y 18 y x dx, 18 y 18 x x 4x 3 x 3 1 y dy. xy 3 dy, ) dx, ) dx, () Calcular la integral doble indicada y representar gráficamente la región R. (a) (b) (c) (d) (e) (f) R R R R R R (x + y ) dxdy, R = {(x, y) R : y x 4, y }, x cos y dxdy, R = {(x, y) R : x π/, y x }, x x + y dxdy, R = {(x, y) R : 1 x 3, y x}, ln y dxdy, R = {(x, y) R : x 3, 1 y x 1}, 1 y) y e(x/ dxdy, R = {(x, y) R : 1 x, x y }. xy dxdy, R es la región limitada por las curvas y = x e y = x. (3) Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x 3.

32 6 1. INTEGRALES DOBLES. (4) Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x 3. (5) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies z =, z = x, y = x. (6) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x + z = 4, y =, x + y + z = 3. (7) Deducir la fórmula para el volumen de un cono recto de base circular, cuya base tiene radio R y cuya altura es h. (8) En cada uno de los siguientes problemas calcular la integral iterada dada, expresándola primero como una integral doble y pasando luego a coordenadas polares. Se simplifican los cálculos en todos los casos? (a) 4 y dy x + y dx, (e) ( x ) (x + y ) dy dx, (b) dx 4 x 4 x e (x +y) dx, (f) π π y dy sen(x π y + y ) dx. (c) 4 dx 4x x 4x x x + y dy, (g) 1 1 y dy x y dx. (d) π π π y dy sen(x π y + y ) dx, (h) 1 1 y dy x y dx. 1 y (9) El propósito del siguiente ejercicio es calcular el volumen del sólido limitado por el elipsoide x a + y b + z c = 1. El primer paso es notar que el elipsoide es la región comprendida entre los gráficos de las funciones f 1 (x, y) = c 1 x a y b y f (x, y) = c 1 x a y b,

33 EJERCICIOS. INTEGRALES DOBLES. 7 para (x, y) S, donde S = } {(x, y) R : x a + y b 1. Por lo tanto, denotando por V al volumen del sólido, tenemos que V = S (f 1 (x, y) f (x, y)) dxdy = c S 1 x a y b dxdy. (a) Introducir coordenadas polares generalizadas T P G (r, θ) = (ar cos θ, br sen θ). Demostrar que el determinante jacobiano de esta transformación es igual a abr y que S = T P G (B), donde B = [, 1] [, π]. (b) Utilizar la fórmula del cambio de variables para integrales dobles para concluir que V = c abr 1 r drdθ. (c) Finalmente, calcular la integral anterior para obtener B V = 4 3 πabc. (1) Utilizar el cambio a coordenadas polares para hallar el volumen del sólido formado por los puntos que están por encima del cono z = x + y y dentro de la esfera x + y + z = a. (11) Utilizar el cambio a coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x + y = x y la esfera x + y + z = 4.

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35 CAPÍTULO Integrales triples. Integrales triples de funciones sencillas, haciendo énfasis en la determinación de los límites de integración en regiones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas y esféricas. Aplicación a cálculo de volúmenes. 1. Definiciones y resultados básicos. La integral triple se define de manera análoga a la doble. Consideramos un paralelepípedo Q = [a 1, b 1 ] [a, b ] [a, b 3 ] contenido en R 3 y una función f : Q R. Una partición P = {Q ijk } de Q estará dada por tres particiones P 1, P y P 3 de [a 1, b 1 ], [a, b ] y [a, b 3 ] respectivamente. Las definiciones y los resultados son completamente análogos, cambiando de manera adecuada y donde corresponda, rectángulo por paralelepípedo. De manera análoga al caso bi-dimensional, podemos calcular integrales triples sobre regiones generales. Por ejemplo, si R = {(x, y, z) R 3 : a x b, ϕ 1 (x) y ϕ (x), α 1 (x, y) z α (x, y)} donde ϕ 1 y ϕ son funciones continuas en [a, b] siendo ϕ 1 ϕ, α 1 y α son funciones continuas con α 1 α. Si f es integrable en R entonces f(x, y, z) dxdydz = R Otro ejemplo, si b a b a ( ( ϕ (x) ) ) α (x,y) f(x, y, z)dz dy dx ϕ 1 (x) ϕ (x) dx dy ϕ 1 (x) α 1 (x,y) α (x,y) α 1 (x,y) f(x, y, z) dz R = {(x, y, z) R 3 : c y d, h 1 (y) z h (y), β 1 (y, z) x β (y, z)} 9

36 3. INTEGRALES TRIPLES. entonces f(x, y, z) dxdydz = d c h 1 (y) β 1 (y,z) R dy h (y) dz β (y,z) f(x, y, z) dx. Una región arbitraria debe descomponerse en la unión de regiones análogas a las anteriores para poder así colocar los límites de integración. Ejemplo.1. Sea R el sólido limitado por los planos coordenados y el plano x+y+z = 1. Escribir f(x, y, z) dxdydz como una integral iterada. R La representación gráfica de R es la siguiente. z 1 x+y+z=1 1 x+y=1 1 y x Figura.1. Sólido R Tenemos que Por lo tanto R = {(x, y, z) R 3 : x 1, y 1 x, z 1 x y}. R f(x, y, z) dxdydz = 1 ( 1 x ( 1 x y ) ) f(x, y, z) dz dy dx.

37 . CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A CILÍNDRICAS. 31 Observación.. Sea f : R 3 R, f. Entonces f(x, y, z) dxdydz R representa la masa de un sólido que ocupa la región R y cuya densidad en cada punto es f. Si tomamos f 1 obtenemos que dxdydz es igual al volumen de R. R. Cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas. Recordemos que el punto (x, y, z) R 3 tiene coordenadas cilíndricas (r, θ, z) si x = r cos θ, y = r sen θ, es decir, representamos la primera y la segunda coordenada en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. En general se toma r, θ < π, z R. Además r = x + y, tan θ = y x, z = z. Sea T C (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) la transformación de coordenadas cilíndricas, entonces su jacobiano es: cos θ r sen θ T C(r, θ, z) = sen θ r cos θ 1 Luego det T c(r, θ, z) = r. Del teorema general de cambio de variables obtenemos. Teorema.3 (Cambio de variables a Coordenadas Cilíndricas). Sean B {(r, θ, z) R 3 : r, θ < π} acotado, T C (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) y f : T C (B) R continua y acotada. Entonces f(x, y, z) dxdydz = f(r cos θ, r sen θ, z)r drdθdz. T C (B) B

38 3. INTEGRALES TRIPLES. Ejemplo.4. Sea S el sólido dado por x + y 1, z x + y. Hallar zdxdydz. Cambiando a coordenadas cilíndricas obtenemos S S z dxdydz = = π 1 r π 1 = π 4. rz dzdrdθ = r 3 drdθ = 1 π π 1 r 4 4 dθ = 1 8 ( rz π z=r z= ) drdθ = dθ 3. Cambio de coordenadas cartesianas a esféricas. Recordemos que el punto (x, y, z) R 3 tiene coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) si x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ. En general se toma ρ, θ < π, ϕ π. Además, ρ = x + y + z, tan θ = y x, cos ϕ = z x + y + z. z ρ (x,y,z) ϕ x θ ρ senϕ y Figura.. Coordenadas esféricas

39 3. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS. 33 Sea T E (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ). El jacobiano para el cambio a coordenadas esféricas es: sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ T E(ρ, θ, ϕ) = sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ sen θ cos ϕ ρ sen ϕ Luego det T E (ρ, θ, ϕ) = ρ sen ϕ. Y así det T E(ρ, θ, ϕ) = ρ sen ϕ. Teorema.5 (Cambio de variables a Coordenadas Esféricas). Sean B {(ρ, θ, ϕ) R 3 : ρ, θ < π, ϕ π} acotado, T E (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ) y f : T E (B) R continua y acotada, entonces f(x, y, z) dxdydz = f(ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ)ρ sen ϕ dρdθdϕ T E (B) B Ejemplo.6. Sea D la esfera de radio a y centro (,, ), hallar el volumen de D. V ol(d) = = a3 3 1 dxdydz = D π π π π a sen ϕ dθdϕ = πa3 3 = πa3 ( cos π + cos ) 3 = 4πa3 3. ρ sen ϕ dρdθdϕ = π sen ϕ dϕ

40 34. INTEGRALES TRIPLES. 4. Aplicación a cálculo de volúmenes. Ejemplo.7. Calcular el volumen del sólido R limitado por los planos coordenados y el plano x + y + z = 1. Ya en el ejemplo.1 vimos cómo colocar los límites de integración para la región R. Luego, tenemos que por otra parte 1 x de donde Vol (R) = = dxdydz = R 1 ( 1 x (1 x y) dy = (1 x)y y Vol (R) = 1 1 ( 1 x ( 1 x y ) (1 x y) dy dx, y=1 x y=o = (1 x) (1 x) dx = 1 (1 x) 3 3 ) ) 1 dz dy dx x=1 x= (1 x) = 1 6. = (1 x), Ejemplo.8. Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies z = x y z = 4 x y. Veamos primero el gráfico de las superficies z = x y z = 4 x y. z z x y x y Figura.3. Gráfico de las superficies z = x y z = 4 x y

41 4. APLICACIÓN A CÁLCULO DE VOLÚMENES. 35 Al colocar las dos superficies juntas obtenemos lo siguiente z x y Figura.4. De este gráfico ya podemos concluir que, en nuestra región, x z 4 x y. Nos falta hallar el conjunto donde varía (x, y). Para esto debemos hallar la intersección de las dos superficies y proyectar sobre el plano xy. En las siguientes figuras hemos ido rotando las superficies, de manera que en la última las vemos desde arriba; se observa que la intersección de las superficies proyecta una curva con forma de elipse, sobre el plano xy. z x y x y x y Figura.5. Intersección de las superficies z = x y z = 4 x y Para hallar la proyección de la intersección de las dos superficies sobre el plano xy igualamos las ecuaciones que definen ambas superficies y obtenemos x = 4 x y, es decir x + y 4 = 1.

42 36. INTEGRALES TRIPLES. Esta es la ecuación de una elipse, centrada en el origen y con semiejes de longitud y respectivamente. La representación gráfica de esta elipse es la siguiente, y x = ψ 1 (y) x = ψ (y) x Figura.6. Elipse x + y 4 = 1 donde ψ 1 (y) = 4 y, ψ (y) = 4 y. Por lo tanto nuestro sólido está dado por x z 4 x y, 4 y x 4 y, y. El volumen del sólido será igual a (los detalles de los cálculos se los dejamos al lector)

43 4. APLICACIÓN A CÁLCULO DE VOLÚMENES. 37 V = dy 4 y / 4 y / dx 4 x y x dz = = dy = 64 3 = 8π 3 = 4π. 4 y / 4 y / (4 x y ) dx 3 (4 y ) 3/ dy = 4 3 π/ + cos 4 θ dθ = 16 3 [ 16 sen θ 3 ] π/ π/ (4 y ) 3/ dy (1 + cos θ + cos θ) dθ π/ (1 + cos 4θ dθ Ejemplo.9. Calcular el volumen del sólido S que está encima del cono z = x + y y dentro de la esfera x + y + z = az. Este cono está dado por ϕ = π/4 y la ecuación de la esfera dada es x + y + (z a) = a, es decir tiene centro (,, a) y radio a. Sea (x, y, z) un punto de la esfera, entonces a = x + y + (z a) = x + y + z az + a = ρ sen ϕ cos θ + ρ sen ϕ sen θ + ρ cos ϕ aρ cos ϕ + a = ρ sen ϕ(cos θ + sen θ) + ρ cos ϕ aρ cos ϕ + a = ρ sen ϕ + ρ cos ϕ aρ cos ϕ + a = ρ (sen ϕ + cos ϕ) aρ cos ϕ + a = ρ aρ cos ϕ + a. Luego ρ = aρ cos ϕ y por lo tanto ρ = a cos ϕ. Cómo los puntos de S están por encima del cono tenemos que ϕ π/4 y cómo están dentro de la esfera tenemos que ρ a cos ϕ.

44 38. INTEGRALES TRIPLES. z esfera ρ cono ϕ y x Figura.7. Corte de las superficies que limitan a S Por lo tanto S está dado por ρ a cos ϕ, θ π, ϕ π/4. Utilizando el cambio a coordenadas esféricas obtenemos Vol (R) = dxdydz = = = S π/4 π a cos ϕ π/4 ( π a cos ϕ π/4 ( π = 8a3 3 = 16πa3 3 π/4 π/4 cos 3 ϕ el resto de los cálculos se los dejamos al lector. ρ sen ϕ dρdθdϕ ) ρ dρdθ sen ϕ dϕ ) 8a 3 3 cos3 ϕ dθ sen ϕ dϕ ( π ) dθ sen ϕ dϕ cos 3 ϕ sen ϕ dϕ.

45 EJERCICIOS. INTEGRALES TRIPLES. 39 Ejercicios. Integrales triples. (1) Calcular las integrales iteradas que se indican, expresar la región de integración en notación conjuntista y dar una idea de cómo luce la región de integración en R 3. (a) (b) x dx x y dy ( ( 1 y x x dz, y x dz x ) dx ) dy, (c) 4 16 x dx 16 x y dy (x + y + z) dz, () Calcular f(x, y, z) dxdydz, S donde S está limitada por las superficies indicadas y f es la función dada. (a) z =, y =, y = x, x + y =, x + y + z = 3; f(x, y, z) = x, (b) x =, x = 1 y z ; f(x, y, z) = y, (c) x + z = 4, y =, y = 4; f(x, y, z) = z. (d) x + y + z = 9; f(x, y, z) = z. (3) Expresar la integral iterada dz z dx x en los otros cinco órdenes posibles. f(x, y, z) dy (4) Calcular x + y + z dxdydz, donde S S = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9}.

46 4. INTEGRALES TRIPLES. (5) Calcular x + y dxdydz, donde S S = {(x, y, z) R 3 : x + y 4, z 3}. (6) Calcular y + z dxdydz, donde S S = {(x, y, z) R 3 : y + z 16, 1 x 1}.

47 CAPÍTULO 3 Lectura adicional: El teorema de Green. Este capítulo es una introducción al teorema de Green que es, en cierto sentido, similar al Teorema Fundamental del Cálculo. Comenzaremos definiendo lo que llamaremos región simple. Recordemos que una región del tipo I es una región de la forma R 1 = {(x, y) R : a x b, ϕ 1 (x) y ϕ (x)} donde ϕ 1 y ϕ son funciones continuas en [a, b], tales que ϕ 1 ϕ y que una región del tipo II es una región de la forma R = {(x, y) R : c y d, ψ 1 (y) x ψ (y)} donde ψ 1 y ψ son funciones continuas en [c, d] tales que ψ 1 ψ. Definición 3.1. Sea D R decimos que D es una región simple si D es una región tanto de tipo I como de tipo II y además D es una curva lisa a trozos. y x Figura 3.1. Región simple Definición 3.. Sea D R. Decimos que D está positivamente orientada con respecto a D si al caminar por D con esa orientación, la región D queda a la izquierda de D. 41

48 4 3. LECTURA ADICIONAL: EL TEOREMA DE GREEN. y x Figura 3.. D positivamente orientada con respecto a D Teorema 3.3 (Green). Sea D R acotado y unión finita de regiones simples. Sean P y Q campos escalares de clase C 1 en un abierto que contiene a D. Entonces ( Q x P ) dxdy = P dx + Qdy y D donde D está orientada positivamente con respecto a D. D Observación 3.4. Tal como es natural, la integral sobre dos curvas disjuntas se define como la suma de las integrales sobre cada una de las curvas. Ejemplo 3.5. (a) Sea G la circunferencia de centro en el origen y radio 1, recorrida en sentido antihorario y sea D = {(x, y) : x + y 1}. Calcular y cos(xy) dx + x cos(xy) dy. G Por el teorema de Green, tenemos que esta integral de línea es igual a (b) Calcular D (cos(xy) xy sen(xy) cos(xy) + xy sen(xy)) dxdy =. ( y + 1) dx + x dy G

49 3. LECTURA ADICIONAL: EL TEOREMA DE GREEN. 43 donde G es la curva orientada positivamente que limita el triángulo τ de vértices (, ), (, 1) y (1, ). Aplicamos el teorema de Green con P (x, y) = y + 1, Q(x, y) = x. Entonces P y = 1 y Q x = 1. Luego ( y + 1) dx + x dy = (1 + 1) dxdy = Area(τ) = 1. G τ (c) Calcular 1 y dx + x dy G donde G es la circunferencia de centro el origen y radio 1 recorrida en sentido antihorario. Sea D = {(x, y) : x + y 1} entonces 1 y dx + x dy = 1 (1 ( 1)) dxdy G D = 1 dxdy D = Area(D) = π. Proposición 3.6. Sea D una región simple de R cuya frontera D es una curva lisa a trozos. Si D está positivamente orientada con respecto a D, entonces el área de D es Area(D) = 1 ydx + xdy. D La demostración de esta Proposición queda como ejercicio. Sugerencia: Utilizar el teorema de Green. Ejemplo 3.7. Calcular el área de la región D limitada por la elipse Sea g : [, π] R dada por x a + y b = 1. g(t) = (a cos t, b sen t).

50 44 3. LECTURA ADICIONAL: EL TEOREMA DE GREEN. Entonces Luego g (t) = ( a sen t, b cos t). Area(D) = 1 y dx + x dy = 1 = 1 D π π ( b sen t( a sen t) + a cos tb cos t) dt ab dt = πab.

51 EJERCICIOS. EL TEOREMA DE GREEN. 45 Ejercicios. El teorema de Green. (1) Comprobar, calculando las integrales correspondientes, el teorema de Green para (x xy 3 ) dx + (y xy) dy, G donde G es un cuadrado con vértices (, ), (, ), (, ) y (, ). () Hallar el área encerrada por la hipocicloide x /3 + y /3 = a /3, donde a es una constante positiva. (Sugerencia: la curva se puede parametrizar de la siguiente manera x = a cos 3 t, y = a sen 3 t, t π). (3) Calcular x dx + y dy, G donde G es un cuadrado con vértices (, ), (4, ), (4, 4) y (, 4), recorrido en sentido antihorario. (4) Calcular y cos(xy) dx + x cos(xy) dy, G donde G es una circunferencia con centro en (1,3) y radio 5, recorrida en sentido horario.

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53 Bibliografía [1] Apostol, T. Calculus Volumen 1. Editorial Reverté. [] Apostol, T. Calculus Volumen. Editorial Reverté. [3] Bruzual, R. y Domínguez, M. Guía de problemas de Cálculo III para Matemáticos. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [4] Bruzual, R. y Domínguez, M. Cálculo diferencial en una variable. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [5] Bruzual, R. y Domínguez, M. Cálculo integral en una variable. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [6] Bruzual, R. y Domínguez, M. Cálculo diferencial en varias variables. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [7] Bruzual, R. y Domínguez, M. Cálculo integral en varias variables. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. 8 [8] Deminovich, B. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo. [9] Marsden, J. y Tromba, A. Cálculo Vectorial Fondo Educativo Interamericano. Addison-Wesley. [1] Miranda, Guillermo Matemática III - Física Fac. Ciencias. UCV. [11] Protter, M. H. and Morrey, C. B. A First Course in Real Analysis. [1] Quintana, Y. Guía de problemas de Matemática III. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [13] Swokowsky, E. W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana. [14] Williamson, Crowell, Trotter. Cálculo de Funciones Vectoriales. Editorial Prentice/Hall Internacional. 47

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55 Índice cambio de variables, coordenadas ciíndricas, 31 esféricas, 3 polares, 18, 1 Fubini, teorema, 8 Green, teorema de, 4 integrable, 3, 5 integral, 3 doble, 5 triple, 9 partición, 1, 4 región simple, 41 región tipo I, 1 región tipo II, 1 suma inferior, 1, 5 suma superior,, 5 sumas de Riemann, 3 teorema fundamental del cálculo, 4 49