1.1 El caso particular de las curvas planas.

Transcripción

1 Chapter 1 Complementos de teoría de curvas 1.1 El caso particular de las curvas planas. Una curva en el espacio cuya torsión se anula está contenida en algún plano. Supongamos que ese plano es el z = 0, identificado de manera natural con R 2. Sea α(t) =(x(t),y(t)) una curva parametrizada 1 regular en el plano. Entonces el vector tangente unitario es t = α α = (x,y ) x 2 + y 2. Por estar en R 2, dado t(t) tenemos una elección única de un vector unitario ortogonal ˆn(t) de tal forma que la base {t(t), ˆn(t)}, resulte positivamente orientada. En concreto: ˆn = ( y,x ) x 2 + y 2. Como ṫ := t α es ortogonal a t, necesariamente ṫ = ˆk ˆn, ˆk =< ṫ, ˆn >= x y x y (x 2 + y 2 ) 3/2. Definición. Dada la curva parametrizada regular plana α(t) = (x(t),y(t)) y t perteneciente a su intervalo de definición, la normal orientada de la curva en t es ˆn(t) y la curvatura con signo es ˆk(t). 1 Todas las curvas se considerarán diferenciables, al menos de clase C 2 3

2 4 CHAPTER 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE CURVAS Interpretación de la curvatura con signo. La aplicación tangente unitaria es una aplicación diferenciable del intervalo de definición de α en la circunferencia, esto es, t : I S 1 R 2. Existe una aplicación diferenciable φ : I R de tal forma que t(t) = cos φ(t)e 1 + sin φ(t)e 2. Derivando Por lo tanto t (t) = ( sin φ(t)e 1 + cos φ(t)e 2 )φ (t). ˆk(t) = φ (t) α (t). En particular si la curva está parametrizada por la longitud de arco ˆk(t) = φ (t). La curvatura con signo mide la variación de φ, que es el ángulo desde el vector e 1 hasta el vector tangente. En los puntos en los que ˆk(t) > 0 el angulo es creciente y la curva gira en sentido contrario a las agujas del reloj. En los puntos en los que ˆk(t) < 0 el angulo es decreciente y la curva gira en el sentido de las agujas del reloj. Definiciones. En los puntos donde la curvatura no se anula, el radio de curvatura 1 se define como y el centro de curvatura como α(t)+ 1 ˆk(t) ˆk(t) ˆn(t). La circunferencia cuyo centro es el centro de curvatura y cuyo radio es el radio de curvatura se llama circunferencia osculatriz. La evoluta de una curva α es la curva que describen sus centros de curvatura α evta (t) =α(t)+ 1 ˆk(t) ˆn(t). 1.2 Prácticas Curvas planas: visualización de la traza y las rectas tangentes. Una aplicación diferenciable α : IR IR 2 se dice que es una curva parametrizada en el plano. Se denomina traza al conjunto imagen α(ir) y para cada t 0 IR se dice recta tangente a α en t 0 a la recta que pasa por α(t 0 ) en la dirección de α (t 0 ).

3 1.2. PRÁCTICAS 5 a) Sean p =(p 1,p 2 )yq =(q 1,q 2 ) dos puntos distintos de IR 2. Encuentra la expresión de una curva parametrizada, α, cuya traza sea la recta que pasa por p y por q. Para cada t 0 IR calcula la expresión de la recta tangente a α en t 0. b) Sea P(a) la parábola de ecuación y = ax 2, esto es, P(a) ={(x, y) IR 2 ; y = ax 2 }. Encuentra la expresión de una curva parametrizada α cuya traza sea P(a). Para cada t 0 IR calcula la expresión de la recta tangente a α en t 0. Dibuja las parábolas para los valores de a { 2, 1, 1, 0, 1, 1, 2}. 2 2 En la parábola con a = 1, dibuja las rectas tangentes en t 0 = 1, t 0 = 2. c) Sea E (a,b) la elipse de semiejes a y b, esto es, E (a,b) = {(x, y) IR 2 ; x2 a 2 + y2 b 2 =1}. d) Demuestra que α(t) =(a cos t, b sin t) es una curva parametrizada cuya traza es la elipse E (a,b) y encuentra la condición necesaria y suficiente para que los números reales t 0,t 1 verifiquen α(t 0 )=α(t 1 ). e) Para cada t 0 IR calcula la recta r t0 {α(t 0 )+λα (t 0 ); λ IR}. Demuestra que si α(t 0 )=α(t 1 ) entonces α (t 0 )=α (t 1 ), y por tanto, para cada p E (a,b) podría definirse la recta tangente en p como cualquiera de las rectas r t0, con t 0 IR tal que α(t 0 )=p. f) Dibuja las elipses para los valores a =1,b= 2; a =1,b= 4; a =2,b= 1. Dibuja también en alguna de ellas las rectas tangentes en t = 0, t = π 4, t = π 2. g) Encuentra una curva parametrizada cuya traza sea la circunferencia de centro p IR 2 y radio a>0. h)a continuación tienes tres curvas parametrizadas y tres trazas. Suponiendo que cada traza lo es de alguna de las tres curvas asocia a cada curva su traza dando un razonamiento convincente: a) α(t) = ((t 2 sin t, 1 2 cos) t), b) β(t) = e t 20π cos t, e t 20π sin t, ( ) c) γ(t) =. cos t 1+sin 2 t, sin t cos t 1+sin 2 t

4 6 CHAPTER 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE CURVAS Figure 1.1: Figure 1.2: Figure 1.3:

5 1.2. PRÁCTICAS 7 Curvas planas: cálculo y visualización de la curvatura con signo. Nota. Una curva se dice simple si es inyectiva. De una curva α :[a, b] IR n, definida en un intervalo cerrado, se dice que es cerrada si α(a) =α(b); y que es cerrada simple si es cerrada y los únicos puntos donde se repite su valor son los extremos del intervalo. 1.- Se considera la curva parametrizada α(t) = ( sin t, 1 2 sin 2t). a) Demuestra que es una curva diferenciable y regular pero no es simple. b) Demuestra que si la restringimos al intervalo [0, 2π] es cerrada. c) Escribe la ecuación de la recta tangente en un punto t 0 [0, 2π] arbitrario. Encuentra los puntos donde esta recta es horizontal y los puntos donde es vertical. d) Calcula la recta tangente en t 0 = 0 y en t 0 =2π, y demuestra que ambas coinciden. Calcula la recta tangente en t 0 = π. Coincide con la anterior? Tiene sentido hablar de la recta tangente a la traza en (0, 0)? e) Dibuja la traza de la curva α(t). 2.- Sea β(t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sin t). Esta curva se denomina cardioide y su traza la tienes abajo. a) Demuestra que la curva β(t) restringida a [ π, π] es una curva cerrada. Se trata de una curva regular? Se puede definir la recta tangente a la traza en (0, 0)? b) Calcula la curvatura de esta curva parametrizada. c) Demuestra que β restringida a [ π, π] es una curva cerrada simple.

6 8 CHAPTER 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE CURVAS Cardioide Figure 1.4: