CALCULO VECTORIAL GUÍA DE EJERCICIOS N 1 INTEGRALES DE LINEA Y SUS APLICACIONES

Transcripción

1 GUÍA DE EJERCICIOS N 1 INTEGRALES DE LINEA Y SUS APLICACIONES 1.- En cada uno de los siguientes casos calcular la integral de línea dada a) + +, donde C es el segmento de recta que une el punto O(0,0) con el punto M(3,4) R: 151/3 b) + +, siendo C la poligonal OBA con O(0,0), A(4,2) y B(2,0) R: 136/3 c)., donde, = (, + ) y C es la curva de ecuación = que une el origen de coordenadas con el punto (1,1). R: 27/20 d) con C el contorno del cuadrado de vértices (a,0), (0,a), (-a,0), (0,-a), recorrido en sentido antihorario, siendo a una constante positiva. R: 0 e), C es la circunferencia de centro (0,0) y radio a recorrida en sentido antihorario. R: -2π f) + + donde C es un cuarto de la circunferencia de ecuaciones =, =, = 1 recorrida en el sentido del crecimiento del parámetro t. R: 1/6 g), C es la elipse situada en el plano z=k (k>0), con centro en (1,1,k) y semiejes a y b. El sentido de recorrido de C es antihorario cuando la miramos desde arriba. R: abπ h). donde =, +, y C es la poligonal cerrada OABCO con O(0,0,0), A(0,0,1), B(1,0,1), C(1,1,1). R: -1/12 i) + + donde C es la curva de intersección de las superficies + = 2 y + + = 2( + ) recorrida en sentido horario cuando se mira desde el origen de coordenadas. R: 2 2

2 j) , C es la curva contenida en la región definida por las condiciones 0 1, que se obtiene por intersección de la superficie = con el plano + + = 0. El recorrido de C es desde el punto (0,0,0) hasta (1,-1/2,-1/2). R: 32 17/6 k) + + siendo C la curva de intersección de + + = 9 con el plano = 2, recorrida en sentido antihorario cuando la miramos desde arriba del plano dado. R:0 2.- Calcular el valor de las siguientes integrales a) +, donde C es el contorno del triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1) b), C es la primera espira de la hélice de ecuaciones R: =, =, = R: c), C definida por =,, 0 R: 2 1 d) +, C es el contorno del triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1) R: e), C es la intersección de la esfera + + = 1, con el plano + + = Obtenga el valor de las integrales dadas a continuación R: 2π/3 a) x, donde = + + y C es la circunferencia de centro en el origen y radio R, situada en el plano, recorrida en sentido antihorario. R: 2 b)., C es la parte de la circunferencia de centro en el origen y radio 1, ubicada en el primer cuadrante y es el vector normal unitario exterior a C. Si = + R: +

3 c) + 2, donde C es el contorno de la región D, constituida por el conjunto de puntos del plano que satisfacen al menos una de las siguientes inecuaciones + 2 < 0, + 2 < 0, recorrida en sentido antihorario. R: 3π/2 + 1 Aplicaciones de la integral de línea 4.- En cada caso calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas dado, para mover una partícula a lo largo de la curva indicada. a), = +, C es el contorno del dominio limitado por =, =, recorrida en sentido antihorario. R: 6/35 b) = con k cte y C es el segmento de recta que une el punto ( ) con el punto ( ) R: k 5.- Dado el campo definido por, = y C la curva de ecuación = 1 1, 0 1. Determinar el valor de a de manera que el trabajo realizado por el campo para mover una partícula a lo largo de la curva C desde el punto (0,1) hasta el punto (1,0) sea mínimo. R: -1/2 6.- En cada caso determinar la circulación del campo dado, a lo largo de la curva C especificada a) =,,, C es la curva situada en el primer octante, obtenida por la intersección de las superficies + = 1 con los planos coordenados, recorrida en sentido antihorario cuando se mira desde arriba del plano xy R: 0 b) =,, y C es la curva de intersección de + = 1 y + + = 1 recorrida de manera que su proyección en el plano xy lo sea en sentido antihorario R:-π 7.- La base de una pared delgada (una cerca) tiene la forma de la curva definida por las ecuaciones = 30, = 30, 0 /2 y la altura de la misma, en cada punto (x,y) está dada por, = 1 +. Si se quiere pintar ambos lados de la pared, sabiendo que el costo por m 2 de pintura es de Bs 70, Cuál es el costo total de pintar la pared? (Las longitudes están medidas en m) R: Sea C una curva parametrizada por =, [, ] y sea el campo de vectores tangente unitarios a C, con en todo punto. Qué se calcula con la integral.?

4 9.- Un alambre tiene la forma de la circunferencia de ecuación + =. Determinar su momento de inercia respecto a uno de sus diámetros, si la densidad en cada punto del mismo es igual a + R: 4a Un alambre delgado, homogéneo de longitud L, sirve de contorno a un cuadrante de círculo. Determine las coordenadas del centroide del mismo. R: = = 11.- En cada uno de los siguientes casos, dado el campo vectorial, determinar si la integral. es o no independiente de la trayectoria. En caso afirmativo hallar una función potencial Φ para a), = R: Φx, y = 3 b),, = 8 + 5, , 5 + 2() c), = R: Φx, y, z = cos () d), = + R: Φx, y = e), = R: Φr = f),, =,, () 12.- En cada caso demostrar que la integral dada es independiente de la trayectoria y calcular el valor de la misma. (,) a) ( + 4 ) (,) ( b), ) 2 + ( ) (,) (,) c) (2 ) (,) R: 0 R: R: Dado el campo,, = (2 + 6, 6 2, 3 ) a) Demostrar que el mismo es conservativo y hallar una función potencial para él. (,,) b) Calcular (,,). R: a) Φx, y = 6 +, b) 15

5 14.- Dado el campo,, = a) Demostrar que es conservativo y hallar una función potencial para el mismo. (,,) b) Calcular (,,). R: a) Φr =, b) Verificar el Teorema de Green-Riemann en cada uno de los siguientes casos a), =,, =, es la región definida por + 1 b), = 6 3,, = 7 +, es la región acotada por + = 1 c), = 2,, = 3 +, es la región en el primer cuadrante encerrada por las curvas = y = d), =,, = 0, es la parte del cuadrado definido por 4,4x[ 4,4] que no pertenece a los discos definidos por 2 + < 1, < 1 e), =,, =, es la región del plano xy determinada por las desigualdades + 4, Utilizar el Teorema de Green-Riemann para calcular la integral dada a lo largo de la curva C mostrada en la figura, siendo AB un cuarto de circunferencia de centro O y radio B A R: 2 O θ Usar el teorema de Green-Riemann para calcular las integrales dadas a continuación a) 2 + +, C es la circunferencia unitaria R: 3π/2 b), es la frontera de la región definida por [ 1,1]x[ 1,1] R: -8 c), es el contorno del triángulo de vértices 0,0, 0,1y (1,0) R: 1/2

6 d), C es el contorno de la región definida por [-2,4]x[-2,2], que es exterior a las circunferencias + = 1 y = 0 R: -2 π 18.- En caso de que pueda aplicar el teorema de Green, utilícelo para calcular la integral cuando i) C es la curva + 6 = 2 R: 0 ii) C es la curva + = 1 R: -2 π 19.- Sea C la curva que limita la región del plano definida por + 2 0, + 0, con a>0 constante, calcular R: 20.- Calcular la integral + +, donde C es una curva que une el punto (1,1,1) al punto (2,2,2) y que no corta al plano yz ni al xz. R: -1/ Verificar el teorema de Green para el campo =, D es la región definida por las condiciones + 1. R: Dada la integral de línea = ( + ) , sabiendo que - I no depende del camino de integración - 0 = 0; es una función derivable definida en todo - f(x) es un polinomio Calcular el valor de I cuando C es una curva que une los puntos (0,0) y (x,y) R:

7 23.- Calcular la siguiente integral de línea en los siguientes casos i.- C es una circunferencia de radio R y centro (0,0) ii.- C es el contorno de un cuadrado de lado 2a (a>0) y centro (0,0) R: 2π R: 2π iii.- C es el contorno de un cuadrado de lado 2a y centro (2a,0) R: Consideremos la integral donde C es el contorno del cuadrado de vértices (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Cómo utilizaría el teorema de Green para calcular dicha integral? Sugerencia: observe que el campo dado no es derivable en (0,0) R: 1/ En cada uno de los siguientes ejercicios utilice integrales de línea para calcular el área de la región acotada por las curvas dadas a) Circunferencia + = R: b) Curva de ecuaciones =, =, 0 2 R: c) Elipse + = 1 R: d) =, = R: e) = 4, = 16 R: 128/3 f) =, =, 8 = 1 R: ó Sea D la región acotada por una curva cerrada C, simple, regular a trozos ubicada en el plano xy. Demostrar que las coordenadas del centroide de D están dadas por : = 1 2, = Sea C una curva cerrada, simple, regular a trozos, que limita una cierta región D del plano xy. Encuentre un entero n tal que =, siendo I z el momento de inercia de la región D respecto al eje z. Tome la densidad igual a Calcular la circulación a lo largo de la circunferencia + = del campo =